Đề thi chọn HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường THPT Thị xã Quảng Trị

Chứng minh rằng dãy số  u n xác định như trên là một dãy số bị chặn.. Chứng minh rằng: ADBC.. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD , tính cosin góc giữa hai đường thẳng AG và CD , biết gó

SỞ GD&ĐT QUẢNG TRỊ KỲ THI CHỌN HSG VĂN HÓA LỚP 10, 11

TRƯỜNG THPT THỊ XÃ QUẢNG TRỊ Khóa thi ngày 03 tháng 4 năm 2019

Môn thi: Toán lớp 11

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu I (5,0 điểm)

1 Giải phương trình: sin 3 cos 22 x xsin2x 0

2 Cho x1 và x2là hai nghiệm của phương trình: x23x a  , 0 x3 và x4là hai nghiệm của phương trình: x212x b  Biết rằng 0 x x x x1, , ,2 3 4 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân Hãy tìm ,a b

Câu II (3,0 điểm)

1 Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: 5 k 2014

5 2014k 5 2014k 5 2014k 2019k

C C C C   C C  C

2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

m 1x2  1x2 22 1x4  1x2  1x2

Câu III (3,0 điểm)

Cho dãy số  u n được xác định bởi: u1 sin1; u n u n 1 sin2n

n



   , với  n ,n2

Chứng minh rằng dãy số  u n xác định như trên là một dãy số bị chặn

Câu IV (3,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh bằng a và tam giác BCD cân

tại D với 5

2

a

DC 

1 Chứng minh rằng: ADBC

2 Gọi G là trọng tâm tam giác BCD , tính cosin góc giữa hai đường thẳng AG và CD , biết

góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 300

Câu V (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với (2;1) A , (1; 2)B  , trọng

tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng x y    Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác 2 0

ABC bằng 27

2

Câu VI (3,0 điểm) Cho các số dương , ,a b c thỏa mãn: a2b2c2  Chứng minh rằng: 3

-HẾT -

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và MTCT

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:……….Số báo danh:………

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề có 01 trang)

Huớng dẫn chấm – Toán 11

Câu I

(5đ) Giải phương trình:

sin 3 cos 2x xsin x0

1 (3đ) sin 3 cos 2 2 x x sin 2x 0 (1)

Ta có: sin 3x  (1 2 cos 2 )sinx.x







1.0đ 1.0đ 1.0đ

2 (2đ) Cho x1 và x2là hai nghiệm của phương trình: x23x a 0, x3 và x4là hai

nghiệm của phương trình: x2  12x b  0 Biết rằng x x x x1, , ,2 3 4 theo thứ tự lập

thành một cấp số nhân Hãy tìm a b,

2 1 ; 3 1 ; 4 1

Theo viet ta có:

1

1 2

1 2

1 2

2

3





Suy ra q2  4

+ q = 2 x1 1 , giải ra được a = 2, b = 32

+q = -2 x1  3, giải ra được a = -18, b = -288

1.0đ

1.0đ

Câu II

(3đ)

1 (1.5đ) Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: 5  k 2014

5 2014k 5 2014k 5 2014k 2019k

Ta có: (1 x) (1 5 x) 2014   (1 x) 2019

5 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5

2014 0 1 2013 2013 2014 2014

2014 2014 2014 2014 2014

2019 0 1 2018 2018 2019 2019

2019 2019 2019 2019 2019

(1 )

k k

k k

Ta có hệ số của xk trong P là C2019k , P = M.N

Mà số hạng chứa xk trong M.N là :

5 2014 5 2014 5 2014 5 2014 5 2014 5 2014

5 2014k 5 2014k 5 2014k 2019k

0.5đ

0.5đ

0.5đ

2 (1.5đ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

m 1 x2  1 x2  2 2 1 x4  1 x2  1 x2 ĐK:    1 x 1 , Đặt t 1 x2  1 x2 , t liên tục trên  1;1 và t 0

2

t

  

Xét ( ) 2 2; 0; 2

2

t

     , f t( ) liên tục trên 0; 2

2 2

4

( 2)

t

 

0.5đ

0.5đ

( )

f t

 nghịch biến trên 0; 2 

Vậy pt đã cho có nghiệm thực khi f( 2)  2 1    m 1 f(0)

0.5đ

Câu III

(3đ) Cho dãy số  u n được xác định bởi: u1 sin1; u n u n 1 sin2n

n



n  n Chứng minh rằng dãy số  u n xác định như trên là một dãy số bị chặn

1  2  n   n N , vì





Bằng qui nạp ta CM được: sin1 sin 22 2 sin2

n

n u

n

Vậy dãy số  u n xác định như trên là một dãy số bị chặn

1.0đ

1.0đ

1.0đ

Câu IV

(3đ)

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh bằng a và tam giác BCD cân tại

2

a

1 (1đ) Chứng minh rằng: ADBC

Gọi M là trung điểm BC, ta có:ABCđều nên AM BC, DBCcân nên

2 (2đ) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, tính cosin góc giữa hai đường thẳng AG và

CD, biết góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 30 0

Theo gt ta có góc giữa MA và MD bằng 300 Kẻ GN//CD, nối AN

+TH1: góc DAM bằng 300, ta có: ,

3

a

MD a MG ABCđều nên 3

2

a

Áp dụng định lí cosin cho AMG

3

a

AN Trong ANG

có cos(AGN)= 5

65



.Gọi góc (AG CD; )thì cos = 5

65

+TH2: Góc AMD bằng 1500 Tính tương tự ta có: thì cos = 13

7 5



0.5đ

0.5đ

0.5đ

0.5đ Câu V

(3đ)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2; 1), B(1;-2), trọng tâm

G của tam giác nằm trên đường thẳng x + y – 2 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 27

2 Gọi M là trung điểm AB, ta có : 3; 1

2 2

  Gọi C(a ; b),

10

a b

a b

Từ (1) và (2) ta có hệ:

9

9; 5

;

2

a

C

a b

a

a b

C















  

1.0đ

1.0đ

1.0đ

Câu VI

(3đ) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn: a2b2c2 3 Chứng minh rằng:

Từ giả thiết ta có 0 a b c2 , , 2 2  3 Áp dụng BĐT Cauchy ta có :

3 a  a  3 a   a

3 b   b 3 c   c

Áp dụng BĐT Bun… ta có:

2

=3(( )2 2) ( 2 2)( 2 2)( 2 2) 3(( )2 2)( 2 2)

2 a b   a  b  c   2 a b  c 

Từ (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1

1.0đ

1.0đ

1.0đ