Hệ số góc của đường thẳng y=ax+b

HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG y ax  b  a 0  A Tóm tắt lý thuyết Cho đường thẳng  d  : y ax  b  a 0  +) Nếu a  góc b  A  ;0  B 0; b cắt trục Ox  a  trục Oy    tạo đường thẳng  d  : y ax  b với trục tan  00    900 ) tính theo cơng thức: *) Lưu ý: Hệ số góc 900    1800 ) b OB   a a  a   OA  b a  lớn góc lớn, nhỏ 90 +) Nếu a  góc Ox góc nhọn (  tạo đường thẳng  d  : y ax  b với trục Ox góc tù ( theo cơng thức:  180   , với: tính tan  b OB   a  a  a   OA  b a *) Lưu ý: Hệ số góc  lớn góc lớn, nhỏ 180 *) Nhận xét: +) Các đường thẳng có hệ số góc tạo với trục Ox góc +) Đường thẳng y ax y ax  b có chung hệ số góc  Tóm tắt: a 0 Hệ số Đồ thị Công thức tan  Chú ý a 0 b OB   a a  a   OA  b a tan  b OB   a  a  a   OA  b a d Cơng thức tìm hệ số góc đường thẳng   qua hai điểm A  x A ; xB  B  xB ; yB  là: k AB  yB  y A xB  x A B Bài tập dạng tốn Dạng 1: Tìm hệ số góc đường thẳng Cách giải: Sử dụng kiến thức liên quan đến vị trí tương đối hai đường thẳng hệ số góc đường thẳng - Hai đường thẳng song song có hệ số góc - Đường thẳng y ax  b  a   tạo với tia Ox góc α a tan d Bài 1: Cho đường thẳng y ax  b Xác định hệ số góc   , biết: d d : x  y  0 a)   song song với   d b)   tạo với tia Ox góc  30 d d : y  x  c)   vng góc với đường thẳng   d d)   tạo với tia Ox góc  135 d P  1;  3 e)   qua  qua giao điểm hai đường thẳng d1 : y x  7, d : y  x  Lời giải d : x  y  0 a)   Ta có: b) Vì  300  900  a tan tan300  c) Ta có: d) Vì  a 2  a 2 b   d  / /  d1     d    d2   a 3  a 3   900  a  tan  1800  1350   d : y  m   x  m d Bài 2: Cho đường thẳng   Xác định hệ số góc   , biết: d a)   cắt trục tung điểm có tung độ -3 d b)   cắt trục hồnh điểm có hoành độ Lời giải d a)   cắt Oy điểm có tung độ -2 từ tìm m 3  a  d b)   cắt Ox điểm có hồnh độ từ tìm m 10  a 5 d Bài 3: Tìm hệ số góc đường thẳng   , biết rằng: d M  2;1 N 0; a)   qua hai điểm    d P  1;  3 d : y x  b)   qua điểm  qua giao điểm hai đường thẳng    d2  : y  x  Lời giải a) Gọi phương trình đường thẳng d có dạng y ax  b d Vì   qua hai điểm M,N nên tìm 3 a  , b 4  a  2 d d b)   cắt   M  2;   d P  1;  3 Vậy   qua hai điểm  M  2;    a  Bài 4: d : y  m  4m  1 x  2m  d Cho đường thẳng   , với m tham số Hãy tìm m để   có hệ số góc nhỏ Lời giải Ta có: a m  4m   m     amin   m 2 Bài 5: d : y   4m  4m  3 x  d Cho đường thẳng   , với m tham số Hãy tìm m để   có hệ số góc lớn Lời giải Ta có: a  4m  4m    2m  1   amax 4  m  Bài 6: Tìm số dương m, n cho hệ số góc đường thẳng y mx gấp bốn hệ số góc đường thẳng y nx , góc tạo đường thẳng y mx với trục Ox gấp đơi góc tạo đường thẳng y nx với trục Ox Lời giải C 1;0 Qua điểm   kẻ đường thẳng vng góc với trục hoành, cắt đường thẳng y nx y mx theo thứ tự A, B Ta có: A  1; n  ; B  1; m  Do hệ số góc đường thẳng y mx gấp bốn hệ số góc đường thẳng y nx , nên ta có:  BC 4n m 4n    AB 3n Do góc tạo đường thẳng y mx với trục Ox gấp đơi góc tạo đường thẳng y nx  với trục Ox , nên OA đường phân giác BOC Theo tính chất đường phân giác tam giác BOC , ta có: AB OB 3n OB     OB 3 AC OC n Theo định lý Pytago tam giác BOC vng C , ta có: BC OB  OC 32  12 8  BC 2  4n 2  n  Vậy m 2 2, n  2  m 4 2 2 2 Dạng 2: Xác định góc tạo đường thẳng tia Ox d Cách giải: Để xác định góc đường thẳng   tia Ox , ta làm sau: d Cách 1: Vẽ   mặt phẳng tọa độ sử dụng tỉ số lượng giác tam giác vuông cách phù hợp d Cách 2: Gọi α góc tạo tia Ox   Ta có: - Nếu   90 a  a tan a  tan  1800    - Nếu   90 a  d Bài 1: Tìm góc tạo tia Ox đường thẳng   , biết d a)   có phương trình y  x  d b)   