Bài 7 tứ giác nội tiếp

CHƯƠNG BÀI TỨ GIÁC NỘI TIẾP Mục tiêu  Kiến thức + Biết khái niệm, định lí tứ giác nội tiếp + Hiểu định lí thuận định lí đảo tứ giác nội tiếp  Kĩ + Biết hình vng, hình chữ nhật, hình thang cân nội tiếp đường tròn + Biết tính số đo góc tứ giác nội tiếp biết góc đối diện góc ngồi góc đối diện + Chứng minh tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện 180o + Chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp Biết xác định nhanh chóng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác trường hợp tứ giác có đỉnh nhìn cạnh nhìn đường chéo góc vng I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa - Tứ giác nội tiếp đường trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) hay Định lí đường trịn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD - Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180o - Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180 o tứ giác nội tiếp đường tròn  180o B  D  180o tứ Nếu A  C giác ABCD nội tiếp Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Dấu hiệu 1: Tứ giác có tổng hai góc đối 180o Dấu hiệu 2: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện  Nếu A  DCx tứ giác ABCD nội tiếp Trang Dấu hiệu 3:Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác Dấu hiệu 4: Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai Nếu OA = OB = OC = OD tứ giác ABCD nội tiếp (O) đỉnh cịn lại góc    Nếu CAD tứ giác ABCD nội CBD  ) tiếp (cùng chắn CD Dấu hiệu 5: Phương tích ngồi Chứng minh - Tứ giác ABCD có hai cạnh đối AB; CD kéo dài cắt điểm K, điểm K thỏa mãn tính chất KA.KB KC.KD tứ giác ABCD nội tiếp Xét KDA KBC có KA.KB  KC.KD  KA KD   ;K KC KB chung Do KDA ∽KBC  c.g c     KAD  KCB  Tứ giác ABCD nội tiếp (dấu hiệu 2) Chú ý: Trường hợp đặc biệt tốn phương tích A trùng B hay ta có tính chất KA2  KC KD KA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ADC Phần để bạn đọc tự chứng minh xem lại toán chứng minh tia tiếp Dấu hiệu 6: Phương tích - Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC; BD cắt điểm K, tuyến đường tròn Chứng minh điểm K thỏa mãn tính chất KA.KC KB.KD tứ giác ABCD nội tiếp Xét KAD KBC có Trang KA.KC  KB.KD  KA KD  ; KB KC AKD  BKC  (đối đỉnh) Do KAD ∽KBC  c.g.c     CAD CBD  Tứ giác ABCD nội tiếp (dấu hiệu 4) SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Định nghĩa Tứ giác nội tiếp tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn TỨ GIÁC NỘI TIẾP Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp Dấu hiệu Tứ giác có tổng hai góc đối Dấu hiệu Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện Dấu hiệu Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm Dấu hiệu Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc α II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Nhận biết tứ giác nội tiếp Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ABC có hai đường cao BM; CN Chứng minh tứ giác BNMC tứ giác nội tiếp Trang Hướng dẫn giải Cách 1: Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm Gọi K trung điểm BC  Xét BMC có BMC 90o (giả thiết); MK đường trung tuyến ứng với cạnh huyền  KM KB KC (tính chất tam giác vuông) (*) Tương tự xét BNC , ta đuọc KN = KB = KC (**)  BC  Từ (*) (**) suy B; N ; M ; C   K ;     Tứ giác BNMC nội tiếp đường tròn Cách 2: Chứng minh hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc  Ta có BMC 90o (giả thiết);  BNC 90o (giả thiết)  M ; N nhìn cạnh BC góc vng  M ; N nằm đường trịn đường kính BC Hay tứ giác BNMC nội tiếp đường trịn đường kính BC Cách 3: Chứng minh tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện sử dụng định lí tổng hai góc đối tứ giác nội tiếp 180o  Ta có BMA 90o (giả thiết); ANC 90o (giả thiết)  Xét AMB ANC có AMB  ANC 90o BAC chung Do AMB ∽ANC  g g   Xét AMN ABC có AM AN  AB AC AM AN   BAC chung AB AC  Do AMN ∽ABC  c.g.c   AMN  ABC Tứ giác BNMC có góc ngồi đỉnh M góc đỉnh B Vậy tứ giác BNMC nội tiếp   Ngồi ra tứ giác BMNC có NBC  NMC 180o nên tứ giác BNMC tứ giác nội tiếp Cách 4: Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào phương tích ngồi  Xét AMB ANC có AMB  ANC 90o BAC chung Do AMB ∽ANC  g.g   AM AN   AM AC  AN AB AB AC  Tứ giác BNMC nội tiếp Trang Cách 5: Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào phương tích Gọi giao điểm BM NC T     Xét NTB MTC có BMC (đối đỉnh) BNC 90o NTB MTC Do NTB ∽MTC  g g   NT TB   TN TC TM TB MT TC  Tứ giác BNMC nội tiếp Bài tập tự luyện dạng Bài tập   A Câu 1: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Tính số đo A, biết C Bài tập nâng cao Câu 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Bx lấy hai điểm C D thuộc nửa đường tròn Các tia AC AD cắt Bx E, F, (F B E)  a) Chứng minh ABD DFB b) Chứng minh CEFD tứ giác nội tiếp Câu 3: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Vẽ AC, AD theo thứ tự đường kính hai đường tròn (O) (O’) a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O’) E; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) F (E, F khác A) Chứng minh bốn điểm C, D, E, F nằm đường tròn  B   90o , đường cao AH trung tuyến AM Câu 4: Cho tam giác ABC có C    a) Chứng minh BAC 90o BAH MAC   b) Nếu BAH tam giác ABC có vng khơng, sao? MAC Dạng Sử dụng dấu hiệu chứng minh tứ giác nội tiếp toán liên quan Bài tốn Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện 180o (hai góc đối diện bù nhau) Ví dụ mẫu Ví dụ Cho đường trịn (O;R); AB CD hai đường kính khác đường tròn Tiếp tuyến B đường tròn (O;R) cắt đường thẳng AC, AD thứ tự E F a) Tứ giác ABCD hình gì? b) Chứng minh AC CD  BC BE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn Hướng dẫn giải Trang a) Tứ giác ABCD có hai đường chéo AB CD cắt trung điểm đường  ABCD hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)   b) Tứ giác ABCD hình chữ nhật suy CAD BCE 90o (1)    s® BC Lại có CBE (góc tạo tiếp tuyến dây cung); ACD  s® AD  (góc nội tiếp)    AD (do BC  AD)  CBE Mặt khác BC  ACD (2) Từ (1) (2) suy ACD ∽CBE  g g   AC CD  (điều phải chứng minh) BC BE   c) Vì ABCD hình chữ nhật nên CB / / AF  CBE (hai góc đồng vị) DFE (3)  Từ (2) (3) suy ACD DFE tứ giác CDFE nội tiếp đường trịn Bài tốn Chứng minh tứ giác có bốn đỉnh cách điểm Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC  cho IEM 90o (I M không trùng với đỉnh hình vng) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường tròn  b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC; K giao điểm BN tia EM Chứng minh BKCE tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải a) Xét tứ giác BIEM có     IBM IEM 90o  IBM  IEM 180o  tứ giác BIEM nội tiếp đường trịn đường kính IM b) Tứ giác BIEM nội