Câu Câu Câu Câu Có 2012 thỏ nhốt 1006 chuồng, chuồng có hai Sau ngày người ta lại thay đổi vị trí thỏ cho khơng có hai thỏ nằm chung chuồng ngày trước lại nằm chung chuồng thêm lần Hỏi có tối đa ngày làm vậy? Cho n điểm mặt phẳng, với n > 4, số khơng có ba điểm thẳng hàng chứng ( n − 3)( n − 4) minh có tứ gác lồi tạo thành có đỉnh nằm số n điểm cho n C 21n +1 + C 22n +1 + + C 2nn +1 = 20 − (1 + x) Cho nhị thức , biết , (n nguyên dương) Tìm số hạng có hệ số lớn nhị thức? 2n ( − 3x ) Tìm hệ số x7 khai triển đa thức n số nguyên dương thỏa mãn: Cnk C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + + C22nn++11 = 1024 ( Câu Câu số tổhợp chập k n phần tử) Từ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số lại có mặt khơng q lần Trong số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên số, tìm xác suất để số chọn chia hết cho Trên bảng ô vuông 3x3, người ta đặt số viên sỏi cho vng có không viên sỏi Với cách đặt ta cho tương ứng với số điểm tổng số : hàng, cột, đường chéo chứa số lẻ viên sỏi Bảng khơng có sỏi ứng với điểm a) Tồn hay không cách đặt sỏi cho bảng khơng có sỏi số điểm tương ứng với cách đặt b) Chứng minh số cách đặt sỏi với điểm số số chẵn số cách đặt sỏi với điểm số số lẻ Hướng dẫn giải a) Giả sử khơng có sỏi điểm số cách đặt Như hàng, cột hai đường chéo có số lẻ viên sỏi Gọi a, b, c, d số sỏi hình vẽ, a, b, c, d ∈ { 0,1} Khi ô đối xứng với a, b, c, d qua tâm có số sỏi tương ứng a ', b ', c ', d' cho a b a + a ' = b + b' = c+ c' = d + d' = c d ( a + b + c ) + ( a '+ b '+ c ') = a+b+c a '+ b '+ c ' Từ suy hai tổng số chẵn Khi dòng thứ dòng thứ ba có tổng số sỏi số chẵn, mâu thuẫn với giả thiết ban đầu Vậy không tồn cách đặt sỏi thỏa mãn điều kiện toán b) Ta gọi hai cách đặt sỏi liên hợp với ô bên trái chúng có số sỏi khác lại tương ứng có số sỏi a b c f g e h d i a’ f g b h c d i ( B) (B’) Như vậy, cách đặt sỏi chia thành cặp đôi liên hợp với Xét hai cách đặt liên hợp với (B) (B’) Tổng số sỏi dòng 1, cột đường chéo hai bảng đơi khác tính chẵn lẻ Các dòng, cột đường chéo lại hai bảng có số sỏi Do điểm số ( B) (B’) khác đơn vị, suy số điểm ( B) (B’) có tính chẵn lẻ khác Vậy hai cách đặt liên hợp với nhau, cách xếp có điểm số chẵn, cách đặt lại có điểm số số lẻ suy điều phải chứng minh Câu Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Có thể lập số tự nhiên có chữ số khác từ chữ số Tính tổng chữ số lập Câu Câu k +2 C14k + C14 = 2C14k +1 Giải phương trình: X1 X Cho tập hợp X có 2016 phần tử Chọn 64 tập , ,., tập X (mỗi tập chứa nhiều 1008 phần tử) Chứng minh tồn tập A X có số phần tử khơng vượt A ∩ Xi ≠ ∅ mà Câu 10 X 64 , với i = 1,64 ´ Những hình vng kích thước 7 tơ hai màu Chứng minh tồn 21 hình chữ nhật với đỉnh màu cạnh song song với cạnh hình vng Hướng dẫn giải Ta cho màu tô trắng đen Lấy hàng bất kỳ, ta giả sử tồn k ô đen – k trắng Khi tồn Ck2 + C72- k = k - k + 21 ³ Cặp ô màu Vậy tồn 7.9 = 63 cặp màu hàng Tiếp theo tồn C72 = 21 cặp cột Suy tồn 21.2 = 42 tổhợp màu cặp cột i =1;24 Với tổhợp , giả sử tồn ji cặp tổ hợp, tồn ji – hình chữ nhật cho tổhợp Vì tổng ji 63 nên tồn 42 å ( ji - 1) ³ 63 - 42 = 21 i=1 Vậy tồn 21 hình chữ nhật thỏa mãn yêu cầu toán A = { 1; 2; ; 2013} Câu 11 A Cho tập hợp Cần phải loại khỏi phần tử để tập hợp lại có tính chất: Khơng phần tử tích hai phần tử khác Hướng dẫn giải {2;3; ; 44} A Loại khỏi tập hợp , tập có 43 phần tử Khi tập lại {1; 45; 46; ; 2012; 2013} Rõ ràng tập thỏa mãn u cầu: Khơng có phần tử tích hai phần tử khác Ta chứng minh cách tách khỏi mãn yêu cầu đề 0.5 đ A tập hợp có nhiều 42 phần tử không thỏa Thật xét ba sau (43 ba): 2, 87, 2.87 3, 86, 3.86 4, 85, 4.85 ………… 44, 45, 44.45 f ( x ) = x (89 − x ) Xét hàm số hàm đồng biến với ≤ x ≤ 44 ≤ x ≤ 44 f '( x) = 89 − x > 0, ∀2 ≤ x ≤ 44 Ta có f Vậy Suy f (2) < f (3) < < f (44) ⇒ 2.87 < 3.86 < < 44.45 Dễ thấy < < < 44 < 45 < 46 < < 87 < 2.87 < 3.86 < < 44.45 Vì 44.45 = 1980 < 2013 nên toàn phần tử 43 ba khác nằm tập hợp A A A Vì ta tách khỏi tối đa 42 phần tử, nên phần lại (sau tách) phải có ba nói Vậy cách tách không thỏa mãn yêu cầu đầu 2.0 đ Kết luận: Số phần tử cần tách khỏi Câu 12 A 43 phần tử Cho 51 điểm phân biệt nằm hình vng ABCD có cạnh 5, khơng có khơng có điểm thẳng hàng Vẽ đường tròn có bán kính có tâm 51 điểm Chứng minh tồn điểm số 51 điểm nói cho chúng thuộc phần giao hình tròn có tâm điểm Hướng dẫn giải * Chia hình vng ABCD thành 25 hình vng đơn vị ( có cạnh 1) Theo ngun lý Dirichlet, có hình vng đơn vị chứa khơng điểm * Mặt khác, khoảng cách hai điểm hình vuông đơn vị không vượt * Gọi I1, I2, I3 điểm nằm hình vng đợ vị Vẽ đường tròn có tâm I1, I2, I3 có bán kính ( Đpcm) Câu 13 điểm I1, I2, I3 thuộc giao hình tròn Cho 2013 điểm đường thẳng, tô điểm màu màu xanh, đỏ, vàng (mỗi viên bi tơ màu) Có cách tơ khác cho khơng có điểm liên tiếp màu Hướng dẫn giải Sn n≥3 n = 2013 Gọi số cách tô màu thỏa mãn cho n ( ) điểm (bài toán ta S n +1 ) Ta tính Sn theo Sn , xét hai bi cuối n +1 +Nếu hai bi cuối màu bi thứ +Nếu hai bi cuối khác màu bi thứ n +1 có hai trường hợp xảy ra: khác màu bi cuối tơ Mn Từ sinh hai số đặc trưng Pn số cách tô n bi mà hai bi cuối màu, số cách tô màu n bi mà hai bi cuối khác màu hai thỏa mãn bi liên tiếp khác màu Sn +1 = M n + Pn Ta có: , Pn +1 = 2S n ; M n+1 = Pn S n +1 = Pn −1 + S n = 4S n − + S n −1 Thế Vậy ta S n +1 − Sn−1 − 4S n − = có hệ thức truy hồi: Bây ta tính S3 = 27 − = 24 S3 , S thấy , S = 4!− − 12 = 49 X − 6X − = Phương trình đặc trưng Sn = ax1n + bx2n x1 = + 13, x2 = − 13 là: Công thức xác định a, b thỏa mãn: Sau cho Câu 14 có nghiệm với 24 13 − 23 a = 3 a(3 + 13) + b(3 − 13) = 24 13(3 + 13)3 ⇒ 4 24 13 − 23 a(3 + 13) + b(3 − 13) = 49 b = 13(3 − 13) n = 2013 ta kết tốn n∈¥ Đối với giá trị , tìm số k lớn thỏa mãn tập hợp gồm n phần tử chọn k tập khác cho hai tập có giao khác rỗng Hướng dẫn giải n 2n−1 + Số tập X Giả sử chọn tập X có giao khác rỗng Ta chia tập X thành 2n−1 2n−1 cặp tạo tập X phần bù tập 2n−1 + 2n−1 X Có cặp, chọn tập từ cặp nên theo ngun lý Dirichlet phải có tập thuộc cặp, giao rỗng Điều chứng tỏ khơng thể chọn lớn 2n−1 + tập cho giao hai tập chúng khác rỗng Số tập X không chứa phần tử Do có 2n−1 2n−1 Số tập X chứa 2n − 2n−1 = 2n−1 tập X có giao phần tử nên số k lớn cần tìm 2n−1 ... tồn C 72 = 21 cặp cột Suy tồn 21 .2 = 42 tổ hợp màu cặp cột i =1 ;24 Với tổ hợp , giả sử tồn ji cặp tổ hợp, tồn ji – hình chữ nhật cho tổ hợp Vì tổng ji 63 nên tồn 42 å ( ji - 1) ³ 63 - 42 = 21 i=1... nằm tập hợp A A A Vì ta tách khỏi tối đa 42 phần tử, nên phần lại (sau tách) phải có ba nói Vậy cách tách không thỏa mãn yêu cầu đầu 2. 0 đ Kết luận: Số phần tử cần tách khỏi Câu 12 A 43 phần tử... tập hợp , tập có 43 phần tử Khi tập lại {1; 45; 46; ; 20 12; 20 13} Rõ ràng tập thỏa mãn yêu cầu: Khơng có phần tử tích hai phần tử khác Ta chứng minh cách tách khỏi mãn yêu cầu đề 0.5 đ A tập hợp