De thi hoc sinh gioi cap tinh toan 11 nam 2018 2019 so gddt phú yên

STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT p tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT nh lớp 11 Sở GD & ĐT p 11 Sở GD & ĐT GD & ĐT Phú Yên năm 2018-2019 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐNTIME: 180PHÚT ĐỀ BÀI Câu (3,50 điểm) Giải biện luận bất phương trình sau theo tham số m: x  mx  m  x  mx  m 2 m với m  Câu (3,50 điểm) Cho bốn số thực p, q, m, n thỏa mãn hệ thức  q  n   p  m   pn  qm   Chứng minh hai phương trình x  px  q 0 x  mx  n 0 có nghiệm phân biệt nghiệm chúng nằm xen kẽ biểu diễn trục số Câu (4,00 điểm) Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, AC = b, AB = c Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác a)Chứng minh a.IA2+b.IB2+c.IC2 = abc a  bc  IA2   b  ca  IB   c  ab  IC   6abc b) Chứng minh Hãy trường hợp xảy dấu đẳng thức Câu 2 (4,00 điểm) Cho x, y, z số thực thỏa mãn x  y  z 1 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  xy  yz  2019 zx b) Tìm giá trị lớn biểu thức Q xy  yz  zx Câu (3,00 điểm) Cho dãy số thực  xn  thỏa mãn điều kiện 0  xn    , n 1,2,3, x  x    n  n  a) Chứng minh xn  1  , n 1,2,3, 2n b) Tìm giới hạn dãy  xn  Câu (2,00 điểm)Cho hàm số f liên tục  , thỏa mãn i) f  2020  2019 ii) f4  x   f f f  f  x   f  x  f  x  1 x   f  2018  , , kí hiệu Hãy tính ;   Trang1  STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT p tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT nh lớp 11 Sở GD & ĐT p 11 Sở GD & ĐT GD & ĐT Phú Yên năm 2018-2019 -Hết - Trang2 STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT p tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT nh lớp 11 Sở GD & ĐT p 11 Sở GD & ĐT GD & ĐT Phú Yên năm 2018-2019 PHẦN ĐÁP ÁN CHI TIẾT Thực lời giải sưu tầm tập thể tổ 16 Strong team Toán VDVDC Câu Giải biện luận phương trình sau theo tham số m : x  mx  m  x  mx  m 2 m với m  Lời giải Cách  mx  m 0   x  mx  m 0  x m  1   x  mx  m 0  Điều kiện:  m  t  4m x 4m Đặt t 2 mx  m ; t 0 Thì x  mx  m  t  4m (t  2m) | t  2m | t   4m 4m m x  mx  m  Và t  4m (t  2m) | t  2m | t  4m 4m m Khi bất phương trình cho | t  2m |  | t  2m |4m, m   2 Vì m  0, t 0 nên | t  2m |t  2m nên    t  2m | t  2m |4m  | t  2m |2m  t , m 0  t  2m 0  t 2m 2 Nghĩa 2 mx  m 2m  m mx 2 m  m  x 2m Vậy tập nghiệm bất phương trình S [m; 2m] Cách mx  m 0   x  mx  m 0  x m (*)   x  mx  m 0  Điều kiện: m 0 Với điều kiện trên, hai vế bất phương trình khơng âm, bình phương hai vế ta x  mx  m  x  mx  m  x  mx  m 4m    x  4mx  4m2 2m  x Trang3 STRONG TEAM TOÁN VD VDC ( x  2m) 2m  x   Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT p tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT nh lớp 11 Sở GD & ĐT p 11 Sở GD & ĐT GD & ĐT Phú Yên năm 2018-2019 | x  2m |2m  x  **  **  x  2m 2m  x  x 2m +) Nếu x 2m bất phương trình x 2m  1 Kết hợp với điều kiện x 2m ta  **  2m  x 2m  x ( ln đúng) +) Nếu x  2m bất phương trình m  x  2m Kết hợp với điều kiện (*) ta Từ  1  2  2 ta có tập nghiệm bất phương trình S [m; 2m] Câu q  n    p  m   pn  qm   Cho bốn số thực p,q,m, n