STRONG TEAM TOÁN VD VDCĐề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019p tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019nh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019p 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019ng Ngãi năm 2018-2019 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐNTIME: 180PHÚT ĐỀ BÀI Bài 1: (5,0 điểm)Giải phương trình sau: 2019 cos3 x sin x sin x 2.cos x a x 2 b Bài 2: x 1 3 x 3x (4,0 điểm) a Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm năm chữ số chọn từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn có mặt ba chữ số khác 0;1 b.Cho hàm số y f ( x ) liên tục Chứng minh phương trình f ( x ) f (1) f (0) x f (1) Bài 3: 0;1 có nghiệm thuộc (2,0 điểm) u1 1 2u un 1 n , n 1 un u Cho dãy số n thỏa mãn Tìm cơng thức số hạng tổng quát un dãy số cho Bài 4: (4,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AD 2a, AB a ; O giao điểm AC a SO ABCD Gọi M trung điểm BC BD , SO vng góc với Bài 5: Bài 6: SAD a Chứng minh đường thẳng SM vng góc với mặt phẳng SAD , tính sin b Gọi góc đường thẳng SC mặt phẳng (2,0 điểm) B ( - 3; 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC vuông A ,có đỉnh ,đường phân giác góc A có phương trình x + y - = Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC ,biết diện tích tam giác ABC 24 điểm A có hồnh độ dương (3,0 điểm) a Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c ab bc ca Tìm giá trị nhỏ biểu a2 b2 c2 P a b c a 3bc b 3ca c 3ab thức n, k , p với n, k số nguyên lớn p số nguyên tố thỏa b Tìm tất k mãn n n 2n 2n p Trang1 STRONG TEAM TOÁN VD VDCĐề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019p tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019nh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019p 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019ng Ngãi năm 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (5,0 điểm)Giải phương trình sau: 2019 cos3 x sin x sin x 2.cos x a Lời giải Tác giả: Fb: Nguyễn Ánh Dương Ta có: 2019 2.cos x 3 2.cos x 504 = 3 2.cos x = 2 cos x sin x 2 cos x sin x = = = cos x 2sin x 2 sin x cos x sin x cos x cos x sin x sin x = cos x cos x 2sin x cos x = 2 = cos x 2sin x cos x 2sin x cos x = cos x 4sin x cos x Do phương trình cho tương đương cos x 4sin x cos x 2 cos x 2sin x sin x cos x 2 sin x 2sin x 4sin x cos x 0 2sin x 2sin x cos x 1 0 2sin x sin x 1 0 sin x 0 sin x x k k Z x k x 2 b x 1 3 x 3x Lời giải Tác giả: Võ Huỳnh Hiếu ; Fb: Huỳnh Hiếu Đặt u x 2, v x với v 0 Khi đó,phương trình cho trở thành: u 2v 3uv u v u u v 2v 0 Trang2 STRONG TEAM TOÁN VD VDCĐề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019p tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019nh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019p 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019ng Ngãi năm 2018-2019 x 2 x N x x 5 L 2 x x 0 Với u v x x u v u u v 2v u v u 2v 0 u 2v 0 x x 0 Với x 2 x 2 x x 4 2 L x 4 2 N Kết hợp với điều kiện ,ta được: x 5 , x 4 2 x Bài 2: 5 , x 4 2 Vậy phương trình có nghiệm: (4,0 điểm) a Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm năm chữ số chọn từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn có mặt ba chữ số khác Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thủy ; Fb: Camtu Lan Ta có S 75 Xét phép thử: Chọn ngẫu nhiên số từ tập S 75 Suy số phần tử không gian mẫu Gọi A biến cố: “ số chọn có mặt ba chữ số khác nhau” Bước 1: Ta chọn ba chữ số khác từ tập S , có C7 cách chọn Bước 2: Ta chia thành hai trường hợp sau TH1: Trong ba chữ số chọn từ bước 1, có chữ số xuất ba lần, hai chữ số C31.5! lại chữ số xuất lần, có 3! cách TH2: Trong ba chữ số chọn từ bước 1, có chữ số xuất lần, hai chữ số C32 5! lại chữ số xuất hai lần, có 2!.2! cách C1.5! C 5! A C73 5250 2!.2! 