Tách tổ hợp phần 1

Câu Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm K ∈ {1;2;…;n} cho số tập gồm K phần tử A lớn nhất? Hướng dẫn giải Số tập gồm phần tử từ n phần tử A : Cn tập Số tập gồm phần tử từ n phần tử A : Cn tập Theo đề bài, ta có: Cn4  20Cn2 n! n! �  20 (n  4)!4! (n  2)!2! � (n  3)(n  2)  240 n  18(n) � �� n  13(l ) � Gọi K số phần tử có số tập lớn A( �K �18, K ��) Khi đó : � C18K �C18K 1 � �K C18 �C18K 1 � 18! � 18! �(18  K )! K ! �(18  K  1)!( K  1)! � �� 18! � 18! � � �(18  K )! K ! (18  K  1)!( K  1)! � � � �(18  K ) ( K  1) �� �1 � �K 19  K � 17 19 � ۣ K 2 �K 9 Câu Cho k số tự nhiên thỏa mãn Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Ta có : (1  x)5 (1  x) 2011  (1  x) 2016 2 3 4 5 Đặt M  (1  x )  C5  C5 x  C5 x  C5 x  C5 x  C5 x k 2011 2011 N  (1  x )2011  C2011  C2011 x  C2011 x   C2011 x k   C2011 x k 2016 2011 P  (1  x) 2016  C2016  C2016 x  C2016 x   C2016 x k   C2016 x mà P=M.N nên phần tử thứ k P có dạng: k k k 1 k 1 k  k 5 C2016 x k  C50C2011 x k  C51 xC2011 x   C55 x 5C2011 x k k 1 k k 5 k  C50C2011 x k  C51C2011 x   C55C2011 x Chọn x=1 ta có điều phải chứng minh Câu Gọi A tập hợp số tự nhiên có chín chữ số đơi khác nhau.Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số đó chia hết cho Hướng dẫn giải Gọi phần tử A có dạng : a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 a9 a1 �0 nên có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí từ a2 � a9 : A9 cách chọn Vậy n(A)= A9 Giả sử gọi B   0;1; 2; ;9 có tổng 10 phần tử 45M3 Nên muốn tạo thành số có chữ số vả chia hết cho 3, ta cần loại phần tử bội Như vậy, ta sẽ có tập : B \{0}, B \{3}, B \{6}, B \{9} TH1: Chọn tập B \{0} để tạo số : Ta còn chữ số để xếp vào vị trí a1 � a9 : 9! cách TH2: Chọn ba tập : B \ {3}, B \ {6}, B \{9} : cách a1 �0 : có cách ( loại phần tử bội 3) Còn chữ số xếp vào vị trí còn lại : 8! cách  Số cách chọn phần tử thuộc A chia hết cho là: 9!  3.8.8! 9! 3.8.8! 11  Vậy xác suất cần tỉm : A98 27 Câu Gọi A tập hợp số tự nhiên có tám chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số đó chia hết cho Hướng dẫn giải Gọi phần tử A có dạng : a1a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a1 �0 nên có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí từ a2 � a8 : A9 cách chọn Vậy n(A)= 9A9 Giả sử gọi B   0;1; 2; ;9 có tổng 10 phần tử 45M9 Nên muốn tạo thành số có chữ số vả chia hết cho 3, ta cần loại phần tử có tổng bội Như vậy, ta sẽ có tập : B \{0;9}, B \{1;8}, B \{2;7}, B \{3;6}, B \{4;5} TH1: Chọn tập B \ {0;3} để tạo số : Ta còn chữ số để xếp vào vị trí a1 � a8 : 8! cách TH2: Chọn bốn tập : B \ {1;8}, B \{2; 7}, B \ {3;6}, B \ {4;5} : cách a1 �0 : có cách ( loại phần tử có tởng bội 9) Còn chữ số xếp vào vị trí còn lại : 7! cách  Số cách chọn phần tử thuộc A chia hết cho là: 8! 