thỏa mãn hệ thức  (1) Chứng minh 2 phương trình x  px  q 0 (2) x  mx  n 0 (3) có nghiệm phân biệt nghiệm chúng nằm xen kẽ biểu diễn trục số Lời giải Cách 1: q  n Từ điều kiện    p  m   pn  qm   suy p  m 0 (4) Các phương trình (2) (3) có hệ số a 1  nên parabol biểu diễn có bề lõm quay lên Hai phương trình có nghiệm phân biệt nằm xen kẽ biểu diễn trục số đồ thị hàm số trục hoành (5) y x  px  q  P  y  x  mx  n  P ' cắt điểm nằm y x x1 x3 O x2 x4 (Minh họa hình vẽ) Hoành độ giao điểm  P  P ' nghiệm phương trình x  px  q  x  mx  n  x  Tung độ giao điểm  P  P ' Trang4 n q  p m STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT p tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT nh lớp 11 Sở GD & ĐT p 11 Sở GD & ĐT GD & ĐT Phú Yên năm 2018-2019  n q   n q  y    p  q  p m  p m    p  m  p  m   n  q  p  n  q  p  m  q  p  m      n  q    p  m   pn  qm      (theo (4)) Vậy (5) chứng minh, nên khẳng định đề chứng minh xong Cách 2: q  n Ta có  2   p  m   pn  qm     q  n    q  n  p  p  m    p  m   pq  qm   2  f  q  n   q  n    q  n  p  p  m   q  p  m   Vì tồn p,q,m, n nên  p m 2   p  p  m   4q  p  m      p  4q  Do phương trình (2) có hai nghiệm phân  x1  x2  p  x x q x , x biệt thỏa mãn  Đặt g  x   x  mx  n Ta có g  x1  g  x2   x12  mx1  n   x2  mx2  n    px1  q  mx1  n    px2  q  mx2  n   x1  m  p   n  q   x2  m  p   n  q   x1 x2  m  p    m  p   n  q   x1  x2    n  q  q  m  p    m  p   n  q    p    n  q  2  q  n    p  m   pn  qm   Suy phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt số thuộc khoảng chứng minh Câu x3 , x4  x3  x4  thỏa mãn hai số x1 , x2 có  x3 , x4  số không thuộc khoảng  x3 , x4  Từ ta có điều phải Cho tam giác ABC có cạnh BC a, AC b, AB c Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác 2 a) Chứng minh a.IA  b.IB  c.IC abc       a bc  IA2  b ca  IB  c ab  IC  6abc b) Chứng minh Hãy trường hợp xảy dấu đẳng thức Lời giải Trang5 STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT p tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT nh lớp 11 Sở GD & ĐT p 11 Sở GD & ĐT GD & ĐT Phú Yên năm 2018-2019  I  tiếp xúc với a) Giả sử đường tròn BC , CA, AB theo thứ tự D, E , F Gọi K điểm đối xứng I qua AC S AFIE S AIK AI AK IA2    S S AB AC bc ABC ABC Ta có: S BDIF IB SCEID IC  ;  ca S ABC ab Tương tự S ABC IA2 IB IC S AFIE  S BDIF  SCEID    1 bc ca ab S ABC Suy 2 Suy a.IA  b.IB  c.IC abc b) Theo BĐT Bunhiacopxki ta có: a  bc  IA2   b  ca  IB   c  ab  IC      1  a  bc  IA2   b  ca  IB   c  ab  IC     3abc   aIA2  bIB  cIC   2 Theo ý a) ta có aIA  bIB  cIC abc  a  bc  IA2   b  ca  IB   c  ab  IC   6abc ( ĐPCM) Dấu xảy khi: a  bc  IA2  b  ca  IB  c  ab  IC   aIA2 bIB cIC Vậy dễ thấy có trường hợp xảy dấu đẳng thức là:  a b c    IA IB IC ABC tam giác Câu 2 Cho x , y , z số thực thỏa mãn x  y  z 1 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P xy  yz  2019 zx b) Tìm giá trị lớn biểu thức Q xy  yz  zx Lời giải a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P xy  yz  2019 zx Ta có: Suy  x  y  z  x  y  z   xy  yz  zx  1   xy  yz  zx  xy  yz  zx  Dấu đẳng thức xảy x  y  z 0  z  