Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 25 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
3.1 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài Cho dãy số an a1 a a xác định : Chứng minh với số thực an 1 2an 2an 3an 4an a dãy an hội tụ Tùy theo a , tìm giới hạn dãy an Hướng dẫn giải Nếu a a (do bất đẳng thức AM-GM) a Nếu a a 1 (do bất đẳng thức AM-GM) nên a 2 a a Nếu a a1 Ta chứng minh: an 2, n * Hiể n nhiên a1 Giả sử ak ak 1 2.23 2.22 2 3.22 4.2 Vậy lim an lim a Nếu a1 Ta chứng minh an n * a Rõ ràng a1 Giả sử ak Ta chứng minh ak 1 2ak 2ak 2 ak 1 2ak ak ( đúng) 3ak 4ak Ta chứng minh an dãy giảm, : an3 2an an an 1 an n, an 1 an 3an 4an 3an 4an ( tử âm, mẫu dương 2 an 3an 4an 2 an Mà an an 2 3an 4an ) giảm bị chặn an có giới hạn L lim an 1 lim 2an3 2an 2 L3 L2 3an 4an 3L2 L L an L 1 Vậy lim an Nếu a a1 2 Tương tự, ta có: an3 2an an an 1 an n, an 1 an 3an 4an 3an 4an nên an tăng Hơn an bị chặn 1 , ak 1 1 2ak 2ak 2 1 ak 1 (2a 3) 3ak 4ak Vậy an tăng bị chặn an có giới hạn L an 1, n , an 1 an 0, n L L3 L2 L a L n 3L2 L Vậy lim an 1 Tóm lại: + Nếu a lim an a + Nếu lim an a + Nếu a lim an 1 Bài Cho dãy số xn x1 xác định 2015 * Tìm giới hạn x x n n n 2015 xn xn xn xn dãy nxn n , với số thực cho trước Hướng dẫn giải Dễ dàng chứng minh xn 0, n qui nạp Ta có 1 xn1 xn , n 1 xn21 xn xn2 xn2 ; n xn xn xn Bởi n , n xn2 xn21 xn22 x12 n 1 xn 1, n lim xn n Với n * , đặt xn 1 xn 2015 tn tn 2015 xn xn xn xn t , với t 2014 2015 (1), suy xn2 xn 1; n tn 2 n 1 x 2t 1 x xn tn xn2 tn2 xntn n n xn xn xn n b1 x12 Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy bn với 2 bn xn xn 1 , n ta có lim bn suy lim n n b1 b2 bn lim bn n n 2 2 2 xn2 xn xn1 xn1 xn2 x2 x1 x1 b1 b2 bn n Mà suy lim n x n n n n n sau (chứng minh định lý trung bình Cesaro) n x 2 n Thật ta chứng minh trực tiếp lim Xét dãy cn : c1 x12 2; cn xn2 xn21 với n 2,3 lim cn nên tồn m * cho cn n Gọi M max ci , n m với i m 1 m 1 M m 1 M m 1 M Với tồn m m ' hay m Xét n max m, m ' ta có | i 1ci | n n n c i m i n | i 1ci | m 1 i 1 n | ci | n m 1 n m 1 M m 1 M o theo định n m 2 n nghĩa lim n n 2 2 2 xn2 xn xn1 xn1 xn2 x2 x1 x1 c1 c2 cn n suy lim n x n n n n Nếu 2 n.xn n.xn2 n Nếu 2 n.xn xn 2 n.xn2 n Nếu 2 n.xn xn 2 n.xn2 n Bài Cho hai số a1 , b1 với b1 a Lập hai dãy số an , bn với n 1, 2, Theo quy tắc sau: giải nghĩa là: an 1 (an