SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI – ĐBBB 2015 Môn: Toán – Lớp 10 Bài 1.(4 điểm) Giải hệ phương trình Bài 2.(4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có D, E lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) với AB, AC và H, K lần lượt là hình chiếu của B lên AC và C lên AB. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của tam giác AHK là trực tâm của tam giác ADE. Bài 3.(4 điểm) Cho sốn guyên tố p và ba số nguyên dương x,y,z thỏa mãn x<y<z<p. Chứng minh rằng nếu (mod p) thì chia hết cho x+y+z. Bài 4.(4 điểm)Cho ba số thực dương a,b và c thỏa mãn Chứng minh rằng Bài 5.(4 điểm)Trong mặt phẳng cho 7 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Tất cả các điểm đó được nối với nhau bởi các đoạn thẳng. Mỗi đoạn thẳng được tô bởi hai màu xanh, đỏ hoặc không được tô màu. Gọi k là số nguyên dương thỏa mãn với mọi cách tô màu k đoạn thẳng bất kì trong các đoạn thẳng đó, luôn tồn tại một tam giác có ba cạnh cùng màu. a) Hãy chỉ ra một cách tô màu không thỏa mãn đề bài với k=19. b) Tìm tất cả các giá trị k thỏa mãn đề bài. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐBBB 2015 Môn: Toán – Lớp 10 Bà Đápán Đi i ểm 1 (4 điể m) Điềukiệnxácđịnh và Dễthấyhệkhôngcónghiệmdạng (x;0). Phươngtrìnhthứnhấtcủahệtươngđươngvới hay 1,0 Mặtkhác, từphươngtrìnhthứhaicủahệ ta có suyra bởithếmàphươngtrìnhđầucủahệtươngđươngvới x=y. 2,0 Thayvàophươngtrìnhthứhaicủahệ ta được hay Kếthợpvớiđiềukiệnxácđịnh ta cónghiệmcủahệphươngtrìnhlàvà. 1,0 2 (4 điể m) Gọi J, J’ lầnlượtlàtâmđườngtrònnộitiếpcủa tam giác AHK vàtrựctâm tam giác ADE. Ta sẽchứng minh rằng J và J’ trùngnhau. Thậtvậy, Dễthấyrằng tam giác AHK đồngdạngvới tam giác ACBtheotỉsố cos HK A BC = và do J làtâmđườngtrònnộitiếp tam giác AHK và I nên cosAJ AI A= . 2,0 Nếugọi R làbánkínhđườngtrònngoạitiếp tam giác ADE thì ta có ' 2 cosAJ R A = . Hơnnữa ta thấyrằng tam giác ADE nộitiếpđườngtrònđườngkính AI nên ' cosAJ AI A= . Do , 'J J cùngnằmtrênphângiácgóc A vàcácđoạn 'AJ AJ = nên J và J’ trùngnhau. 