Bài 6 phương trình quy về phương trình bậc hai

BÀI PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Mục tiêu  Kiến thức + Nhận dạng nắm cách giải số phương trình quy phương trình bậc hai như: Phương trình trùng phương, phương trình chứa ẩn mẫu thức, phương trình tích + Nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để áp dụng đưa phương trình bậc cao dạng phương trình tích + Củng cố phương pháp giải phương trình chứa thức dạng  Kĩ + Giải phương trình quy bậc hai: Phương trình trùng phương; phương trình chứa ẩn mẫu phương trình tích + Giải số phương trình bậc cao, phương trình chứa thức dạng đơn giản Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình trùng phương Dạng: ax  bx  c 0  a 0  Ví dụ: x  3x  0 phương trình trùng phương Phương pháp giải: Đặt ẩn phụ Đặt t  x  t 0  ta phương trình bậc hai: at  bt  c 0 Phương trình chứa ẩn mẫu thức Bước 1: Tìm điều kiện xác định phương trình (ĐKXĐ) Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu thức Bước 3: Giải phương trình vừa nhận Bước 4: Trong giá trị ẩn: + Loại giá trị không thỏa mãn ĐKXĐ; + Các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ nghiệm phương trình cho Phương trình tích  f  x  0   g  x  0 f  x  g  x  h  x  0     h  x  0  Các phương trình dạng khác + Phương trình bậc cao: Cách giải: Đưa phương trình tích đặt ẩn phụ + Phương trình chứa căn: Cách giải:  Bình phương hai vế hai vế khơng âm;  Đặt ẩn phụ;  Khai biểu thức có dạng bình phương;  Đánh giá hai vế;… SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Phương trình trùng phương Dạng: ax  bx  c 0  a 0  Phương pháp: Đặt t  x  t 0  ta at  bt  c 0 Phương trình chứa ẩn mẫu + Tìm điều kiện xác định phương trình + Quy đồng khử mẫu Trang + Giải phương trình nhận + Kết luận nghiệm  f  x  0   g  x  0 Phương trình tích: f  x  g  x  h  x  0     h  x  0  Phương trình dạng khác + Phương trình bậc cao:  Đưa phương trình tích  Đặt ẩn phụ;… + Phương trình chứa thức:  Bình phương hai vế  Đặt ẩn phụ;… II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình trùng phương Phương pháp giải Xét phương trình trùng phương: Ví dụ Giải phương trình 16 x  17 x  0 ax  bx  c 0  a 0  Hướng dẫn giải Bước Đặt x t  t 0  Bước Giải phương trình bậc hai: Đặt x t  t 0  Phương trình at  bt  c 0 cho trở thành: 16t  17t  0 Ta có: a  b  c 16  17  0 Phương trình có hai nghiệm t1 1; t2  16 Bước + Với t 0 , giải phương trình x t + Kết luận nghiệm (thỏa mãn) + Với t 1 , ta có: x 1  x 1 1 + Với t  , ta có: x   x  16 16 Vậy tập nghiệm phương trình là: 1  S 1;  1; ;   4  Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình sau: Trang a) x  x 3 x  b) 5,1x  x  1,1 0 c)  x  1   x  1  0 Hướng dẫn giải a) Đặt x t  t 0  Phương trình cho trở thành: t  2t 3t   t  5t  0 Ta có: a  b  c 1   0 Phương trình có hai nghiệm: t1 1; t2 4 (thỏa mãn) + Với t 1 , ta có: x 1  x 1 + Với t 4 , ta có: x 4  x 2 Vậy phương trình cho có nghiệm x1 1; x2  1; x3 2; x4  2 b) Đặt x t  t 0  Phương trình cho trở thành: 5,1t  4t  1,1 0 Ta có: a  b  c 5,1   1,1 0 Phương trình có hai nghiệm t1  (loại), t2  Với t  11 (thỏa mãn) 51 11 11 561 , ta có: x   x  51 51 51 Vậy nghiệm phương trình x1  561 ; x2  51 561 51 c) Đặt  x  1 t  t 0  Phương trình cho trở thành: 4t  3t  0 Ta có: a  b  c 4   0 Phương trình có hai nghiệm t1  (loại), t2  (thỏa mãn)   