Bài 5 hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

BÀI HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG y ax  b ( a 0) Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu định nghĩa góc tạo đường thẳng y ax  b (a 0) trục Ox + Biết cách tính số đo góc tạo đường thẳng tia Ox  Kĩ + Tìm hệ số góc đường thẳng + Xác định góc tạo đường thẳng tia Ox + Xác định phương trình đường thẳng biết hệ số góc Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Góc tạo đường thẳng y ax  b ( a 0) trục Ox Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nói góc  tạo đường thẳng y ax  b trục Ox ta hiểu góc tạo tia Ax tia AT, A tọa độ giao điểm đường thẳng y ax  b với trục Ox T điểm thuộc đường thẳng có tung độ dương Hệ số góc Hai đường thẳng song song y ax  b (a 0) y ax  b (a 0) tạo với trục Ox góc Đường thẳng y ax  b (a 0) y ax  b (a 0) Khi a a hai đường thẳng song song suy  T Ax (hai góc đồng vị nhau) TAx Ví dụ: Vẽ đường thẳng (d ) : y 2 x  (d ) : y 2 x  Xác định tan góc tạo đường thẳng trục Ox  Xét đường thẳng (d ) : y 2 x   Với x 0 y 4 suy đồ thị hàm số qua điểm A(0; 4)  Với y 0 x  suy đồ thị hàm số qua điểm B ( 2;0)  Xét đường thẳng (d ) : y 2 x   Với x 0 y 2 suy đồ thị hàm số qua điểm C (0; 2)  Với y 0 x  suy đồ tan góc tạo đường thẳng y ax  b (a 0) trục Ox a thị hàm số qua điểm D ( 1;0) Đồ thị hàm số (d ) : y 2 x  Trang (d ) : y 2 x  Tam giác vng ABO ta có OA  4 ; OB   2 Suy tan ABO  OA  2 a OB Tam giác vng CDO ta có OC  2 ; OD   1   Suy tan CDO OC  2 a OD Chú ý: - Khi a  góc tạo đường thẳng y ax  b (a 0) trục Ox nhỏ 90o - Khi a  góc tạo đường thẳng y ax  b (a 0) trục Ox lớn 90o Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo đường thẳng trục Ox, góc tạo tia Ax tia AT, A tọa độ giao điểm đường thẳng với trục Ox T điểm thuộc đường thẳng có tung độ dương Khi góc tạo đường thẳng trục Ox lớn 90o Tìm hệ số góc đường thẳng HỆ SỐ GĨC CỦA ĐƯỜNG THẲNG Khi góc tạo đường thẳng trục Ox nhỏ 90o Xác định góc tạo đường thẳng tia Ox Xác định phương trình đường thẳng biết hệ số góc Hai đường thẳng song song tạo với trục Ox góc Giá tan góc tạo đường thẳng trục Ox a II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm hệ số góc đường thẳng Phương pháp giải Ví dụ: Xác định hệ số góc đường thẳng ( d ) : y ax  b (a 0) biết (d) song song với đường thẳng y 3x  Dựa vào kiến thức vị trí tương đối hai đường thẳng Hướng dẫn giải Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y 3x  a 3 Hai đường thẳng song song a a b b Vậy suy hệ số góc đường thẳng (d) Hai đường thẳng trùng khi a a b b song song với đường thẳng y 3x  Hai đường thẳng cắt a a Đường thẳng y ax  b (a 0) tạo với trục Ox góc  hệ số góc a tan    90O ; a  tan(180o   )   90O Trang Ví dụ mẫu Ví dụ Xác định hệ số góc đường thẳng (d ) : y ax  b (a 0) biết góc tạo (d) với trục Ox 30O Hướng dẫn giải Vì góc tạo đường thẳng (d ) : y ax  b (a 0) với trục Ox 30O nên a tan 30o   3 Vậy hệ số góc đường thẳng (d) tạo với trục Ox Ví dụ Cho đường thẳng (d ) : y mx  2m  Tìm hệ số góc đường thẳng (d) biết (d) cắt trục hoành điểm có hồnh độ  Hướng dẫn giải Vì đường thẳng (d ) : y mx  2m  cắt trục hồnh điểm có hồnh độ  , suy đường thẳng (d ) : y mx  2m  qua điểm A( 1;0) Vậy với x  y 0 suy m.