TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN KÌ THI OLIMPIC HÙNG VƯƠNG LAI CHÂU LẦN THỨ VIII Mơn thi: Tốn ĐỀ DỰ TUYỂN Ngày thi: …………… Thời gian: …… phút (không kể thời gian giao đề) - Họ tên thí sinh:………… ……… - Giám thị số 01:………………………………… - SBD:…………………………………- Giám thị số 02:………………………………… ĐỀ BÀI ( Đề gồm có câu) Câu 01 (5 điểm) Giải hệ phương trình sau y x y 28 2 x xy y 6 x 10 y Câu 02 (4 điểm)Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm hữu tỉ x; y; z x y z x y z 0 Câu 03 (5 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh 1, I trung điểm AD, M điểm cạnh CD; MA MB cắt IC M1 M2 Đặt DM = x, d đường thẳng qua M song song với AD, E giao điểm d CI Tính độ dài ME theo x Tính tỷ số MM1 theo x AM Tính diện tích tam giác MM1M2 theo x Câu 04 (4 điểm) Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn: x y z xyz Chứng minh x y z x yz y zx z xy Câu 05 (2 điểm) Trong hình vng có cạnh chứa số đường tròn mà tổng độ dài đường trịn 10 Chứng minh tồn đường thẳng mà cắt bốn đường tròn Hết TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN LAI CHÂU Câ u I ĐÁP ÁN ĐỀ THI DỰ TUYỂN Mơn: TỐN LẦN THỨ VIII Nội dung Điể m 05 Đặt y = a + b; x= a- b 1.0 3 a b 2 a a 2 b 2b 0.75 a b3 a b3 3 3 a 3a 3a b 6b 12b a 1 b b b 0 b x 3 b 1 x a 1 y a y a b II PT có nghiệm PT sau có nghiệm nguyên a; b; c; m : a b c 7m (3) Giả sử PT (3) có nghiệm nguyên a; b; c; m Chọn nghiệm a; b; c; m có m nhỏ Xét trường hợp sau: Với m số chẵn, tưc m = 2.n a b c chia hết cho Suy a; b; c số chẵn Đặt a 2a1 ; b 2b1; c 2c1 ; a1; b1 ; c1 số nguyên, ta có a12 b12 c12 7n Như ta nghiệm a1 ; b1 ; c1 ; n PT (3) với n < m 1.75 1.5 4,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Điều mâu thuẫn với việc chọn nghiệm a; b; c; m có m nhỏ 2 2 Với m số lẻ, ta có m 1 mod , a b c 7 mod Đây điều xẩy Vậy phương trình a b c 7 m khơng có nghiệm ngun 2 III 0,5 Vì phương trình x y z x y z 0 khơng có nghiệm hữu tỉ x; y; z 0,5 0,5 5.0 Theo Talet: ME MC = 1 x ME (1 x) ID CD 2 1.0 MM1 ME AM1 AI MM1 MM1 ME 1 x AM AM1 M 1M AI ME x 2.0 Tương tự ý ta tính MM x BM 3 x Do 1 x x x MM1 MM SMM1M 2SMM1M AM BM SMAB 2.0 SMM1M IV 1 x 2 x x x y z x yz y zx z xy Vì x, y , z , áp dụng BĐT Cơsi ta có x y z 1 P x yz y zx z xy yz zx xy Đặt P 4.0 4.0 1 2 1 1 1 1 yz zx xy y z z x x y xy yz zx x y z xyz xyz xyz xyz Dấu xảy x = y = z = Vậy ta có điều phải chứng minh V Chúng ta chọn cạnh hình vng chiếu vng góc đường trịn xuống cạnh Dễ thấy hình chiếu đường trịn bán kính R đoạn thẳngcó độ dài 2R Vì cạnh hình vng chọn có đoạn thẳng chiếu xuống 10 với tổng độ dài 10 3 1 , theo nguyên lý Dirichlet suy có điểm M Nhưng thuộc AB điểm chung đoạn thẳng chiếu xuống Khi đường thẳng qua điểm M vng góc với AB cắt đường trịn Ghi chú: Thí sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa theo phần 2,0