x   x   2   Với t  , ta có:  x  1    4  x    x 1   2 1  Vậy nghiệm phương trình S  ;  2  Ví dụ Cho phương trình x   m   x  m 0 Tìm tất giá trị thực tham số m để: a) Phương trình có bốn nghiệm phân biệt b) Phương trình có ba nghiệm phân biệt Hướng dẫn giải Trang Đặt t  x  t 0  Khi phương trình cho trở thành t   m   t  m 0  * Ta có     m     4.1.m m  m   4m m  Vì m   với m nên phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt x1; x2  S  x1  x2 m  Áp dụng định lí Vi-ét ta có   P  x1 x2 m a) Để phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt S  m  m     m0 Khi  P  m   m   Vậy m  phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt b) Để phương trình cho có ba nghiệm phân biệt phương trình (*) có nghiệm dương nghiệm S  m  m    Khi  (khơng tồn m) P  m    m  Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Giải phương trình sau: a) x  x  0 b) x  12 x  0 c) 25 x  24 x  0 d )  x    10  x    0 Câu 2: Giải phương trình sau: a) x  x  x  b) x  x  x  c) x  34 x 36 d )  x   6  x    Câu 3: Giải phương trình sau: a) 0,1x  0,2 x  0,3 0 b) x  4,1x 1,1 0 c ) x  5,3x  6,3 0 10 d ) x  11 x Bài tập nâng cao Câu 4: Cho phương trình x  mx  0 Tìm điều kiện m để: Trang a) phương trình có bốn nghiệm phân biệt b) phương trình có hai nghiệm phân biệt c) phương trình vơ nghiệm Dạng 2: Phương trình chứa ẩn mẫu Phương pháp giải Ví dụ: Giải phương trình  x2  x    * x   x  1  x   Bước Tìm điều kiện xác định phương trình (ĐKXĐ) Bước Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu thức Hướng dẫn giải Điều kiện xác định: x  1; x   *   x   x  x  Bước Giải phương trình vừa nhận  x  x  0 Ta có:  52  4.6 1  nên phương trình có hai nghiệm phân biệt Bước Trong giá trị ẩn:  1  5  x2   2 Trong hai giá trị tìm được, có x2  + Loại giá trị khơng thỏa mãn điều kiện xác định thỏa mãn điều kiện x1  + Các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm phương trình cho x  Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình sau: x  3x x  x 1 x 1 x b) 1  x x 1 x 2 c)  3 x x x x2  2x  d)  x   x  1  x   a) Hướng dẫn giải a) Điều kiện xác định: x   x 0 x  3x x   x  x  x  x  x 0  x  x   0   (thỏa mãn điều kiện xác định) x 1 x 1  x  Vậy tập nghiệm phương trình là: S   2;0 b) Điều kiện xác định: x  1; x  Trang x 1    x  3  x  1   x    x  1 4  x   x x 1  x  x   x  x  4 x   x  x  0 Ta có:      4.2.3 49  24 25  Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt là: x1   25  25 3; x2   (thỏa mãn điều kiện 4 xác định) 1  Vậy tập nghiệm phương trình là: S  ;3 2  c) Điều kiện xác định: x 2; x 3 x 2  3   x    x     x  3 3  x  3  x   x x  x   5x  15 3 x  15 x  18  x  10 x  0 Ta có:    5  2.7 25  14 11  Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt là: x1   11  11 (thỏa mãn điều kiện xác ; x2  2 định)   11  11  ; Vậy tập nghiệm phương trình là: S     d) Điều kiện xác định: x  1; x 2 x x2  2x    x  x  2 x  x   x  x x  x  x   x  1  x    x 1  x  (thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy tập nghiệm phương trình là: x  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Giải phương trình sau: x2  6x 3x a)  x x x b) 1  x 1 x 2 x 3 1 x c)  3 x  x 3 2x x2  9x  d)  x   x  1  x   Trang Câu 2: Giải phương trình sau: 12  1 x  x 1 x b)  3 2x 1  x x  x  12 c)   x    x  1 x  a) d) x x 6   x  x   x  1  x   Bài tập nâng cao