( 1)  2m   m 1 Với m 1 đường thẳng (d ) : y mx  2m  có dạng y x  Vậy hệ số góc đường thẳng (d ) : y mx  2m  cắt trục hồnh điểm có hồnh độ  Ví dụ Tìm m để đường thẳng (d ) : y (m  1) x  3m  có hệ số góc nhỏ Hướng dẫn giải Đường thẳng (d ) : y (m  1) x  3m  có hệ số góc a m  Ta có m 0  m  1  a 1 Vậy hệ số góc nhỏ đường thẳng (d ) : y (m  1) x  3m  m 0 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Xác định hệ số góc đường thẳng biết đường thẳng vng góc với đường thẳng y 2 x  Đáp án Đường thẳng y 2 x  có hệ số a 2 ; b 7 Vậy hệ số góc đường thẳng y 2 x  a 2 nên hệ số góc đường thẳng vng góc với đường thẳng y 2 x   Câu 2: Xác định hệ số góc đường thẳng y mx  , biết đường thẳng qua điểm A(1;3) Đáp án Đường thẳng y mx  qua điểm A(1;3) nên m.1   m 1 Vậy hệ số góc đường thẳng y mx  Trang Câu 3: Xác định hệ số góc đường thẳng (d ) : y ( m  1) x  2m  biết đường thẳng qua điểm A( 1; 2) Đáp án Đường thẳng (d ) : y (m  1) x  2m  qua điểm A( 1; 2) (m  1)( 1)  2m    m   2m   m   m 4 Với m 4 phương trình đường thẳng (d) có dạng y 3x  Vậy suy hệ số góc đường thẳng (d ) : y (m  1) x  2m  qua điểm A( 1; 2) a 3 Bài tập nâng cao Câu 4: Xác định hệ số góc đường thẳng ( d ) : y (m  1) x  2m  biết đường thẳng cắt trục tung điểm có tung độ Đáp án Đường thẳng ( d ) : y ( m  1) x  2m  cắt trục tung điểm có tung độ suy đường thẳng ( d ) : y ( m  1) x  2m  qua điểm A(0;9) nên (m2  1).0  2m    2m   2m  12  m  Với m  đường thẳng có dạng y 35 x  Vậy hệ số góc đường thẳng ( d ) : y ( m  1) x  2m  cắt trục tung điểm có tung độ là a 35 Câu 5: Xác định hệ số góc lớn đường thẳng (d ) : y ( m  2m  3) x  4m  Đáp án Hệ số góc đường thẳng (d ) : y ( m  2m  3) x  4m  a  m  2m   m  2m   (m  2m  3)  (m  2m   2)   (m  1)    (m  1)  Mà  ( m  1)2 0 với m suy  (m  1)   với m Vậy hệ số góc lớn đường thẳng (d ) : y ( m  2m  3) x  4m  –2 m 1 Dạng 2: Xác định góc tạo đường thẳng y ax  b (a 0) với trục Ox Phương pháp giải Ví dụ: Xác định góc đường thẳng y 2 x  với trục Ox Bước Dựa vào công thức liên hệ hệ số a Hướng dẫn giải Gọi  góc tạo đường thẳng y 2 x  góc tạo đường thẳng trục Ox với trục Ox, suy tan  2 a tan    63o 26 Vậy  63o 26 Bước Kết luận Trang Ví dụ mẫu Ví dụ Xác định góc đường thẳng ( d ) : y ax  b với trục Ox biết (d) vng góc với đường thẳng y  x  Hướng dẫn giải Đường thẳng ( d ) : y ax  b vng góc với đường thẳng y  x  suy a   a  Gọi  góc tạo đường thẳng ( d ) : y ax  b với trục Ox, suy Hai đường thẳng song song với tan     116o34 Vậy góc tạo trục Ox với đường thẳng ( d ) : y ax  b  116o34 Ví dụ Xác định góc đường thẳng (d ) : y ( m  1) x  3m với trục Ox Biết đường thẳng (d ) : y ( m  1) x  3m cắt trục tung điểm có tung độ Hướng dẫn giải Đường thẳng (d ) : y (m  1) x  3m cắt trục tung điểm có tung độ tức đường thẳng (d ) : y (m  1) x  3m qua điểm A(0;9) Với x 0 y 9 suy (m  1).0  3m  m 3 Với m 3 phương trình đường thẳng (d) có dạng y 2 x  Gọi  góc tạo đường thẳng y 2 x  với trục Ox, suy  63o 26 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Tính góc tạo đường thẳng y  3x  với trục Ox Đáp án Ta có hệ số góc đường thẳng y  3x 1 a tan     60o Câu 2: Đường thẳng (d) cắt trục hoành, trục tung điểm có hồnh độ –1 tung độ Xác định góc tạo đường thẳng (d) trục Ox Đáp án Đường thẳng ( d ) : y ax  b qua điểm A( 1;0) B (0;1) nên a 1; b 1  (d ) : y x  Hệ số góc đường thẳng (d) a tan  1   45o Câu 3: Xác định góc tạo đường thẳng (d) với trục Ox,biết đường thẳng (d) song song với đường thẳng y 2 x  Đáp án Trang Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y ax  b (a 0) Vì đường thẳng (d) song song với đường thẳng y 2 x  suy hệ số góc đường thẳng (d) a 2 Gọi  góc tạo đường thẳng (d) với trục Ox suy tan  2   63o 26 Vậy góc tạo đường thẳng (d) song song với đường thẳng y 2 x  với trục Ox 63o 26 Câu 4: Xác định góc tạo đường thẳng (d) với trục Ox, biết đường thẳng (d) qua hai điểm A(1;3) B (2;5) Đáp án Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y ax  b (a 0) Đường thẳng (d) qua A(1;3) suy a  b 3 (1) Đường thẳng (d) qua B (2;5) suy 2a  b 5 (2) Từ (1) suy a 3  b thay vào (2) ta có 2(3  b)  b 5   2b  b 5   b   b 1 Với b 1 suy a 2 Gọi  góc tạo đường thẳng (d) với trục Ox suy tan  2   63o 26 Vậy góc tạo đường thẳng (d) qua hai điểm A(1;3) B (2;5) 63o 26 Bài tập nâng cao Câu 5: Xác định góc tạo đường thẳng (d) với trục Ox,biết đường thẳng (d) cắt trục Ox, Oy tạo thành tam giác vuông cân Đáp án Đường thẳng (d) cắt hai trục tọa độ tạo tam giác vuông cân suy góc tạo đường thẳng (d) với trục Ox 45o 135o Vậy suy hệ số góc đường thẳng (d) a tan 45o 1 a  tan(180o  135o )  Dạng 3: Xác định phương trình đường thẳng biết hệ số góc Phương pháp giải Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) Trang biết hệ số góc qua điểm A(1;3) Bước Xác định hệ số góc a dựa vào kiến thức Hướng dẫn giải Gọi phương trình đường thẳng (d) góc hệ số góc y ax  b Đường thẳng y ax  b (a 0) tạo với trục Ox góc  hệ số góc Vì đường thẳng (d) có hệ số góc suy a tan    90o a 2 Vậy phương trình đường thẳng (d) có dạng y 2 x  b a  tan(180o   )   90o Bước Thay tọa độ điểm qua vào phương Mặt khác đường thẳng (d) qua điểm trình đường thẳng xác định hệ số b A(1;3) với x 1 y 3 suy ta có 2.1  b  b 1 Bước Kết luận Vậy phương trình đường thẳng có hệ số góc bẳng qua điểm A(1;3) y 2 x  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng (d) biết đường thẳng (d) hợp với trục Ox góc 60O qua điểm A( 3; 2) Hướng dẫn giải Gọi phương trình đường thẳng (d) y ax  b Vì đường thẳng (d) hợp với trục Ox góc 60O suy a tan 60o  Vậy phương trình đường thẳng (d) có dạng y  x  b Mặt khác đường thẳng (d) qua điểm A( 3; 2)  3  b  b  Vậy phương trình đường thẳng (d) hợp với trục Ox góc 60O qua điểm A( 3; 2) y  3x  Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng (d) biết đường thẳng (d) hợp với trục Ox góc 135O qua điểm A(1;5) Hướng dẫn giải Gọi