4.7.7! 8! 4.7.7!  Vậy xác suất cần tỉm : A97 Câu Người ta dùng 18 sách bao gồm sách Toán, sách Lý sách Hóa (các sách loại giống nhau) để làm phần thưởng cho học sinh A,B,C,D,E,F,G,H,I, học sinh nhận sách khác thể loại (khơng tính thứ tự sách) Tính xác suất để hai học sinh A B nhận phần thưởng giống Hướng dẫn giải Để học sinh nhận sách thể loại khác nhau, ta chia phần thưởng thảnh ba loại : ( Toán-Lý) ; ( Toán- Hóa) ; ( Lý- Hóa) Gọi x,y,z ( x, y , z ��) số học sinh nhận giải thưởng ( Toán-Lý) ; ( Toán- Hóa) ; ( Lý- Hóa) Khi đó, ta có hệ sau : �x  y  �x  � � �x  z  � �y  �y  z  �z  � � Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho học sinh : Chọn bạn bạn để nhận ( Toán-Lý) : C9 cách Chọn bạn bạn còn lại để nhận (Toán-Hóa) : C5 cách bạn còn lại chỉ có cách phát thưởng ( Lý-Hóa) Vậy n()  C9 C5 Gọi S biến cố “ hai học sinh A B có phần thưởng giống nhau” TH1 : A B nhận ( Tốn-Lý) Vì A B nhận quà nên ( Toán-Lý) còn lại phần Ta chọn bạn bạn để nhận : C72 cách Chọn bạn bạn còn lại để nhận ( Toán-Hóa) : C5 cách bạn còn lại chỉ có cách phát thưởng ( Lý-Hóa) Vậy có C7 C5 cách để A B củng nhận ( Toán-Lý) TH2: A B nhận ( Toán-Hóa) Lập luận tượng tự, ta : C7 C6 cách TH3 : A B nhận ( Lý-Hóa) có C7 cách 4 Vậy có C7 C5 + C7 C6 + C7 Câu C72C53  C71C64  C74 P( S )   C94C53 18 Cho tập hợp A={1,2,3,4,.,20} Tính xác suất để ba số chọn khơng có số tự nhiên liên tiếp Hướng dẫn giải Số cách chọn ba số đôi khác từ A : n()  C20 TH1 : Ta chọn số có chữ số tự nhiên liên tiếp : Chọn phần tử A \{19; 20} : 18 cách chọn Với phần tử chọn, ta lấy hai phần tử liền kề bên phải : cách chọn Vậy có 18 cách chọn phần tử liên tiếp TH2 : Chọn ba số có đúng hai chữ số liên tiếp : Chọn hai phần tử {1;19}: cách Với cách chọn phần tử trên, ta có cách chọn phần tử liền sau đó Chọn phần tử thứ ba không liên tiếp với phần tử chọn : 17 cách ( phải bỏ phần tử liển sau phần tử thứ ) Chọn phần tử tập {2;3;4;.;18} : 17 cách Với cách chọn trên, ta có cách chọn phần tử thứ hai liền sau nó Để chọn phần tử thứ không liên tiếp, ta cần bỏ phần tử liền trước phần tử liền sau phần tử : 16 cách  Vậy có 17.2+17.6 cách chọn phần tử có đúng hai chữ số liên tiếp C20  18  17.2  17.16 68 P  C20 95 Câu Có 1650 học sinh xếp thành 22 hàng 75 cột Biết với hai cột bất kì, số cặp học sinh hàng giới tính khơng vượt q 11 Chứng minh số học sinh nam không vượt 