De thi hoc sinh gioi cap tinh toan 11 nam 2018 2019 so gddt quang ngai

STRONG TEAM TOÁN VD VDCĐề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐNTIME: 180PHÚT ĐỀ BÀI Bài 1: (5,0 điểm)Giải phương trình sau: 2019  a 2cos3 x  sin x sin x  2 2.cos  x   b  x    Bài 2:  x  1      x  3x   (4,0 điểm) a Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm năm chữ số chọn từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn có mặt ba chữ số khác b.Cho hàm số y  f ( x) liên tục  0;1 Chứng minh phương trình f ( x)   f (1)  f (0) x  f (1) có nghiệm thuộc  0;1 Bài 3: (2,0 điểm) u1   Cho dãy số  un  thỏa mãn  2un u  , n  n   un   Tìm cơng thức số hạng tổng qt un dãy số cho Bài 4: (4,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AD  2a, AB  a ; O giao điểm AC a Gọi M trung điểm BC a Chứng minh đường thẳng SM vng góc với mặt phẳng  SAD  BD , SO vng góc với  ABCD  SO  b Gọi  góc đường thẳng SC mặt phẳng  SAD  , tính sin  Bài 5: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho tam giác ABC vng A ,có đỉnh B 3; 2 ,đường phân giác góc A có phương trình x  y   Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam Bài 6: giác ABC ,biết diện tích tam giác ABC 24 điểm A có hồnh độ dương (3,0 điểm) a Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca Tìm giá trị nhỏ biểu a2 b2 c2    abc a  3bc b  3ca c  3ab b Tìm tất  n, k , p  với n, k số nguyên lớn p số nguyên tố thỏa thức P  mãn n5  n4  2n3  2n2   p k Trang1 STRONG TEAM TOÁN VD VDCĐề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (5,0 điểm)Giải phương trình sau: 2019  a 2cos3 x  sin x sin x  2 2.cos  x      Lời giải Tác giả: Fb: Nguyễn Ánh Dương Ta có: 2019   2 2.cos  x   3    = 2 2.cos  x  504    3     = 2 2.cos  x         2 = 2  cos x  sin x  = 2  cos x  sin x  = 2cos x  2sin x 2    2cos3 x  sin x sin x = 2cos2 x cos x  2sin x cos x = 1  sin x  cos x  2sin x cos x = 2cos x  2sin x cos x  2sin x cos x = 2cos x  4sin x cos x Do phương trình cho tương đương 2cos x  4sin x cos x  2cos x  2sin x  4sin x cos x  2sin x  2sin x  4sin x cos x   2sin x  2sin x cos x  1   2sin x  sin x  1  sin x   sin x  1  x  k  k  Z   x     k  b  x     x  1   x  3x   Lời giải Tác giả: Võ Huỳnh Hiếu ; Fb: Huỳnh Hiếu Đặt u  x  2, v  x  với v  Khi đó,phương trình cho trở thành: u  2v3  3uv   u  v  u  u  v   2v   x2     x   N x2      Với u  v  x   x    2   x  5x     x    L    Trang2 STRONG TEAM TOÁN VD VDCĐề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019  uv  x   x 1  Với u  u  v   2v2   u  v  u  2v     u  2v  x2     x    x   x   2  L     x   2  N   Bài 2: Kết hợp với điều kiện ,ta được: x  5 , x   2 Vậy phương trình có nghiệm: x  5 , x   2 (4,0 điểm) a Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm năm chữ số chọn từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn có mặt ba chữ số khác Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thủy ; Fb: Camtu Lan Ta có S  75 Xét phép thử: Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Suy số phần tử không gian mẫu   75 Gọi A biến cố: “ số chọn có mặt ba chữ số khác nhau” Bước 1: Ta chọn ba chữ số khác từ tập S , có C73 cách chọn Bước 2: Ta chia thành hai trường hợp sau TH1: Trong ba chữ số chọn từ bước 1, có chữ số xuất ba lần, hai chữ số C 1.5! lại chữ số xuất lần, có cách 3! TH2: Trong ba chữ số chọn từ bước 1, có chữ số xuất lần, hai chữ số C 5! lại chữ số xuất hai lần, có cách 2!.2!  