kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên hùng vơng năm học 2009-2010 Sở giáo dục đào tạo phú thọ Đề thức Môn: Toán (Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (§Ị thi cã 01 trang) mx y 2 (1) x my 5 (2) Câu 1(2 điểm) Cho hệ phương trình: (m tham số) a) Chứng tỏ hệ cho ln có nghiệm với m b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm (x, y) thoả mãn x + y = Câu 2(1 điểm) Tìm tất số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x3 y z y số nguyên tố, z;3 z; y 1 Câu 3(3 điểm) a) Giải phương trình: x 1 2009 x 1 2008 x x 1 2007 x 2 x 1 x 2008 x 2 2009 0 b) Cho x, y số thực dương thoả mãn điều kiện x y Tìm giá trị nhỏ x biểu thức A 4y Câu 4(3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) điểm P nằm tam giác ABC cho BAP Đường thẳng AP cắt cạnh BC M PBC ; CAP PCB a) Chứng minh M trung điểm cạnh BC b) Chứng minh tứ giác BHPC nội tiếp đường trịn ( ) , H trực tâm tam giác ABC c) Đường trung trực đoạn thẳng PA cắt đường thẳng BC Q Chứng minh QA tiếp xúc với (O) QP tiếp xúc với ( ) Câu 5(1 điểm) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn ab bc ca 3 Chứng minh rằng: 1 1 a 2 b 2 c 2 ——Hết—— Chú ý: Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh SBD Câu Ý a) (1đ) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 HƯỚNG DN CHM CHNH THC MễN: TON (Chuyên Toán) Ni dung Từ (1) y = mx -2 (3) 0.25 Kết luận 0.25 0.25 7m =7 m2 1 m 1 Tìm ; kết luận m 2 Phương trình cho tương đương với 0.5 0.5 x y x xy y z x y x y 3xy z số nguyên tố, z;3 z; y 1 nên từ (1), x; y 1, x Do y (1) 4n 4 x xy y x y y y 2n x y 2n x y (1đ) Từ đó, y số nguyên tố, nên có trường hợp sau xảy 2 2n x y 3 y , 2n x y 1 : Suy y 2 x y 2 2m y 0.25 y;3 1 (2) Từ (1),(2) suy x y m , x xy y n , z mn với m, n Từ 0.25 2m ; m m2 1 5m Từ tính y = m 1 Thế vào (2) x = x+y=7 b) (1đ) Điểm m , vô lý suy m 3 y y 3m 3 , m 1 2n x y 3 y, 2n x y y Suy y 4 x y x 0 , loại 0.25 0.25 2 2n x y y , 2n x y 3 Suy y 2 x y 2 2m y y 3 4m 12 Tìm y 7, m 1, x 8, z 13 0.25 Vậy x; y; z 8;7;13 nghiệm phương trình n n n n n n n Do a b a b a a b a b ab b , 0.25 với a x 1, b x a) (1,5đ) suy phương trình cho tương đương với x 1 2010 x 1 x 2 x 1 x x x x Vậy phương trình cho có nghiệm x x 2010 0.5 0.5 0.25 Với x > ta có: 4 x 2 x 8 x x 0.5 Với y > ta có: 1 y 2 y 2 4y 4y 0.5 4 4( x y ) 10 A 5 x 4y x 4y b) (1,5đ) 4 x 4 x 1 Dấu đẳng thức xảy 4 y 4y x y x 1 y 0.5 Giá trị nhỏ A đạt x = 1; y = A E P F H a) (1đ) Q B 0.25 O C M Từ giả thiết, suy ABM BPM ( g g ) suy BM AM PM Tương tự, ACM CPM ( g g ) suy CM AM PM Từ (1),(2) suy BM CM suy điều phải chứng minh (1) (2) 0.25 0.25 0.25 Gọi E , F giao điểm BH , CH với cạnh AC , AB Khi AEH AFH 900 nên tứ giác AEHF nội tiếp, b) (1đ) suy BHC EHF 1800 BAC (1) 0.25 0.25 Từ cách xác định điểm P suy (2) BPC 1800 PBC PCB 1800 PAB PAC 1800 BAC Từ (1) (2), tam giác ABC nhọn, nên bốn điểm B, C , H , P nằm đường tròn 0.25 0.25 M N P X + Phát biểu chứng minh bổ đề Điểm X nằm cạnh NP tam giác MNP NX MX cho NMX MPN Khi NP MP AB ACQ , nên + Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt BC Q1 Do Q c) (1đ) Q1 B AB Q1C AC 0.25 (3) PB PCB + Tiếp tuyến P đường tròn ( ) cắt BC Q2 Do Q , nên 0.25 Q2 B PB (4) Q2C PC + Theo kết phần 1, M trung điểm BC suy AB sin CAP S ABM S ACM AB sin BAP AC sin CAP AC sin BAP (5) 0.25 PB sin PCM sin PAC S PBM S PCM PB sin PBM PC sin PCM (6) PC sin PBM sin PAB Từ (3),(4),(5),(6) suy Q1 B Q2 B Q1 Q2 Q1C Q2C 2 Do Q1 AB Q1CA Q1 PB Q1CP , nên Q1 A Q1 B Q1C Q1 P suy Q1 A Q1 P Suy Q1 Q Điều phải chứng minh 0.25 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a 2b b c c a a 2b c 4 Đặt bc x, ca y, ab z Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x y z xyz 4 với x, y, z 0 : x y z 3 0.25 0.25 Không giảm tổng quát, coi x min x, y, z , x 1 x y z xyz x y z yz x (1đ) y z x 2 4 x x2 2 x2 y z x2 x 4 x 1 x 0 Suy điều phải chứng minh Dấu “=” xảy x y z 1 a b c 1 x2 y z Ghi chú: Nếu học sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa 0.5