Tổ hợp phần 1

Câu Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm K ∈ {1;2;…;n} cho số tập gồm K phần tử A lớn nhất? Hướng dẫn giải Số tâ ̣p gồ m phầ n tử từ n phầ n tử A : Cn4 tâ ̣p Số tâ ̣p gồ m phầ n tử từ n phầ n tử của A : Cn2 tâ ̣p Theo đề bài, ta có: Cn4  20Cn2 n! n!  20 (n  4)!4! ( n  2)!2!  (n  3)(n  2)  240   n  18(n)   n  13(l ) Gọi K là số phần tử có số tập lớn A(  K  18, K  ) Khi đó : C18K  C18K 1  K K 1 C18  C18 18! 18!   (18  K )! K !  (18  K  1)!( K  1)!   18! 18!    (18  K )! K ! (18  K  1)!( K  1)!   (18  K )  ( K  1)  1   K 19  K 17 19  K 2  K 9 Câu Cho k số tự nhiên thỏa mãn Chứng minh rằng: Ta có : (1  x)5 (1  x)2011  (1  x)2016 Hướng dẫn giải Đặt M  (1  x)5  C50  C51 x  C52 x  C53 x3  C54 x  C55 x5 k 2011 2011 N  (1  x)2011  C2011  C2011 x  C2011 x   C2011 x k   C2011 x k 2016 2011 P  (1  x)2016  C2016  C2016 x  C2016 x2   C2016 x k   C2016 x mà P=M.N nên phầ n tử thứ k P có da ̣ng: k k k 1 k 1 k 5 k 5 C2016 x k  C50C2011 x k  C51 xC2011 x   C55 x5C2011 x k k 1 k k 5 k  C50C2011 x k  C51C2011 x   C55C2011 x Chọn x=1 ta có điề u phải chứng minh Câu Gọi A tập hợp số tự nhiên có chín chữ số đơi khác nhau.Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số đó chia hết cho Hướng dẫn giải Gọi phần tử A có dạng : a1a2 a3a4 a5a6 a7 a8a9 a1  nên có cách chọn Chọn chữ số còn la ̣i và xế p vào vi ̣trí từ a2  a9 : A98 cách chọn Vâ ̣y n(A)= 9A98 Giả sử gọi B  0;1; 2; ;9 có tổng 10 phầ n tử là 45 Nên nế u muố n ta ̣o thành mô ̣t số có chữ số vả chia hế t cho 3, ta cầ n loa ̣i phầ n tử là bô ̣i của Như vâ ̣y, ta sẽ có các tâ ̣p : B \{0}, B \{3}, B \{6}, B \{9} TH1: Chọn tập B \{0} để tạo số : Ta còn chữ số để xế p vào vị trí a1  a9 : 9! cách TH2: Chọn ba tâ ̣p : B \{3}, B \{6}, B \{9} : cách a1  : có cách ( vì đã loại phần tử là bội 3) Còn chữ số xế p vào vị trí còn lại : 8! cách  Số cách cho ̣n phầ n tử thuô ̣c A và chia hế t cho là: 9! 3.8.8! 9! 3.8.8! 11  Vâ ̣y xác suấ t cầ n tỉm là : A98 27 Câu Gọi A tập hợp số tự nhiên có tám chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số đó chia hết cho Hướng dẫn giải Gọi phần tử A có dạng : a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 a1  nên có cách chọn Chọn chữ số còn la ̣i và xế p vào vi ̣trí từ a2  a8 : A97 cách chọn Vâ ̣y n(A)= 9A97 Giả sử gọi B  0;1; 2; ;9 có tổng 10 phầ n tử là 45 Nên nế u muố n ta ̣o thành mô ̣t số có chữ số vả chia hế t cho 3, ta cầ n loa ̣i phầ n tử có tổ ng là bô ̣i của Như vâ ̣y, ta sẽ có các tâ ̣p : B \{0;9}, B \{1;8}, B \{2;7}, B \{3;6}, B \{4;5} TH1: Chọn tập B \{0;3} để tạo số : Ta còn chữ số để xế p vào vị trí a1  a8 : 8! cách TH2: Chọn bố n tâ ̣p : B \{1;8}, B \{2;7}, B \{3;6}, B \{4;5}: cách a1  : có cách ( vì đã loại phầ n tử có tổ ng là bô ̣i của 9) Còn chữ số xế p vào vị trí còn lại : 7! cách  Số cách cho ̣n phầ n tử thuô ̣c A và chia hế t cho là: 8! 