C31.5! C32 5!   Suy  A  C    5250 2!.2!   3! Vậy P  A   A 5250 750    2401 b.Cho hàm số y  f ( x) liên tục  0;1 Chứng minh phương trình f ( x)   f (1)  f (0) x  f (1) có nghiệm thuộc  0;1 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Tuấn ; Fb: Nguyễn Thanh Tuấn Ta viết lại phương trình đề bài: f ( x)   f (1)  f (0) x  f (1)  Đặt: g( x)  f ( x)   f (1)  f (0) x  f (1) Ta có: g(0)  f (0)  f (1) ; g(1)  f (1)  f (0) Trang3 STRONG TEAM TOÁN VD VDCĐề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 Nhận thấy g( x) liên tục  0;1 g(0).g(1)    f (0)  f (1)  Bài 3: Vì phương trình g( x)  ln có nghiệm thuộc  0;1 (đpcm) (2,0 điểm) u1   Cho dãy số  un  thỏa mãn  2un u  , n  n   un   Tìm công thức số hạng tổng quát un dãy số cho Lời giải Tác giả: Đinh Mạnh Thắng ; Fb: Dinh Thang Nhận xét: un  với n  * Ta có: u 4  n   un 1 2un un Đặt 1  1 1  ta : 1   2vn , v1   1    2vn     2 2 un 1  Do 1  1 1 1         22  vn1      2n  v1   2 2 2    3 Suy 1  2n  hay  2n 1  2 2 Vậy un  Bài 4: 3.2 1 (4,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AD  2a, AB  a ; O giao điểm AC n 1 a Gọi M trung điểm BC a Chứng minh đường thẳng SM vng góc với mặt phẳng  SAD  BD , SO vng góc với  ABCD  SO  b Gọi  góc đường thẳng SC mặt phẳng  SAD  , tính sin  Lời giải a) Gọi N trung điểm AD  AD  MN  AD   SMN   AD  SM (1) Ta có   AD  SO Trang4 STRONG TEAM TOÁN VD VDCĐề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019 a MN  a suy SM  SN  MN Theo định lý Pitago ta có SM  SN (2) Mà AD, SN   SAD  ; AD  SN   N  (3) Mặt khác SM  SN  SO  OM  Từ (1), (2), (3) ta SM   SAD   b) Gọi H hình chiếu vng góc C lên  SAD  Khi đó:   CSH Do CM / /  SAD  nên d  C,  SAD    d  M ,  SAD    CH  MS  Mặt khác SC  SO  OC  Vậy sin   Bài 5: a a 5a a   4 CH a 2   SC a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vng A , có đỉnh B 3; 2 , đường phân giác góc A có phương trình x  y   Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC , biết diện tích tam giác ABC 24 điểm A có hồnh độ dương Lời giải Tác giả:Phạm Minh Tuấn ; Fb:Bánh Bao Phạm Gọi d đường phân giác góc A  Đường thẳng  qua điểm B 3; 2 vng góc với đường thẳng d : x  y   có phương trình là: x  y   Gọi I    d x  y     x 1    I 1;6 Khi tọa độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình:      x  y   y      Gọi   AC  B Tam giác ABB có AI vừa đường cao, vừa đường phân giác, tam giác ABB cân A  I trung điểm BB  B 5;10 Trang5 STRONG TEAM TOÁN VD VDCĐề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019    AB  3  t ; t  5   Gọi At;7  t   d : x  y   , t  0       AB   t ; t       t   A5;2   Vì AB  AC  AB AB   3  t .5  t   t  5.t  3    t  3l   