920 người Hướng dẫn giải a Gọi i số học sinh nam hàng thứ i Vì có 75 cột nên số học sinh nữ hàng thứ i 75  Số cặp học sinh hàng củng giới tính : Chọn nam số nam hàng : Cai cách Chọn nữ số nữ hàng : C75ai cách Chọn bạn học sinh hàng : C75 Theo đề bài, ta có : 22 � C i 1   C752 ai �11C752 22 � �  75ai  �30525 i 1 22 � � 2ai  75  �1650 i 1 Theo Cauchy-Swatch : Câu 22 �22 � (2 a  75) � 22 (2ai  75)  36300 � � i � � i 1 �i 1 � 22 191  1650 � �ai   921 i 1 Trong giải cờ vua gồm nam nữ vận động viên Mỗi vận động viên phải chơi hai ván với động viên còn lại Cho biết có vận động viên nữ cho biết số ván vận động viên chơi với số ván họ chơi với hai vận động viên nữ 66 Hỏi có vận động viên tham gia giải số ván tất cả vận động viên chơi? Hướng dẫn giải Gọi n số vận động viên nam tham gia ( n �2, n ��) Chọn số n VĐV nam để đấu ván với : 2Cn cách Số ván VĐV nam đấu với VĐV nữ : 4n Theo đề bài, ta có : 2Cn2  4n  66 2n !  4n  66 (n  2)!2! � (n  1)n  4n  66 � Câu n  11(n) � �� n  6(l ) � Vậy số VĐV tham gia giải : 11+2=13 người Số ván vận động viên chơi với : 2C11  4.11   156 ván Cho tập hợp A có 20 phần tử Hỏi có tập hợp A mà số phần tử số chẵn ? Hướng dẫn giải Gọi S số tập hợp có số phần tử số chẵn 20  C20  C20   C20 S= C20 Ta xét : 2 3 20 (1  x ) 20  C20  C20 x  C20 x  C20 x  C20 2 3 (1  x) 20  C20  C20 x  C20 x  C20 x  C2020 Chọn x=1, ta : 220  C200  C20  C20  C20  C2020  C20  C20  C202  C20  C2020 � 220   2C202  2C204  2C2020 � 219   C202  C20  C2020 Câu 10 Cho n điểm P1 , P2 , P3 , , Pn ( n  4) nằm đường tròn Tìm số cách tơ màu n điểm màu cho điểm kề tô màu khác Hướng dẫn giải Gọi an số cách tô màu n điểm thỏa mãn Giả sử có vòng tròn n+1 điểm tô màu theo yêu cầu TH1 : Điểm điểm n khác màu  Bỏ điểm n+1, ta có an cách Ngược lại, thêm điểm n+1, ta có lựa chọn màu cho nó Vậy có 3.an cách tô màu vòng tròn n+1 điểm theo TH1 TH2: điểm điểm n màu : Bỏ điểm n+1 hợp hai điểm n : an 1 cách Ngược lại, có vòng tròn n-1 điểm tô màu Ta tách điểm làm hai, thêm điểm n+1 vào Khi đó nó có lựa chọn màu, : 4an 1 cách Từ hai TH nêu trên, ta có : an1  3an  4an 1 ( với a5  5! ) Câu 11 Một bảng ô vuông kích thước 3x3 gọi bảng “ 2015- hồn thiện” tất cả ô nó điền số nguyên không âm ( không thiết phân biệt ) cho tổng số hàng cột đều 2015 Hỏi có tất cả bảng “ 2015- hoàn thiện” cho số nhỏ số ô đường chéo nằm vị trí tâm bảng ? ( Đường chéo bảng vng đường nối ô vuông góc bên trái với ô vuông góc bên phải ) Hướng dẫn giải Gọi số học sinh ban đầu 2n Un số cách chọn số bạn xếp thành hàng ngang thỏa mãn yêu cầu tóan Ta bỏ bạn học sinh đầu hàng, còn 