Bài 3 một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

BÀI MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG Mục tiêu  Kiến thức + Thiết lập hệ thức cạnh góc tam giác vuông thông qua định nghĩa tỉ số lượng giác góc nhọn + Trình bày hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông + Vận dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng để tính tốn độ dài, tính số đo góc giải mơ hình thực tiễn có liên quan  Kĩ + Có kĩ vận dụng hệ thức để giải số tập, thành thạo việc sử dụng máy tính bỏ túi làm trịn số + Tính yếu tố tam giác biết hai yếu tố, đặc biệt tam giác vuông + Vận dụng tỉ số lượng giác để giải số toán thực tế Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Các hệ thức Trong tam giác vng, cạnh góc vng bằng: - Cạnh huyền nhân sin góc đối nhân với cơsin góc kề; - Cạnh góc vng nhân với tang góc đối nhân với cơtang góc kề Cho tam giác ABC vng A, có BC a, AC b, AB c Ta có: b b sin B   b a.sin B a  ; a sin B c c tan B   c a.cos B a  ; a cos B b b tan B   b c.tan B c  ; c tan B c c cot B   c b.cot B b  b cot B Giải tam giác vng Là tìm tất yếu tố cịn lại tam giác vng biết trước hai yếu tố (trong có yếu tố cạnh, khơng kề góc vng) SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Cạnh góc vng = (Cạnh huyền) (sin góc đối) Cạnh góc vng = (Cạnh huyền) (cosin góc kề) Các hệ thức Cạnh góc vng = (Cạnh góc vng cịn lại) (tan góc đối) HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ Cạnh góc vng = (Cạnh góc vng cịn lại) (cot góc kề) GĨC TRONG TAM GIÁC VNG Giải tam giác vng Tính độ dài cạnh số đo góc tam giác vng dựa vào kiện cho trước toán Sơ đồ hệ thức lượng cạnh góc tam giác vng Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải tam giác vuông Phương pháp giải Ví dụ: Tính độ dài cạnh AB ABC vuông Các bước giải tam giác vuông:  45 AC 7 A, biết B Hướng dẫn giải Bước Ta dùng hệ thức cạnh góc tam giác vng Theo hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có AB  AC.tan B Bước Sử dụng bảng lượng giác máy tính cầm tay để tính yếu tố cịn lại Sử dụng máy tính cầm tay ta tính tan B tan 45 1 Vậy AB 7 Ví dụ mẫu  30 Ví dụ Giải tam giác ABC vuông A, biết AC 10 cm C Hướng dẫn giải Xét ABC vuông A, ta có:  C  90 (tính chất hai góc phụ tam giác B vuông)  90  C  90  30 60 Do B Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng ta có: AC BC.cos C  BC  AC 10 10   11,55  cm  cos C cos 30 AB  AC.tan C  AB 10.tan 30 10 5, 77  cm  Bước Áp dụng tính chất hai góc phụ tam giác vng (hoặc định lí tổng ba góc tam giác) Bước Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng Ví dụ Giải tam giác ABC vuông A, biết AB 42 cm AC 36 cm Hướng dẫn giải Trang +) Xét ABC vuông A, ta có: AB  AC BC (Định lí Py-ta-go)  BC  AB  AC  422  