Bài 2 tỉ số lượng giác của góc nhọn

BÀI TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN Mục tiêu  Kiến thức + Nêu khái niệm tỉ số lượng giác góc nhọn + Nêu tỉ số lượng giác hai góc phụ + Nêu bảng tỉ số lượng giác góc đặc biệt  Kĩ + Vẽ tam giác vng, xác định cạnh kề, cạnh đối góc + Tính độ dài cạnh, góc + Vận dụng bảng tỉ số lượng giác góc đặc biệt để tính tốn, rút gọn Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm tỉ số lượng giác góc nhọn sin   AC ; BC cos   AB ; BC tan   AC ; AB cot   AB AC Tỉ số lượng giác hai góc phụ Ta có    90 Khi đó: +) sin  cos  ;cos  sin  +) tan  cot  ;cot  tan  Nếu hai góc phụ sin góc cơsin góc kia, tang góc cơtang góc Bảng tỉ số lượng giác góc đặc biệt  Tỉ số 0 30 45 60 90 Lượng giác sin  tan   cot   3 3 2 cos  2 2 1 3 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA 0 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính tỉ số lượng giác góc nhọn, tính cạnh, tính góc tam giác vuông Phương pháp giải Sử dụng kiến thức liên quan đến tỉ số lượng giác để tính tốn Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC vng A có AB 5 cm, BC 13 cm a) Tính tỉ số lượng giác góc ACB b) Vẽ hai phân giác BE, CF cắt I Tính AE, EC, AF, BF Hướng dẫn giải a) Xét ABC vng A có: AC  BC  BA2  132  52 12 cm Trong tam giác ABC vuông A: AB AC 12 sin ACB  ,cos ACB   , tan ACB   BC 13 BC 13 cos ACB 12 12 cot ACB   tan ACB sin ACB  b) Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác ABC, ta có: AB BC AE CE AE  CE AC 12        AE CE 13  13 18 18 10 26  AE  cm, EC  cm 3 AC CB AF BF AF  BF AB        AF BF 12 13 12  13 25 25 12 13  AF  cm, BF  cm 5 AB BD   +) Tính chất đường phân giác tam giác: Nếu AD phân giác BAC ,  D  BC  AC CD a c a c   b d bd Ví dụ Cho hình vng ABCD có AD 12 cm , điểm M BC, điểm N AB cho +) Tính chất dãy tỉ số nhau: AN BM 5 cm a) Tính tỉ số lượng giác góc AMB b) Nối DN cắt AM K Chứng minh AM DN c) Chứng minh AM  DN Hướng dẫn giải Trang a) Xét AMB vng B có: AB 12 cm, BM 5 cm, suy AM  AB  BM  52  122 13 cm Ta có: sin AMB  AB 12 BM  ;cos AMB   ; AM 13 AM 13 tan AMB  sin AMB 12  ; cos AMB 5  tan AMB 12 b) Xét AMB DNA : cot AMB   AD  AB 12 cm, AN MB 5 cm  AMB DNA  c.g c   AM DN   90  NDA MBA   c) Cách 1: Ta có: tan BAM BM AN , cot AND  AB AD    Do BM  AN ; AB  AD  tan BAM nên tam giác AKN hai góc BAM góc AND phụ cot AND nhau, suy AKN 90  AM  DN   Cách 2: ta có AMB DNA  ADN NAK  Tam giác DNA vuông A nên ADN  AND 90  NAK  ANK 90  Tam giác AKN có NAK  ANK  AKN 180  AKN 90  AM  DN Ví dụ Cho tam giác ABC đường cao BM CN cắt H a) Biết MA 6 cm, AB 10 cm Tính tỉ số lượng giác góc A b) Chứng tỏ ABM  ACN , AH  BC c) Gọi I, J trung điểm AH, BC Chứng tỏ IJ  MN Hướng dẫn giải a) Ta có: MA 6 cm, AB 10 cm, suy MB 8 cm Trong ABM vuông M:  sin MAB  MB   , AB 10  cos MAB   tan MAB  MA   , AB 10  sin MAB  ,  cos MAB Trang  tan AMB  b) Xét AMB có ABM  BAC 90  cot MAB    ANC có ACN  BAC ) 90  ABM  ACN (cùng phụ với góc BAC Xét ABC có hai đường cao BM, CN cắt H, suy H trực tâm ABC Vậy AH  BC c) Ta có AMH , ANH vuông M, N, điểm I trung điểm AH Theo định lý trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông Suy MI NI  AH Tương tự với cặp tam giác NBC, MBC vuông N, M, có J trung điểm BC, suy MJ  NJ  BC Suy I, J thuộc trung trực MN Vậy IJ  MN Bài tập tự luyện dạng Bài tập  45 , AB 10 cm Câu 1: Cho ABC có A 75 , C a) Kẻ AH  BC Tính BH, AC diện tích tam giác ABC b) Kẻ HE  AB, HF  AC Chứng minh AE AB  AF AC c) Gọi M, N trung điểm AH, EF Chứng minh MN  EF Câu 2: Cho tam giác ABC có góc A 60 , đường cao BM CN cắt H Nối AH cắt BC K Biết AC 8 cm  a) Tính AN, NC số đo ABM BHC   b) Chứng minh AK  BC , MBC CAK c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh tam giác MIN Bài tập nâng cao Câu 3: Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Gọi M, N, I trung điểm AB, AC,  AH Biết AH 8 cm, HAC 30 a) Tính AC, HC diện tích tam giác AHC b) Chứng minh ba điểm M, I, N thẳng hàng c) Gọi E trung điểm BC Chứng minh MNHE hình thang cân Câu 4: Cho tam giác ABC, ba đường cao AD, BE, CF cắt H a) Cho AD 4 cm, BD 3 cm Tính tỉ số lượng giác góc BAD       b) Chứng minh BAH BCH , CAD EBC , ABE  ACF c) Chứng minh CED ∽ CBA, BDF ∽ BAC d) Chứng minh BH BE  CH CF BC Trang Dạng 2: Chứng minh hệ thức liên quan đến tam giác vng Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Sắp xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ lớn đến bé: a) sin 31 , cos 52 ,sin 40 ,cos 80 , cos 20 ,sin 39 b) tan 42 , cot 72 , tan 37 , cot 70 , tan 27 , cot 50 Hướng dẫn giải a) Ta có cos 52 cos  90  38  sin 38 cos80 cos  90  10  sin10 cos 20 cos  90  70  sin 70 Suy sin10  sin 31  sin 38  sin 39  sin 40  sin 70 Vậy cos80  sin 31  cos 52  sin 39  sin 40  cos 20 b) Ta có cot 72 cot  90  18  tan18 cot 70 cot  90  20  tan 20 cot 50 cot  90  40  tan 40 Khi đó: tan18  tan 20  tan 27  tan 37  tan 40  tan 42 Vậy cot 72  cot 70  tan 27  tan 37  cot 50  tan 42 Chú ý: +) Nếu hai góc phụ sin góc cơsin góc kia, tang góc cơtang góc +) Ta ưu tiên đổi giá trị lượng giác góc sin tang cos  90    sin  ; cot  90    tan  +) Với góc  từ 0 đến 90 , góc  lớn giá trị sin  , tan  lớn ngược lại Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A Biết sin B  , tính tỉ số lượng giác góc C Hướng dẫn giải Ta có cos C sin B  Ta lại có sin C  cos C 1  sin C   cos C       5 Suy tan C  2 sin C cos C  cot C   cos C sin C Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Không dùng bảng số máy tính, so sánh: Trang a) sin 30 sin 69 b) cos81 cos 40 Câu 2: Sắp xếp tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ bé đến lớn