cắt Oy điểm có tung độ cắt Ox điểm có hồnh độ  d A 0;1 c)   qua điểm   B  3;  Lời giải d a) Cách 1: vẽ   hệ trục tọa độ d +) Gọi A, B giao điểm   với Ox; Oy d Ta có góc tạo   Ox là:   180  ABO 1350 ABO 450 A O B  Cách 2: 0 0 Vì a    a  tan(180   )  tan(180   ) 1  180   45   135 b) Tương tự ta tính được:  30 OA  1800  AOB; tan AOB     1500 OB c) Chú ý: Bài 2: Cho đường thẳng (d1 ) : y x  1;(d ) : y  x  d , d a) Vẽ     mặt phẳng tọa độ d , d b) Gọi A, B giao điểm     với trục hoành C giao điểm  d1  ,  d  Tính số đo góc ABC c) Tính diện tích tam giác ABC Lời giải     b) Ta có: CAB CAx; tanCAx a1 1  CAB 45 0    Lại có: tanCBx a2   CBA 120  ACB 15 95 S ABC   3   2 c) Ta có: (đvdt)    d Bài 3: Tìm góc tạo tia Ox đường thẳng   , biết a) Vẽ đường thẳng (d1 ) : y  x  2; ( d ) : y  1 x hệ trục tọa độ chứng minh chúng cắt tạid điểm A nằm trục hoành b) Gọi giao điểm d1 d với trục tung theo thứ tự B C Tính góc ABC c) Tính chu diện tích ABC Lời giải A  2;  a) Ta có d1 cắt d điểm     b) Tính được: BAC 75 ; ABC 45 ; ACB 60 c) Chu vi ABC bằng:  2  SABC 3 (đvdt) Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng biết hệ số góc d : y ax  b Cách giải: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm   d A x ;y A x ;y d Nếu   qua  0  biết hệ số góc ta thay tọa độ  0  vào   , từ tìm d b   d Bài 1: Xác định đường thẳng   , biết rằng: d A 2;  3 a)   qua điểm  có hệ số góc d B 2;1 b)   qua   vào tạo với Ox góc 60 d C  4;0  c)   qua  vào tạo với tia Ox góc 150 Lời giải d : y ax  b Gọi phương trình đường thẳng   d a) Vì   có hệ số góc Điểm A  2;  3   d   b  1  a    d  : y  x b 4 7 d b) Vì   tạo với trục Ox góc 60  a  Vì B  2;1   d   b 1  c) Tương tự câu b), ý: a  tan 1800  1500       d : y  x 3 d Bài 2: Xác định đường thẳng   , biết rằng: 4  M  ;  1 d a)   qua điểm   có hệ số góc  d N  2;  3 b)   qua  vào tạo với Ox góc 120 d P 0;   c)   qua  vào tạo với tia Ox góc 30 Lời giải a) Tìm đường thẳng b) Tìm đường thẳng c) Tìm đường thẳng  d  : y  x   d  : y  3x  d : y  x  2  Bài 3: d Lập phương trình đường thẳng   có hệ số góc d khoảng cách từ O đến   12 Lời giải d Ta có   có hệ số góc 4   d : y  x b 3 d Gọi A, B giao điểm   với Oy, Ox ta được: d - Thay tọa độ A vào   ta được: y b d - Thay tọa độ B vào   ta được: x H B  3b A O Gọi H hình chiếu O lên d Ta có AOB vng O , có:  3b 3b 1 OA.OB 12  2  OH      b 4  b 4 2 OH OA OB 5  3b OA2  OB 2 b ( ) b d : y  x4 d : y  x Bài 4: d d Lập phương trình đường thẳng   có hệ số góc khoảng cách từ O đến   2 Lời giải d : y x  b Giả sử phương trình đường thẳng có hệ số góc k 1 là:   d A  b;0  Giao điểm đường thẳng   với trục Ox là:  d B 0; b Giao điểm đường thẳng   với trục Oy là:   d Gọi H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng   , khoảng cách từ gốc tọa d độ O đến đường thẳng   là: OH 2 OAB vng O , có đường cao OH , ta có: 1 OA2 OB OA.OB    OH   OH  2 2 2 2 OH OA OB OA  OB OA2  OB  b.b   b b 2  b 2 b 2  b 4  b 4 d d : y x  d : y x  Vậy phương trình đường thẳng   là:     BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Nếu đường thẳng   y  a 1 x  qua điểm  N 1;   hệ số góc là? A) 1 B) 1 C)  1 D)  1 Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: Đường thẳng qua  N 1;  Với a 2 ta có đường thẳng  nên ta có:   y  1 x      a    a 2 Đường thẳng có hệ số góc 1 Câu 2: Cho hai điểm M  3;   N   2;  mặt phẳng tọa độ Oxy Đường thẳng MN có hệ số góc 10 A)  B)  C)  D)  Lời giải Chọn đáp án A Giải thích: d d : y ax  b Giả sử đường thẳng   qua M N có phương trình   d M 3;   N  2;  Do đường thẳng   qua   nên ta có hệ phương trình  