SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2019 – 2020 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu I(2,0 điểm) Cho parabol (P): đường thẳng (d) qua điểm I (0; 1) có hệ số góc k Gọi A B giao điểm (P) (d) Giả sử A, B có hồnh độ 1) Tìm để trung điểm đoạn thẳng AB nằm trục tung 2) Chứng minh Câu II(3,0 điểm) 1) Giải phương trình: x x y xy xy y 1 2) Giải hệ phương trình: x y xy (2 x 1) 1 Câu III(4 điểm) 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2;6) , chân 3 đường phân giác kẻ từ đỉnh A điểm D 2; , tâm đường tròn ngoại 2 tiếp tam giác ABC điểm Viết phương trình đường thẳng BC 2) Cho tam giác ABC có (b ≠ c) diện tích Kí hiệu độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, B, C Biết 2ma2 mb2 mc2 a) Chứng minh a £ 4S cotA b) Gọi O G tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm tam giác ABC; M trung điểm BC Chứng minh góc MGO khơng nhọn Câu IV(1 điểm) Cho a; b; c số thực dương thay đổi thỏa mãn a b c Tìm giá trị lớn biểu thức M 3 1 a b2 b2 c c a -Hết - Họ tên thí sinh:……………………………… ; Số báo danh:…………… Chữ ký giám thị 1:……………… ; Chữ ký giám thị 2:…………… SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HƯỚNG DẪN CHẤM LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2019 – 2020 MÔN THI: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm … trang) Câu Nội dung Điểm Cho parabol (P): đường thẳng (d) qua điểm I (0; 1) có hệ số góc k Gọi A B giao điểm (P) (d) Giả sử A, B có hồnh độ 1) Tìm để trung điểm đoạn thẳng AB nằm trục tung + Đường thẳng (d) có pt: y = kx - + PT tương giao (d) (P): - x = kx - Û x + kx - = 0(*) + (*) ln có nghiệm phân biệt x1; x2 D = k + > 0( " k ) + Trung điểm M AB có hồnh độ x1 x2 k ; M nằm trục 2 k 0 k 0 tung Û 2) Chứng minh I 3 2 Ta có: x1 x2 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 = x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 Có x1 - x2 = ( x1 + x2 ) - x1x2 = k + x13 x23 = k 4(k 1) 2 , k R Đẳng thức xảy k = II 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Điều kiện: x (1) 0,25 0,25 1,5 1) Giải phương trình: (1) 3 x 1 0,25 1,0 Theo Vi et có: x1 x2 k , x1 x2 1,0 5x 3x x 0,25 3x 5x x 3x 1 x 1 1 x x 0(TM ) Û 3x (*) 3x 1 1 5x Với x=1: VT(*)= 2=VP(*) nên x=1 nghiệm (*) Nếu x>1 VT(*) 0, a, b, c số thực Khi a b2 c2 a b c x y z xyz a b c Dấu xảy x y z (*) 0,25 + Dễ thấy bđt suy từ bđt Bunhia * Vào Ta chứng minh 1 1 2 2 a b 3 b c 3 c a 3 1 1 1 1 2 2 a b 3 b c 3 c a 3 a b2 b2 c c2 a2 P 2 2 a b 3 b c 3 c a 3 M 0,25 Giả sử a b c 2 a b a b a b2 Biến đổi a b 2 a b a b2 Biến đổi tương tự với số hạng lại P Sau áp dung bđt (*) ta có: P a b b c c a a b c 18 a b b c a c P a b c 18 4 a b c 4 a c a b c 18 0,25 2 P 2 a b c 2 a c 2 a b2 c2 Ta chứng minh 2 a b c 2 a c a b2 c 2 a b c a c 6 a b c 27 2 2 a b c a c 6 a b c a b c a b c a c 3 a b2 c a b c 2 b ab bc ca 0 a b b c 0 Bđt cuối đúng, suy đpcm Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa 0,25