Câu 3: Giải phương trình sau: x  3x  x  2 x  3x  x3  x  x 1 x  3x  b)  x 1 x  x  x 1 a) Câu 4: Giải phương trình sau: x3  x2  x  x2  x  x3  x  x 1 x2  x  x2 b)  x4  x3  x2  x 1 a) Dạng 3: Phương trình đưa phương trình tích Phương pháp giải   Ví dụ x  x   x  3 0 Hướng dẫn giải  x  x  0  1   x  0   f  x  g  x  h  x  0 Bước Áp dụng tính chất sau để giải phương + Ta có a  b  c 1   0 nên phương trình Bước Chuyển phương trình cho dạng (1) có nghiệm -1  f  x  0   g  x  0 trình: f  x  g  x  h  x  0     h  x  0  Ví dụ mẫu +    x  Vậy tập nghiệm phương trình là: S   3;  1;2 Ví dụ Giải phương trình sau: Trang a) x  x  14 x  0  c)  x    x  1   x  1 b) x  x  x  x 0 2 0 d ) 5x  x  x  0 Hướng dẫn giải  x  0  1 2 a Ta có: x  x  14 x  0   x  1 x  x  0    x  x  0     Phương trình (1) có nghiệm x 1 Phương trình (2) có  ' 1  nên x1 3  4; x 3  2 Vậy tập nghiệm phương trình là: S  1;2;4  x  x  0  1 b Ta có: x  x  x  x 0    x  x 0      2  11  + Vì x  x   x     x nên phương trình (1) vơ nghiệm 2   x 0 +    x  x   0    x 2 Vậy tập nghiệm phương trình S  0;2 2  x    3x  1 0   x  x    3x  1   x  x    x  1  0 c Ta có:  x  x 0  1 2  x  x x  x  0    x  x  0   x          x 0 +  1  x  x   0    x 4 + x  x   x  1   x nên phương trình (2) vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình S  0;4   3 2 d 5x  x  5x  0  5x  x   5x  1 0  x  5x  1   x  1 0   x 5  5x  0    5x  1 x  0     x 1  x  0  x      1  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S  ;1;  1 5  Trang Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Giải phương trình sau:  b)  x   4x  4  x   x  0 a) x  x  x  x 0 2 c ) 1,2 x  x  0,2 x 0 Bài tập nâng cao Câu 2: Giải phương trình sau: a) x  x  x  0 b) x  x  11 x  0 Câu 3: Giải phương trình sau:  b)  x  2 a) x  x    x   0  3x    x  5 0 Câu 4: Giải phương trình sau:  b)  x a) x  x    4 x  x    x  x 0 Dạng 4: Giải phương trình phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp giải Ví dụ Giải phương trình sau:  x  1   x  1  0 Hướng dẫn giải Bước Đặt điều kiện xác định (nếu có) Bước Đặt ẩn phụ giải phương trình theo ẩn Đặt x  t , ta t  4t  0 Ta có a  b  c 1   0 Bước Tìm nghiệm ban đầu so sánh với điều Phương trình có nghiệm t1 1; t2 3 kiện xác định Bước để kết luận nghiệm Với t 1 , ta có: x  1  x 0 Với t 3 , ta có: x  3  x 2 Vậy phương trình có tập nghiệm S  0;2 Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình sau: Trang 10  b)  x c)  x a) x  x  d)    6 x  x     x  1 1  2x  x  x  x  2   3x x   10 0 x x Hướng dẫn giải  t 0 a Đặt t  x  x  Khi phương trình cho trở thành t 6t    t 6  x  Với t 0 x  x  0    x   x 1 2 Với t 6 x  3x  6  x  3x  0    x  Vậy tập nghiệm phương trình S   4;  2;  1;1 2 b  x  x    x  1 1   x  x    x  x  1  0 2 Đặt x  x t ta t   t  1  0  t  5t   0  t  5t  0 Vì a  b  c 1   0 nên phương trình có nghiệm t1  1; t2 6 + Với t  ta có: x  x   x  x  0   x  1 0  x 1 + Với t 6 ta có: x  x 6  x  x  0  '   1     1  7  Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 1  7; x2 1   Vậy tập nghiệm phương trình S  1;1  7;1  7  c Đặt x  x  t ta t  t  1 2  t  t  0 Vì a  b  c 1   0 nên phương trình có nghiệm t1 1; t2   x 0 2 + Với t 1 , ta có: x  x  1  x  x 0  x  x   0    x  + Với t  , ta có: x  x    x  x  0 Vì a  b  c 1   0 nên phương trình có nghiệm x1  1; x2  Vậy tập nghiệm phương trình S   4;  3;  