3.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN Bài Cho dãy số an xn u1 thỏa mãn u un n 1 u n xác định xn n * Tìm tất số thực a cho dãy số una ( n * ) hội tụ giới hạn khác n Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có dãy số un dãy số dương tăng(1) Giả sử un bị chặn suy hội tụ Đặt L lim un , ta có L L Vì un khơng bị chặn trên(2) Từ (1) (2) ta có lim un 43 Xét lim un 1 un3 Đặt ( n * ), ta có lim un3 4 4 v vn3 4vn2 6vn 1 n 1 3 un 1 un v v n n v4 1 1 n 4 u3 Suy lim un31 un3 Từ lim n (sử dụng trung bình Cesaro) n una un a 43 Ta có lim lim un 0 n n 4 3 Vậy a Bài 4 a a a giá trị cần tìm Cho dãy số un u1 ; u2 xác định sau: u u un n 1 n , n N * un 1 un a)Chứng minh tồn vô số giá trị nguyên dương n để un b)Chứng minh un có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn Hướng dẫn giải 1 (vơ lý) L a)Trước hết ta ln có un 0, n N * Xét un un1 1 un 1 (1) un 1 un Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh u3n , u3n1 1, n N * u3n 1, n N * Từ suy điều phải chứng minh u 1 un 1 (2) b)Ta có un n 1 un 1 un un un 1 un , n N * un un 1 un Chia vế (1) cho (2) có Đặt un n N * , ta có vn2 vn1.vnn N * un Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh v2Fn1 v1Fn2 , với F1 F2 * Fn Fn 1 Fn , n N 1 Hay 2 Bài Fn1 1 3 Fn2 n , dẫn đến lim un Cho dãy số un xác định sau u1 * u u u u u 16, n n n n n n 1 n Đặt i 1 , tính lim ui Hướng dẫn giải Dễ thấy un 0, n * Theo ta có un1 u n 6un un2 6un 8 16 Suy un1 un 1 un 5 n Do i 1 u n un1 6un un2 6un 1 un u n n 1 1 1 ui i 1 ui ui 1 u1 un 1 un 1 Mặt khác, từ un1 un2 6un ta suy un1 6un Kết hợp với u1 ta có un 6n1 , n * lim un lim un1 Fn dãy số Phibonxi: 1 Từ ta có lim lim un 1 Cho dãy số thực un với n * thỏa mãn ln 1 un2 nun 1, n * Bài n 1 nun n un Tìm lim Hướng dẫn giải Với n * , đặt f n x ln 1 x nx 1, x x 1 n 2x n Ta có f x 1 x x2 ' n x 1 f n' x n Do f n x hàm tăng thực f n 1 Ta có f ln nn n Do !un cho f n un un n Ta thấy lim un n u2 n 1 lim ln u n Do đó: n lim nun lim 1 ln 1 un2 n n n ln 1 un n 1 nun Vậy lim lim lim nun ln 1 un2 un2 1 n n n un un Bài a1 n 1, n Cho dãy số an thỏa mãn: n 2 a n a n 1 a a n n 1 n n 1 Tìm lim an Hướng dẫn giải Dễ thấy an 0, n Từ giả thiết ta có * Với n * , đặt yn n 2 an 1 1 ta có y1 an n2 n 1 an 1 1 n2 2 2 n y n y n n y n y y y n1 n1 n n 1 n n 4 4 n 2 4n n 1 n 1 n Do yn an y1 2 n 1 n 1 16 n n 1 n 1 