TRƯỜNG THPT HẬU LỘC TỔ: Toán KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN Năm học: 2018 - 2019 ĐỀ KIỂM TRA LẦN Mơn thi: TỐN - Lớp 11 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu Số báo danh …………………… Câu I (4,0 điểm) Cho hàm số y x x (*) đường thẳng d : y 2mx Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số (*) Tìm m để d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh x1 m x2 m 6 độ x1 ; x2 thỏa mãn x2 x1 Giải bất phương trình ( x x 1) � (1 x2 2x 3) �4 Câu II (4,0 điểm) � s inx cos2x sin � �x � 1 Giải phương trình � � cosx 1+tanx � � x 1 y 1 x 5y x, y �� Giải hệ phương trình � x y x y x � � Câu III (4,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh b c a c a b a b c � a b c3 u1 2018 � �3n � � Cho dãy số (un) xác định � Tính giới hạn lim � un � 3n 9n un1 n 5n un , n �1 �n � � Câu IV (4,0 điểm) � x x y 18 y � Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm � 3x y 6m � Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, có đỉnh A 3;1 , đỉnh C nằm đường thẳng : x 2y Trên tia đối tia CD lấy điểm E cho CE CD , biết N 6; 2 hình chiếu vng góc D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình chữ nhật ABCD Câu V (4,0 điểm) Cho dãy số un u1 � �u un � u � xác định � Tính lim � � un 1 � un 1 un un un , n �1 �u2 u3 � 2018 � 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn C : x y 25 , đường thẳng AC qua điểm K 2;1 Gọi M, N chân đường cao kẻ từ đỉnh B C Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng MN 4x y 10 điểm A có hồnh độ âm .Hết Câu I 4,0 điểm ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM NỘI DUNG Cho hàm số y x x (*) đường thẳng d : y 2mx Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số (*) Tìm m để d cắt (P) hai điểm x1 m x2 m 6 phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x2 x1 Điểm 2.0 + Lập bảng biến thiên vẽ (P): y x x �x 1 � I 1; 4 ta có đỉnh I : � �y 4 Ta có bảng biến thiên: -1 0.50 đồ thị parabol có bề lõm hướng lên có trục đối xứng đường thẳng x 1 cắt trục hoành điểm 1;0 ; 3;0 cắt trục tung điểm 0; 3 Ta có đồ thị hàm số: y 0.50 -1 -3 O x -4 �x1 �1 Đk: � �x2 �1 2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm x x 2mx � x m 1 x (1) d cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 � phương trình (1) có hai nghiệm � � m 1 m2 � m 2m � � �� �� phân biệt x1 , x2 �1 � � m0 2m �0 m 1 �0 � � � �x1 x2 m 1 theo định lí viet ta có � �x1.x2 0.50 x12 x22 m 1 x1 x2 2m x1 m x2 m 6 � 6 Ta có x2 x1 x1 x2 x1 x2 x x � 2 x1 x2 m 1 x1 x2 2m m 1 m 1 2m 6 � 6 x1 x2 x1 x2 1 m 1 2 m2 � � � m 1 2m 6 2m � 3m 13m 14 � � m � kết hợp với điều kiện ta m () Giải bất phương trình ( x x 1) � (1 x2 2x 3) �4 2 4� (1 x2 2x 3) ()۳�� x 3 x x2 2x x x 0.50 � 1 x2 2x x2 2x �x x 1 (x 3)(x 1) II 4,0 điểm x 2.0 0.50 0.50 Điều kiện: x �1 Suy ra: x x � �� x2 0.50 x �2 2; � � Kết luận: Kết hợp với điều kiện ta tập nghiệm bất phương trình S � � � s inx cos2x sin � �x � 1 Giải phương trình � � cosx 1+tanx � x � k cosx �0 cosx �0 � � � � �� Điều kiện : � � tanx �0 � �tanx �1 �x � k � � s inx cos2 x sin � �x � � � Pt � cos x s inx 1 cos x cos x s inx cos2 x cos x s inx � cos x cos x s inx 2 1 � s inx cos x � 2s in x+ s inx � s inx s inx (loại) � x k 2 � � � , k �Z Với sin x � s inx sin � �� � �6 � � 7 x k 2 � � k 2 ; Kết hợp với điều kiện ta nghiệm phương trình là: x 7 x k 2 với k �Z 0.50 � � x y x 5y 2.Giải hệ phương trình � � �x y 2x y 1 3x 2.0 x, y �� 2.0 0.50 0.50 0.50 0.50 � x � , y �1 � � Điều kiện : �4 x 5y �0 � � �2x y �0 0.50 Từ phương trình thứ hệ ta có : x y x 5y � x y � x 2y � x 1 y 1 x 1 y 1 � x 1 x 1 y 1 x 5y x 1 y 1 y 1 0.50 x 1 y 1 � x 1 y 1 � x y Thay x y vào phương trình thứ hai hệ ta có phương trình : x x 5x 3x � x x x 5x x 3x � x2 x 1 0.50 x2 x 1 x2 x 1 0 5x x 3x x 1 � � � x2 x 1 � 1 � 3x x � � 5x x � 1 1 x �y � 2 � x2 x 1 � � � 1 1 x �y � � 2 1 , x � Đối chiều điều kiện ta có nghiệm Vì 5x x 3x x � � � �� 1 1 � � � ; ; ; hệ : x, y �� � � � � � �� � 2 � � � �� � III 4,0 điểm Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc Chứng minh b c a c a b a b � a b c3 c bc bc � 2 a a a c a b 2.0 b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Tương tự ta 0.50 �2 0.50 ca a b ab ; �2 b c c Cộng theo vế bất đẳng thức ta b c a c a b � bc ca ab � �2� � � � a b c c � � a b Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có bc ca �2 a b bc ca � 2 c a b 0.50 Áp dụng tương tự ta ca ab �2 a; b c ab bc �2 b c a Cộng theo vế bất đẳng thức ta 0.50 bc ca ab � a b c a b c Do ta suy b c a c a b a b c �2 a b c Ta cần chứng minh a b c � a b c 3� a b c �3 Đánh giá cuối đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy giả thiết abc Bài toán giải xong Dấu xảy a b c u1 2018 � � Cho dãy số (un) xác định � 3n 9n un1 n2 5n un , n �1 � 0.50 2.0 �3 � Tính giới hạn lim � un � �n � n un 1 (n 1) 3(n 1) un un � 2 n 3n (n 1) 3( n 1) n 3n u 1 Đặt n � 1 (vn) cấp số nhân có cơng bội q số hạng đầu n 3n 3 n 1 n 1 u 2018 1009 1009 �1 � 1009 �1 � v1 � � � � un � � n 3n 4 2 �3 � �3 � Ta có un 1 IV 4,0 điểm 0.50 0.50 n 1 � �3n � �3n � 1009 �1 � 3n � � n 3n � Khi lim � un � lim � un � lim � �2 � n � �3 � �n � �n � � � 0.50 �3027 n 3n � 3027 � � 3027 lim � lim � � � n � n� �2 � 0.50 � x x y 18 y � Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm � x y 6m � 2.0 �x �2 Đk: � �y �6 � x y �x � �y � 1 2 3 � � 1� � � 2 � �2 � �3 � Ta có pt(1) � � �x � �y � � � 1� � � m � �2 � �3 � � � x 1 �a � a b 2a 2b � a , b � Đặt � (đk ) Ta có hệ phương trình � (*) a b2 m y � � b 2 � � Hệ phương trình cho có nghiệm � hệ (*) có nghiệm a, b �0 Nếu m �4 hệ (*) vơ nghiệm � hệ phương trình cho vô nghiệm Nếu m Chọn hệ tọa độ Oab ta có Pt(1) cho ta đường tròn C1 tâm I 1;1 , R1 ( a, b �0 ) Pt(2) cho ta đường tròn C2 tâm O 0;0 , R2 m ( a, b �0 ) Hệ phương trình có nghiệm � C1 cắt C2 ۣ�+ ۣOH �+� � R2 OK m 5 m 10 Vậy hệ cho có nghiệm � �m �3 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD, có