tiếp suy   IME IBE 45o (do ABCD hình vng)   c) Xét EBI ECM có BE = CE (do ABCD hình vng); BEI (cùng phụ với CEM    BEM ); EBI ECM 45o (do ABCD hình vng) Do EBI ECM  g c.g   MC IB  MB IA Vì CN //BA nên theo định lí Ta-lét, ta có MA MB IA   MN MC IB Trang    IM / / BN (định lí Ta-lét đảo)  BKE IME 45o (hai góc đồng vị)  Lại có BCE 45o (do ABCD hình vng)   Suy BKE BCE  BKCE tứ giác nội tiếp Bài tốn Chứng minh hai đỉnh nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm cịn lại hai góc Ví dụ mẫu Ví dụ Cho đường trịn (O) có đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O) Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua N vng góc với MN cắt Ax By theo thứ tự C D a) Chứng minh tứ giác ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ANB ∽CMD c) Gọi I giao điểm AN CM, K giao điểm BN DM Chứng minh tứ giác IMKN tứ giác nội tiếp Hướng dẫn giải  a) Xét tứ giác ACNM có MNC 90o (giả thiết);  MAC 90o (tính chất tiếp tuyến)  ACNM tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính MC Tương tự tứ giác BDNM nội tiếp đường tròn đường kính MD b) Xét ANB CMD có ABN CDM  (do tứ giác BDNM nội tiếp);   (do tứ giác ACNM nội tiếp) BAN DCM Do ANB ∽CMD  g g  c) Theo chứng minh câu b) ta có ANB ∽CMD   CMD  ANB 90o (do ANB góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))    IMK INK 90o  IMKN tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính IK Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Từ điểm A nằm đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ MI  AB, MK  AC  I  AB, K  AC  a) Chứng minh AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn Trang   b) Vẽ MP  BC  P  BC  Chứng minh MPK MBC Câu 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB Gọi H điểm nằm O B Kẻ dây CD vng góc với AB H Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK  AE K Đường thẳng DE cắt CK F Chứng minh a) Tứ giác AKCH nội tiếp b) AD  AH AB c) ACF tam giác cân Bài tập nâng cao Câu 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I trung điểm OA, dây CD vng góc với AB I Lấy K tùy ý cung nhỏ BC, AK cắt CD H a) Chứng minh tứ giác BIHK nội tiếp b) Chứng minh AH.AK có giá trị khơng phụ thuộc vị trí điểm K c) Kẻ DN  BC ; DM  AC  N  BC , M  AC  Chứng minh đường thẳng AB, CD, MN đồng quy Câu 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Lấy M  OA  M O; A  Qua M vẽ đường thẳng d vng góc với AB Trên d lấy N cho ON > R Nối NB cắt (O) C Kẻ tiếp tuyến NE với (O), (E tiếp điểm, E A thuộc nửa mặt phẳng bờ d) Chứng minh a) Bốn điểm O, E, M, N thuộc đường tròn b) NB.NC NE   c) NEH (H giao điểm AC d) NME d) FK tiếp tuyến (O) với F giao điểm HE (O) Câu 5: Cho đường tròn (O;R) điểm K cố định nằm ngồi đường trịn Qua K kẻ hai tiếp tuyến KM; KN tới đường tròn (M; N hai tiếp điểm) Một đường thẳng d qua K cắt đường tròn (O;R) B C  KB  KC  Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh năm điểm K, M, N, O, I thuộc đường tròn b) Chứng minh KM KB.KC c) Đường thẳng qua B, song song với KM cắt MN E Chứng minh EI // CM d) Chứng minh d thay đổi quanh điểm K trọng tâm G tam giác MBC ln nằm đường trịn cố định ĐÁP ÁN Dạng Nhận biết tứ giác nội tiếp Câu  180o Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên A  C   A nên A  A 180o  A 108o Theo giả thiết ta có C 3 Trang Câu a) ADB có ADB 