De thi chon hsg toan 11 nam 2018 2019 truong thpt thi xa quang tri hoan chinh (1)

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ (Đề thi có 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NGÀY 03 THÁNG NĂM 2019 Thời gian làm bài: 180 phút, không thể thời gian phát đề Họ và tên: ………………… ………………………SBD:…………………… 2 Câu I.1 Giải phương trình: sin x.cos x  sin x 0 CâuI.2 Cho x1 x2 hai nghiệm phương trình: x  3x  a 0 , x3 x4 hai nghiệm phương trình: x  12 x  b 0 Biết x1 , x2 , x3 , x4 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm a, b Câu II.1 Cho k số tự nhiên thỏa mãn: k 2014 Chứng minh rằng: k k1 k k C50 C2014  C51.C2014   C55 C2014 C2019 Câu II.2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: m    x   x  2  x   x   x Câu III Cho dãy số  un  u1 sin1; un un   sin n n , với n  , n 2 Chứng xác định bởi: u  minh dãy số n xác định dãy số bị chặn Câu IV Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh a tam giác BCD cân D với a DC  Chứng minh rằng: AD  BC Gọi G trọng tâm tam giác BCD , tính cosin góc hai đường thẳng AG CD , biết góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( BCD) 30 Câu V A  2;1 , B  1;   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC , với , trọng tâm G tam giác nằm đường thẳng x  y – 0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC 27 2 CâuVI Cho số dương a, b, c thỏa mãn: a  b  c 3 Chứng minh rằng:      1  2     1 3  a  b  c   2  a b  b c  c a  Đẳng thức xảy nào? HẾT Trang 1 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ (Đề thi có 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 NGÀY 03 THÁNG NĂM 2019 Thời gian làm bài: 90 phút, không thể thời gian phát đề Họ và tên: ………………… ………………………SBD:…………………… LỜI GIẢI CHI TIẾT 2 Câu I.1 Giải phương trình: sin x.cos x  sin x 0 Lời giải Cách 1: Tác giả: Dương Đức Tuấn ; Fb: Dương Tuấn Ta có: sin 3x 3sin x  4sin x sin x   4sin x  sin x   cos x  sin x.cos x  sin x 0   sin x   cos x   cos x  sin x 0   Vậy ta có:  sin x    cos x  cos x 1 0  sin x  cos x  cos 2 x  cos x 1 0    x k  sin x 0 k  sin x  cos x  1  cos x  1 0     x   cos x -1  x   k  k x với k   Vậy nghiệm phương trình là: 2 Cách 2: Tác giả:Phạm Hữu Thành ; Fb: Phạm Hữu Thành 2 Ta có: sin x cos x  sin x 0   cos x  cos x cos x  0 2  cos x  cos x cos x   cos x 0  cos x cos x  0  cos8 x  cos x  0  cos x  cos x  0   cos x  1  cos x  3 0  cos x  0  cos x   x     cos x 1  x k 2  x k  ,k  Câu I.2 Cho x1 x2 hai nghiệm phương trình: x  x  a 0 , x3 x4 hai nghiệm phương trình: x  12 x  b 0 Biết x1 , x2 , x3 , x4 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm a, b Lời giải Tác giả: Phạm Huyền; FB: Phạm Huyền Trang 2 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Gọi q công bội CSN  x2  x1q; x3  x1q ; x4  x1q Theo viet ta có:  x1  x2 3  x x a     x3  x4 12  x3 x4 b (1)  x1 (1  q ) 3  x x a (2)    x1q (1  q ) 12 (3)  x x b (4)  Từ (1) (3) suy q 4 + q 2 từ (3) suy x1 1 , giải a 2; b 32 + q  từ (3) suy x1  , giải a  18; b  288 Câu II.1 Cho k số tự nhiên thỏa mãn: k 2014 Chứng minh rằng: k k1 k k C50 C2014  C51.C2014   C55 C2014 C2019 Lời giải Tác giả: Đinh Thị Phương Trâm, Facebook: trâm đinh 2014 ( x 1) 2019 Ta có: ( x  1) ( x  1) 2 3 4 5 Đặt M ( x  1) C5  C5 x  C5 x  C5 x  C5 x  C5 x k 2014 2014 N ( x  1) 2014 C2014  C2014 x  C2014 x   C2014 x k   C2014 x k 2019 2019 P ( x  1) 2019 C2019  C2019 x  C2019 x   C2019 x k   C2019 x k Vì P M N nên số hạng chứa x P có dạng: k k k1 k1 k k k k C2019 x k C50 C2014 x k  C51 x C2014 x  C52 x C2014 x  C55 x C2014 x k k1 k k k k k C50 C2014 x k  C51.C2014 x  C52 C2014 x   C55 C2014 