2,0 3 (4 Tronglờigiảinày, tấtcảcácđồngdưthứcđềulà modulo p. Từgiảthiết ta có , suy ra 1,0 điể m) (1) Ta có y-x làsốnguyêndươngbéhơn p và p làsốnguyêntốnên y-x và p lànguyêntốcùngnhau. Do đótừ (1) ta được. (2) Chứng minh tươngtự ta cũngcó (3), và (4) Từ (2) và (3) ta có suy ra . Do đóx+y+z chia hếtcho p, mà 0<x+y+z<3p, suyra x+y+zbằng p hoặc 2p. (5) 1,0 Sửdụng (2) ta có, kếthợpvới ta được, thaytrởlại (2) ta có (6) 1,0 Từ (5) và (6) vớichú ý x+y+zvà cùng tính chẵnlẻ ta cóđiềuphảichứng minh. 1,0 4 (4 điể m) Xéthaitrườnghợp 1/ Nếuabc=1 Tồntạicácsốthựcdươngx,yvà z saocho 1,0 Bấtđẳngthứccầnchứng minh trởthành . (1) Theo bấtđẳngthứcgiữatrungbìnhcộngvàtrungbìnhnhân ta có , chứng minh tươngtự ta được và Cộngtheovếbabấtđẳngthứcnày ta được (1). 1,0 2/ Nếuabc<1 Đặt ta có 0<k<1 và Theo trườnghợp 1/ ta có suyra mà ta lạicó, suy ra Vậybấtđẳngthứcđượcchứng minh, dấuđẳngthứcxảyrakhivàchỉkhi a=b=c=1. 2,0 5 (4 điể m) Trướchết, ta cókếtquảquenthuộcsau : Cho 6 điểmphânbiệtsaochokhôngcóbađiểmnàothẳnghàng. Nếu ta tômàutấtcảcácđoạnthẳngnốicácđiểmnàybởihaimàuxanhhoặcđỏthìluônt ồntạimộttamgiáccócáccạnhcùngmàu. Từgiảthiếtkhôngcóbốnđiểmnàođồngphẳng, ta suy ra rằngkhôngcóbađiểmnàothẳnghàngvàhaiđoạnthẳngbấtkìchỉcắtnhautạiđầ umútchung (nếucó) củachúng. Gọi 7 điểmđãcholà 1 2 7 , , ,A A A . Ta thấyvới 7 điểmnày, cótấtcả 2 7 21C = đoạnthẳng. Do đó : 21k ≤ .Nếutômàutấtcả 21 đoạnthẳngnàythìchỉcầnchọn ra 6 điểmtrongđócũngsẽthỏamãnđiềukiệntheokếtquả ở trên. Ta thửtìmgiátrị k nhỏhơn. 2,0 Với k = 20, ta tômàu 20 đoạnvàkhôngtômàu 1 cạnh, giảsửlà 1 7 A A , khi đótấtcảcácđoạnthẳngtrongbộ 6 điểm 1 2 3 4 5 6 , , , , ,A A A A A A (hoặc 2 3 4 5 6 7 , , , , ,A A A A A A ) đềuđượctômàu, lạitheokếtquảtrên, điềukiệnđượcthỏamãn, tức là k = 20 vẫnthỏamãnđềbài. 1,0 Với k = 19, ta tômàu 19 đoạnvàkhôngtômàu 2 cạnh. Ta sẽchỉ ra mộtcáchtômàubỏđihaiđoạnthẳngvàkhôngcóhaitamgiácnàođượctôcùng màunhưtrênhìnhvẽ. Nếuhaicạnh 1 7 A A và 2 6 A A khôngđượctômàuthìtrongcácđoạnxuấtpháttừ A 3 , tôxanhbốnđoạnvàtôđỏ 2 đoạn ; vớicácđỉnhcònlạitôxanh 3 đoạn, tôđỏ 3 đoạn (hoặc 2 đoạnđốivớihaiđiểm A 6 , A 7 ). Do đó, k = 19 khôngthỏamãnđềbài. Vậytấtcảcácgiátrịcầntìmlà 20, 21k k= = . 1,0 7 6 5 4 3 2 1 A A A A A A A . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI – ĐBBB 2015 Môn: Toán – Lớp 10 Bài 1.(4 điểm) Giải hệ phương trình Bài. mãn đề bài. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐBBB 2015 Môn: Toán – Lớp 10 Bà Đápán Đi i ểm 1 (4 điể m) Điềukiệnxácđịnh và Dễthấyhệkhôngcónghiệmdạng (x;0) A khôngđượctômàuthìtrongcácđoạnxuấtpháttừ A 3 , tôxanhbốnđoạnvàtôđỏ 2 đoạn ; vớicácđỉnhcònlạitôxanh 3 đoạn, tôđỏ 3 đoạn (hoặc 2 đoạnđốivớihaiđiểm A 6 , A 7 ). Do đó, k = 19 khôngthỏamãnđềbài. Vậytấtcảcácgiátrịcầntìmlà