362 6 85  cm  +) cos C  AC 36  49 23  cos C  0, 65  C BC 55,32  C  90 (tính chất hai góc phụ tam giác vuông) + B  90  C  90  49 23 40 37  B Bước Áp dụng định lý Py-ta-go Bước Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng (hoặc tỉ số lượng giác) Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho tam giác ABC vuông A, có BC a, AC b, AB c Giải tam giác ABC biết:  45 a) b 13 cm, B  75 b) a 25 cm, C Câu 2: Cho tam giác ABC vng A, có BC a, AC b, AB c Giải tam giác ABC biết: a) a 39 cm, b 36 cm b) b 8 cm, c 6 cm Bài tập nâng cao Câu 3: Cho tam giác ABC vng A, có AC  AB Đường cao AH Gọi D, E hình chiếu H AB, AC a) Chứng minh AD AB  AE AC tam giác ABC đồng dạng với tam giác AED b) Cho biết BH 2 cm, HC 4,5 cm i) Tính độ dài đoạn thẳng DE ii) Tính số đo góc ABC (làm trịn đến độ) iii) Tính diện tích tam giác ADE  60 ; AB 8 cm Kéo dài CA đoạn AE  AB Kẻ Câu 4: Cho tam giác ABC vng A, có C EK  BC , EK cắt BA Q a) Giải tam giác ABC (kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)  b) Chứng minh S BCE  BC.BE.sin EBC c) Gọi M, N, I trung điểm BE, QC, AK Chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng Dạng 2: Tính cạnh góc tam giác Phương pháp giải  45 , Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB 5 , B  30 Tính độ dài cạnh BC C Trang Hướng dẫn giải Bước 1: Làm xuất tam giác vuông cách Kẻ AN  BC +) Trong ANB vng N, ta có: kẻ thêm đường cao Bước 2: Áp dụng hệ thức cạnh góc BN  AB.cos B 5.cos 45  tam giác vuông AN  AB.sin B 5.sin 45  +) Trong ANC vng N, ta có: CN  AN cot C  5 cot 30  2 Vậy BC  AN  CN  5 9, Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC có BC 11 cm, ABC 38 ACB 30 Gọi N chân đường vng góc hạ từ A xuống cạnh BC Tính độ dài đoạn thẳng AN, AC Hướng dẫn giải Từ B hạ đường thẳng vng góc với AC H   Xét BHC vng H, ta có HBC  HCB 90 (tính chất hai góc phụ tam giác vng)   Do đó: HBC 90  HCB 90  30 60   Mà HBA  ABC HBC    HBA HBC  ABC 60  38 22 Lại có BH BC.sin C 11 5,5 cm Áp dụng hệ thức lượng cạnh góc tam giác BHA vng H, ta có:  BH  AB.cos HBA  AB  BH 5,5  5,93 cm  cos 22 cos HBA Xét ABN vng N, ta có sin 38  AN AB  AN  AB.sin 38 5,93.sin 38 3, 65 cm.s Trang Xét ANC vuông N, ta có AN  AC.sin C  AC  AN 3, 65  7,3 cm sin C sin 30 Bước Kẻ thêm đường cao để làm xuất tam giác vuông Bước Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác vng (hoặc tỉ số lượng giác) Bài tập tự luyện dạng Bài tập  65 ; C  40 ; BC 4, cm Câu 1: Giải tam giác ABC, biết B Câu 2: Cho tam giác ABC có A 70 , AB 12 cm, AC 17 cm Tính độ dài đoạn BC  70 ; C  45 AC 4 cm Tính diện tích tam giác ABC Câu 3: Cho tam giác ABC có B Câu 4: Tứ giác ABCD có đường chéo cắt O Cho biết AC 4 cm, BD 5 cm AOB 60 Tính diện tích tứ giác ABCD Câu 5: Cho tam