GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI HSG LỚP 10 THPT YÊN PHONG 2BẮC NINH NĂM 2018-2019 MƠN TỐN Câu (4 điểm) Cho hàm số y x 2m 3 x 2m 1 1 m 0 1) Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số 1 cắt đường thẳng y 3x hai điểm A, B phân biệt 2) Xác định m để đồ thị hàm số cho OAB vuông O (với O gốc tọa độ ) (2 điểm) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số 1;3 khoảng Câu Câu 1) 2) y x m 1 2x x 2m xác định (5 điểm) Giải phương trình: x x 2 x 3x x x 3) x x x 10 x 26 0 3x Câu ìï x + x y - xy + xy - y = ïí ï x + y - xy ( x - 1) = (2 điểm) Giải hệ phương trình: ïỵ (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB 1 , AC x BAC 60 Các điểm M , N xác MC MB NB NA Tìm x để AM CN vng góc với định (2 điểm) Cho tam giác ABC Chứng minh với G trọng tâm tam giác ABC , ta có Câu (2 điểm) Cho Câu 4: Câu GA.GB GB.GC GC.GA ( AB BC CA2 ) f( x, y, z ) x, y, z 2018;2019 2018.2019 xy (x y)z 2018.2019 yz (y z) x Tìm giá trị lớn biểu thức: 2018.2019 zx (z x) y LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu Cho hàm số y x 2m 3 x 2m 1 1 m 0 1) Xét biến thiên vẽ đồ thị hàm số 1 cắt đường thẳng y 3x hai điểm A, B phân biệt 2) Xác định m để đồ thị hàm số cho OAB vuông O (với O gốc tọa độ ) Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hiền ; Fb: Nguyễn Hiền 1) Khi m 0 ta hàm số y x x *) Tập xác định: D 1 I ; *) Tọa độ đỉnh: 3 ; , nghịch biến *) Sự biến thiên: Vì a 1 nên hàm số đồng biến khoảng 3 ; khoảng *) Bảng biến thiên *) Điểm đặc biệt 1 I ; *) Đồ thị : Đồ thị đường parabol có đỉnh , hướng bề lõm lên nhận đường thẳng 2) x 3 làm trục đối xứng Phương trình hồnh độ giao điểm ĐTHS x 2m 3 x 2m 3x 1 đường thẳng y 3x là: x 2mx 2m 0 * * có cắt đường thẳng y 3x điểm phân biệt A, B phương trình m m 1 nghiệm phân biệt Để ĐTHS 1 x1 x2 2m * ,ta có x1.x2 2m Gọi x1, x2 nghiệm phương trình Đặt A x1 ;3 x1 1 , B x2 ;3x2 1 OAB vuông O OA.OB 0 10 x1x2 x1 x2 0 26m 31 0 m Vậy Câu m 31 26 ( thỏa mãn) 31 26 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số 1;3 khoảng y x m 1 2x x 2m xác định Lời giải Tác giả:Trần Thị Kim Xuyến ; Fb: Xuyen Tran x m 0 x m x 2m Hàm số xác định x 2m D m 1; 2m Với điều kiện m 2m m hàm số có tập xác định 1;3 m 1; 2m 2x y x m 1 m x 2m xác định khoảng 1;3 Vậy hàm số m 0 m m 2m m m Hệ vô nghiệm Vậy giá trị m thỏa mãn tốn cho Câu Giải phương trình 1) x x 2 x Lời giải Tác giả:Anh Tuấn ; Fb: Anh Tuan Ta có x 3x 2 x x 0 2 x x (2 x 7) 2 x 0 3 x 25 x 50 0 x 2 x 5 10 x x 5 Kết luận:Tập nghiệm phương trình 2) 3x x x S 5 Lời giải Tác giả:Anh Tuấn ; Fb: Anh Tuan Ta có 3x x x 3x 0 x 0 3x x (3 x 1)(4 x 3) 5 x x (3x 1)(4 x 3) 3 x 3 x 3 4 11x x 12 0 x 4 x 1 12 x 11 x 1 Kết luận:Tập nghiệm phương trình 3) Giải phương trình: 3x S 1 x x x 10 x 26 0 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hằng; Fb: Hang Nguyen 3 x 0 x ĐKXĐ: 5 x 0 Với ĐKXĐ ta có: 3x x x3 x 10 x 26 0 3x x 2 3x x x x x 12 0 x 2 x 1 x x x 12 0 x 2 x x 12 0 x 1 3x x 2 x x 12 0 * x 1 3x 5 x x 12 0, x 1; nên phương trình * vơ nghiệm x 2 , S 2 Vậy tập nghiệm phương trình cho Câu 4: ìï x + x y - xy + xy - y = ïí ï x + y - xy ( x - 1) = Giải hệ phương trình: ïỵ Lời giải ìï ( x - y) + xy ( x - y ) + xy = ïï ìï x + x y - xy + xy - y =1 (1) Û ïí í * ( ) ïï ( x - y) + xy =1 ïï x + y - xy ( x - 1) = (2) ïỵ + Ta có: ỵ ìïï a + ab + b =1 ïìï a = x - y í ( **) í ï ï + Đặt ïỵ b = xy Hệ trở thành ïỵ a + b = ìï a + a - 2a = ïì a ( a + a - 2) = ï (**) Û í Û íï ïï b = 1- a ïï b = 1- a ỵ ïỵ + Hệ Từ ta tìm ( a; b) Ỵ {( 0; 1) ; ( 1; 0) ; ( - 2; - 3)} ìï x - y = ïí Û x = y =1 ïïỵ xy = a; b) = ( 0; 1) ( Với ta có hệ ïìï x - y = Û ( x; y ) = ( 0; - 1) ; ( 1; 0) ; ( - 1; 0) í ïïỵ xy = a; b) = ( 1; 0) ( Với ta có hệ ( a; b) = ( - 2; - 3) ta có hệ Với ìï ïìï ïï ïï y =x y =2 ïí Û í Û x ïï xy =- ïï x + x +3 = ïï ïỵï ỵ Vậy hệ có nghiệm Câu ïìï ïï y =- x Û x =- 1; y = í ïï ïïỵ ( x +1) ( x - x + 3) = ( x; y ) Ỵ {( 1; 1) ; ( 0; - 1) ; ( 1; 0) : ( - 1; 0) ; ( - 1; 3)} (3 điểm) Cho tam giác ABC có AB 1 , AC x BAC 60 Các điểm M , N xác MC MB NB NA Tìm x để AM CN vng góc với định Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Huỳnh ; Fb: Nguyễn Văn Huỳnh Điều kiện: x Ta có: MA AC MA AB 3MA AC AB AM AC AB MC MB +) NC CB NC CA NC CA AB 2CA NA +) NB NC 3 AC AB AC AB AC AB 0 Vậy: AM CN AM NC 0 2 AC AB AB AC cos AB , AC 0 2 AC AB AB AC 0 x (Tháa m·n ) x x 0 x (Lo¹i ) x x 0 thỏa mãn yêu cầu toán Vậy Cho tam giác ABC Chứng minh với G trọng tâm tam giác ABC , ta có GA.GB GB.GC GC.GA ( AB BC CA2 ) x Câu Lời giải Tác giả: Bối Bối ; Fb: Bối Bối Do G trọng tâm tam giác ABC nên ta có: GA.GB GA.GB.cos(GA, GB ) GA.GB.cos AGB GA2 GB AB GA.GB 2GA.GB GA2 GB AB 2 4ma2 4mb2 AB AC AB BC BC BA2 AC AB 9 AC BC AB AB 4 Tương tự ta có: (1) BA2 CA2 BC BC 4 GB.GC (2) CB AB AC AC 4 GC.GA (3) Từ (1), (2) (3), ta có: AC BC BA2 CA2 2 AB AB BC BC 4 4 GA.GB GB.GC GC.GA 2 2 CB AB AC AC 4 AB 3BC AC 2 ( AB BC CA ) 9 2 2 AB BA2 CA2 ( AB BA2 CA ) 3 AB BC CA2 1 AB BC CA2 Câu (2 điểm) Cho f( x, y, z ) x, y, z 2018;2019 2018.2019 xy (x y)z Tìm giá trị lớn biểu thức: 2018.2019 yz (y z) x 2018.2019 zx (z x) y Lời giải Tác giả: Trần Quang Tiềm ; Fb:Tiem Tran Cách 1: Ta chứng minh với: x, y, z a; b ,(a 0) ta ln có ab xy b a x y 4(ab xy)2 (x y)2 (b a)2 2ab xy (x y)(b a) 2ab xy (x y)(b a) 0 b(2a x y) x(a y) y(a x) a(2b x y) x(b y) y(b x) 0 Vậy ta có ab xy b a b a ( x y)z 2z 2a Dấu xảy x y a, z a hay x y z a Áp dụng ta có: f( x, y, z) b a b a b a 3( b a) 2a 2a 2a 2a (đúng) Dấu xảy x y z a Thay a 2018, b 2019 , ta max f (x,y,z) x y z 2018 4036 Cách 2: 2018.2019 xy Ta có Đặt (x y) 2018.2019 xy xy (Theo BDT AM-GM) t xy ,(2018 t 2019), gt x, y 2018;2019 2018.2019 t2 2018.2019 t 2018;2019 t t Xét hàm , liên tục nghịch biến Maxg(t) g(2018) 1 2018;2019 Max g(t) g(2019) g(2018) 1 Ming(t) g(2019) 2018;2019 2018;2019 2018;2019 g(t) 2018.2019 xy (x y)z 2018.2019 xy 1 z 4036 xy z nên Đánh giá tương tư cho biểu thức cịn lại Tóm lại max f (x,y,z) x y z 2018 4036 , dấu xảy x y z 2018