a   1  b a       b 2 6  2a  b d : y  x   Phương trình đường thẳng   hệ số góc  Câu 3: Cho hai đường thẳng y  2m  3 x  y   3m  x  Khi hai đường thẳng song song với nhau, hệ số góc đường thẳng ? A)  0,1 B)  0, C)  0,3 D)  0, Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: Hai đường thẳng y  2m  3 x  2m  4  3m  m  Khi m y   3m  x  song song với hệ số góc đường thẳng là:   0, Câu 4: Để đường thẳng y 5m x tạo với trục hồnh Ox góc 60 giá trị thích hợp m 11 A) 0, B) 0,8 C) 0, D) 0, Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: 5m 5m tan600    m 0, 3 Ta có: Câu 5: M 2; N 4;0 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy hai điểm     Khẳng định sau sai A) Phương trình đường thẳng OM y x B) Phương trình đường thẳng MN y x  C) OMN tam giác vuông cân D) SOMN 4  cm  (đơn vị đo trục tọa độ Phương trình đường thẳng OM centimet) Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: y ax  1 A) Phương trình đường thẳng OM có qua gốc tọa độ có dạng: Tọa độ điểm a M  2;  nghiệm (1), suy Vậy phương trình OM là: y x yM  1 xM d : y ax  b   B) Phương trình đường thẳng MN có dạng:   d M 2; N 4;0 Do đường thẳng   qua hai điểm     nên ta có hệ phương trình: 2 2a  b   0 4a  b a   b 4 Do phương trình MN là: y  x  12 OH HN 2  OH  OH  HM  C) Ta có: vừa đường cao OMN , vừa đường trung tuyến OMN ( H hình chiếu M Ox )  OMN cân M  Ta cịn có OM : y x  OM đường phân giác góc xOy  MON 45    OMN Từ     vuông cân M D) Ta có diện tích OMN là: 1 SOMN  MH ON  2.4 4  cm  2 Câu 6: 1 2 y  m   x   tạo với trục Ox góc 450 Giá trị thích hợp m số 3 Đường thẳng A) m 1 B) m 1, C) m 1, 25 D) m 1, Lời giải Chọn đáp án B d : y  x   * Giải thích: Ta có :   Ta có tan45 1  đường thẳng 1 2 y  m   x  5 3 tạo với trục Ox góc 450 2 m  1  m   m 1, 5 Câu 7: Cho đường thẳng  d  : y ax  9a   a 0  Tồn điểm mặt phẳng tọa độ d mà đường thẳng   qua với giá trị a 0 Đó điểm  3 4 A ;  A)    4 B ;  B)   13  3  4 D ;  D)    4 A ;  C)   Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: Ta có: y ax  Nhận thấy 9a  3a 3  ax    y a  x    2  4 x   y a.0   3 không phụ thuộc vào a  4 C ;  d Vậy   điểm mà   qua với a 0 BÀI TẬP VỀ NHÀ d Bài 1: Cho đường thẳng d : y ax  Tìm hệ số góc   biết rằng: d d ' : 3x  y  0 a)   song song với đường thẳng   d b)   vng góc với đường thẳng  d ' : x  y  0 d A  1;   c)   qua điểm  Hướng dẫn giải d ' : x  y  0   d '  : y 3 x   a) Ta có:   tìm a 3 14 b)  d ' : x  y  0   d '  : y 2 x   a 2 tìm d Bài 2: Tìm hệ số góc   , biết rằng: d a)   qua haid diểm A    2;1 ; B 0;1    1 C  ;  d1  : y  x  1;  d  : y  x   d   đồng quy với hai đường thẳng b) qua  m x d : y  d D  0;  1  m c) qua điểm điểm cố định đường thẳng 3m  (m 1) m Hướng dẫn giải a) Tìm a  b) Tìm a c) Chú ý điểm D  0;  1 43 M   1;   d d M  1;   điểm cố định thuộc   Vậy   qua điểm  d Vậy hệ số góc   Bài 3: Cho hai đường thẳng  d1  : y  x  4;  d  : y  x  d d a) Xác định góc     với tia Ox (làm trịn đến độ) d d b) Xác định góc tạo     d d c) Gọi giao điểm     với trục hoành theo thứ tự A, B giao điểm hai đường thẳng C Tính chu vi diện tích tam giác ABC (đơn vị đo trục tọa độ cm) Hướng dẫn giải 0   27 ;   135 a) Tìm được: d d b) Góc     108 c) A   8;  ; B  4;0  ; C  0;  ; OA 8; OB 4; OC 4; AB 12; AC 4 5; BC 4 24  cm  12    cm   ABC  ABC Chu vi bằng: diện tích 15 d Bài 4: Xác định đường thẳng   , biết rằng:  5 I ;  d  a) qua haid diểm  2  có hệ số góc d b)   qua   J 3;1 d c)   qua điểm tạo với tia Ox góc 150  K 4;  tạo với Ox góc 60 Hướng dẫn giải a) Ta tìm được: b) Ta tìm được: d : y  x 1  d  : y  x 3 c) Ta tìm được:  d  : y  x  3 16