3! Suy P A Vậy A 5250 750 2401 Trang3 STRONG TEAM TOÁN VD VDCĐề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019p tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019nh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019p 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019ng Ngãi năm 2018-2019 0;1 b.Cho hàm số y f ( x ) liên tục Chứng minh phương trình f ( x ) f (1) f (0) x f (1) 0;1 có nghiệm thuộc Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Tuấn ; Fb: Nguyễn Thanh Tuấn Ta viết lại phương trình đề bài: Đặt: f ( x ) f (1) f (0) x f (1) 0 g( x ) f ( x ) f (1) f (0) x f (1) Ta có: g(0) f (0) f (1) ; g(1) f (1) f (0) 0;1 g(0).g(1) f (0) f (1) 0 Nhận thấy g( x ) liên tục Bài 3: 0;1 Vì phương trình g( x ) 0 ln có nghiệm thuộc (đpcm) (2,0 điểm) u1 1 2u un 1 n , n 1 un u Cho dãy số n thỏa mãn Tìm cơng thức số hạng tổng quát un dãy số cho Lời giải Tác giả: Đinh Mạnh Thắng ; Fb: Dinh Thang Nhận xét: un 0 với n * u 4 n u u un n n Ta có: Đặt 1 Do un 1 1 1 1 1 2vn v 1 1 1 2vn 2 2 2 ta : , 1 1 1 1 2 22 2n v1 2 2 2 3 1 2n 2n 2 hay 2 Suy un Bài 4: 3.2 Vậy (4,0 điểm) n Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AD 2a, AB a ; O giao điểm AC a SO ABCD Gọi M trung điểm BC BD , SO vng góc với SAD a Chứng minh đường thẳng SM vng góc với mặt phẳng SAD , tính sin b Gọi góc đường thẳng SC mặt phẳng Lời giải Trang4 STRONG TEAM TOÁN VD VDCĐề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019p tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019nh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019p 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019ng Ngãi năm 2018-2019 a) Gọi N trung điểm AD AD MN AD SMN AD SM AD SO Ta có Mặt khác SM SN SO OM (1) a 2 MN a suy SM SN MN Theo định lý Pitago ta có SM SN (2) AD, SN SAD ; AD SN N Mà (3) SM SAD Từ (1), (2), (3) ta SAD Khi đó: CSH b) Gọi H hình chiếu vng góc C lên Do CM / / SAD Mặt khác d C , SAD d M , SAD CH MS SC SO OC sin Vậy Bài 5: nên a 2 a 5a a 4 CH a 2 SC a (2,0 điểm) B ( - 3; 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vng A , có đỉnh , đường phân giác góc A có phương trình x + y - = Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC , biết diện tích tam giác ABC 24 điểm A có hồnh độ dương Lời giải Tác giả:Phạm Minh Tuấn ; Fb:Bánh Bao Phạm Trang5 STRONG TEAM TOÁN VD VDCĐề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019p tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019nh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019p 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019ng Ngãi năm 2018-2019 Gọi d đường phân giác góc A B ( - 3; 2) Đường thẳng qua điểm vuông góc với đường thẳng d : x + y - = có phương trình là: x - y + = Gọi I = D Ç d Khi tọa độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình: ìïï x + y - = Û í ïỵï x - y + = ìïï x = í ïỵï y = ị I ( 1;6) Gi D ầ AC = B ¢ Tam giác ABB có AI vừa đường cao, vừa đường phân giác, Þ B ¢( 5;10) tam giác ABB cân A I trung điểm BB ¢ uuu r ìï AB = ( - - t ; t - 5) ï Þ ïí uuur A( t ;7 - t ) Ỵ d : x + y - = ( t > 0) ùùùợ AB Â= ( - t ; t + 3) Gọi , uuu r uuur AB ^ AC Þ AB AB ¢= Û ( - - t ) ( - t ) + ( t - 5) ( t + 3) = Û Vì ét = Þ A( 5;2) ê êt =- 3( l ) ê ë A( 5;2) B ¢( 5;10) Đường thẳng AC qua hai điểm có phương trình là: x - = uuu r ìï AB = ( - 8;0) ïï í uuu r ïï AC = ( 0; c - 2) C ( 5; c) Î AC : x - = Gọi Ta có ïỵ Theo ta có