đỉnh A 3;1 , đỉnh C nằm đường thẳng : x 2y Trên tia đối tia CD lấy điểm E cho CE CD , biết N 6; 2 hình chiếu vng góc D lên đường thẳng BE Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình chữ nhật ABCD 0.50 0.50 0.50 0.50 2.0 Tứ giác ADBN nội tiếp � � AND � ABD � ABD � ACD (do ABCD hình chữ nhật) Suy � AND � ACD hay tứ giác ANCD nội tiếp đường tròn, mà � ADC 900 � � ANC 900 � AN CN 0.50 uuuur uuuu r Giả sử C 2c 5; c , từ AN CN � 2c c � c � C 7;1 Tứ giác ABEC hình bình hành, suy AC / / BE Đường thẳng NE qua N song song với AC nên có phương trình y 0.50 � b � B �N lo� i uuur uuur � B b ; A B C B � b b 12 � , ta có Giả sử � b 2 � B 2; 2 � 0.50 Từ dễ dàng suy D 6;4 0.50 Vậy C 7;1 , B 2; 2 , D 6;4 V 4,0 điểm u1 � � Cho dãy số un xác định � un 1 un un2 un , n �1 � 2018 � �u un � u Tính lim � � un 1 � �u2 u3 Theo giả thiết ta có: un 1 un un 1 2018 2.0 un mà u1 suy 0.50 u1 u2 u3 dãy un dãy tăng un L với L �2 Giả sử dãy un bị chặn suy lim n �� lim un 1 lim L0 � un2 2017un L2 2017 L �L �� L 1 2018 2018 � Vô lý L �2 Suy dãy un khơng bị chặn lim un �� lim 0.50 0 un Ta có: un 1 un un2 un � un un 1 2018 un 1 un 2018 0.50 un un 1 2018 un 1 un un � un 1 un1 1 un 1 un1 1 un 1 2018 un 1 un 1 un1 1 un 1 �1 � 2018 � � un un 1 � � 0.50 Đặt : Sn un u1 u u u3 un 1 �1 � � � � S n 2018 � 1 � 2018 � �� lim S n 2018 �u1 un 1 � � un 1 � Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn C : x y 25 , đường thẳng AC qua điểm K 2;1 Gọi M, N chân đường 2.0 cao kẻ từ đỉnh B C Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng MN 4x y 10 điểm A có hồnh độ âm Gọi I, J giao điểm BM, CN với đường tròn C Do tứ giác BCMN nội tiếp nên � I I�BC (cùng � � , lại có CJ MBC CNM chắn cung IC) � I CNM � CJ � MN / / I J � �ACI � ABI � � Lại có �J�BA J�CA �� � � ) ABI J�CA(doNBM NCM � � � J�BA I�CA � AI AJ 0.50 � AO J I � AO MN Từ ta có: +) Do OA qua O 0;0 vuông góc với MN : 4x 3y 10 nên Phương trình đường thẳng OA : 3x y � A 4;3 �� A 4; 3 � �x y 25 � 3x y � +) Tọa độ điểm A nghiệm hệ � 2 lo�i 0.50 +) Do AC qua A 4;3 K 2;1 , nên phương trình đường thẳng AC : x 3y C 4;3 �A lo� i �x y � �� Tọa độ điểm C nghiệm hệ � 2 C 5;0 � �x y 25 � +) Do M giao điểm AC MN nên tọa độ điểm M nghiệm hệ 4x 3y 10 � � M 1;2 � �x y 0.50 B 0;5 3x y � � �� Tọa độ điểm B nghiệm hệ � 2 B 3; 4 � �x y 25 � 0.50 +) Đường thẳng BM qua M 1;2 vng góc với AC nên phương trình đường thẳng BM : 3x y Vậy A 4;3 , B 3; 4 , C 5;0 A 4;3 , B 0;5 , C 5;0 Hết ... 2018 un 1 un 1 un1 1 un 1 �1 � 2018 � � un un 1 � � 0.50 Đặt : Sn un u1 u u u3 un 1 �1 � � � � S n 2018 � 1 � 2018 � �� lim S n 2018. .. L 1 2018 2018 � Vô lý L �2 Suy dãy un khơng bị chặn lim un �� lim 0.50 0 un Ta có: un 1 un un2 un � un un 1 2018 un 1 un 2018 0.50 un un 1 2018 un 1... 2 � 0.50 Từ dễ dàng suy D 6 ;4? ?? 0.50 Vậy C 7;1 , B 2; 2 , D 6 ;4? ?? V 4, 0 điểm u1 � � Cho dãy số un xác định � un 1 un un2 un , n �1 � 2018 � �u un � u Tính lim �