Đường thẳng AC qua hai điểm A5;2 B 5;10 có phương trình là: x      AB  8;0 Gọi C 5; c  AC : x   Ta có     AC  0; c       Theo ta có SABC  24  AB AC  24 c   c   24   c  4 Với c  4  C 5;4 Khi đó: 5   73   7  nên hai điểm B C nằm phía đường thẳng d (loại) Với c   C 5;8 Khi đó: 5   73   7  nên hai điểm B C nằm khác phía đường thẳng d Điểm C 5;8 thỏa mãn  AB    AB  AC  BC   12 Ta có:  AC   p      BC  10 Mà S  p.r  24  12.r  r  Vậy đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính r  Cách 1: Phương trình đường thẳng BC là: 3x  y 17  Gọi tâm đường tròn nội tiếp ABC H a;7  a  d : x  y    a 5      d H ; AC  r        a 5      3a  47  a 17    2  d  H ; BC   r     7a 11  10     a    a    a   a   H 3;4    a    Vậy phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC là:  x  3   y  4  Cách 2: Sử dụng tính chất:Với H tâm đường trịn nội tiếp ABC , ta có: Trang6 STRONG TEAM TOÁN VD VDCĐề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019     BC.HA  AC.HB  AB.HC     HA  5  a;2  b   10.5  a   63  a  85  a      a   Gọi H a; b     HB  3  a;2  b     10.2  b  62  b  88  b  b         HC  5  a;8  b    Vậy phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC là:  x  3   y  4  Bài 6: (3,0 điểm) a Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  ab  bc  ca Tìm giá trị nhỏ biểu a2 b2 c2 thức P     abc a  3bc b  3ca c  3ab Lời giải Tác giả: Châu Hòa Nhân ; Fb: Hịa Nhânn Ta có: a  b  c a  b  c a2 b2 c2     2 2 a  3bc b  3ca c  3ab  a  3bc    b  3ca    c  3ab   a  b  c 2   ab  bc  ca  2 Vì a  b  c  ab  bc  ca nên a  b  c a2 b2 c2 abc     2 2 a  3bc b  3ca c  3ab  a  b  c    a  b  c  a  b  c  Suy P  abc  abc a  b  c 1 Đặt t  a  b  c (hiển nhiên t  ) Ta có: a  b  c a  b  c  ab  bc  ca  Vậy có P   a  b  c  Dấu “=” xảy a  b  c t  t với t  t 1 t  t với t  t 1 Hướng 1: Xét hàm số f (t )  Ta có: f (t )   t  1  t  0, t  hàm số f (t ) liên tục [3; )  hàm số f (t ) đồng biến [3; ) nên f (t )  f (3)  Do Min f  t   f  3  3;    Vậy giá trị nhỏ P Hướng 2: Ta chứng minh  , t  a  b  c  a  b  c 1   a  b  c  t  t   (*) với t  t 1 3  t   Thật vậy, (*)    t 1    t  0 t 3 t 3  0  t  1 t Trang7 STRONG TEAM TOÁN VD VDCĐề thi HSG cấp tỉnh lớp 11 Sở GD & ĐT Quảng Ngãi năm 2018-2019     t  3     t    t  1 t    Dấu “=” xảy t  Vậy giá trị nhỏ P Hướng 3: Ta chứng minh a  b  c  a  b  c 1   a  b  c  t  t   (*) với t  t 1 Ta có: t   t  (1) t   t 1   1 1 1 t      1  1   (2) t 1 t 1 t 1 t 1 Từ (1), (2) suy (*) t  Dấu “=” xảy t  a  b  c  a  b  c 1   a  b  c  b Tìm tất  n, k , p  với n, k số nguyên lớn p số nguyên tố thỏa Vậy giá trị nhỏ P mãn n5  n4  2n3  2n2   p k Lời giải Tác giả: Nguyễn Đình Thịnh n5  n4  2n3  2n2   p k   n2  n  1 n3  n  1  p k Từ giả thiết  n, k   n  n   1, n  n   1, n  Ta có:    n  n  1   n  n  1   n  1 n  n    0, n  r  n  n   p  s  n  n   p r  s   r  s  k  n3  n  1 n  n   n3  n    n  1  n  n  1 n  n   n  2 n  n  1 Mặt khác:  n2  n  1   n    n2   0, n  n2  n   n   0, n    p  Từ 1 ,   suy n  , p k  25   k  Vậy số cần tìm là:  n, k , p    2, 2,5 Trang8