SD ABC = 24 Û Û AB AC = 24 c - = 24 Û éc = ê ê ëc =- Þ C ( 5;- 4) ( - - 7)( - + - 7) > nên hai điểm B C nằm Với c Khi đó: phía đường thẳng d (loại) Trang6 STRONG TEAM TOÁN VD VDCĐề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019p tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019nh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019p 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019ng Ngãi năm 2018-2019 Þ C ( 5;8) ( + - 7)( - + - 7) < nên hai điểm B C nằm khác Với c 8 Khi đó: C ( 5;8) phía đường thẳng d Điểm thỏa mãn ïìï AB = AB + AC + BC ï = 12 í AC = Þ p = ïï ï BC = 10 Ta có: ïỵ Mà S = p.r Û 24 = 12.r Û r = Vậy đường trịn nội tiếp tam giác ABC có bán kính r = Cách 1: Phương trình đường thẳng BC là: - 3x + y - 17 = H ( a;7 - a ) Ỵ d : x + y - = Gọi tâm đường trịn nội tiếp D ABC ïì d ( H ; AC ) = r Þ ïí Û ïï d ( H ; BC ) = r ỵ ïìï a - = ï Û íï - 3a + ( - a ) - 17 ïï =2 ïï ỵ ïìï a - = í ïï a - 11 = 10 ỵ ìï éa = ïï ê ïï êa = ïï ë Û í éa = Û a = Þ H ( 3;4) ïï ê ïï ê ïï êa = ïỵ ê ë 2 ( x - 3) +( y - 4) = Vậy phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC là: Cách 2: Sử dụng tính chất:Với H tâm đường trịn nội tiếp D ABC , ta có: uuu r uuu r uuur r BC.HA + AC.HB + AB.HC = uuu r ìï HA = ( - a;2 - b) ïï ìï 10.( - a ) + 6( - - a ) + 8( - a ) = r ï uuu H ( a; b) Þ ïí HB = ( - - a;2 - b ) Û íï Û ïï uuur ïï 10.( - b) + 6( - b) + 8( - b) = ỵ ïï HC = ( - a;8 - b) ï ỵ Gọi ïì a = íï ïïỵ b = ( x - 3) +( y - 4) = Vậy phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC là: Bài 6: (3,0 điểm) a Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c ab bc ca Tìm giá trị nhỏ biểu a2 b2 c2 P a b c a 3bc b 3ca c 3ab thức Lời giải Tác giả: Châu Hòa Nhân ; Fb: Hịa Nhânn Trang7 STRONG TEAM TỐN VD VDCĐề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019p tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019nh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019p 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019ng Ngãi năm 2018-2019 Ta có: 2 a b c a b c a2 b2 c2 2 2 a 3bc b 3ca c 3ab a 3bc b 3ca c 3ab a b c ab bc ca Vì a b c ab bc ca nên a b c a2 b2 c2 a b c 2 2 a 3bc b 3ca c 3ab a b c a b c a b c Suy P a b c a b c a b c 1 Đặt t a b c (hiển nhiên t ) Ta có: Vậy có a b c a b c ab bc ca a b c 3 P Dấu “=” xảy a b c t t t 1 với t 3 Hướng 1: Xét hàm số f (t ) Ta có: t 1 f (t ) t t t t 1 với t 3 0, t hàm số f (t ) liên tục [3; ) hàm số f (t ) đồng biến [3; ) nên f (t ) f (3) , t 3 Min f t f 3 Do 3; Vậy giá trị nhỏ P a b c a b c 3 a b c 1 t t Hướng 2: Ta chứng minh t (*) với t 3 3 t (*) t 1 Thật vậy, t 0 t t 0 t 1 t t 3 0 t 1 t t 3 Dấu “=” xảy t 3 Vậy giá trị nhỏ P a b c a b c 3 a b c 1 t t Hướng 3: Ta chứng minh t (*) với t 3 Ta có: t 3 t (1) Trang8 STRONG TEAM TOÁN VD VDCĐề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019p tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019nh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019p 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019ng Ngãi năm 2018-2019 t 3 t 4 1 1 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t (2) Từ (1), (2) suy (*) t 3 Dấu “=” xảy t 3 a b c Vậy giá trị nhỏ P a b c 3 a b c 1 n, k , p với n, k số nguyên lớn p số nguyên tố thỏa b Tìm tất k mãn n n 2n 2n p Lời giải Tác giả: Nguyễn Đình Thịnh n5 n 2n3 2n p k n n 1 n3 n 1 p k Từ giả thiết n, k 2 n3 n 1, n n 1, n 2 n n 1 n2 n 1 n 1 n n 0, n 2 Ta có: n3 n p r s n n p r s r s k n3 n 1n n n3 n n 1 n n 1 n n n 2n n 1 Mặt khác: n n 1 n n 0, n n n n 0, n 2 p 5 p k 25 1 , suy n 2 , k 2 Từ Vậy số cần tìm là: n, k , p 2, 2,5 Trang9