a) tan13 , cot 51 , tan 28 ,cot 79 15, tan 47 b) cos 62 ,sin 50 , cos 63 41,sin 47 , cos83 Câu 3: Cho tam giác ABC vuông A, biết cos B  Tính giá trị lượng giác góc C Bài tập nâng cao tan   3cot  Câu 4: Cho cos   , với 0    90 Tính A  tan   cot  Câu 5: Cho tam giác ABC vng A, có ABC  Tìm giá trị lớn S 4.sin   3.cos  Dạng 3: Dựng góc  biết tỉ số lượng giác m n Phương pháp giải Ví dụ: Dựng góc nhọn  biết sin   Hướng dẫn giải Bước Dựng tam giác vng có hai cạnh m Dựng tam giác vng có độ dài cạnh góc vng n, m n hai cạnh góc vng cạnh 4, cạnh huyền góc vng cạnh huyền Bước Vận dụng định nghĩa tỉ số lượng giác để nhận Góc đối diện với cạnh góc vng góc  góc  Ví dụ mẫu Ví dụ Dựng góc nhọn  biết cos   Hướng dẫn giải Dựng tam giác vuông với độ dài cạnh góc vng 2, cạnh huyền 7, góc cạnh góc vng cạnh huyền góc  Nhận xét: Trang cos  cạnh kề: cạnh huyền nên ta dựng tam giác vng có cạnh góc vng 2, cạnh huyền Ví dụ Dựng góc nhọn  biết tan   Hướng dẫn giải Dựng tam giác vuông với độ dài cạnh góc vng 2, góc đối diện với cạnh góc vng có độ dài góc  Nhận xét: tan   cạnh đối : cạnh kề nên ta dựng tam giác vng với độ dài cạnh góc vng 2, góc đối diện với cạnh góc vng có độ dài góc  Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Dựng góc nhọn  , biết sin   Câu 2: Dựng góc nhọn  , biết cos   Câu 3: Dựng góc nhọn  , biết cot   Hướng dẫn giải tập tự luyện Dạng Tính tỉ số lượng giác góc nhọn, tính cạnh, tính góc tam giác vng Bài tập Câu a) Dễ tính ABC 60 Áp dụng tỉ số lượng giác AHB vuông H, ta có: Trang cos ABH  BH AH  BH 10.cos 60 5  cm  , sin ABH   AH 10 5  cm  BA AB Áp dụng tỉ số lượng giác AHC vng H, ta có: sin ACH  AH AH  HC  AH tan 45 5  cm   AC  5  cm  , tan ACH  HC AC sin 45 1 1 25 S ABC S ABH  S AHC  AH BH  AH HC  AH  BH  HC   5   2 2       cm  b) Áp dụng hệ thức lượng tam giác: AHB vng H có đường cao HE: AH  AE AB (1) AHC vuông H có đường cao HF: AH  AF AC (2) Từ (1) (2) suy AE AB  AF AC c) Ta có AEH , AFH vuông E, F, M trung điểm AH Theo định lý đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông, suy ME MF  AH Lại có NE NF nên suy M, N thuộc đường trung trực EF Vậy MN  EF Câu a) Áp dụng tỉ số lượng giác ANC vuông N ta có:  cos CAN  AN NC   AB 8.cos 60 4  cm  tan CAN   NC NA.tan 60 4  cm  AC NA Trong ABM vuông M, ta dễ dàng tính ABM 30  Áp dụng tổng bốn góc tứ giác AMHN hai góc đối đỉnh, ta dễ dàng tính BHC sau    MAN  ANH  AMH  NHM 360    BHC  NHM 360  90  90  60 120    NHM  BHC  b) Xét ABC có hai đường cao BM, CN cắt H, suy H trực tâm ABC đường cao thứ ba AK  BC    BCM KCA    CAK ,  CBM  CAK ∽ CBM  g g   MBC CAK Xét ta có:    BMC  AKC  90   Trang BC   c) Áp dụng tính chất góc ngồi tam giác MIC, NIB cân I  MI NI BI CI          ; NIB INC  NCI 2 NCI 2 HCB            MIC IMB  MBI 2MBI 2HBC  NIB  MIC 2 HBC  