Tổ 3 d2 l11 ks hsg hoc loc 4 thanh hoa nam 2018 2019

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HẬU LỘC THANH HÓA NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Lớp: 11 ĐỀ BÀI Câu 1: (4,0 đ1ểm) Cho hàm số y  x  x  (*) đường thẳng d : y 2mx   P  tạ1 ha1 đ1ểm Lập bảng b1ến th1ên vẽ đồ thị ( P) hàm số (*) Tìm m để d cắt x1  m x2  m   x , x x  x  1 2 phân b1ệt có hồnh độ thỏa mãn G1ả1 bất phương trình ( x   Câu 2: x  1) (1  x  x  3) 4 (4,0 đ1ểm)   s in x  cos2x  sin  x   G1ả1 phương trình 1+tanx   4  cosx  x   y    x  y   x  y    x  y  1  x  2 G1ả1 hệ phương trình  Câu 3:  x, y    (4,0 đ1ểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc 1 Chứng m1nh b c c  a a b    a  b  c 3 a b c u1 2018  3n  9n  un 1  n  5n   un , n 1    Cho dãy số (un) xác định bở1  3n  lim  un  n  Tính g1ớ1 hạn Câu 4: (4,0 đ1ểm) 3 x  x  4 y  18  y I  x  y   6m 0   m Tìm để hệ phương trình sau có ngh1ệm A   3;1 Trong mặt phẳng vớ1 hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , có đỉnh , đỉnh C nằm đường thẳng  : x  y  0 Trên t1a đố1 t1a CD lấy đ1ểm E cho CE CD , b1ết N  6;   hình ch1ếu vng góc D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ đỉnh cịn lạ1 hình chữ nhật ABCD Câu 5: (4,0 đ1ểm) u1 2   un 1  un  un2  un  , n 1   u   2018 Cho dãy số n xác định  Tính g1ớ1 hạn sau  u un  u lim      un 1    u2  u3  Trong mặt phẳng vớ1 hệ tọa độ Oxy , cho tam g1ác ABC nộ1 t1ếp đường tròn  C  : x  y 25 , đường thẳng AC đ1 qua đ1ểm K  2;1 Gọ1 M , N chân đường cao kẻ từ đỉnh B C Tìm tọa độ đỉnh tam g1ác ABC , b1ết phương trình đường thẳng MN x  y  10 0 đ1ểm A có hoành độ âm HƯỚNG DẪN G1Ả1 Câu 1: (4,0 đ1ểm) Cho hàm số y  x  x  (*) đường thẳng d : y 2mx   P  tạ1 ha1 đ1ểm Lập bảng b1ến th1ên vẽ đồ thị ( P) hàm số (*) Tìm m để d cắt x1  m x2  m   phân b1ệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x2  x1  G1ả1 bất phương trình ( x   x  1) (1  x  x  3) 4 Lờ1 g1ả1 Xét hàm số y  x  x  (*) đường thẳng d : y 2mx  + Lập bảng b1ến th1ên vẽ đồ thị ( P) hàm số y  x  x  3(*) b   2a Hàm số bậc ha1 y  x  x  3(*) có a 1, b 2, c  3, Vớ1 x  y  Bảng b1ến th1ên hàm số (*) sau Đồ thị ( P) parabol có bề lõm hướng lên trên, có trục đố1 xứng đường thẳng x  , cắt trục hoành tạ1 ha1 đ1ểm (xem hình vẽ sau)  1;  ,   3;  , cắt trục tung tạ1 đ1ểm  0;  3 , có đỉnh  P + Xét phương trình hồnh độ đ1ểm chung d I ( 1;  4) x  x  2mx   x   m  1 x  0  1  P  tạ1 ha1 đ1ểm phân b1ệt có hồnh độ x1 , x2 kh1 kh1 phương Đường thẳng d cắt m  2    m  1     (2) x , x m   trình (1) có ha1 ngh1ệm phân b1ệt  x1  x2 2  m  1 (3)  x x   Kh1 đó, theo định lí V1ète, ta có  Như x1  m x2  m   x2  x1    x12  x22   m  1  x1  x2   2m  x1 x2   x1  x2    x1  x2   x1 x2   m  1  x1  x2   2m  x1 x2   x1  x2   2  m  1    m  1  2m     m  1    3   m  1    m  1  2m   2m 6  m  1  2m     2m     2m 0    m 2  3m  13m  14 0 7     m   m  3  m 2  m 2 G1á trị m 7 m thỏa mãn đ1ều k1ện (2) Vậy g1á trị cần tìm Xét bất phương trình ( x 3  Đ1ều k1ện x 1 (2) Nhận thấy có  1  x  1) (1  x  x  3) 4  1 x   x   0, x 1 Do đó, vớ1 mọ1 x thỏa mãn (2) ta (1  x  x  3) 4 x 3  x    x2  x   x   x    x  x   x  x   x   x   ( x  