2n-1 người Gọi Vn số cách chọn số bạn từ 2n-1 người đó thỏa mãn yêu cầu tóan Xét số cách chọn từ 2n người n n TH1: Bạn vị trí chọn.Khi đó bạn vị trí 2,3 khơng chọn Vậy có Vn -1+ cách chọn ( Thêm cách không chọn cả từ 2n-1 bạn) TH2: Bạn vị trí chọn Tương tự có Vn -1+ cách chọn TH3:Cả bạn vị trí khơng chọn Khi đó có Un-1 cách Vậy ta có Un= Un-1+2 Vn -1+ (1) Xét số cách chọn từ 2n-1 bạn × n n TH1: Bạn vị trí chọn.khi đó bạn vị trí khơng chọn Vậy có Vn-1 +1 cách TH2: Bạn vị trí khơng chọn Có Un-1 cách Vậy ta có Vn = Vn-1 +1 + Un-1 (2) Từ (1) (2) ta tìm Un+1 = Un+Un-1+2  Với n=50 ta có số cách chọn thỏa mãn yêu cầu toán Câu 12 Cho tập X= {1,2,3,.2015}, xét tất cả tập X, tập hợp có phần tử Trong tập hợp ta chọn số bé Tính trung bình cộng số chọn Hướng dẫn giải  Xét X= {1,2,3.n} tập gồm r phần tử X Các tập hợp X có phần tử chọn 1,2.n– r + 1.Cách cấu tạo tập hợp sau: Lấy A X {1}, A có r – phần tử ( bỏ ), {1} �A tập hợp có r phần tử đó r 1 số phần tử bé Vậy có: Cn 1 tập có phần tử có phần tử nhỏ Tương tự ta có: r 1 + Cn  tập có r phần tử có phần tử bé r 1 + Cn ( n r 1) tập có r phần tử có phần tử bé n – r + Trung bình cộng số chọn : P   r 1 r 1 r 1 r 1Cn 1  2Cn 2   (n  r  1)Cn( n r 1) Cn Ta chứng minh:  1Cnr11  2Cnr12   (n  r 1)Cnr1(nr 1) Cnr �  1C r 1 r 1 n1  2Cn2   (n  r 1)Cnr1( nr 1) r r r 1 mà Cn 1  Cn  Cn ta được:   nr 11   nr 11 C r n  Cnr11 1 Cnr  Cnr1    Cnr1  Cnr2    (n  r )  Crr1  Crr   Cnr  Cnr1  Cnr2   Crr1  Crr  Cnr11 2015  2016  1 Câu 13 Có số tự nhiên chữ số khác tửng đôi một, đó chữ số đứng liền hai số ? Hướng dẫn giải Gọi số cần tìm có dạng : a1a2 a3 a4 a5 a6 a7 Vậy trung bình cộng số chọn : Vì số cần tìm có số {1;2;3} nên ta chỉ cần chọn số để điền vào vị trí: C7 cách Hốn đởi vị trí số chọn với cụm { 1;2;3} : 5! cách Hốn đởi vị trí số cụm {1;2;3} : 2! cách Trong số tạo thành có TH số đứng đầu : a1  có cách Chọn số để điền vào vị trí : C6 cách Hốn đởi vị trí cụm{1;2;3} số vừa chọn : 4! cách Hốn đởi vị trí số số cụm {1;2;3}: 2! cách Vậy số chữ số thỏa mãn yêu cầu toán : 2!5!C7  2!4!C6 =7440 số ... r 1Cn 1  2Cn 2   (n  r  1) Cn( n r 1) Cn Ta chứng minh:  1Cnr 11  2Cnr 12   (n  r 1) Cnr 1( nr 1) Cnr �  1C r 1 r 1 n 1  2Cn2   (n  r 1) Cnr 1( nr 1) r r r 1. .. 1  Cn  Cn ta được:   nr  11   nr  11 C r n  Cnr 11 1 Cnr  Cnr 1    Cnr 1  Cnr2    (n  r )  Crr 1  Crr   Cnr  Cnr 1  Cnr2   Crr 1  Crr  Cnr 11 2 015  2 016 ...  1) n  4n  66 � Câu n  11 (n) � �� n  6(l ) � Vậy số VĐV tham gia giải : 11 +2 =13 người Số ván vận động viên chơi với : 2C 11  4 .11   15 6 ván Cho tập hợp A có 20 phần tử Hỏi có tập hợp