SỞ GD - ĐT ĐIỆN BIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN (ĐỀ THI ĐỀ XUẤT) ĐỀ THI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN IX MƠN TỐN LỚP 10 Thời gian làm 180 phút Câu (5 điểm) Giải phương trình x x x x 0 Câu (5 điểm) Cho đường tròn (O,R) điểm P cố định nằm bên đường tròn AB CD hai dây cung di động (O) ln qua P ln vng góc với a) Chứng minh PA2 PB PC PD không đổi b) Gọi I trung điểm BC Hỏi I di động đường nào? Câu (4 điểm) Cho a, b, c 0 a b c 3 Chứng minh a2 b2 c2 1 a 2b b 2c c 2a Câu (4 điểm) Cho số nguyên n 3 Lấy n số x1, x2 , , xn số xi -1 cho: x1 x2 x2 x3 xn xn xn x1 0 Chứng minh n phải bội số Câu (2 điểm) Cho chín đường thẳng có tính chất đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích 2/3 Chứng minh có ba đường thẳng số qua điểm HẾT ĐÁP ÁN ĐỀ THI HÙNG VƯƠNG LẦN IX Câu ĐÁP ÁN Giải phương trình x x x x 0 Điểm 5.0 t x Đặt t x 2t 3x 1 t 0 x 1 t x 1 29 t x x x x x 3x 0 x 1 x x t x2 x 1 2 x x 2.0 1.0 Cho đường tròn (O,R) điểm P cố định B I C P K M A O D a) Áp dụng Định lí Pythagore, ta thấy 2.5 PA2 PB PC PD AC BD BC AD Kẻ đường kính AK (O) Khi BK vng góc với AB AB vng góc với CD nên BK // CD Mà hình thang BCDK nội tiếp (O) nên BCDK hình thang cân Suy BC = DK Trong tam giác ACK vng góc C ta có AC CK AK Suy AC BD 4 R PA2 PB PC PD 4 R b) Tam giác OBI vng I ta có OB OI IB Tam giác PBC vuông P có I trung điểm BC nên IP = IB R OI IP Gọi M trung điểm PO Theo công thức đường trung tuyến 2.5 R OP IM R OP Suy I di động M , cố định Cho a, b, c 0 a b c 3 Sử dụng AM - GM ngược dấu, ta có 4.0 2.0 a2 2ab 2ab 2 a a a ab 2 a 2b a 2b 3 ab 2 2 b c 3; b bc c ca Tương tự ta có b 2c c 2a 2 2.0 ycbt ab bc ca 3 * Theo AM - GM ta có 3 a ab b 3 ab ; b bc c 3 bc ; c ca a 3 ca Ta có ab bc ca 3 Ta có (*) chứng minh Dấu xảy a = b = c = Cho số nguyên n 3 Đặt X x1x2 ; X x2 x3 ; ; X n xn x1 Mỗi số X i -1 X X X n 0 Như có p số X i có p số X i -1 Suy n = 2p p Mặt khác X X X n 1 x1 x2 xn 1 suy p chẵn Vậy n bội Cho chín đường thẳng có tính chất 4.0 2.0 2.0 2.0 0.5 0.5 0.5 0.5