phương trình đường thẳng (d) y ax  b Vì đường thẳng (d) hợp với trục Ox góc 135O suy a  tan(180o  60o )  Vậy phương trình đường thẳng (d) có dạng y  x  b Mặt khác đường thẳng (d) qua điểm A(1;5)   b  b 6 Trang Vậy phương trình đường thẳng (d) hợp với trục Ox góc 135O qua điểm A(1;5) y  x  Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Viết phương trình đường thẳng (d), biết đường thẳng có hệ số góc –3 qua điểm M ( 2;5) Đáp án Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y ax  b Vì hệ số góc đường thẳng –3 suy a  Vậy phương trình đường thẳng (d) có dạng y  x  b Mặt khác, đường thẳng (d) qua điểm M ( 2;5) suy  3( 2)  b  b  Vậy phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc -3 qua điểm M ( 2;5) y  3x  Câu 2: Viết phương trình đường thẳng (d), biết đường thẳng (d) hợp với trục Ox góc 30O cắt trục tung điểm có tung độ Đáp án Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y ax  b o Vì góc tạo đường thẳng (d) trục Ox 30o suy hệ số góc a tan 30  Vậy phương trình đường thẳng (d) có dạng y  x b Mặt khác, đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ suy đường thẳng qua điểm M (0;3) , suy   b  b 3 Vậy phương trình đường thẳng (d) hợp với trục Ox góc 30O cắt trục tung điểm có tung độ y  x 3 Bài tập nâng cao Câu 3: Viết phương trình đường thẳng (d), biết đường thẳng (d) qua điểm M (2;  1) cắt hai trục tọa độ tạo tam giác vuông cân Đáp án Trang 10 Đường thẳng (d) cắt hai trục tọa độ tam giác vng cân suy góc tạo đường thẳng (d) với trục Ox 45o 135o Vậy suy hệ số góc đường thẳng (d) a tan 45o 1 a  tan(180o  135o )  Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y ax  b Với a 1 đường thẳng có dạng y  x  b Mặt khác, ta lại có đường thẳng (d) qua điểm M (2;  1) suy  2  b  b  Suy phương trình đường thẳng qua điểm M (2;  1) cắt hai trục tọa độ tạo tam giác vuông cân y  x  Với a  đường thẳng có dạng y  x  b Mặt khác, ta lại có đường thẳng (d) qua điểm M (2;  1) suy    b  b 1 Suy phương trình đường thẳng qua điểm M (2;  1) cắt hai trục tọa độ tạo tam giác vuông cân y  x  Vậy phương trình đường thẳng qua điểm M (2;  1) cắt hai trục tọa độ tạo tam giác vuông cân y  x  y  x  Câu 4: Viết phương trình đường thẳng (d), biết đường thẳng (d) qua điểm M (1; 4) cắt hai trục tọa độ Ox, Oy A,B OB 2OA Đáp án Đường thẳng (d) cắt hai trục tọa độ Ox, Oy A,B OB 2OA , suy hệ số góc đường thẳng (d) a tan   OB OB 2 a  tan(180   )   OA OA Gọi phương trình đường thẳng (d) có dạng y ax  b Với a 2 đường thẳng có dạng y 2 x  b Mặt khác, ta lại có đường thẳng (d) qua điểm M (1; 4) suy 2.1  b  b 2 Suy phương trình đường thẳng y 2 x  Với a  đường thẳng có dạng y  x  b Mặt khác, ta lại có đường thẳng (d) qua điểm M (1; 4) suy  2.1  b  b 6 Suy phương trình đường thẳng y  x  Vậy phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề y 2 x  y  x  THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT SỐ VÀ THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT SỐ VÀ THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ SỐ VÀ SỐ Trang 11