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)   ABD  BAD 90o (tổng ba góc tam giác) (1) ABF có ABF 90o (BF tiếp tuyến)   AFB  BAF 90o (tổng ba góc tam giác) (2)  Từ (1) (2) suy ABD DFB b) Tứ giác ACDB nội tiếp (O)  ABD  ACD 180o  Mặt khác ECD  ACD 180o (hai góc kề bù)    ECD DBA      Theo chứng minh ABD DFB , ECD DBA  ECD DFB  tứ giác CEFD tứ giác nội tiếp Câu a) ABC ABD góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) (O’)  ABC  ABD 90o  ABC  ABD 180o Suy C, B, D thẳng hàng b) Xét tứ giác CDEF có   CFD CFA 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))  CED  AED 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O’))    CFD CED 90o suy CDEF tứ giác nội tiếp Câu   a) Ta có BAH (cùng phụ với ABC ) BCA   (tam giác MAC cân M theo tính chất trung tuyến ứng MCA MAC với cạnh huyền tam giác vuông)   Suy BAH MAC b) Giả sử tam giác ABC tam giác vuông Kẻ đường cao CN tam giác ABC   Ta có MAC (giả thiết) BAH    (cùng phụ với BAC ) BAH BCN   (tam giác MNC cân M) MCN MNC   Suy MAC MNC Do tứ giác ACMN tứ giác nội tiếp mà ANC 90o  AMC 90o  H M Suy tam giác ABC cân (mâu thuẫn giả thiết) Trang   Vậy BAH tam giác ABC tam giác vuông A MAC Dạng Sử dụng dấu hiệu chứng minh tứ giác nội tiếp toán liên quan Câu a) Ta có AIM  AKM 90o (giả thiết) Suy tứ giác AIMK nội tiếp đường trịn đường kính AM   b) Tứ giác CPMK có MPC MKC 90o (giả thiết) Do tứ giác CPMK tứ giác nội tiếp    MPK MCK  1   MBC Vì KC tiếp tuyến (O) nên MKC  2   Từ (1) (2) suy MPK MBC Câu a) Xét tứ giác AKCH có AHC  AKC 180o  tứ giác AKCH nội tiếp đường trịn đường kính AC b) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông vào ADB vng D, đường cao DH, ta có AD  AH AB    EDC  s® EC c) Ta có EAC ;   (tứ giác AKCH nội tiếp) EAC KHC    EDC KHC  DF / / HK Mà H trung điểm DC nên HK đường trung bình tam giác DCF  K trung điểm CF  ACF cân A (đường cao AK đồng thời đường trung tuyến) Câu   a) Xét tứ giác BIHK có HIB  HKB 180o  tứ giác BIHK nội tiếp đường trịn đường kính HB b) Ta có AHI ∽ABK  g.g   chung; HAI  HIA  AKB 90o  AH AI   AH AK  AI AB (không đổi) AB AK c) Ta có MD // CN (cùng vng góc với MC) AC // DN (cùng vng góc BC) Trang 10  MCND hình bình hành  I trung điểm MN  điều phải chứng minh Câu   a) Xét tứ giác OMEN có NEO NMO 90o  tứ giác OMEN nội tiếp đường trịn đường kính NO Hay bốn điểm O, E, M, N thuộc đường tròn    CBE  s® CE b) Ta có NEC  NEC ∽NBE  g.g   NE NC   NB.NC NE (1) NB NE c) Hai tam giác vuông NCH ∽NMB  g.g   NC NM   NC.NB NH.NM (2) NH NB Từ (1) (2) suy NE NH.NM  NH NE  NE NM Mặt khác NEH NME có BNM chung    NEH ∽NME  c.g.c   NEH EMN d) Tứ giác NEMO nội tiếp      EMN EON  NEH NOE  EF  NO Mặt khác tam giác OEF cân O  ON trung trực EF  NF NE  NF tiếp tuyến đường tròn (O;R) Câu    a) Ta có KMO KIO KNO 90o  Năm điểm K, M, N, O, I nằm đường trịn đường kính KO     MCB  s® BM b) KMB  KMB ∽KCM  g.g   KM KB   KM KB KC KC KM   c) Tứ giác KMIN nội tiếp  KMN KIN   BE / / KM  KMN BEN   )  BEN KIN  tứ giác BEIN nội tiếp (hai góc nội tiếp chắn BN    ) (hai góc nội tiếp chắn BE  BIE BNE Trang 11   ) Mặt khác BNM BCM (hai góc nội tiếp chắn BM    BIE BCM  IE / / CM d) G trọng tâm MBC  G  MI Gọi T trung điểm KO  MT IT  KO Từ G kẻ GG’ // IT  G '  MT   GG ' MG MG ' 2     GG '  IT  KO IT MI MT 3 MG '  MT  G ' cố định  G thuộc đường tròn    G '; KO    Trang 12