x2  1 2018 2019 P  xy  yz  zx   2018zx   2018zx   2018      2 2   Do Trang6 STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT p tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT nh lớp 11 Sở GD & ĐT p 11 Sở GD & ĐT GD & ĐT Phú Yên năm 2018-2019  x  y  z 1   x  y  z 0   x  z x  z   z  x 1  y 0 ,  Dấu “=” xảy 2019 x  z  P  2 y 0 , Vậy b) Tìm giá trị lớn biểu thức Q  xy  yz  zx 2 Xét giá trị dương x, y, z Vì x  y  z 1 nên ta đặt  y cos   x sin  cos   z sin  sin   Thế    ,    0;    2 , với Q  y  x  z   xz cos  sin   cos   sin    2sin  sin  cos      ,    0;    nên Q  cos  sin   sin  (1)  Vì cos  sin   Dấu “=” xảy  Biến đổi (1) với dạng Q  cos 2 1 sin 2    2 2 Dấu “=” xảy  1 sin 2  cos 2     2   1     sin 2 cos 2   sin 2  cos 2    sin 2     cos 2   3 sin      3 3 3 y , x z   cos   ; tức 12 Suy  3 3 1 y , x z   max Q  12 Vậy Đề tương tự 2 Câu 4* Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x  y  z 1 Tìm giá trị nhỏ biểu A thức xy yz zx   z x y Lời giải Trang7 STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT p tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT nh lớp 11 Sở GD & ĐT p 11 Sở GD & ĐT GD & ĐT Phú Yên năm 2018-2019 2  xy   yz   zx  A          y  z  x  z   x   y Ta có   2 Áp dụng bất đẳng thức x  y  z  xy  yz  zx Ta A2  y  z  x  y  z  x 3 y  z  x 3    Đẳng thức xảy Vậy A  đạt Cho dãy số thực  xy yz xz    x  y z  z x y  Câu   x  y z   xn  thỏa mãn điều kiện 0  xn    , n 1,2,3, x  x    n  n1 a) Chứng minh xn  b) Tìm giới hạn dãy 1  , n 1,2,3, 2n  xn  Lời giải a) Với n = 1, bất đẳng thức cho Giả sử bất đẳng thức với n = k (với k  , k 1 ), ta có Vì xk  Lại có: xk  1  2k 1 1 k 1    xk     2k 2k 2k xk 1   xk   2k k 1 xk 1       k  1  k  1 2  k  1 suy * Vậy bất đẳng với n = k +1 Vậy bất đẳng thức với n   * x b) Vì  xn  1, x   nên dãy  n  bị chặn Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương xn1  xn ta được: xn 1    xn  2 xn 1   xn  1 xn 1 xn   xn  dãy tăng Theo định lý Weierstrass dãy  xn  có giới hạn hữu hạn, giả sử lim xn a Trang8 STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT p tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT nh lớp 11 Sở GD & ĐT p 11 Sở GD & ĐT GD & ĐT Phú Yên năm 2018-2019 1 xn 1   xn   a 1 a   a  n    cho Từ bất đẳng thức ta lim xn  Vậy Câu Cho hàm số f liên tục  , thỏa mãn i) f  2020  2019 ii) f4  x   f f f  f  x   f  x  f  x  1 x   f  2018  , , kí hiệu Hãy tính ;    Lời giải Tác giả: Thành Đức Trung;Fb: Thành Đức Trung Kí hiệu Df Gọi f2  x   f  f  x    f3  x   f f  f  x   tập giá trị hàm số Từ i) suy 2019  D f Từ ii) suy , f  x  f  2020  f  2020  1  2019 f  2020  1  f  2020    Df 2019 xf3  x  1 x  D f ,   D  ; 2019   D f f3  x    2019  x , x  D Do f liên tục nên Suy f đơn ánh D f liên tục  nên f nghịch biến D Giả sử tồn x0  D cho f  x0   x0  1  1 f  x0   f    x0    Do f hàm nghịch biến nên  1  1  1  f  x0   f   f    f    x0 x  3  x0  suy  x0   x0  Và Từ  2  3 suy x0  f  x0  hay f  x0   f  x0   x0 , mâu thuẫn với  1 Tương tự, ta chứng minh không tồn x0  D cho Vậy f  x  f  x0   1 f  2018   x , x  D Do 2018  D nên suy 2018 Trang9 x0