bn ) , bn1 an1.bn Tính: lim an lim bn n n Hướng dẫn giải Tính a2 , b2 với b1 a1 ta chọn a cho: b1 cosa , Suy a1 cos a 1 a a2 (cos a cos a) cos a(cos a 1) cos a.cos 2 a a b2 cos a.cos cos a cos a.cos 2 Bằng quy nạp, chứng minh được: a a a a a an cos a.cos cos n1 cos n1 (1) bn cos a.cos cos n1 (2) 2 2 Nhân hai vế (1) (2) cho sin an a 2n 1 , a 2n.sin n 1 sin 2a.cos bn a áp dụng công thức sin 2a được: 2n 1 sin 2a a n sin n 1 Tính giới hạn: lim an n sin 2a , 2a lim bn n sin 2a 2a Cho dãy số an , a1 an 1 an Bài a Chứng minh: lim n n an n Hướng dẫn giải ak21 ak2 n n 1 n 1 1 2 a a 2(n 1) i j 2 ak i 2 j 1 j 1 a j n 1 Vậy an 2n , n j 1 a j an2 2n ak2 2k k 1 1 1 1 2 a k (2k-1) (2k-1) 4k(k+1) k k n 1 n 1 1 1 1 (1 ) 1 4 n 1 4 k ak j 1 a j Suyra: n 1 n 1 1 ( n 1) (n 1) (n 2) 4 j 1 a j j 1 a j Suyra: Vậy: an2 2n Suyra: n 2; 5(n 1) (n 2) 2n-1 1 Ta có u2 u a a a a Bằng quy nạp, ta chứng minh un 1 a n a2 n , n - Xét i1 ui a 2i1 a i 1 i 1 n n 1 1 a u a n21 u1 u2 un 2n a Bài 15 1 n 2i1 2n a a a 2i1 a a 2n 1.0 a a i 1 a a a 2n 2 a 2n a lim un 1 a a 20132 1.0 n u u u a a n 2n a Cho dãy số (an ) thỏa mãn: lim(5an1 3an ) Tính lim an Hướng dẫn giải Đặt an bn Từ giả thiết suy lim(5bn1 3bn ) Với số dương bé tùy ý, tồn số N cho với n N ta có: 11 5bn 1 3bn (1) - Nếu bn1.bn từ (1) dẫn đến 5bn 1 3bn bn - Xét trường hợp bn1.bn hay bn 1 , bn dấu, chẳng hạn chúng dương Nếu 2bn1 bn kết hợp với (1): 3(2bn 1 bn ) bn 1 Mà từ (1) ta có 3bn 5bn 1 dẫn đến bn 1 bn Nếu 2bn1 bn kết hợp với (1): (bn1 bn ) bn dẫn đến bn 2 Tóm lại ln có bn , hay lim(bn ) Vậy lim(an ) Bài 16 un2015 2un , n 1, 2,3 Với số Cho dãy (un ) xác định sau: u1 = un 1 2014 un un n nguyên dương n , đặt i 1 2014 i u 4 Tìm lim n Hướng dẫn giải Đặt 2014 ta có un 1 un2015 2un (un 2)(un 4) , (*) un2014 un (un 4) (un 2) Bằng quy nạp ta chứng minh un 3, n Xét un 1 un un 1 2un (un 2)2 u 0, un n un un un un Do (un ) dãy tăng u1 u2 un Giả sử (un ) bị chặn trên, suy lim un a , a Khi ta có a n a 1 a a (vơ lí), suy a a (un ) không bị chặn Vậy lim un n Từ (*) suy 1 1 1 , hay un 1 un un un un un 1 n 1 1 2014 i 1 ui ui 1 un1 i 1 ui n Vậy lim li m (1 n n ) 1 un1 12 Bài 17 u1 Cho dãy số un xác định Chứng minh dãy un u u u , n n n n có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải u1 Dãy số un xác định u u u , n n n n Ta chứng minh un 2, n Thật ta có u1 Giả sử uk 2, k , uk31 3uk 1 uk nên uk31 3uk 1 uk 1 1 uk 1 uk 1 Do theo nguyên lý quy nạp un 2, n Xét hàm số f t t 3t khoảng 2, Ta có f ' t 3t 0, t Do hàm số f t đồng biến khoảng 2, Mặt khác ta có u13 3u1 18 u23 3u2 f u1 f u2 u1 u2 Giả sử uk uk 1 k 1 uk uk 1 uk31 3uk 1 uk32 3uk 2 f uk 1 f uk 2 uk 1 uk 2 Do un un1 , n 1 Dãy un dãy giảm bị chặn nên dãy un có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un a a Từ hệ thức truy hồi un31 3un1 un chuyển qua giới hạn ta được: a3 3a a a3 3a a a a5 2a 2a3 4a a 1 a a a3 2a3 a 1 a a a Vậy lim un Bài 18 Cho dãy n Tìm: lim i 1 số xn thỏa mãn: x1 2015 xn1 xn xi Hướng dẫn giải * Ta có: xn n N * 13 xn n N (*) * Và: xn1 xn xn n N * xn dãy số tăng * Đặt un xn un xác định xn n N * un n N * un1 xn1 xn1 un21 Nên từ giả thiết (*) ta có: un21 un2 un 1 un un 1 2 un1 un2 un n N * (1) * Xét dãy số un ta có: un1 un un2 n N * un tăng Giả sử un có giới hạn a Từ (1) ta có: a a a a (loại) un tăng không bị chặn lim un * Ta có: un2 u u u u 1 2n 1 n n 1 n un un 1 un un un un un 1.un un un 1 n 1 u1 un 1 i11 ui n lim i 1 1 1 lim ui 2015 u1 un1 n Vậy: lim i 1 Bài 19 1 xi 2015 u1 Chứng minh dãy số un có Cho dãy số un ; (n = 1; 2;.) xác định bởi: un 1 un 12 giới hạn Tìm giới hạn Hướng dẫn giải Dự dốn giới hạn dãy số,bằng cách giải phương trình: a a a 12 a a a 12 Nhận xét u1 14 u2 u1 12 17 u1 u3 u2 12 17 12 u2 Ta dự đoán dãy số un dãy số giảm bị chặn tức un Chứng minh dãy số un bị chặn: tức un n 1, u1 n Giả sử uk , ta chứng minh: uk 1 Thật ta có: uk 1 uk 12 uk21 uk 12 uk21 12 uk uk21 16 uk 1 Vậy dãy số un bị chặn Ta chứng minh dãy số un dãy số giảm Ta có: un 1 un un 12 un (un 4)(un 3) un2 un 12 un 1 un (vì un ) un 12 un un 12 un Vậy dãy số un giảm bị chặn nên có giới hạn Đặt lim un a lim un1 a Ta có: un1 un 12 lim un1 lim un 12 a a 12 a Vậy lim un Cho dãy số xn xác định Bài 20 x1 2,1 xn xn2 xn x * , n 1, 2, n 1 n Với số nguyên dương n, đặt yn Tìm lim yn i 1 xi Hướng dẫn giải Ta có kết sau: với số thực a bất kì, ta có a2 a 8a 2 a2 a 4a 2 a a 2 a Do 2,1 x1 x2 xn dãy tăng, giả sử bị chặn tức có giới hạn lim xn L Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình 15 x x2 x 8x 2 x x x phương trình khơng có nghiệm hữu hạn lớn Suy dãy xn tăng không bị chặn nên lim xn Ta có xn 1 xn xn xn 2 xn 1 xn xn xn xn 1 xn xn xn xn xn 3 xn xn xn 1 2 xn xn 1 xn n Suy yn i 1 xn xn 1 xn 1 xi 2 xn 1 xn 1 