4.7.7! 8! 4.7.7!  Vâ ̣y xác suấ t cầ n tim ̉ là : A97 Câu Người ta dùng 18 sách bao gồm sách Toán, sách Lý sách Hóa (các sách loại giống nhau) để làm phần thưởng cho học sinh A,B,C,D,E,F,G,H,I, học sinh nhận sách khác thể loại (khơng tính thứ tự sách) Tính xác suất để hai học sinh A B nhận phần thưởng giống Hướng dẫn giải Để mô ̣t ho ̣c sinh nhâ ̣n đươ ̣c quyể n sách thể loa ̣i khác nhau, ta chia phầ n thưởng thảnh ba loa ̣i : ( Toán-Lý) ; ( Toán- Hóa) ; ( Lý- Hóa) Gọi x,y,z ( x, y, z ) lầ n lươ ̣t là số ho ̣c sinh nhâ ̣n đươ ̣c bô ̣ giải thưởng ( Toán-Lý) ; ( Toán- Hóa) ; ( Lý- Hóa) Khi đó, ta có ̣ sau : x  y  x    x  z    y  y  z  z    Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho học sinh : Chọn bạn bấ t kì bạn để nhận ( Toán-Lý) : C94 cách Chọn bạn bất kì bạn còn lại để nhận (Toán-Hóa) : C53 cách bạn còn lại chỉ có cách phát thưởng là ( Lý-Hóa) Vâ ̣y n()  C94 C53 Gọi S là biến cố “ hai học sinh A và B có phầ n thưởng giố ng nhau” TH1 : A và B cùng nhâ ̣n bô ̣ ( Toán-Lý) Vì A và B đã nhận quà nên ( Toán-Lý) còn lại phầ n Ta cho ̣n bạn bạn để nhận : C72 cách Chọn bạn bạn còn lại để nhận ( Toán-Hóa) : C53 cách bạn còn lại chỉ có cách phát thưởng là ( Lý-Hóa) Vâ ̣y có C72 C53 cách để A và B củng nhận ( Toán-Lý) TH2: A và B cùng nhâ ̣n bô ̣ ( Toán-Hóa) Lâ ̣p luâ ̣n tươ ̣ng tự, ta đươ ̣c : C71 C64 cách TH3 : A và B cùng nhâ ̣n bô ̣ ( Lý-Hóa) có C74 cách Vâ ̣y có C72 C53 + C71 C64 + C74 Câu C72C53  C71C64  C74 P( S )   C94C53 18 Cho tâ ̣p hơ ̣p A={1,2,3,4,.,20} Tính xác suất để ba số chọn không có số tự nhiên liên tiế p Hướng dẫn giải Số cách cho ̣n ba số đôi mô ̣t khác từ A : n()  C20 Câu TH1 : Ta cho ̣n số có chữ số tự nhiên liên tiế p : Chọn phần tử bất kì A \{19;20} : 18 cách chọn Với mỗi phầ n tử đươ ̣c cho ̣n, ta lấ y hai phầ n tử liề n kề bên phải : cách chọn Vâ ̣y có 18 cách chọn phầ n tử liên tiế p TH2 : Chọn ba số có đúng hai chữ số liên tiếp : Chọn hai phầ n tử {1;19}: cách Với mỗi cách cho ̣n phầ n tử trên, ta có cách chọn phần tử liền sau đó Chọn phần tử thứ ba không liên tiếp với phầ n tử đã chọn : 17 cách ( vì phải bỏ phần tử liển sau phầ n tử thứ ) Chọn phầ n tử tâ ̣p {2;3;4;.;18} : 17 cách Với mỗi cách cho ̣n trên, ta có cách chọn phần tử thứ hai liền sau nó Để cho ̣n phầ n tử thứ không liên tiế p, ta cầ n bỏ phầ n tử liề n trước phầ n tử và liền sau phầ n tử : 16 cách  Vâ ̣y có 17.2+17.6 cách