HCB    CIM  MIN  NIB 180     180  MIN 2 180  BHC 120  MIN 60 Lại có      HBC  HCB  BHC 180  Mà MI NI   BC (MI, NI trung tuyến ứng với cạnh huyền BC NBC , MBC vuông N, M) nên MIN (tam giác cân có góc 60 ) Bài tập nâng cao Câu a) Áp dụng tỉ số lượng giác AHC vuông H:  cos HAC  AH 16 HC 16   AC     HC  sin 30   cm  ;sin HAC  cm  AC cos 30 AC 3 1 32 S AHC  AH HC   cm   2 3 b) AHC có IN đường trung bình, suy IN // HC  IN // BC AHB có IM đường trung bình, suy IM // HC  IM // BC Theo tiên đề Ơ-clit: Qua điểm I có đường thẳng song song với đường thẳng BC không qua I Do M, I, N thẳng hàng IM, IN song song với BC c) Xét tứ giác MNHE có MN // EH , suy MNHE hình thang Trong ABC , NE đường trung bình, suy NE  AB Trong ABH vuông H, HM trung tuyến ứng với cạnh huyền AB, suy MH  AB Hình thang MNHE có hai đường chéo NE MH nên MNHE hình thang cân Câu Trang 10 a) Dễ dàng tính ABD vng D, AB 5 cm  sin BAD  BD AD   , cos BAD   AB AB  tan BAD   sin BAD   , cot BAD     cos BAD tan BAD   ABD CBF    BAD ,  BCF  BAD ∽ BCF  g g   BCF BAD b) Xét ta có:    BDA  BFC  90   Chứng minh tương tự với cặp tam giác CBE ∽ CAD ABE ∽ ACF ,   CAD EBC , ABE  ACF c) Theo câu b: +) CBE ∽ CAD  CE CB CE CD      , lại có ECB nên CED ∽ CBA  c.g c  DCA CD CA CB CA +) BAD ∽ BCF , chứng minh tương tự suy BDF ∽ BAC d) Xét BHD, BCE ta có:    EBC DBH BH BD  BHD ∽ BCE  g g     BH BE BC.BD    BC BE BEC 90  BDH Xét CHD, CBF ta có:   CDH CFB CH CD  CHD ∽ CBF  g.g     CH CF CB.CD    CB CF CFB 90 CDH Suy BH BE  CH CF BC  BD  CD  BC Dạng Chứng minh hệ thức liên quan đến tam giác vuông Bài tập Câu a) Ta có sin 30  sin 69 b) Ta có cos81  cos 40 Câu a) Ta có cot 51 cot  90  39  tan 39 Trang 11 cot 79 15 cot  90  10 45 tan10 45 Mà tan10 45  tan13  tan 28  tan 39  tan 47 Nên cot 79 15  tan13  tan 28  cot 51  tan 47 b) Ta có sin 50 sin  90  40  cos 40 sin 47 sin  90  43  cos 43 Mà cos83  cos 63 41  cos 62  cos 43  cos 40 Nên cos83  cos 63 41  cos 62  sin 47  sin 50 Câu Ta có cos B cos  90  C  sin C  2 Mặt khác sin C  cos C 1  cos C   sin C       3 Suy tan C  2 sin C cos C  , cot C  2 cos C sin C Bài tập nâng cao Câu Ta có sin   cos  1  sin    cos        4 Suy tan   sin  cos   , cot    cos  sin  7  tan   3cot  17  Khi A  tan   cot   Câu 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-ski  ax  by   a  b   x  y  ta có S  4.sin   3.cos    42  32   sin   cos    S 25  S 5 Vậy max S 5 Đẳng thức xảy sin  4   tan   cos  3 Dạng Dựng góc  biết tỉ số lượng giác m n Câu Dựng tam giác vng với độ dài cạnh góc vng 3, cạnh huyền 5, góc đối diện với cạnh góc vng góc  Trang 12 Câu Dựng tam giác vuông với độ dài cạnh góc vng 1, cạnh huyền 3, góc cạnh góc vng cạnh huyền góc  Câu Dựng tam giác vuông với độ dài cạnh góc vng 6, góc đối diện với cạnh góc vng có độ dài góc  Trang 13