x1 xn 1 10 xn 1 Vậy lim yn 10 Bài 21 Cho dãy số xn xác định x1 2016, xn1 xn2 xn 1, n 1, 2,3, a)Chứng minh xn tăng lim xn 1 1 b)Với số nguyên dương n , đặt yn 2016 Tính lim yn xn x1 x2 Hướng dẫn giải xn1 xn xn2 xn xn 1 xn1 xn , n a)Ta có Do xn tăng Ta chứng minh quy nạp theo n xn n 1, n (1) Thật vậy, (1) với n Giả sử (1) với n (n 1) xn1 xn xn 1 n n 1 n2 n n Vậy (1) với n Từ xn tăng ngặt xn n 1, n suy lim xn b)Ta có xn1 xn xn 1 Suy Từ xn 1 1 xn xn 1 xn xn 1 xn xn xn 1 1 1 yn 2016 2016 2016 xn x1 x2 x1 xn 1 2015 xn 1 Từ lim xn lim 2016 Vậy lim yn xn 2015 16 Bài 22 1 a Cho dãy an n 1 : an sin1 sin 32 sin n2 sin n Chứng minh dãy n2 n n n 1 a hội tụ tính lim n2 n Hướng dẫn giải Bổ đề 1: x sin x x x3x 1 1 n Bổ đề 2: lim n 1 1 1 Đặt xn n sin Áp dụng bổ đề 1: sin k xk k n k k k 6k 6k 1 1 n an n 1 6 n 1 a n Chia vế cho n : n2 2 n 6n Cho n , lấy giới hạn, suy lim Bài 23 Cho dãy số u1 2, un 1 an n2 n 1 un un n n n Tính giới hạn lim Hướng dẫn giải n2 Ta chứng minh quy nạp un n , n n 1 Rõ ràng khẳng định với u1 k 1 u k k2 Giả sử có uk k 1, k Ta chứng minh k 1 k 2 k 1 (k 1)2 k 1 Thật vậy: uk k uk 1 uk k 2 k2 (k 1) k 1 uk uk 1 k 2 k k k 1 uk k k 1 1 k 1 Vậy ta có u n2 un n 1, n lim n n n n 1 17 Bài 24 x Cho dãy số xn với: n 3 2x n 1 3x n n n N * a) Chứng minh: x n với n N * b)Chứng minh dãy số x n có giới hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải Ta chứng minh x n với n N * quy nạp Ta có: x nên x Giả sử: x k với k N * Ta có: 3x 2k n 1 nên n 3x 2n n 3 Suyra: x n 1 n Vậy x n với n N * Ta chứng minh xn dãy giảmbằng quy nạp Vì nên 3 2 Ta có x x Giả sử: x k 1 x k Ta có: x 2k 1 3x 2k f n = 3x 2k 1 n 1 hàm nghịch biến nên: n k4 k3 3x 2k k 1 k Suy ra: x k x k 1 Vậy xn dãy giảm xn lả dãy giảm bị chặn nên hội tụ Đặt lim x n Ta có 2 3 xn x1 3xn (n N * ) un un x2 n 1 n N * x n 1 xn Vậy lim x n Bài 25 u1 2011 Cho dãy số un xác định: n n * 2 un 1 un , n N Chứng minh dãy số un có giới hạn hữu hạn tính giới hạn Hướng dẫn giải Ta có n un 1 n.un un 1 un 2n Chứng minh : un 21– n (bằng quy nạp) *với n ta có u1 2011 20 18 *Giả sử uk 21– k (với k ) *Cần chứng minh : uk 1 2– k Ta có uk 1 uk k 21k k k Suy điều phải chứng minh Từ ta có un – 2– n với n un 1 un 2n 1 1 Ta có u2 u1 ; u3 u2 ; u4 u3 ; ; un un1 n1 2 2 1 1 un u1 n 1 2 2 1 1 Công thức tổng quát : un 2011 2 n 1 1 2011 2 n 1 Vậy lim un 2010 Bài 26 u1 a Cho