giác ABC vng A có đường cao AH  H  BC  a) Cho BC 12; CH 9 Tính số đo ABC b) Lấy điểm D nằm hai điểm A C Gọi K hình chiếu A BD Chứng minh rằng: BK BD BH BC  c) Chứng minh AHK KAD Bài tập nâng cao Câu 6: Chứng minh tam giác ABC có góc nhọn tạo AB AC  có diện tích S  AB AC.sin  Câu 7: Cho tam giác ABC cân A, đường cao AH Đường cao ứng với cạnh bên h, góc đáy  Chứng minh S ABC  h2 4.sin  cos  Câu 8: Cho tam giác nhọn ABC, AB  AC , đường cao AH đường trung tuyến AM Gọi  số đo  Chứng minh: tan   HAM cot B  cot C  45 , đáy nhỏ BC 6 cm, đáy lớn AB 8 cm Câu 9: Cho hình thang ABCD vng A A có D a) Tính AD, CD, S ABCD b) Gọi M, N, E, F trung điểm AB, CD, BD, AC Chứng minh M, N, E, F thẳng hàng c) Tia BN cắt AD K, tia EN cắt CK Q Chứng minh BCKD hình bình hành QB QA  d) Chứng minh CK  AC  AK  AC AK cos KAC Dạng 3: Một số toán thực tế Phương pháp giải Trang +) Để giải toán thực tế liên quan đến hệ thức lượng tỉ số lượng giác tam giác ta cần phân tích tốn, chuyển kiện thực tế cạnh, góc tam giác vng +) Một số trường hợp cần kẻ thêm hình phụ để xuất tam giác vng Ví dụ mẫu Ví dụ Từ đỉnh đèn biển cao 38 m so với mực nước biển, người ta nhìn thấy hịn đảo góc 30 so với đường nằm ngang chân đèn Hỏi khoảng cách từ đảo đến chân đèn (ở mực nước biển) bao nhiêu? (Kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Hướng dẫn giải Gọi A đỉnh đèn biển, B chân đèn, C đảo Xét tam giác ABC vng B có: AB 38 m, ACB 30 Khi BC  AB.cot ACB 38.cot 30 65,82  m  Ví dụ Tính chiều cao tháp, cho biết tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc 35 bóng tháp mặt đất có chiều dài 20 m Hướng dẫn giải Gọi AB chiều cao tháp, BC bóng tháp mặt đất, ACB góc tạo tia nắng mặt trời với mặt đất Áp dụng hệ thức cạnh góc tam giác ABC vng B ta có: AB BC.tan ACB  AB 20.tan 35 14  m  Ví dụ Hình vẽ minh họa cầu trượt đặt mảnh đất phẳng nằm ngang Vùng trượt nằm nghiêng tạo với mặt đất góc an tồn có số đo 40 Đoạn thẳng AC minh họa cho chiều dài vùng trượt Biết điểm A độ cao 2,3 m so với mặt đất điểm C nằm mặt đất Tính chiều dài vùng trượt Trang Hướng dẫn giải Tam giác ABC vng B, có cạnh huyền AC nên chiều dài vùng trượt AC  2,3 3,  m  sin 40 Ví dụ Để đo chiều cao CD tháp (C chân tháp, D đỉnh tháp), người chọn hai điểm A, B cho C, A, B thẳng hàng quan sát tháp, kết quan sát hình vẽ, A cách B khoảng cách 24 m Tính chiều cao tháp Hướng dẫn giải Áp dụng công thức lượng giác tam giác CAD, CBD ta có: AC  cot DAC cot 60 ; DC BC  cot DBC cot 48 DC  CD  AB 24  74,3  m  cot 48  cot 60 cot 48  cot 60 Vậy chiều cao tháp xấp xỉ 74,3 m Ví dụ Một người đứng hải đăng cao 75 m, người nhìn hai lần thuyền chạy hướng hải đẳng với góc hạ 30 45 Hỏi thuyền mét sau hai lần quan sát? Biết thuyền khơng đổi hướng q