n2 2 2 Vậy lim an Bài Tính giới hạn sau: x3 a) lim x 2 x b) lim x 2 2x 1 x2 Hướng dẫn giải x 2x 4 x3 a).lim lim x 2 x x 2 x 2 b) lim x 2 2x 1 x2 Bài Tính giới hạn lim x 1 x x x n n x 1 Hướng dẫn giải x x x n n ( x 1) ( x 1) ( x n 1) lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 ( x 1)[1 ( x 1) ( x x 1) ( x n1 1)] lim x 1 x 1 lim 1 ( x 1) ( x x 1) ( x n1 1) x 1 n Bài n(n 1) Cho n số nguyên dương a Chứng minh rằng: Lim x 0 n ax a x n Hướng dẫn giải Đặt y n ax, từ x y n Vậy Lim x 0 Bài ax y 1 y 1 a aLim n a Lim n 1 n2 y y x y 1 n y 1 y y y Tính giới hạn sau: a/ lim n 13 53 93 (4n 3)3 cos x x sin x b/ lim x 0 cos x 1 (4n 3) Hướng dẫn giải Câu a n n i 1 i 1 13 53 93 (4n 3)3 (4i 3)3 (64i 144i 108i 27) n n n i 1 i 1 i 1 = 64 i 144 i 108 i 27n (4n 3) n(4n 2) 2n n n(n 1) n n(n 1)(2n 1) n n(n 1) Mà ta có cơng thức: i ; i ; i i 1 i 1 i 1 n Do đó: P( x) 13 53 93 (4n 3)3 đa thức bậc có hệ số bậc 64 / 16 Và Q( x) 1 (4n 3) đa thức bậc có hệ số bậc Do đó: lim n 13 53 93 (4n 3)3 1 (4n 3) 16 4 Câu b cos x lim x 0 cos x Vì lim x 0 x sin x cos x cos x = lim 1 x 0 cos 3x cos3 x cos5 x cos3 x cos5 x cos3 x x sin x.cos3 x cos x cos 3x 2sin x sin x sin x sin x 8 lim lim 8 x x x sin x.cos 3x x sin x.cos 3x x cos 3x 4x 1 cos x cos 3x cos x x sin x e8 Vì lim áp dụng công thức lim 1 u u e , nên lim u 0 x 0 cos x x 0 cos 3x Bài 10 Cho dãy số xn x1 thỏa mãn Tìm lim un với x1 x2 3x3 (n 1) xn 1 x , n 1, n n n(n 1) un (n 1)3 xn Hướng dẫn giải Ta có x2 Với n : x1 x2 3x3 nxn n3 xn (1) x1 x2 3x3 (n 1) xn1 (n 1)3 xn1 (2) Từ (1) (2) ta có nxn n3 xn (n 1)3 xn1 Suy xn xn ( (n 1)3 xn1 n 1 n ( ) .xn1 n n n n 1 n 1 n 2 2 n n 1 ) ( ) ( ) x2 n n 1 n 1 n xn Bài 11 4(n 1) suy = lim lim u n n2 n2 (n 1) 3x x x 1 Tính giới hạn hàm số : L lim x 1 Hướng dẫn giải Ta có: lim x 1 3x x 3x x 3x 3x lim x 1 x 1 x 1 = lim 3x x 1 x 1 3x lim x x 1 x 1 ( x 1) (2 x) x 1 lim ( 3x 2)( x 2) = lim 3x x 1 x 1 ( x 1)( x 2) ( x 1) (2 x) x 1 = lim 3x x 1 = lim x 1 (2 x 1) ( x 1) (2 x) x 1 ( 3x 1) (2 x) x 1 Bài 12 Lim Tính: x 1 lim x 1 (3x 4) x 1 ( x 1)( x 2) lim = ( 3x 2) 12 x 2011x 2009 x 1 Hướng dẫn giải x 2011( x 1) x 3 lim[ 2011] x x 1 ( x 1)( x 2) lim x 1 x 1 4021 lim( 2011) x 1 x3 2 Bài 13 Cho dãy số an a1 n 1, n Tìm lim an thỏa mãn: n 2 a n a n 1 a a n n 1 n n 1 Hướng dẫn giải Dễ thấy an 0, n Từ giả thiết ta có * Với n * , đặt yn n 