x (*) k k1 k k Thay x 1 vào (*) ta có: C5 C2014  C5 C2014   C5 C2014 C2019 Câu II.2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: m    x   x  2  x   x   x Lời giải Tác giả: Vĩnh Tín, FB: Vĩnh Tín Điều kiện xác định phương trình:  x 1 2  1;1 Đặt t   x   x Khi t liên tục  t 0  t 2   x 2  t   0;  Phương trình trở thành: Xét f (t )  m(t  2)  t  t   m   t2  t  t 2  t2  t  ; t   0;   0;   t 2 ta có f (t ) liên tục   t  4t f '(t )   0, t  0; (t  2)    f (t ) nghịch biến  0;  Vậy phương trình cho có nghiệm thực f ( 2)   m 1  f (0) Trang 3 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Câu III Cho dãy số  un  u1 sin1; un un   sin n n , với n  , n 2 Chứng xác định bởi: u  minh dãy số n xác định dãy số bị chặn Lời giải Tác giả: Cao Hoàng Nam; FB: Hoang Nam 1     2, n  N * n Ta có: , 1 1 1 1 1 1         1        2   2 n 1.2 2.3 n.( n  1) 2 n n n Vì sin1 sin sin n un     2 n Bằng qui nạp ta chứng minh được: 1        n 1 Suy : Vậy dãy số 1  *  un      2, n  N n   un  xác định dãy số bị chặn Câu IV Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cạnh a tam giác BCD cân D với a DC  Chứng minh rằng: AD  BC Gọi G trọng tâm tam giác BCD , tính cosin góc hai đường thẳng AG CD , biết góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( BCD) 30 Lời giải Tác giả:Bùi Thu Hương ; Fb:Cucai Đuong 1)Gọi M trung điểm BC, ta có: ABC nên AM  BC , DBC cân nên DM  BC  BC  ( AMD )  BC  AD ìï ( ABC ) È ( DBC ) = BC ïï ï AM Ì ( ABC ) , AM ^ BC í ïï ï DM Ì ( DBC ) , DM ^ BC 2) Ta có ïỵ nên góc hai mặt phẳng ( ABC ) ( BCD ) Trang 4 STRONG TEAM TỐN VD-VDC góc hai đường thẳng MA, MD Từđó, góc hai đường thẳng MA, MD 30 Kẻ GN / /CD , nối AN a a MD a  MG  , AM  ·DAM ABC nên +TH1: 30 , ta có: Áp dụng định lí cosin cho AMG : AG = AM + MG - AM MG.cos 300 2 æa ỉa a a 13a ÷ ç ÷ ç ÷ AG = ç + = ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố3 ứ ỗ 36 ố ứ a 13 CD a a , GN   ANC AN  6 Trong ANG ta có có - 5 cos ·AGN = cos  = 65 Gọi (·AG; CD) = a 65 có AG  · + TH2: AMD 1500 Tính tương tự ta có: Câu V cos = 13 A  2;1 , B  1;   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC , với , trọng tâm G tam giác nằm đường thẳng x  y – 0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC 27 Lời giải Tác giả: Cao Hoàng Nam; FB: Hoang Nam   1 M ;   2  Gọi C  a; b  , Gọi M trung điểm AB , ta có : a 3 b   a  b  1 G ;   0  a  b  0, (1)  d  3 3   suy , AB : 3x  y  0  d (C ; AB)  mặt khác 3a  b  10 , 3a  b  27 27 S  AB.d (C; AB)   10   3a  b  27,(2) 2 2 10 Diện tích Từ (1) (2) ta có hệ:  a 9  C  9;      a  b 4 b      3a  b 32    9  a    a  b 4  C   ; 17         17 2  3a  b  22   b   2 CâuVI Cho số dương a, b, c thỏa mãn: a  b  c 3 Chứng minh rằng:      1  2     1 3  a  b  c   2  a b  b c  c a  Đẳng thức xảy nào? Lờigiải Trang 5 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Tácgiả:HồVănThảo;Fb:ThảoThảo   a  b2 3  c    2   a2 b  c  2  a  c 3  b Ta có  , a  b  c 3 Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương: 4 4    a  2  a  4   a   2  a  2  3 a 3 a 3 a b c   c  a  b     c  2 Tương tự ta chứng minh được:  a  b Nhân vế theo vế bất đẳng thức chứng minh ta được:      1  2  1   1  a    b    c    2  a b  b c  c a  a Ta xét:     2    b     a   1  b   1  a  1  b  1  a  b  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: 2 2 a  b   a  b  a  b   a  b  ,     a b  2 3    a    b    c     a  b   3  c   2    a    b    a  b     a  b 2     a    b    c   3     1      2   a    b    c   3  a  b  c    2  c  3  a  b  1.c       2        2  1   1 3  a  b  c   2  b c  c a  Vậy nên  a  b Dấu " " xảy a b c 1 HẾT Trang 6