trình chuyển động Hướng dẫn giải Gọi B đỉnh hải đăng, C D hai vị trí thuyền (thuyền di chuyển từ D đến C)   Ta có: cot BDA  AD AC  ;cot BCA  AB AB DC DA  CA  cot 30  cot 45    CD 75 AB AB    54,9  m  Vậy thuyền chạy xấp xỉ 55 m sau hai lần quan sát Bài tập tự luyện dạng Trang Câu 1: Người ta cần dựng thang đến tường Biết góc thang mặt đất 50 đảm bảo an tồn bắt thang Tính chiều dài thang, biết khoảng cách từ chân tường đến chân thang 3,2 m Câu 2: Một tre cao m bị gió bão làm gãy ngang thân, chạm đất cách gốc m Hỏi điểm gãy cách gốc mét? Câu 3: Giữa nhà kho phân xưởng nhà máy, người ta xây dựng băng chuyền AB để chuyển vật liệu Khoảng cách hai tòa nhà 10 m, hai vòng quay băng chuyền đặt độ cao m m so với mặt đất Tìm độ dài AB băng chuyền Câu 4: Hai trụ điện có chiều cao dựng thẳng đứng hai bên lề đường đại lộ rộng 80 m Từ điểm M mặt đường hai trụ điện, người ta nhìn thấy hai trụ điện với góc nâng 30 60 Tính chiều cao trụ điện khoảng cách từ M đến trụ điện Hướng dẫn giải tập tự luyện Dạng Giải tam giác vuông Câu  C  90 (tính chất hai góc phụ a) Xét ABC vng A, ta có B  90  B  90  45 45 tam giác vng) Suy C Do ABC vng cân A nên AB  AC 13 cm (theo định nghĩa tam giác cân) Lại có: BC  AB  AC (theo định lí Py-ta-go) Vậy BC  AB  BC  132  132 13 cm  C  90 (tính chất hai góc phụ b) Xét ABC vng A, ta có B  90  C  90  75 15 tam giác vuông) Suy B Theo hệ thức cạnh góc tam giác vng: +) AC BC.cos C 25.cos 75 6, 47 cm +) AB BC.sin C 25.sin 75 24,15 cm Câu a) Xét ABC vng A, theo định lí Py-ta-go ta có AB  AC BC  AB  BC  AC  392  362  225 15 cm Ta có: cos C  AC 36 12  22 37   C BC 39 13  C  90 (tính chất hai góc phụ tam giác vuông) Do B  90  C  90  22 37 67 23 nên B Trang b) Xét ABC vuông A, theo định lí Py-ta-go ta có AB  AC BC  BC  AB  AC  62  82  100 10 cm Ta có: sin B  AC  53 7    B BC 10  C  90 (tính chất hai góc phụ tam giác vuông) Do B  90  B  90  53 7 36 53 nên C Câu a) Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng AHC AHB ta có: AE AC  AH  AD.AB  AB AC  AE AD Xét ABC AED ta có: A chung; AB AC  (chứng minh trên) AE AD Do ABC ∽ AED  c.g c  b) i) Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác ABC vuông A, đường cao AH ta có: AH BH HC  AH  BH HC  2.4,5 3 cm Vì tứ giác ADHE hình chữ nhật nên DE  AH 3 cm ii) Xét AHB vng H ta có: tan ABC  AH   ABC 56 BH iii) Xét BDH vng D có:  DH BH sin DBH  AE DH 2.sin 56 1, 66 cm Xét ADH vng D, ta có: AD  DH  AH (Định lí Py-ta-go)  AD  AH  DH  32  1, 662 2,5 cm 1  S ADE  AD AE  2,5.1, 66 2, 075 cm 2 Câu Trang 10 a) Xét tam giác ABC vuông A ta có:  C  90 (tính chất hai góc phụ tam giác vng) B  90  C  90  60 30  B AC  AB.cos ACB (hệ thức cạnh góc tam giác vuông)  AC 8.cos 60 4 cm AC  AB BC (định lí Py-ta-go)  