số thực a 0;1 , xét dãy số un với: 2013 u u u , n n n n 2014 2014 a) Chứng minh rằng: un 1, n b) Chứng minh un có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Hướng dẫn giải a) Chứng minh: un 1, n 1 n 1: u1 a 0;1 1 với n=1 Giả sử uk với k 1, k Ta có: uk2 uk 0 1 uk2 2014 2014 2013 2013 uk 2014 2014 2013 uk2 uk uk 1 2014 2014 Vậy: un 1, n b) Chứng minh un có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Ta chứng minh: un dãy tăng n , un1 un 2013 un2 un u n un un 2014 2014 2014 19 u n un 2013 un1 un , n hay un dãy tăng.(2) Từ (1),(2) suy un có giới hạn hữu hạn.Giả sử un có giới hạn a, o a 1 Ta có: a 2013 a2 a a Vậy lim un 2014 2014 Bài 27 u1 Cho dãy số(un) xác định sau: u u , n N n 1 n a) Chứng minh rằng: 1 un 2, n b) Chứng minh un có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Hướng dẫn giải a) Với: n 1: u1 1 với n=1 Giả sử: 1 uk với k 1, k Ta có: uk 1 uk3 uk uk2 2uk uk 1 3 uk 1 uk 1 uk 1 1 1 uk 1 Vậy: 1 un 2, n b) n , un1 un un 1 un un1 un , n hay un dãy giảm (2) Từ (1),(2) suy un có giới hạn hữu hạn Gọi a giới hạn un , 1 a Ta có a a3 a Vậy lim un 1 3 Bài 28 Cho dãy số un un2 un , n N * Tìm giới hạn sau: xác định bởi: u1 1; un1 2015 u u u lim n n u un 1 u3 Hướng dẫn giải 1 u un2 Từ đề ta có: un 1 un Suy ra: n 2015 2015 un 1 un un 1 Ta có: 1 u u1 u2 k 2015 2015 1 u2 u3 uk 1 u1 uk 1 uk 1 20 Ta có un dãy đơn điệu tăng u1 Nếu lim un n 2 2015 ( vơ lí un dãy đơn điệu tăng u1 ) Suy ra: lim un n u u u Kết luận: lim n 2015 n u un 1 u3 Bài 29 u1 2013 Cho dãy số un xác định n N * Chứng minh dãy (un) có u u u 2013 n n 1 n giới hạn tính giới hạn Hướng dẫn giải Từ hệ thức truy hồi suy 2un un1 un 2013 Bằng quy nạp chứng minh un > 0, với n Do ta có: un12 2013 2013 2013 un un1 2013, n un 2un 1 2 un 1 un Mặt khác ta có : un 1 un 2013 2013 1 un 2un 2 2un 2 (un) dãy số giảm bị chặn 2013 , (un) có giới hạn hữu hạn Đặt lim un a Ta có : a Bài 30 a 2013 a 2013 Vậy lim un 2013 2a Cho dãy số xn xn4 , n * xác định bởi: x1 4, xn 1 xn xn a) Chứng minh lim xn ; n n b) Với số nguyên dương n , đặt yn k 1 Tính lim yn x 3 k Hướng dẫn giải xn 3 xn3 3 xn4 a) Xét xn 1 * xn xn xn3 3 xn 3 Bằng quy nạp chứng minh xn 3, n 21 Xét xn 1 xn xn 1 xn xn4 xn2 xn x n xn3 xn xn3 xn xn 3 x xn n 0, n * Do xn dãy tăng x1 x2 x3 Giả sử xn bị chặn lim xn a Do đó: a a4 a (vô lý) Suy xn không bị chặn Vậy lim xn a3 a b) Từ (*), suy ra: n Suy ra: yn k 1 1 1 1 xn1 xn xn xn xn xn 1 n 1 1 xk k 1 xk xk 1 xn 1 Vậy lim yn lim 1 xn 1 Bài 31 x1 xn2014 x12014 x22014 2015 u Cho dãy số Tìm giới hạn dãy số với u xn n n x x x x x n 1 n 1 n 2015 Hướng dẫn giải xn 1 xn2015 x 2015 x x xn2015 xn xn 1 xn n n 1 n 2015 2015 xn1 xn 2015 xn1 xn 1 xn2014 1 xn2014 2015 xn xn1 2015 xn1 xn xn 1 xn 1 Từ un 2015 1 xn 1 Dễ thấy xn dãy tăng x1 x2 x3 Giả sử xn bị chặn lim xn a Do đó: a a 2015 a a (vô lý) Suy xn không bị chặn Vậy lim xn 2015 Vậy limu n lim 2015 1 2015 xn 1 22 Bài 32 x1 Cho dãy số {xn } xác định xn2 Tìm giới hạn dãy ( Sn ) với x x n 1 n 2015 x x x Sn n x2 x3 xn 1 Hướng dẫn giải 1 xn 1 xn xn2 x xn2 n 2015 xn1 xn 2015 xn 1 xn xn 2015 xn 1 xn xn 1 xn xn 1 2015 xn xn 1 Suy ra: Sn 1 x x1 x2 n 2015 2015 1 x2 x3 xn 1 x1 xn 1 xn 1 Dễ thấy xn dãy tăng x1 x2 x3 Giả sử xn bị chặn lim xn a a2 Do đó: a a a (vô lý) Suy xn không bị chặn Vậy lim xn 2015 Vậy limSn lim 2015 1 2015 xn 1 Bài 33 n x1 Cho dãy số ( xn ) xác định Đặt Sn x x x ( x 1)( x 2)( x 3) k k n n n n n Tìm limSn Hướng dẫn giải xn1 xn ( xn 1)( xn 2)( xn 3) ( xn 3xn )( xn 3xn 2) xn2 3xn Ta có n 1 1 1 1 Sn x1 xn1 xn 1 xn xn xn 1 k 1 xk Dễ thấy: xn1 xn xn 1 0, n N * suy xn dãy tăng x1 x2 x3 Giả sử xn bị chặn lim xn a Do đó: a a 3a a 1 (vô lý) Suy xn không bị chặn Vậy lim xn 1 Vậy limSn lim xn 1 Bài 34 2016 1 u1 2015 . Cho dãy số (un) xác định bởi: Đặt Sn u1 u2 un 2u u 2u , n * n n n 1 Tính: limSn 23 Hướng dẫn giải 2un1 un un un1 un u n 1 1 1 un1 un un un un un1 n 1 2015 u1 un1 2016 un 1 k 1 uk Sn Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh un 0, n N * 2016 Khi đó: un 1 un un 0, n N * suy un dãy tăng u1 u2 u3 2015 Giả sử un bị chặn limu n a Do đó: 2a a 2a a 2016 (vô lý) Suy un không bị chặn 2015 Vậy limu n 2015 2015 Vậy limSn lim 2016 un 1 2016 Bài 35 Cho dãy số xn xác định bởi: x1 4, xn 1 xn4 , n * xn xn a) Chứng minh lim xn ; n n b) Với số nguyên dương n , đặt yn k 1 Tính lim yn x 3 k Hướng dẫn giải xn 3 xn3 3 xn4 a) Xét xn 1 * xn xn xn3 3 xn 3 Bằng quy nạp chứng minh xn 3, n Xét xn 1 xn xn 1 xn xn4 xn2 xn x n xn3 xn xn3 xn xn 3 xn3 xn 0, n * Do xn dãy tăng x1 x2 x3 Giả sử xn bị chặn lim xn a Do đó: a a4 a (vô lý) Suy xn không bị chặn Vậy lim xn a3 a 24 b) Từ (*), suy ra: n Suy ra: yn k 1 1 1 1 xn1 xn xn xn xn xn 1 n 1 1 xk k 1 xk xk 1 xn 1 Vậy lim yn lim 1 xn 1 25