PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN KIM THÀNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: P x2 x x x x 1 x x 1 x x1 a)Rút gọn P b)Tìm giá trị nhỏ P c)Xét biểu thức: Q x , chứng tỏ < Q < P Bài 2: (2,0 điểm) Giải phương trình: x 3x x x x 2x Cho đường thẳng (d): y = (m + 4)x - m + a,Tìm m để (d) cắt đường thẳng (d 1) y = 2x + điểm trục hoành b,Chứng minh rằng: m thay đổi đường thẳng (d) ln qua điểm cố định Bài 3: (2,0 điểm) 1.Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: xy- 2x + 3y = 21 2.Chứng minh với x, y nguyên A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương Bài 4: (3,0 điểm) Cho AB đường kính đường tròn (O;R) C điểm thay đổi đường trịn (C khác A B), kẻ CH vng góc với AB H Qua A kẻ đường thẳng xy vng góc với AB.Gọi I trung điểm AC, OI cắt đường thẳng xy M, MB cắt CH K a) Chứng minh MC OC b) Chứng minh K trung điểm CH c) Xác định vị trí C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn theo R Bài 5: (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = ab bc ca c ab a bc b ca HẾT - PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN: TOÁN Bài 1(2 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm 0,25 Đk : x 0; x 1 P a x 2 x x x1 x x 1 x x 1 x x1 x1 x x 1 x 1 Vậy P x x 1 x 1 0,25 x 0,25 x , với x 0; x 1 1 3 x x 2 4 dấu xảy x = , thỏa mãn đk Vậy GTNN P x 4 x Với x 0; x 1 Q = > (1) x x 1 P x b Xét 0,25 0,25 0,25 0,25 2 x1 x 0 x x 1 x x 1 0,25 Dấu khơng xảy điều kiện x 1 suy Q < 2.(2) Từ (1) (2) suy < Q < Chứng tỏ < Q < c Bài 2(2 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm x 3x x x x 2x x 1 x x x 1 x 0 x x 0 x 2 Điều kiện x x 1 x 3 0 x 1 x 0,25 0,25 1 x x 1 x 1 x x 3 x 0 0,25 x 0 x 0 x x 0 x 1 x 2 x x 0,25 x = thoả mãn điều kiện xác định Vậy phương trình có nghiệm x = a) Đường thẳng (d1) y = 2x + cắt trục hoành M(-2;0) 0,25 Khi (d) cắt đường thẳng (d1) điểm trục hoành = (m + 4).(-2) - m + m = 2 0,25 2 Vậy m = (d) cắt (d1) điểm M(-2;0) trục hoành b) Giả sử M(x0;y0) điểm cố định thuộc đường thẳng (d) Khi M(x0;y0) (d) m (x0 - 1)m = y0 - 4x0 - m x0 = y0 = 10 Vậy với m (d) ln qua điểm cố định M(1;10) 0,25 0,25 Bài 3(2 điểm) Ý/Phần Đáp án Ta có : xy- 2x + 3y = 21 x(y-2) + 3(y-2) =21 (x+3).(y-2) =21 Vì x,y nguyên dương nên x+3 nguyên dương x+3≥4 Vì (x+3).(y-2) =21 nên x+3 Ư(21) Có Ư(21)={-1 ;-3 ;-7 ;-21 ;1 ;3 ;7 ;21} Vì x+3≥4 nên x+3 =7 x+3 =21 x=4 x= 18 y=5 y= Vậy phương trình có nghiệm ngun dương (x ;y)=(4 ;5) (x ;y)= (18 ;3) Điểm A =(x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x + y)(x + 4y) (x + 2y)(x + 3y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2 )(x2 + 5xy + 6y2 )+ y4 = (x2 + 5xy + 5y2 - y2 )(x2 + 5xy + 5y2 – y2 ) + y4 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 - y4 + y4 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 = (x2 + 5xy + 5y2 )2 Do x , y Z nên x2 + 5xy + 5y2 Z A số phương 0,25 0,25 M C Bài 4(3 điểm) Ý/Phần Đáp án A I Điểm K O H B Vẽ hình 0,25 a b a) Chứng minh MC OC (0,75 điểm) ˆ COM ˆ - Chứng minh AOM - Chứng minh AOM = COM - Chứng minh MC CO b) Chứng minh K trung điểm CH ( điểm) MAB có KH//MA (cùng AB) ( KH HB AM.HB AM.HB KH 1) AM AB AB 2R Chứng minh cho CB // MO AOM (đồng vị) CBH C/m MAO đồng dạng với CHB MA AO AM.HB AM.HB CH (2) CH HB AO R Từ (1) (2) suy CH = KH CK = KH K trung điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 CH c c) Xác định vị trí C để chu vi ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn đó( điểm) Chu vi tam giác ACB PACB AB AC CB 2R AC CB 0,25 AC CB Ta lại có 0 AC CB 2AC.CB 2AC 2CB AC CB 2AC.CB AC CB AC CB AC CB AC CB 0,25 AC CB 2AB AC CB 2.4R 0,25 AC CB 2R Đẳng thức xảy AC = CB M điểm cung AB Suy PACB 2R 2R 2R , dấu "=" xảy M điểm 0,25 cung AB Vậy max PACB 2R đạt M điểm cung AB Bài 5(1 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Có: a b c 1 c a b c c ac bc c c ab ac bc c ab a (c b) c(b c) = (c a )(c b) a b ab ab c a c b c ab (c a )(c b) a bc (a b)(a c) Tương tự: b ca (b c)(b a ) b c bc bc a b a c a bc (a b)(a c) c a ca ca b c b a b ca (b c)(b a ) a b b c c a P c a c b a b a c b c b a = a c c b b a = a c c b b a = 2 Dấu “=” xảy a b c 0,25 0,25 0,25 0,25 Từ giá trị lớn P đạt a b c