BC  AC  AB  42  82 8,94 cm b) Áp dụng tỉ số lượng giác tam giác EKB vuông K ta   có: sin EBC EK   EB.sin EBC EK EB 1  VP  BC EB.sin EBC  EC.EK S BCE VT , suy điều 2 phải chứng minh   c) Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng có cạnh huyền: QKC , QAC có N trung điểm QC: NK NA  EKB, EAB có M trung điểm EB: MK MA  QC BE Suy M, N thuộc trung trực AK Lại có I trung điểm AK nên M, N, I thẳng hàng Dạng Tính cạnh góc tam giác Câu Xét tam giác ABC, ta có: A  B  C  180 (định lí tổng ba góc tam giác)    C  180   65  40  75  A 180  B Từ B hạ đường thẳng vng góc với AC H Xét HBC vng H, ta có: BH BC.sin C (hệ thức cạnh góc tam giác vuông)  BH 4, 2.sin 40 2, cm Xét ABH vng H, ta có: AB   AB  BH (hệ thức cạnh góc tam giác vuông) sin A 2, 2,8 cm sin 75 Ta có AC  AH  CH BH  cot A  cot C   AC 2,  cot 75  cot 40  3,9 cm Trang 11 Câu Kẻ BH  AC Xét AHB vuông H ta có:  BH  AB.sin BAH 12.sin 70 11, 27 (hệ thức cạnh góc tam giác vuông)  AH  AB.cos BAH 12.cos 70 4,10 cm (hệ thức cạnh góc tam giác vng) Có: HC  AC  AH 17  4,10 12,90 cm Áp dụng định lí Py-ta-go BHC vng H ta có: BC BH  HC 11, 27  12,92 293, 42  BC 15, 47 cm Câu Từ B hạ đường thẳng vng góc với AC H  Xét BHC vng H ta có: BH BC.sin BCH (hệ thức cạnh góc tam giác vng)  BH 4.sin 45 4 2 cm Xét AHB vng H ta có: A  B  C  180 (định lí tổng ba góc tam giác)    C  180   70  45  65  A 180  B Có:  AH BH cot BAH 2 2.cot 65 1,32 cm (hệ thức cạnh góc tam giác vng)  Lại có ABH  BAH 90 (tính chất hai góc phụ  tam giác vng) Suy ABH 90  BAH 90  65 25   HBC  ABC  ABH 70  25 45 , nên BHC vng cân H Khi HC BH 2 cm Có: AC  AH  HC 1,32  2 4,15 cm 1 Vậy S ABC  AC.BH  4,15.2 5,87 cm 2 Câu Trang 12 Kẻ AH  BD CK  BD  Ta có: AOB COD 60 (tính chất hai góc đối đỉnh) Xét AHO vng H ta có: AH OA.sin AOH OA.sin AOH OA.sin 60 (hệ thức cạnh góc tam giác vng) Xét CKO vng K ta có:   CK CO.sin COK CO.sin COD CO.sin 60 (hệ thức cạnh góc tam giác vng) 1 Ta có S ABD  BD AH  BD.OA.sin 60 2 1 S CBD  BD.CK  BD.CO.sin 60 2 1  S ABCD SABD  SCBD  BD.sin 60  OA  CO   BD.AC.sin 60 2  5.4.sin 60 5 cm 2 Câu a) Tam giác ABC vuông A, đường cao AH có: AC CH CB 9.12 108  AC 6  sin B  AC   ABC 60 BC b) ABD vuông A, đường cao AK có: BK BD  AB ABC vng A, đường cao AH có: BH BC  AB Do BK BD BH BC c) Theo chứng minh trên: BK BD BH BC  BK BC     BKH ∽ BCD  c.g c   BHK BDC BH BD    Mặt khác BHK BHA  AHK 90  AHK ;     BDC DKA  KAD 90  KAD  Vậy AHK KAD Câu Trang 13 Từ B kẻ đường cao vng góc với AC H Xét ABH vng H, ta có: BH  AB.sin  (hệ thức cạnh góc tam giác vng) Diện tích tam giác ABC là: 1 S  AB.BH  AB AC.sin  (điều phải chứng minh) 2 Câu Gọi BE đường cao ứng với cạnh bên AC Xét BEC vng E, ta có: BC  BE h  (hệ thức cạnh góc tam giác sin  sin  vuông) h  BH