Tổ 3 d2 l11 hsg thuan thanh 2 nam 2018 2019

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HẬU THUẬN THÀNH NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Lớp: 11 ĐỀ BÀI Câu (4 điểm)   2cos   x   cos x 4 cos x  4  Giải phương trình Cho số x  y;5 x  y;8 x  y theo thứ tự lập thành cấp số cộng; đồng thời số ( y  1) ; xy  1;  x   Câu 2 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm x, y (5 điểm) n Tính tổng S 2.1Cn  3.2Cn  4.3Cn   n( n  1)Cn Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có sáu chữ số khác Tính xác suất để chọn số có chữ số chẵn chữ số lẻ Câu (5 điểm) lim Tìm n2  n  n 4n  3n  2n  x   x  x  17  y  y    x  y  y  21  2 y  x Giải hệ phương trình  Câu A  3;  B  1;  (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm G , đỉnh , , đỉnh C thuộc đường thẳng d : x  y  0 Biết diện tích tam giác GAB bằng đơn vị diện tích, tìm tọa độ đỉnh C Câu (4 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn BC 2a đáy bé AD a , AB b Mặt bên SAD tam giác đều, M điểm di động AB Mặt phẳng  P qua M song song với SA , BC Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng  P  Thiết diện hình gì? x  AM ,   x  b  Tính diện tích thiết diện theo a, b Tìm x theo b để diện tích thiết diện lớn -Hết - LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu (4 điểm)   2cos   x   cos x 4 cos x  4  Giải phương trình Cho số x  y;5 x  y;8 x  y theo thứ tự lập thành cấp số cộng; đồng thời số ( y  1) ; xy  1;  x   theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm x, y Lời giải   cos   x   cos x 4 cos x  4      cos   x   cos x 2   cos x   2  PT    cos  x   cos x 6  sin x  cos x 2 cos x    4x    4x   Vậy x   k   x  k 2 x   36   k      2 x  k 2 x   k  12  k   , x   k  k   36 12 x  y;5 x  y;8 x  y theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có: x  y  x  y 2  x  y   x 2 y  1  y  1 ; xy  1;  x    y  1  x   2 theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:  xy  1  2 Thay (1) vào (2) ta được:  y  1  y   2  y  1   y  y  1 4 y  y    y  x   2   y     x y   Vậy  x; y    3;  3 3  ,  x; y    3;      Câu (5 điểm) n Tính tổng S 2.1Cn  3.2Cn  4.3Cn   n( n  1)Cn Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có sáu chữ số khác Tính xác suất để chọn số có chữ số chẵn chữ số lẻ Lời giải S 2.1Cn2  3.2Cn3  4.3Cn4   n(n  1)Cnn uk k  k  1 Cnk k  k  1 Số hạng tổng quát: n  n  1  n   ! n!  k ! n  k  !  k   !   n   !  k   ! n  n  1 Cnk 22  k n  S n  n  1  Cn0  Cn1   Cnn 22  n  n  1 2n  2 Số phần tử không gian mẫu: n     A106  A95 136080 Gọi biến cố A : “Số đuợc chọn có chữ số chẵn chữ số lẻ” Trường hợp 1: Số chọn không chứa chữ số Lấy chữ số chẵn có C4 cách Lấy chữ số lẻ có: C5 cách Số hốn vị chữ số 6! 3 Suy số số tạo thành: C4 C5 6! 28800 Trường hợp 1: Số chọn có chứa chữ số Lấy chữ số chẵn khác có C4 cách Lấy chữ số lẻ có: C5 cách Số hốn vị khơng có chữ số đứng đầu là: 6! 5! 5.5! Số số tạo thành: C4 C5 5.5! 36000 Suy ra: n  A  28800  36000 64800 Xác suất xảy biến cố A là: Câu (5 điểm) lim Tìm n2  n  n 4n  3n  2n P  A  n  A  64800 10   n    136080 21  x   x  x  17  y  y    x  y  y  21  2 y  x Giải hệ phương trình  Lời giải n2  n  n lim 4n  3n  2n lim  4n  3n  2n 3n  n n2  n  n   2 4n  3n  2n n lim lim    3 n2  n  n    1 n   4    x   x  x  17  y  y   1   x  y  y  21  2 y  3x    Điều kiện: y 0, y  3x 0  1   x  y    x  x  17    x  y  4  y  0   x  y  4   x  4  y2 x  x  17  y     x   y  0 0   x  y     2   x  x  17  y  x  x  17  y     x   y  x   y  y x  1 (Vì:  x   y x  x 17  y 1   x  4 1   x  4  y 1  y x  x  17  y   x, y ) Thay y  x  vào (2) ta được:  2    x  x   x  25  2 x  16   x4   0    x  25   x   x  16 0 1 x  12    x    0 x  25  x   x  16   x4 2  x 0  y 4 ( t/m)  1 x  12    0  3  x   x  25  x   x  16 Do x   y 0  x   x   nên (3) vô nghiệm Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   0;   1  Chú ý: Ta giải (1) sau: x4  x  4 1  y  y 1 Xét hàm số f t Do Câu f  t  t  t  f  t  1  có t t 1  t 1  t t 1  0, t    1  f  x    f  y   x   y đồng biến  nên A  3;  B  1;  (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm G , đỉnh , , đỉnh C thuộc đường thẳng d : x  y  0 Biết diện tích tam giác GAB bằng đơn vị diện tích, tìm tọa độ đỉnh C Lời giải  Ta có: BA  2;  , AB 2 Phuơng trình đuờng thẳng AB : x y   x  y  0 1 C  d : x  y  0  C    2t ; t  Khoảng cách từ C đến AB : d  C ; AB   3t Gọi G trọng tâm tam giác ABC SGAB 3 nên S ABC 3SGAB 9 Do Vậy Câu d  C ; AB  AB 9   t 3  C   7;3   t   C  5;  3 C   7;3 C  5;  3 , (4 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn BC 2a đáy bé AD a , AB b Mặt bên SAD tam giác đều, M điểm di động AB Mặt phẳng  P qua M song song với SA , BC Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng  P  Thiết diện hình gì? x  AM ,   x  b  Tính diện tích thiết diện theo a, b Tìm x theo b để diện tích thiết diện lớn Lời giải S Q P B C M N A D Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng Do SA//  P  nên cắt SB Q  P cắt  SAB   P  Thiết diện hình gì? theo giao tuyến đường thẳng qua M , song song với SA BC //  P   P  cắt  ABCD  theo giao tuyến đường thẳng qua M , song song với Do nên BC cắt CD N  P cắt  SBC  theo giao tuyến đường thẳng qua Q , song song với BC cắt SC P Khi thiết diện hình chóp cắt  P hình thang MNPQ ( MN //PQ ) Do MN //BC , MQ //SA nên ( MNPQ)//( SAD) suy PN //SD     Khi PNM SDA 60 , QMN SAD 60 (hai góc có cặp cạnh tương ứng song song) nên MNPQ hình thang cân Tính diện tích hình thang MNPQ P N Ta tính MQ  NP  Từ tính QK  Q K b x 2.a.x ab  ax a, PQ  ; MN  b b b ab  a.x b Suy diện tích MNPQ là: S MNPQ  M 3.a MN  PQ QK     b  x   b  3x  4b 2 Ta có S MNPQ 3.a 3.a  3b  3.x  b  3.x  3.a  b  x b  x         4b 12b   Dấu “=” xảy Vậy S MNPQ x b đạt giá trị lớn  x b