SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2,5 điểm) a) Cho hàm số y x 3x hàm số y x m Tìm m để đồ thị hàm số cắt hai điểm phân biệt A, B đồng thời khoảng cách từ trung điểm I đoạn thẳng AB đến trục tọa độ b) Giải bất phương trình: x 4x 2x 0 Câu (2,5 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(1;2) Đường thẳng đường phân giác góc A có phương trình 2x y 0 ; Khoảng cách từ C đến gấp lần khoảng cách từ B đến Tìm tọa độ A C biết C nằm trục tung b) Cho tam giác ABC vuông A, gọi góc hai đường trung tuyến BM CN tam giác Chứng minh sin Câu (2,5 điểm) 2 a) Cho tam giác ABC Gọi D, E điểm thỏa mãn: BD BC; 1 AE AC Tìm vị trí điểm K AD cho điểm B, K, E thẳng hàng b) Cho tam giác ABC vuông 2 ở2 A; BC = a; CA = b; AB = c Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: b IB c IC 2a IA 0 ; Tìm điểm M cho biểu thức ( b MB2 c MC 2a MA ) đạt giá trị lớn Câu (2,5 điểm) a) Giải phương trình: x x 2 x x b) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x y z xyz Chứng minh rằng: x2 y z xyz x y z …………………Hết………………… Họ tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………… Chữ ký giám thị 1:………………….Chữ ký giám thị 2:……………………… ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 – 2013 Câu Ý Nội dung Điểm Cho hàm số y x x hàm số y x m Tìm m để đồ thị a hàm số cắt hai điểm phân biệt A, B đồng thời trung điểm đoạn 1,25 thẳng AB cách trục tọa độ u cầu tốn PT sau có hai nghiệm phân biệt x x x m hay x x m 0 (*)có ' m>1 x xB 1 ; Gọi x A ; x B nghiệm (*), I trung điểm AB ta có x I A y I x I m m Yêu cầu toán y I x I 0,25 0,25 m 1 m 2; m 0 0,25 0,25 Kết hợp ĐK, kết luận m 2 0,25 b Giải bất phương trình: x2 x (1) 2x x x x 2;2 x TXĐ: x (1) 1,25 0,25 2x x2 4x Nếu x x x x , bất phương trình nghiệm với x: x 2 x Nếu x x x bất pt cho 2x x 4x 0,25 0,25 x 16 x 16 x x x 20 x 19 x 2 0,25 5 ;x 2 5 Kết hợp nghiệm, trường hợp ta có: Tập nghiệm bpt cho: (1;2) (2 x 3 5 ;3) 0,25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B (1;2) Đường thẳng đường phân giác góc A có phương trình 2x y 0 ; khoảng cách a từ C đến gấp lần khoảng cách từ B đến Tìm tọa độ A C biết C 1,25 nằm trục tung y0 ; C(0:y0) ; D(C; )= , theo ta có 5 y0 y 10; y 5 D(B; )= 0,25 Vẽ hệ trục tọa độ, điểm B, ý C khác phía B suy C(0;-8) 0,25 Gọi B’(a;b)là điểm đối xứng với B qua B’nằm AC Do BB' u (1; 2) nên ta có: a 2b 0 ; 0,25 Trung điểm I BB’ phải thuộc nên có: 2a b 0 Từ ta có: a= -7/5; b=4/5 3 Theo định lý Ta - Let suy CA CB' 0,25 44 A(x; y);CA x; y ;CB' ; 5 21 26 ; ) ;C(0;-8) Từ suy A( 0,25 10 Xét tam giác vuông ABC vng A, gọi góc hai đường trung 1,25 b tuyến BM CN tam giác Chứng minh sin Gọi a, b c tương ứng độ dài cạnh đối diện góc A, B C c2 tam giác Có CN b b BM c2 B N G 0,25 C A M BG CG BC 2BG.CG 2 2(b c ) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, ta có cos BGC = Có 2(b c ) (4c b )(4b c ) ; Do cos (4c b )(4b c ) (4c b )(4b c ) 5(b c ) ;" " 4c b 4b c b c 2(b c ) Do cos (4c b )(4b c ) 2(b c ).2 5(b c ) Hay sin cos Dấu có tam giác vng cân đỉnh A 2 Cho tam giác ABC Gọi D, E BD BC; AE AC Tìm vị trí điểm K AD cho điểm B, K, E thẳng hàng a 1 1 Vì AE AC BE BC BA(1) 4 4 4 Giả sử AK x.AD BK x.BD (1 x)BA A E K B D C 0,25 0,25 0,25 0,25 1,25 0,25 2 2x Mà BD BC nên AK x.AD BK BD (1 x)BA 3 Vì B, K, E thẳng hàng(B E ) nên có m cho BK mBE 2x m 3m BA BC (1 x)BA Do có: BC 4 3m m 2x Hay BC x BA 0 Do BC; BA không phương nên m 2x 3m 0 &1 x 0 Từ suy x ; m 4 1 Vậy AK AD Cho tam giác ABC vuông A; BC = a; CA = b; AB =2 c Xác định điểm I thỏa mãn hệ thức: 2a IA b IB c IC 0 ; Tìm điểm M: biểu b thức 2a MA b MB2 c MC đạt giá trị lớn C H b BH c CH Do đó: b BH c CH 0 Từ có ( 2a IA b IB2 c IC ) 3b 2c Mặt khác xMA x(IA IM) x(IM IA 2IA.IM) Tương tự cho yMB2; zMC2 cộng đẳng thức lại ta có xMA yMB2 zMC2 (x y z)IM xIA yIB2 zIC2 Thay số có: 2a MA b2 MB2 c2 MC2 a IM 3b c2 3b2 c2 Dấu xảy M trùng I Giải phương trình: x x 2 x x a ĐK: x 0,25 0,25 1,25 0,25 Suy b IB c IC b IH c IH a IH Kết hợp giả thiết suy 2a IA a IH hay 2.IA IH Do điểm I thỏa mãn gt I thỏa mãn A trung điểm IH Với x, y, z tùy ý thỏa mãn: x.IA y.IB z.IC 0 (*) bình phương vơ hướng vế (*), ý 2IA.IB IA IB2 AB2 ta có: (x.IA y.IB2 z.IC2 )(x y z) xyc xzb yza 0,25 Kẻ đường cao AH, ta có b a.CH;c a.BH nên A B 0,25 (*) 1 ; x 2 0,25 0,25 0,25 0,25 1,25 0,25 (*) (3x 1)2 (2x 1) 2(3x 1) 2x (3x 1) (2x 1) (10x 8x) 3x 2x x 1 0,25 2x 2x 2(a) 2x 4x(b) 0,25 Giải(a) đối chiếu ĐK có nghiệm x 4 4 x y z xyz Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Giải (b) vô nghiệm Kết luận (*) có nghiệm x b x y z xyz (I) x y Giả thiết suy ra: 0,25 1,25 z 1 1 Ta Có: xy yz zx 1 1 1 1 x2 1 1 ;" " y z x x xy yz zx x y x z 2 x y z Viết hai BĐT tương tự cộng lại ta được: x y z ;" " x y z x y z x y z 1 1 2 Ta CM: xyz xy yz zx xyz x y z x y z 0,25 0,25 0,25 0,25 x y y z z x 0 Điều lng Dấu có x=y=z Vậy (I) CM, dấu có x=y=z= Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa 0,25 0,25