1;0 d Điều kiện xác định: x 1; x 0 Đặt x x 1 t (điều kiện t 0 )   ta được: 3t   10 0  3t  10t  0 x1 x t t Trang 11 Vì a  b  c 3  10  0 nên phương trình có nghiệm t1  1; t2  (thỏa mãn điều kiện xác định) + Với t  ta có x   x   x  x 1  x  (thỏa mãn điều kiện) x x 7   x   x  10 x 7  x  ta có (thỏa mãn điều kiện) x 10 + Với t  1  Vậy tập nghiệm phương trình S  ;   10  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Giải phương trình sau: a)  x  1   x  1  0  b) x  x     x  x  0 Câu 2: Giải phương trình sau:   a) x  x   x  x  0 b)  x  1   x  1  0 Bài tập nâng cao Câu 3: Giải phương trình sau: a)  x  1  x    x  3  x   24    b) x  x  x  x  12 Câu 4: Giải phương trình sau: a) b) x2  x  1  4x  0 2x 1 x 2x    0 2x  x Dạng 5: Phương trình chứa biểu thức dấu Phương pháp giải Các dạng phương trình thường gặp:  g  x  0 f  x  g  x     f  x   g  x    f  x  0 2) f  x   g  x     f  x  g  x  1) 3) f  x   g  x  h  x  f  x  g  x   h x  + Điều kiện: f  x  0, g  x  0 h  x  0 Trang 12 + Bình phương hai vế Ngồi phương pháp bình phương hai vế trên, tùy phương trình ta sử dụng phương pháp khác như: + Đặt ẩn phụ; + Khai biểu thức có dạng bình phương; + Đánh giá bất đẳng thức,… Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình sau: a) x   x  b) x  x  x  5 x  Hướng dẫn giải  x  0  x 2  x 2 x  x     2    x  x  x   x  5x 0  x   x   a  x 2  x 2      x 0  x 5  x  x  5 0   x  0  Vậy phương trình có nghiệm x 5 b Điều kiện xác định x  x  0 Đặt x  5x   y  y 0   x  5x   y  x  5x  y   y1 1 Ta có phương trình y  y  0   (thỏa mãn)  y2 3 + Với y 1 , ta có: x  5x  1  x  5x  0 Ta có:    5  4.1.2 25  17  Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  + Với y 3 , ta có:  17  17 ; x2  2  x  x  5x  3  x  x  0    x2 6   17  17  ; ;  1;6  Vậy tập nghiệm phương trình S    Chú ý: Phương trình ta đưa dạng f  x  g  x  bình phương hai vế ta phương trình bậc khó giải Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Giải phương trình sau: Trang 13 a) x  27   x b) x  x 2  x Câu 2: Giải phương trình sau: a) x  2  x  b) x   x   x  Bài tập nâng cao Câu 3: Giải phương trình sau: a) x  x  x  11 3 x  b) x  x  10  x  x  3 0 Câu 4: Giải phương trình sau: a) 3x  x  12  x  10 x  30 8 b)  x  x 1 LỜI GIẢI Dạng Giải phương trình trùng phương Bài tập Câu 1: 2 a Đặt x t  t 0  Phương trình cho trở thành: t  2t  0   t  1 0  t  (loại) Vậy phương trình vơ nghiệm b Đặt x t  t 0  Phương trình cho trở thành: 3t  12t  0 Ta có a  b  c 3  12  0 Phương trình có hai nghiệm t1 1; t2 3 (thỏa mãn) + Với t 1 , ta có: x 1  x 1 + Với t 3 , ta có: x 3  x    Vậy tập nghiệm phương trình S   3;  1;1; c Đặt x t  t 0  Phương trình cho trở thành: 25t  24t  0 Ta có a  b  c 25  24  0 Phương trình có hai nghiệm t1  (loại); t2  Với t  (thỏa mãn) 25 1 , ta có: x   x  25 25 1 Vậy tập nghiệm phương trình S  ;  5 1  5 d Đặt  x   t  t 0  Phương trình cho trở thành: t  10t  0 Ta có a  b  c 1  10  0 Phương trình có hai nghiệm t1 1; t2 9 (thỏa mãn) Trang 14  x  1  x 3  + Với t 1 , ta có:  x   1    x    x 1  x  3  + Với t 9 , ta có:  x   9    x    x 5  x   Vậy tập nghiệm phương trình S   1;1;3;5 Câu 2: a x  x  x   x  x  0 2 Đặt x t  t 0  Phương trình cho trở thành: 4t  4t  0   2t  1 0  t  (loại) Vậy phương trình vơ nghiệm b x  x  x   x  5x  0 Đặt x t  t 0  Phương trình cho trở thành: 9t  5t  0 