2 n 2 an 1 n2 n 1 an 1 ta có y1 an 1 1 n2 2 y n y n n y n y y y n 1 n n 1 n1 n n 4 4 n 2 4n n 1 n 1 n y Do yn a n 2 n 1 n 1 16 n n 1 n 1 n2 2 2 Vậy lim an Bài 14 a Cho dãy số xn thỏa mãn x1 0, xn (3xn1 ), n 2,3, xn1 Hướng dẫn giải a Ta có xn ( xn 1 xn 1 xn 1 ) a với n xn1 Do dãy xn bị chặn Với n , ta có xn a xn xn –1 xn 1 4 xn 1 4 Do xn dãy giảm Từ suy dãy xn có giới hạn dễ dàng tìm lim xn a Bài 15 x1 Cho dãy số thực xn : Xét dãy số yn cho : x , n 1, 2,3, n xn (3 5)n yn n ; n 1, 2,3, Chứng minh dãy số yn có giới hạn hữu hạn tính giớn hạn x1.x2 x3 xn Hướng dẫn giải Ta có : xn1 xn xn1 3xn ; n 1, 2,3, xn Đặt : zn x1.x2 x3 xn ta có zn2 x1.x2 x3 xn xn1.xn2 zn xn1.xn zn (3xn1 1) 3zn xn1 zn 3zn1 zn z1 x1 Khi : z2 x1.x2 Suy zn dãy truy hồi tuyến tính cấp zn 3zn 1 zn ; n 1, 2,3, Xét phương trình đặc trưng : t 3t t 3 n Dãy n 3 3 có số hạng tổng quát dạng zn 2 3 53 2 10 : 73 10 Lúc này, ta có n 3 (3 5) n yn n x1.x2 x3 xn zn Suy : lim yn n 3 3 lim Vậy: yn Bài 16 n 3 n n n 3 3 3 3 5 53 10 5 n Cho dãy số un xác định bởi: u0 , un 1 un n Tìm lim n3un ? n n un un Hướng dẫn giải Từ giả thiết un 1 n un un * v n u n ta có nên xác định v uk có n n 1 n n un n n2un un2 k 0 giới hạn hữu hạn, giả sử lim c ( c hữu hạn) n Cũng từ un 1 un 1 n ta có n un n un1 un n un un 1 n2 un n un1 un Do 1 02 u0 u1 u0 1 12 u1 u2 u1 … 1 (n 1)2 un 1 un un1 Cộng theo vế ta : 1 (n 1)n (2n 1) n 1 uk un u0 k 0 (n 1)n(2n 1) vn1 n un 6n n3 ( lim c )nên n n n3 Mà lim (n 1)n(2n 1) lim hay lim n3un n n n u n 6n n lim Bài 17 Cho dãy số xn xác định : x1 1, xn 1 , n Chứng minh dãy xn có giới xn hạn hữu hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải Ta có x2 4 3; x3 x1; x4 x2 Hàm số f ( x) Ta có xn 1 liên tục nghịch biến [0,+), f ( x) 1 x f ( xn ), n ( xn ) bị chặn xn x1 x3 f ( x1 ) f ( x3 ) x2 x4 f ( x2 ) f ( x4 ) x3 x5 suy dãy ( x2 n 1 ) tăng dãy ( x2 n ) giảm suy ( x2 n1 ),( x2 n ) dãy hội tụ Giả sử lim x2n a;lim x2n1 b (a, b 1) Từ x2n1 f ( x2n ) lim x2n1 lim f ( x2 n ) b f (a) Từ x2n2 f ( x2n1 ) lim x2n2 lim f ( x2n1 ) a f (b) b a a b Vậy lim xn Giải hệ phương trình a 1 b Bài 18 x Cho x1 2014, x2 2013 xn (1 ) xn1 n , n 2,3, Tìm lim xn n n n Hướng dẫn giải n xn1 xn (1) k (1)n (1)n Ta có xn xn1 xn x1 xn xn1 ( x2 x1 ) n n! n! k! k 1 (1)k (1) k x1 x1 k! k! e k 1 k 0 Dãy rõ ràng hội tụ có giới hạn x1 Từ suy lim xn 2015 n e 10