HC  BC  2sin  Xét AHC vng H, ta có: AH CH tan  (hệ thức giũa cạnh góc tam giác vng)  AH  Ta có: h h sin  h tan    2sin  2sin  cos  cos  1 h h h2 S ABC  AH BC   2 2cos  sin  4sin  cos  (điều phải chứng minh) Câu Ta có: HB  HC  HM  MB    MC  MH  2 HM Giả sử AH h Xét AHB vng H, ta có: HB  AH cot B h.cot B (hệ thức cạnh góc tam giác vng) Xét AHC vng H ta có: HC  AH cot C h.cot C (hệ thức cạnh góc tam giác vng)  HB  HC h  cot B  cot C  hay HM h  cot B  cot C  (1) Xét AMH vng H, ta có: HM  AH tan  h.tan  (hệ thức cạnh góc tam giác vuông)  HM 2h.tan  (2) Từ (1), (2)  2h.tan  h  cot B  cot C  Trang 14 Do tan   cot B  cot C (điều phải chứng minh) Câu a) Lấy G hình chiếu C AD Ta có: BCGA hình chữ nhật, suy BC  AG 6 cm, BA CG 8 cm Xét CGD vng G ta có: GD CG.cot ADC 8.cot 45 8 cm (hệ thức cạnh góc tam giác vng)  AD  AG  GD 6  14 cm CD  CG 1  CD  8 cm  S ABCD   AD  BC  CG  14  75,94 cm  sin 45 2 sin ADC   b) Ta có: MF đường trung bình ABC suy MF // BC EN đường trung bình BCD suy EN // BC MN đường trung bình hình thang ABCD suy MN // AD // BC Theo tiên đề Ơ-clít, qua điểm M hay N có đường thẳng song song BC Vậy M, N, E, F thẳng hàng   c) +) Ta có BC // DK , suy BCN (hai góc so le nhau)  NDK CN ND  NBC NKD  g c.g   BC DK Xét NBC NKD ta có:      ; BCN NDK  BNC KND Tứ giác BCKD có BC // DK , BC DK nên hình bình hành  EN // BC  MQ  AB +) Ta có Q nằm EN, mà   BC  AB QAB có QM đường cao đồng thời trung tuyến nên QAB cân Q, QA QB d) Ta có: AK  AG  GK   AG  GK  AG.GK Xét AGC vuông G ta có: AC  AG  GC (Định lí Py-ta-go)  Lại có AG  AC.cos CAG (hệ thức cạnh góc tam giác vng) Xét CGK vng G ta có: CK CG  GK (Định lí Py-ta-go)   VP  AG  GC  AG  GK  AG.GK  AC AK cos KAC Trang 15    2 AG  AG  GK   GC  GK  AK AC.cos KAC 2 AG AK  CK  AK AG CK VT Ta có điều phải chứng minh Dạng Một số toán thực tế Câu Đặt thang hình vẽ Ta có AB 3, m, A 50 Vậy chiều dài thang độ dài AH Xét tam giác ABH vng B, ta có: cos A  AB AB 3,  AH   4,98 m AH cos A cos 50 Vậy chiều dài tháp 4,98 m Câu Khoảng cách từ gốc đến chỗ bị gãy AB Khoảng cách từ chỗ thân tre bị gãy đến BC Khoảng cách từ chạm đất đến gốc AC Đặt độ dài AB  x  suy ra: BC 9  x Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác ABC vng A, ta có: AB  AC BC  x  32   x   x  81  18 x  x  18x 72  x 4 Vậy điểm gãy cách gốc m Câu Ta có hình vẽ Dựng AH vng góc với BC H Xét tam giác AHB vuông H: AH DC 10, HB BC  AD 8  4 m  AB  AH  HB  102  42  116 10, 78 m Câu Gọi AB, CD hai trụ điện, A C chân trụ điện Trang 16 Ta có: cot AMB  AM CM  ;cot CMD  AB CD  3 AC AC  AM  CM  AB  cot 60  cot 30   AB   AB  AB  34, 64 m     AM  AB.cot 30 60  m  , CM  AC  AM 20  m  Vậy chiều cao trụ điện xấp xỉ 34,64 m khoảng cách từ M tới trụ điện 20 m 60 m Trang 17