chọn phầ n tử có đúng hai chữ số liên tiế p C  18  17.2  17.16 68 P  20  C20 95 Có 1650 học sinh xếp thành 22 hàng 75 cột Biết với hai cột bất kì, số cặp học sinh hàng giới tính không vượt 11 Chứng minh số học sinh nam không vượt quá 920 người Hướng dẫn giải Gọi là số học sinh nam hàng thứ i Vì có 75 cô ̣t nên số ho ̣c sinh nữ của hàng thứ i là 75  Số că ̣p ho ̣c sinh cùng hàng và củng giới tính : Chọn nam số nam cùng hàng : Ca2i cách Chọn nữ số nữ cùng hàng : C75  cách Chọn bạn học sinh bất kì hàng : C75 Theo đề bài, ta có :  C 22 i 1   C752 ai 11C752     75ai   30525 22 i 1 22    2ai  75   1650 i 1 Theo Cauchy-Swatch : Câu 22  22  (2 a  75)  22 (2ai  75)  36300   i  i 1  i 1  22 191  1650     921 i 1 Trong mô ̣t giải cờ vua gồ m nam và nữ vâ ̣n đô ̣ng viên Mỗi vâ ̣n đô ̣ng viên phải chơi hai ván với mỗi đô ̣ng viên còn la ̣i Cho biế t có vâ ̣n đô ̣ng viên nữ và cho biế t số ván các vâ ̣n đô ̣ng viên chơi với số ván họ chơi với hai vận động viên nữ là 66 Hỏi có vận động viên tham gia giải và số ván tất cả các vận động viên đã chơi? Hướng dẫn giải Gọi n là số vận động viên nam tham gia ( n  2, n  ) Chọn số n VĐV nam để đấu ván với : 2Cn2 cách Số ván VĐV nam đấ u với VĐV nữ là : 4n Theo đề bài, ta có : 2Cn2  4n  66 2n !  4n  66 (n  2)!2!  (n  1)n  4n  66   n  11(n)   n  6(l ) Vâ ̣y số VĐV tham gia giải là : 11+2=13 người Số ván các vâ ̣n đô ̣ng viên chơi với là : 2C112  4.11   156 ván Câu Cho tâ ̣p hơ ̣p A có 20 phầ n tử Hỏi có tập hợp A mà số phần tử là số chẵn ? Hướng dẫn giải Gọi S là số tập hợp có số phần tử là số chẵn 20  C20  C20   C20 S= C20 Ta xét : 2 3 20 (1  x)20  C20  C20 x  C20 x  C20 x  C20 2 3 20 (1  x)20  C20  C20 x  C20 x  C20 x  C20 Chọn x=1, ta đươ ̣c : 20 220  C20  C20  C20  C20  C20  C20  C20  C202  C20  C2020 20  220   2C20  2C20  2C20 20  219   C20  C20  C20 Câu 10 Cho n điểm P1 , P2 , P3 , , Pn (n  4) nằm đường trịn Tìm số cách tơ màu n điểm màu cho điểm kề tô màu khác Hướng dẫn giải Gọi an là số cách tô màu n điể m thỏa mãn Giả sử có vòng tròn n+1 điể m đươ ̣c tô màu theo yêu cầ u TH1 : Điể m và điểm n khác màu  Bỏ điểm n+1, ta có an cách Ngươ ̣c la ̣i, nế u thêm điể m n+1, ta có lựa cho ̣n màu cho nó Vâ ̣y có 3.an cách tô màu vòng tròn n+1 điể m theo TH1 TH2: điể m và điểm n cùng màu : Bỏ điểm n+1 và hợp hai điểm và n : an 1 cách Ngươ ̣c la ̣i, nế u có vòng tròn n-1 điể m đã đươ ̣c tô màu Ta tách điể m làm hai, và thêm điểm n+1 vào Khi đó nó có lựa cho ̣n màu, vì : 4an 1 cách Từ hai TH nêu trên, ta có : an1  3an  4an1 ( với a5  5! ) Một bảng ô vuông kích thước 3x3 gọi bảng “ 2015- hoàn thiện” tất cả điền số ngun không