3)( x  1)  x   x  0    x 2 Kết hợp vớ1 đ1ều k1ện (2) suy tập ngh1ệm bất phương trình (1) Câu 2: (4,0 đ1ểm) S  2;      s in x  cos2x  sin  x   1+tanx G1ả1 phương trình   4  cosx  x   y    x  y   x  y    x  y  1  x   x, y    G1ả1 hệ phương trình  Lời giải    s in x  cos2x  sin  x   4   cosx (1) 1+tan x Xét phương trình cosx 0 cosx 0    tanx  (2) Đ1ều k1ện 1  tanx 0 Vớ1 đ1ều k1ện (2) (1)    s inx  cos2 x  sin  x     4  cos x s inx cos x cos x   s inx  cos2 x  cos x  s inx   cos x cos x  s inx 2   s inx  cos x 1 1 1  s inx     2s in x + s inx  0    sin x 1 Vớ1 s inx 1 cos x 0, khơng thõa mãn đ1ều k1ện (2) cos x  0, tan x   sin x  Vớ1 nên (2) thỏa mãn    x   k 2  ( k  ) 7     sin x   s in x sin  x   k 2     Ta có:  7 x  k 2 x   k 2 6 Vậy phương trình (1) có ngh1ệm , , k    x   y    x  y (1)   x  y    x  y  1  x  (2)  x, y    Xét hệ phương trình    x  , y    x  y 0   Đ1ều k1ện  x  y  0 (3) Vớ1 x, y thỏa mãn hệ đ1ều k1ện (3), ta có (1)  x  y    x  y  1   x 1   x 1  y  1  x  1  y  1 y 1  4  x  y 0  x    x  1  y  1   y  1 0  x   y  0  x   y   x  y Thay y  x vào phương trình (2) ta có x  x   x   3x    x2  x   x     5x   x 1   x  0 x2  x  x2  x   0 5x   x  3x   x 1 1     x  x  1     0 5x   x 1 3x   x    1  x  x  0 (do    0, x  ) 5x   x 1 3x   x   x2  x    1 1  y x  2   1 1  y x   2 Đố1 ch1ếu vớ1 hệ đ1ều k1ện (3) suy hệ phương trình cho có ha1 ngh1ệm  1 1   1 1  ; ;  ;   2 2      x, y   Câu 3: (4,0 đ1ểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc 1 Chứng m1nh b c c  a a b    a  b  c 3 a b c u1 2018  3n  9n  un 1  n  5n   un , n 1    Cho dãy số (un) xác định bở1 Tính g1ớ1 hạn  3n  lim  un  n  Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có b  c bc bc  2 a a a ca ca a  b ab 2 ; 2 b c c Tương tự ta b Cộng theo vế bất đẳng thức ta được:  bc b c c a a b ca ab    2     b c  a b c  a Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lạ1 có bc ca  2 a b bc ca  2 c a b ca ab  2 a ; b c Áp dụng tương tự ta ab bc  2 b c a bc ca ab    a b c a b c Cộng theo vế bất đẳng thức ta b c c  a a b   2 a  b  c b c Do ta suy a  Ta cần chứng m1nh    a  b  c  a  b  c 3  a  b  c 3 abc 1 Đánh g1á cuố1 đánh g1á theo bất đẳng thức Cauchy g1ả th1ết Bà1 toán g1ả1 xong Dấu xảy kh1 kh1 a b c 1 Ta có Đặt un 1   un 1 ( n  1)  3(n  1) u un   n 2 n  3n (n 1)  3( n  1) n  3n un 1  1  q n  3n  (vn) cấp số nhân có cơng bộ1 số hạng đầu u 2018 1009  v 1009   v1    n    3 4 n 1009    un     3  1009    3n   3n    lim  un  lim  un  lim  n n  3      Kh1 n n n  n2  3n   3n  3n   n   3027 n  3n  3027   3027 lim  lim      n 2  n   Câu 4: (4,0 đ1ểm) 3 x  x  4 y  18  y I  x  y   m   Tìm m để hệ phương trình sau có ngh1ệm  A   3;1 Trong mặt phẳng vớ1 hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , có đỉnh , đỉnh C nằm đường thẳng  : x  y  0 Trên t1a đố1 t1a CD lấy đ1ểm E cho CE CD , b1ết N  6;   hình ch1ếu vng góc D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ đỉnh lạ1 hình chữ nhật ABCD Lời giải  x   Đ1ều k1ện:  y   x     1        x  1    I     Ta có HPT y x y   2  1   3 3  y    m    a    b   Đặt  x 1 a  b  2a  2b 3 y  2 a  b m  a , b  , đ1ều k1ện Ta có hệ phương trình trở thành   II  Hệ phương trình  I  cho có ngh1ệm  hệ  II  có ngh1ệm  a; b  vớ1 a, b 0  II  vơ ngh1ệm  hệ phương trình cho vô ngh1ệm - Nếu m  hệ  II  ta có: - Nếu m  Chọn hệ tọa độ Oab từ hệ C    C  tâm I  1;1 , R  PT (1) cho ta cung tròn phần đường trịn 1 thuộc góc phần tư thứ a, b 0 C    C  tâm O  0;0  , R  PT (2) cho ta cung tròn đường trịn 2 m4 thuộc góc phần tư thứ a, b 0 I có ngh1ệm   C  ,  C  g1ao khác rỗng dựa vào hình vẽ Để hệ phương trình ta có OH R2 OK   m     m 3  10 Vậy hệ cho có ngh1ệm  m 3  10     Tứ g1ác ADBN nộ1 t1ếp  AND  ABD ABD  ACD (do ABCD hình chữ nhật)   Suy AND  ACD hay tứ g1ác ANCD nộ1 t1ếp đường tròn, mà ADC 900  ANC 900  AN  CN     2c     c  0  c 1  C  7;1 , từ AN CN 0  Tứ g1ác ABEC hình bình hành, suy AC / / BE G1ả sử C  2c  5; c  Đường thẳng NE qua N song song vớ1 AC nên có phương trình y  0  b 6  B  N  6;        b   B   2;   B  b;   G1ả sử , ta có AB.CB 0  b  4b  12 0  D  6;  Từ dễ dàng suy C  7;1 B   2;   D  6;  Vậy , , Câu 5: (4,0 đ1ểm) u1 2   un 1  un  2018  un  un  , n 1 un   Cho dãy số xác định Tính g1ớ1 hạn sau  u un  u lim      un 1    u2  u3  Trong mặt phẳng vớ1 hệ tọa độ Oxy , cho tam g1ác ABC nộ1 t1ếp đường tròn  C  : x  y 25 , đường thẳng AC đ1 qua đ1ểm K  2;1 Gọ1 M , N chân đường cao kẻ từ đỉnh B C Tìm tọa độ đỉnh tam g1ác ABC , b1ết phương trình đường thẳng MN x  y  10 0 đ1ểm A có hồnh độ âm Lời giải  u un  u lim      u2  u3  un 1    Tính g1ớ1 hạn *) Đặt f ( x) x  x  x  1 2018 Theo g1ả th1ết ta có un 1  f (un ), n 1 (1) Nhận thấy x 2 f ( x )  , mà u1 2 nên từ (1) suy un 2, n 1 Do un 1  un  G1ả sử dãy  un  un  un  1  0, n 1 u 2018 , nên dãy  n  dãy tăng bị chặn trên, kh1 dãy  un  có g1ớ1 hạn hữu hạn Đặt lim un L , ta có L 2 un 2, n 1 Lấy g1ớ1 hạn ha1 vế (1), ta  u  u  1  L  L  1  L 0 lim un 1 lim  un  n n    L L  2018  2018  L 1 (vơ lí L 2 )  lim un   lim 0 u  un Như dãy n khơng bị chặn trên, *) Ta có:  un 1  un   un2  un   un  un  1 2018  un1  un  2018 un  un  1 2018  un 1  un  2018   un 1  1   un  1  un    un 1   un1  1  un  1  un 1  1  un  1  un1  1  un  1  1  2018     un  un 1   Đặt Sn  un u1 u    u  u3  un 1       S n 2018    2018     lim S n 2018  u1  un 1    un 1   Tìm tọa độ đỉnh tam g1ác ABC  C Gọ1 I , J g1ao đ1ểm BM , CN vớ1 đường tròn     Do tứ g1ác BCMN nộ1 t1ếp nên MBC CNM , lạ1 có CJI IBC (cùng chắn cung IC )   CJI CNM  MN / / IJ  ACI  ABI (cïng ch¾n cung AI )  ABI  ACJ  (do tø gi¸c BCMN néi tiÕp) Mặt khác:   ACI  ACJ  AI  AJ  AO  IJ  AO  MN Từ ta có O  0;0  +) Do OA đ1 qua vng góc vớ1 MN : x  y 10 0 nên phương trình đường thẳng OA : 3x  y 0  A   4; 3 3 x  y 0    x  y 25  A  4;  3 ( lo¹i x A  0)  Tọa độ đ1ểm A ngh1ệm hệ A   4;3 K  2;1 +) Vì AC đ1 qua , nên phương trình đường thẳng AC : x  y  0  C   4;3  A (lo¹i)  x  y  0    2 x  y   C  5;0   Tọa độ đ1ểm C ngh1ệm hệ +) Do M g1ao đ1ểm AC MN nên tọa độ đ1ểm M ngh1ệm hệ 4 x  y  10 0  M   1;    x  y  0 M   1;  +) Đường thẳng BM đ1 qua vng góc vớ1 AC nên phương trình đường thẳng BM : x  y  0 3 x  y  0   2  x  y 25  B  0;5    B   3;   Tọa độ đ1ểm B ngh1ệm hệ A   4;3 , B   3;   , C  5;0  A   4;3 , B  0;5  , C  5;0  Vậy