Ta có a  b  c 9   0 Phương trình có hai nghiệm t1  (loại); t2  (thỏa mãn) 4 Với t  , ta có: x   x  9 2  Vậy tập nghiệm phương trình S  ;   3 3 c x  34 x 36  x  34 x  36 0 Đặt x t  t 0  Phương trình cho trở thành: 2t  34t  36 0 Ta có a  b  c 2  34  36 0 Phương trình có hai nghiệm t1  (loại); t2 18 (thỏa mãn) Với t 18 , ta có: x 18  x 3  Vậy tập nghiệm phương trình S  3  d  x   6  x      x     x    0 Đặt  x   t  t 0  Phương trình cho trở thành: t  6t  0 Ta có a  b  c 1   0 Phương trình có hai nghiệm t1 1; t2 5 (thỏa mãn)  x  1  + Với t 1 , ta có:  x   1    x    x   x   x 2  x  5 2  + Với t 5 , ta có:  x   5    x    x     Vậy tập nghiệm phương trình S    2;  1;  2;1 Câu 3: a Đặt x t  t 0  Phương trình cho trở thành: 0,1t  0,2t  0,3 0 Ta có:  '  0,1  0,1.0,3  0,02  Trang 15 Vậy phương trình vơ nghiệm b Đặt x t  t 0  Phương trình cho trở thành: 3t  4,1t  1,1 0 Ta có a  b  c 3  4,1  1,1 0 Phương trình có hai nghiệm t1 1; t2  Với t  11 (thỏa mãn) 30 11 11 330 , ta có: x   x  30 30 30 Với t 1 , ta có: x 1  x 1  Vậy tập nghiệm phương trình S   330 330  ;  1; ;1 30 30  c Đặt x t  t 0  Phương trình cho trở thành: t  5,3t  6,3 0 63 Ta có a  b  c 1  5,3  6,3 0 Phương trình có hai nghiệm t1  (loại); t2  (thỏa mãn) 10 Với t  60 63 70 , ta có: x   x  10 10 10  70 70  ; Vậy tập nghiệm phương trình S   10   10 d Điều kiện x 0 Ta có x  10 11  x  11 x  10 0 x Đặt x t  t   Phương trình cho trở thành: t  11t  10 0 Ta có a  b  c 1  11  10 0 Phương trình có hai nghiệm t1 1; t2 10 (thỏa mãn) Với t 1 , ta có: x 1  x 1 Với t 10 , ta có: x 10  x  10   Vậy tập nghiệm phương trình S   10;  1;1; 10 Bài tập nâng cao Câu 4: Ta có x  mx  0  1 2 Đặt t  x  t 0  ta có phương trình t  mt  0  2  m  16 a Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm dương phân biệt     S   P   m  16    m  4    m    m    m  m   b Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm trái dấu  ac    (vơ lí) Trang 16 Vậy khơng có giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt c Phương trình (1) vơ nghiệm (2) vơ nghiệm (2) có hai nghiệm âm + (2) vô nghiệm     m  16     m   0  + (2) có hai nghiệm âm   S   P   m  16 0   m  4     m 4    m   m   m  Kết hợp lại, ta có m  phương trình cho vơ nghiệm Dạng 2: Phương trình chứa ẩn mẫu Bài tập Câu 1: a Điều kiện xác định: x 3 x2  6x 3x   x  x 3 x  x  x 0  x  x  3 0  Ta có x x  x 0  x  (thỏa mãn điều kiện xác  định) Vậy tập nghiệm phương trình S   3;0 b Điều kiện xác định: x  1; x  x 1    x    x     x  1  x   4  x  1 x 1 x 2  x   x  3x  4 x   x  x  0 Ta có    1  4.2    1  48 49  nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt  49  49 (thỏa mãn điều kiện xác định) x1  ; x2  4   3 Vậy tập nghiệm phương trình S 2;   2 c Điều kiện xác định: x 1; x  x  1 x  3   x  3    x   x   3  x  1  x   x x  x  x   x  x  3x  x   x  x  19 0 Ta có  1    19  1 19 20  nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1   5; x2   (thỏa mãn điều kiện xác định)   Vậy tập nghiệm phương trình S    5;   d Điều kiện xác định: x  2; x 1 2x x2  9x    x  x    x  x   x  x  x  x   x  x  0 x   x  1  x   Ta có a  b  c 1   0 nên phương trình có nghiệm x1 1 (loại); x2 4 (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm phương trình S  4 Trang 17 Câu 2: a Điều kiện xác định: x 1 12  1  12  x  1   x  1  x    x   x  x 1  12 x  12  x   