âm ( không thiết phân biệt ) cho tổng số hàng cột đều 2015 Hỏi có tất cả bảng “ 2015- hoàn thiện” cho số nhỏ số đường chéo nằm vị trí tâm bảng ? ( Đường chéo bảng vng là đường nối vng góc bên trái với vng góc bên phải ) Hướng dẫn giải Gọi số học sinh ban đầu là 2n và Un là số cách chọn số bạn xếp thành hàng ngang thỏa mãn yêu cầu bài tóan Ta bỏ bạn học sinh đầu hàng, còn 2n-1 người Gọi Vn là số cách chọn số bạn từ 2n-1 người đó thỏa mãn yêu cầu bài tóan Xét số cách chọn từ 2n người Câu 11 n n TH1: Bạn vị trí chọn.Khi đó bạn vị trí 2,3 khơng chọn Vâ ̣y có Vn -1+ cách chọn ( Thêm cách không chọn cả từ 2n-1 bạn) TH2: Bạn vị trí chọn Tương tự có Vn -1+ cách chọn TH3:Cả bạn vị trí và không chọn Khi đó có Un-1 cách Vậy ta có Un= Un-1+2 Vn -1+ (1) Xét số cách chọn từ 2n-1 bạn × n n TH1: Bạn vị trí chọn.khi đó bạn vị trí không chọn Vậy có Vn-1 +1 cách TH2: Bạn vị trí khơng chọn Có Un-1 cách Vậy ta có Vn = Vn-1 +1 + Un-1 (2) Từ (1) và (2) ta tìm Un+1 = Un+Un-1+2  Với n=50 ta có số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là Câu 12 Cho tập X= {1,2,3,.2015}, xét tất cả tập X, tập hợp có phần tử Trong tập hợp ta chọn số bé Tính trung bình cộng số chọn Hướng dẫn giải  Xét X= {1,2,3.n} và các tập gồm r phần tử X Các tập hợp X có phần tử chọn là 1,2.n– r + 1.Cách cấu tạo các tập hợp sau: Lấy A X {1}, A có r – phần tử ( vì đã bỏ ), {1}  A là tập hợp có r phần tử đó số là phần tử bé Vậy có: Cnr11 tâ ̣p có phần tử có phần tử nhỏ là Tương tự ta có: + Cnr12 tập có r phần tử có phầ n tử bé là + Cnr1(n r 1) tập có r phần tử có phầ n tử bé là n – r + Trung bình cô ̣ng các số đươ c̣ cho ̣n : P   1Cnr11  2Cnr12   (n  r 1)Cnr1(nr 1) Cnr Ta chứng minh:    nr 11   nr 11 C  C r 1 r 1 r 1 r 1Cn1  2Cn2   (n  r 1)Cn( nr 1) Cn  1C r 1 r 1 r 1 n1  2Cn2   (n  r 1)Cn( nr 1) r n r 1 n 1 mà Cnr1  Cnr  Cnr 1 ta được: 1 Cnr  Cnr1    Cnr1  Cnr2    (n  r )  Crr1  Crr   Cnr  Cnr1  Cnr2   Crr1  Crr  Cnr11 2015  2016  1 Câu 13 Có số tự nhiên chữ số khác tửng đôi mô ̣t, đó chữ số đứng liề n giữa hai số và ? Hướng dẫn giải Gọi số cần tìm có dạng : a1a2 a3a4 a5 a6 a7 Vậy trung bình cộng các số chọn là : Vì số cần tìm có số {1;2;3} nên ta chỉ cầ n cho ̣n số nữa để điề n vào vi ̣trí: C74 cách Hoán đổi vị trí số đươ ̣c cho ̣n cùng với cu ̣m { 1;2;3} : 5! cách Hoán đổi vị trí số và cu ̣m {1;2;3} : 2! cách Trong các số ta ̣o thành có TH số đứng đầ u : a1  có cách Chọn số nữa để điề n vào vi ̣trí : C63 cách Hoán đổi vị trí cụm{1;2;3} và số vừa cho ̣n : 4! cách Hoán đổi vị trí số và số cu ̣m {1;2;3}: 2! cách Vâ ̣y số các chữ số thỏa mañ yêu cầ u bài toán là : 2!5!C74  2!4!C63 =7440 số