Toán 10- Trại hè HV- ĐB tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh...
Trang 1TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN TỈNH ĐIỆN BIÊN
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
ĐỀ THI MÔN TOÁN
LỚP 10
(Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)
Câu 1 (4 điểm) Giải phương trình: 2 2 13
5
x x x x x x
Câu 2 (4 điểm) Cho tam giác ABC (AB<AC); E, F lần lượt là tiếp điểm của đường
tròn nội tiếp (I) với các cạnh AC, AB và M là trung điểm của BC Gọi NAMEF,
gọi K, L tương ứng là các giao điểm của BI, CI với EF.
a) Chứng minh bốn điểm B, C, K, L cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng NK AB NL AC .
Câu 3 (4 điểm) Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn: x y z 3. Chứng
minh rằng
1 1 1 3 25 .
Câu 4 (4 điểm) Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC Một điểm P nằm trong tam
giác được gọi là điểm tốt nếu ta có thể tìm được đúng 27 tia chung gốc P cắt các cạnh của tam giác ABC và chia tam giác này thành 27 tam giác con có diện tích bằng nhau Xác định số tất cả các điểm tốt của tam giác ABC
Câu 5 (4 điểm) Xác định tất cả các cặp các số nguyên thỏa mãn
(*)
………HẾT………
Người thẩm định Hán Văn Sơn 0912822566
Người ra đề Phạm Thị Hà Định Điện thoại 0912581381
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN, LỚP 10
1
Đặt:
2 2 2
2 2 2
6
( , 0) 1
u v
v u x
0,75
Phương trình đã cho trở thành:
2 2 2
2
(1)
u v
1,5
1
2
x
0,5
5
5
u v
u v
Dùng bất đẳng thức TBC-TBN x2 6 x2 2x 7 5
Dấu “ = ” xảy ra khi 1
2
x
Do đó (2) chỉ xảy ra khi u v 5
0,75
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 1
2
a) Gọi T là giao điểm của EF và BC D là tiếp điểm của (I) và BC
Vì AD, BE, CF đồng quy nên (TDBC) là hàng điểm điều hòa (1)
Mặt khác hai tam giác BFK và BDK bằng nhau (trường hợp c-g-c) nên FKB DKB
, suy ra TKB DKB (2)
Từ (1) và (2) suy ra BK CK
Chứng minh tương tự ta được BLCL
Suy ra B, C, K, L cùng thuộc đường tròn đường kính BC
1,5
Trang 3T
N L
K
M
F
E
D I A
b)
+ Dựa trên bổ đề : “Cho tam giác ABC có các cạnh BC, CA, AB tiếp xúc với
đường tròn nội tiếp (I) lần lượt tại D, E, F; M là trung điểm của BC Ta có EF, DI
và AM đồng quy”, ta có EF, DI, AM đồng quy tại N
+ Từ ba tứ giác nội tiếp BCKL, BLID, CKID ta suy ra được DN là phân giác góc
LDK
Suy ra sin
sin
NL DL DKL
2ABC DBI DLI 2DLK DLK ABC
Tương tự DKL ACB
Do đó sin sin
NL DKL ACB AB Suy ra điều phải chứng minh
Chứng minh bổ đề: Gọi N là giao điểm của DI và EF Kẻ đường thẳng qua N và
song song với BC cắt AB, AC tại P, Q
Xét tam giác APQ có hình chiếu của I lên ba cạnh là các điểm N, E, F thẳng hàng
nên I thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ Suy ra IP=IQ (chắn hai góc bằng
nhau) Suy ra NP=NQ Do đó AM đi qua N
2,5
3
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
3
3 4xy 4yz 4zx 2 2 xy yz zx xyz xy yz zx x y z 1 x 1 y 1 z 1 1,0
Do đó ta cần chứng minh 1 1 1 25 .
Hay x 1 2 z 1 y 1 2 x 1 z 1 2 y 1 25
2
4.
xy yz zx x y z x y z
xy yz zx
1,0
Trang 4Không mất tính tổng quá, giả sử ynằm giữa hai số x z, Khi đó ta có
0
x y x y z
2 2 2
.
xy zx xyz x y
1,0
3 2
x z
xy yz zx xyz x y yz y xz x z y x z y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z; ; là một hoán vị của 0; 1; 2
1,0
4
A
P
Trước hết ta thấy rằng PA PB PC, , phải là 3 trong 27 tia nêu trong đề bài Giả sử
27
ABC
S thì diện tích mỗi tam giác nhỏ đều bằng 1 Đặt S PBC x S1, PCA x S2, PAB x3
1 , 2 , 3
x x x và thỏa mãn x1x2x3 27 (*)
Ứng với một bộ x x x1, 2, 3 thỏa mãn điều kiện trên, ta có
0
S PA S PB S PC
nên tồn tại đúng một điểm P thỏa mãn đề bài Suy ra ta cần đếm số nghiệm
nguyên dương của (*) Đây lại là bài toán chia kẹo Euler quen thuộc, kết quả là
2
26 325.
C
2,0
2,0
Ta có nhận xét: Nếu là nghiệm thì và cũng là nghiệm
Nhận thấy thỏa phương trình đã cho
0,5
- Xét nghiệm với Không mất tính tổng quát giả sử
Trang 5Suy ra là hai số chẵn liên tiếp, hiển nhiên một trong hai số đó chia
hết cho 4 vì thế chia hết cho 8, kéo theo
- Vì nên trong hai số phải có một số chia hết cho
và không chia hết cho Do vậy ta có thể đặt với m lẻ và
Thay vào phương trình (*) ta được
(**)
Với thì suy ra không thỏa phương trình (**)
Suy ra và được
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm nguyên là:
2,0