x   x  x  21 0 Ta có        21 4  21 25  nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1   25  25 7; x2   (thỏa mãn điều kiện xác định) 1 Vậy tập nghiệm phương trình S   3;7 b Điều kiện xác định: x  ; x 2 x  3  x   x    x  1 3  x  1   x  x 1  x  x  x  x   x  x   5x  3x  0 Ta có    3  5.4    9  80 89  nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1   89  89 (thỏa mãn điều kiện xác định) ; x2  10 10   89  89  ; Vậy tập nghiệm phương trình S   10   10 c Điều kiện xác định: x 1; x 4 x  x  12   x  x  12  x   x  x  0  x    x  1 x  1 Ta có    1     1  9  nên phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1  4 1 (loại); x2   (thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy tập nghiệm phương trình S   2 d Điều kiện xác định: x  2; x  x x 6    x  x     x  1  x   x  x  x   x   x  3x  0 x  x   x  1  x   Ta có a  b  c 1   0 nên phương trình có nghiệm x1 1; x2  (thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy tập nghiệm phương trình S   4;1 Bài tập nâng cao Câu 3: a Điều kiện xác định: x 1 Trang 18    x  1 x  x  2 x  3x x  x  2 x  3x x  3x  x  2 x  3x      x3  x  x 1  x  1 x  x  x  x  x  x  x  x     x  x  2 x  3x  x  x  0 Ta có a  b  c 1   0 nên phương trình có nghiệm x1  1; x2 2 (thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy tập nghiệm phương trình S   1;2 b Điều kiện xác định: x 1  x  1  x    x  3x  1   Ta có x 1 x  x  x 1 x   x  1  x  1  x  1 x        x 4   x  1  x  (thỏa mãn điều kiện xác định) x   x  1  x   x     Vậy tập nghiệm phương trình S   3 Câu 4: a Điều kiện xác định: x 1 2 x  1  x  1 x  1   x3  x2  x  x2  x x2  x x2  x      Ta có x3  x  x 1  x  1 x  x  x  x  x  x  x  x      x  1  x  x  x  x   x  x  x  (thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy tập nghiệm phương trình S   1 b Điều kiện xác định: x 1 x  1  x    x2  x  x2 x2    x4  x  x  x 1 x   x  1  x  1 x   x  1       x 2 x2   x   x  x  x  0 x   x  1 x   x  1    Ta có a  b  c 1   0 nên phương trình có nghiệm x1  (loại); x2 2 (thỏa mãn điều kiện xác định) Vậy tập nghiệm phương trình S  2 Dạng 3: Phương trình đưa phương trình tích Bài tập Câu 1:  x  x 0  1 a x  x  x  x 0    x  x  0       x 0  +  1  x  x   0    x  0  x 0  x   + Giải (2): Ta có  ' 12  1.5 1    Phương tình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình S   4;0 Trang 19  x  x 0  1 b x  x  x  3x 0    x  x  0       x 0  +  1  x  x  3 0    x  0  x 0  x 3  +    x  x   0  x  0  x 2 Vậy tập nghiệm phương trình S  0;2;3  x 0   x 0  x 1 2   c 1,2 x  x  0,2 x 0  x 1,2 x  x  0,2 0     a  b  c 0   1,2 x  x  0,2 0   x     1  Vậy tập nghiệm phương trình S 0;1;   6  Bài tập nâng cao Câu 2:     x  x  x  0  x  x  x   x  0  x  x  1   x  1  x     x   0 a  x  0  1   x  1 x  x  0    x  x  0    2 +  1  x  + Giải (2):    3  4.1.4 9  16   Phương trình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm phương trình S   1   x  3x  11 x  0  x  x  x  x   x  1 0 b  x  0  1  x  x  1  x  x  1   x  1 0   x  1 x  x  0    x  x  0     + Giải (1): x  0  x 1 + Giải (2):  ' 2     4  11  Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1   11; x2   11   Vậy tập nghiệm phương trình S  1;   11;   11 Câu 3: 2  x    x   0   x  x    x     x  x    x    0  x 0  x 0  x  0  x 7 a  x  x x  5x  0  x  x    x  1  x   0      x  0  x     x  0  x  x         Trang 20