Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 22 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
TỔ HP – CHỈNH HP Phần – Ơn lại Câu Cho tập A có 20 phần tử Hỏi tập A có tập hợp khác rỗng mà có số phần tử chẵn 220 D 219 Câu Số tập tập hợp gồm 2018 phần tử A 2018 B 2´ 2018 C 22018 - D 22018 Câu Cho tập A có n phần tử ( n³ 4) Biết số tập A có phần tử nhiều gấp 26 lần số tập A có phần tử Hãy tìm k Ỵ { 0;1;2; ;n} cho số tập gồm k phần tử A nhiều A k = B k = 10 C k = 11 D k = 20 Câu Cho tập hợp A gồm n phần tử n 4 Tìm n, biết số phần tử A có 16n tập có số phần tử lẻ A n 8 B n 9 C n 10 D n 16 Cn5 +Cn3+2 1 1 Cõu Vi n ẻ Ơ , n thỏa mãn + + + + = Tính P = C2 C3 C4 Cn ( n- 4) ! A 220 B 220 C 29 53 59 61 B P = C P = D P = 45 90 90 90 Câu Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1+ P1 + 2P2 + 3P3 + + nPn = P2014, với Pn số hốn vị tập hợp có n phần tử A 2013 B 2014 C 2015 D 2016 2017 2016 Câu Tính giá trị biểu thức P = + + + 2015 + 2016 A2017 A2017 A2017 A2017 A P = 1 1 B P = 2017 C P = 2018 D P = 2018 2018! 2017! 2017! 2018! Câu Tìm số tự nhiên n thỏa mãn 1 1 22018 - + + + + + = 2!.2017! 4!.2015! 6!.2013! 2016!.3! 2018!.1! Pn A P = 2017- A n = 2017 B n = 2018 C n = 2019 D 2020 Câu Tính tổng S = C20n +C21n +C22n + +C22nn A S = 22n B S = 22n - C S = 2n D S = 22n +1 2 2018 2018 Câu 10 Cho tổng S = C2018 + 9C2018 + C2018 + + C2018 , biết lnS = aln2+ bln3+ cln5, với a, b, c số nguyên Giá trị a + b+ c A 2018 B 2019 C 4036 D 4038 n n 2n n Câu 11 Giải phương trình Cn + 3Cn + 7Cn + +( - 1) Cn = - - 6480 tập ¥ * A n = B n = C n = 1009 1010 1011 2018 +C2018 +C2018 + +C2018 Câu 12 Tính tổng S = C2018 1009 1009 C2018 B S = 22017 + C2018 2 số nguyên dương n thỏa mãn B n = số nguyên dương n thỏa mãn B n = A S = 22017 Câu 13 Tìm A n = Câu 14 Tìm A n = 1009 C S = 22017 - C2018 D n = 1009 D S = 22018 - C2018 C21n+1 +C22n+1 + +C2nn+1 = 220 - C n = 10 D n = 11 2n+1 C2n+1 +C2n+1 + +C2n+1 = 1024 C n = D n = 10 0 2018 + 32C2018 + 34C2018 + + 32018C2018 = 2a + 2b với a, b ( a > b) số Câu 15 Biết S = 30C2018 nguyên dương khơng chia hết cho Tính a- b A a- b = B a- b = C a- b = 2017 D a- b = 2018 2i 2020 + 5C2020 + 52C2020 + + 5i C2020 + + 51010C2020 Biết S chia hết cho Câu 16 Gọi S = C2020 M , M nhận giá trị ? A M = 21010 B M = 22020 C M = 51010 D M = 52020 2015 2017 + 32C2017 + 34C2017 + + 32014C2017 + 32016C2017 Biết S chia hết cho số Câu 17 Gọi S = C2017 M , M nhận giá trị ? A M = 22016 B M = 22017 C M = 22018 D M = 22019 n Câu 18 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 2Cn + 5Cn + 8Cn + +( 3n + 2) Cn = 1600 A n = B n = C n = D n = 10 n Câu 19 Cho n số tự nhiên thỏa mãn 3Cn + 4Cn + 5Cn + +( n + 3) Cn = 8192 Khẳng định sau ? A nỴ [1;8) B nỴ [ 8;12) C nỴ [12;16) D nỴ [16;20] 2018 - 2C2018 + 3C2018 - 4C2018 + - 2016C2018 Câu 20 Tính tổng S = C2018 A S = - 2018 B S = - 2016 C S = 2016 D S = 2018 Phần – Vận dụng cao 2 2 100 Câu Tính tổng S = ( C100 ) +( C100 ) +( C100 ) + +( C100 ) A S = 2200 100 - C S = C200 B S = 2200 - 2 100 D S = C200 2 2018 Câu Tính tổng S = ( C2018 ) + 2( C2018 ) + + 2018( C2018 ) 2018 A S = 1009C4035 2017 B S = 1009C4036 2018 C S = 1009C4036 2 2018 D S = 2018C4036 2 2018 Câu Tính tổng S = ( C2018 ) +( 2C2018 ) +( 3C2018 ) + +( 2018C2018 ) 20182 2018 C4036 2017 C S = 20182.C4034 20182 2018 ( C4036 - 1) 2 2017 D S = 2018 ( C4034 - 1) A S = B S = 2 2 2018 Câu Tính tổng S = ( C2018 ) - ( C2018 ) +( C2018 ) - +( C2018 ) 2018 A S = C4036 2018 B S = - C4036 1009 C S = C2018 1009 D S =- C2018 1 2018 Câu Tìm số tự nhiên n thỏa mãn C2018 Cn2018 +C2018 Cn2017 +C2018 Cn2016 + +C2018 Cn = C22019 n A n = 2016 B n = 2017 C n = 2018 D n = 2019 2018 Câu Cho tổng S = C2018 + 2C2018 + 3C2018 + + 2018C2018 , biết ln S = a ln2018+ bln2+ c, vi a, b, cẻ Ô Giỏ tr ca a + b+ c A B C 2018 D 2019! 100 b Câu Cho tổng S = 4C100 + 8C100 +12C100 + + 200C100 , biết S = a.2 với a, b số nguyên dương Tính giá trị biểu thức P = a + b A P = B P = 99 C P = 199 D P = 200 Câu Tổng S= k 2017 2.3C2017 + 3.32C2017 + 4.33C2017 + + k.3k- 1C2017 + + 2017.32016C2017 ( ) 2017 bằng: A 32016 - B 32016 C 42016 - D 42016 2017 2016 k 2017- k 2017 Câu Tính tổng S = C2018C2018 +C2018C2017 + +C2018C2018- k + +C2018C1 A S = 1009.22017 B S = 2018.22017 C S = 2018.22018 D S = 2018.22019 Câu 10 Cho tổng 2018 S = 2.1.C2018 + 3.2.C2018 + + 2018.2017.C2018 , biết ln S = aln2+ bln2018+ cln2017 với a, b, c số nguyên Giá trị a + b+ c A B 2011 C 2018 D 2019 n Câu 11 Cho số nguyên dương n thỏa mãn 2Cn + 3Cn + 4Cn + +( n +1) Cn = 111 Khẳng định sau đúng? A nỴ ( 1;4) B nỴ [ 4;7) 2018 C nỴ [ 7;10) 2018 2018 2018 D nỴ [10;18] 2018 2018 Câu 12 Tính tổng S = C - 2C + 3C - 4C + - 2016C A S = 2016 B S = 2017 C S = 2018 D S = 2019 2 3 n n n Câu 13 Tính tổng S = 2.Cn + 2.Cn + 3.Cn + + nC A S = 2n.3n- B S = 2n.3n+1 C S = 3n.2n- D S = 3n.2n+1 2018 x + 22C2018 + 32C2018 + + 20182C2018 , biết S = a.2b với a, b Câu 14 Cho tổng S = 12C2018 số nguyên không chia hết cho Giá trị a + b A 4076358 B 2039188 C 4079198 D 2009197 99 100 101 199 1÷ 1÷ 1÷ 1÷ ổử ổử ổử 100 ổử ỗ ỗ ç ç Câu 15 Tính tổng S = 100C100 ç ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ +101C100 ố ÷ +102C100 è ÷ + + 200C100 è ÷ ỗ2ứ ỗ2ứ ỗ2ứ ỗ2ứ ố 99 99 ổ3ử ữ A S = 100.ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố4ứ ổ3ử ữ B S = 200.ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố4ứ 100 100 ổ3ử ữ C S = 100.ỗ ữ ç ÷ ç è4ø ỉ3ư ÷ D S = 200.ç ữ ỗ ữ ỗ ố4ứ 1 1 2a - b 2018 + C2018 + C2018 + + C2018 , biết S = Câu 16 Cho tổng S = C2018 với a, b, c 2019 c b số nguyên dương không chia hết cho 2; phân số tối giản Tính c P = a + b+ c A P = 4034 B P = 4037 C P = 4038 D P = 4039 2018 2 2 2018 Câu 17 Tính tổng S = C2018 C2018 + C2018 C2018 + + C2018 2019 1 A S = 2018 B S = 2019 C S = D S = 2018 2019 1 1 2a - b 2018 + C2018 + C2018 + C2018 + C2018 , biết S = Câu 18 Cho tổng S = C2018 2.2018+ c b với a, b, c số nguyên dương, phân số tối giản Tính P = a+ b+ c c A P = 4037 B P = 4039 C P = 6454 D P = 6458 2017 2018 C C C C C C Câu 19 Tổng S = 2018 - 2018 + 2018 - 2018 + - 2018 + 2018 2020 2021 1 1 A B C D 4121202989 4121202990 4121202991 4121202992 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2100 - n- + + + + = Câu 20 Cho n số tự nhiên thỏa mãn 1.2 2.3 3.4 ( n +1) ( n + 2) ( n +1) ( n + 2) Khẳng định sau đúng? A nỴ [1;49] B nỴ [ 50;99] 0 2018 1 2018 C nỴ [100;149] 2 2018 3 2018 2018 D nỴ [150;200] 2018 2018 2C 2C 2C 2C C a + + + = với a, b số 1.2 2.3 3.4 4.5 2019.2020 b a nguyên dương tối giản Hiệu a- b b A - 4039 B - 4037 C 4037 D 4039 a 1 - b 2017 Câu 22 Biết C2018 với a, b, c số nguyên dương + C2018 + + C2018 = 2018 c b phân số tối giản Tính P = a + b+ c c A P = 4034 B P = 4037 C P = 4038 D P = 4039 Câu 21 Biết Câu 23 Biết 1 a.2b +1 2018 C2018 + C2018 + C2018 + + C2018 = với a, b số 2020 b( b+1) a tối giản Hiệu b- a b A 1008 B 1009 C 1010 D 2010 1 2018 a 2018 2019 23 + C2018 24 + + C2018 = 32018 + với a, b, c Câu 24 Biết C2018.22 + C2018 2019 b c số nguyên dương ( a;b) = Tổng a + b+ c nguyên dương A 3364 B 4036 C 4037 D 8037 n 2n+1Cnn vi nẻ Ơ * Tỡm s t nhiên n Câu 25 Cho tổng Sn = 22Cn1 + 23Cn2 + + n +1 nhỏ thỏa mãn Sn > 5200 + n +1 A n = 200 B n = 201 C n = 292 D n = 293 2018 C C 2018 C 2018 , biết ln( 2S) = aln2018+ bln2019+ c Câu 26 Cho S = C2018 + 12018 + 12018 + + 2017 C2018 C2018 C2018 vi a, b, cẻ Ô Giỏ tr a + b+ c A B C 2018 D 2019 2 2 2017 2017 2018 2018 a a C2018 + C2018 + + C2018 ) + Câu 27 Biết ( ) ( ) ( ( C2018 ) = b.C2a với 2018 2017 a a, b số nguyên dương phân số tối giản Khẳng định sau b ? A a + b Ỵ ( 0;2018) B a + b Î [ 2018;4036] C a + b Î ( 4036;6054) D a- b = Câu 28 1010 2016 S2 = C 1009 1009 1009 1009 1009 S1 = C2018 +C2017 +C2016 + +C1010 +C1009 Cho 1009 2016 + 3C A S1 = S2 1008 2016 + 3C 1007 2016 +C Khẳng định sau ? B S1 = 2019S2 C S1 = 2018S2 D S1 < S2 2000 k Câu 29 Tính tổng S = å C2018+k k=0 2018 A S = C4018 Câu 30 Gọi M = 2018 B S = C4019 2019 C S = C4018 2019 D S = C4019 1 1 1 + + + 2017 N = + + + 2016 Khẳng định C2017 C2017 C2017 C2016 C2016 C2016 sau đúng? M 1008 M 1009 M 2016 = = = A B C N 2017 N 2017 N 2017 2019 - C2019 +C2019 - - C2019 Câu 31 Tổng C2019 1010 1009 A - B - C 21009 D D 21010 2016 +C2019 +C2019 + +C2019 Câu 32 Tổng C2019 2017 1008 2017 1009 A - B - C 22019 - 21008 2 2018 Câu 33 Tổng C2019 - 3C2019 + C2019 - C2019 + - 31009C2019 2019 2018 2018 A - B - C Câu 34 Khai triển biểu thức ( 2018x2 + x + 2018) 20118 a0 + a1x + + a4036x4036 Tính tổng S = a1 - a3 + a5 - a7 + - a4035 A S = - B S = C S = Câu 35 Khai triển biểu thức a0 + a1x + a2x2 + + a4036x4036 Tổng S = a0 - a2 + a4 - a6 + - a4034 + a4036 ( x2 + x +1) M 2018 = N 2017 D 22019 - 21009 D 22019 viết thành D S = 22018 2018 viết thành A - C - 21009 B HẾT D 21009 TỔ HP – CHỈNH HP Phần – Ôn lại Số tập tập hợp Tính giá trị biểu thức Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn để tính tổng Tính tổng nhờ hệ thức Cnk = Cnn- k ïì x = a Tính tổng nhờ khai triển Niu-tơn cho ïí ïïỵ x = b Kỹ thuật tính tổng nhờ viết ngược biểu thức Câu Câu Câu Câu 12 đến đến đến đến Câu Câu Câu Câu 11 13 Câu 14 đến Câu 17 Câu 18 đến Câu 20 Phần – Vận dụng cao Tính tổng từ tốn bốc bi Dùng kỹ thuật đạo hàm để tính tổng Dùng kỹ thuật lấy tích phân để tính tổng Kỹ thuật biến đổi đặc biệt để tính tổng Kỹ thuật dùng số phức để tính tổng Câu Câu Câu Câu Câu 16 26 31 đến đến đến đến đến Câu Câu Câu Câu Câu 15 25 30 35 Phần – Ôn lại Vấn đề SỐ TẬP CON CỦA MỘT TẬP HỢP Câu Cho tập A có 20 phần tử Hỏi tập A có tập hợp khác rỗng mà có số phần tử chẵn 220 D 219 Lời giải Số tập hợp khác rỗng có số phần từ chẵn số cách chọn số phần tử 18 20 chẵn từ 20 phần tử Do số tập C20 C20 C20 C20 C20 Tính tổng cách khai triển nhị thức Niutơn dùng máy tính cầm tay đối chiếu đáp án Chọn C Câu Số tập tập hợp gồm 2018 phần tử A 2018 B 2´ 2018 C 22018 - D 22018 Lời giải Số tập phần tử C2018; A 220 B 220 C ; Số tập có phần tử C2018 Số tập có phần tử C2018; M 2018 Số tập có 2018 phần tử C2018 Vậy số tập 2018 C 2018 +C 2018 +C 2018 2018 +L +C = ( 1+1) 2018 tập hợp gồm 2018 phần tử Chọn D Câu Cho tập A có n phần tử ( n³ 4) Biết số tập A có phần tử nhiều gấp 26 lần số tập A có phần tử Hãy tìm k Ỵ { 0;1;2; ; n} cho số tập gồm k phần tử A nhiều A k = B k = 10 C k = 11 D k = 20 Lời giải Số tập có phần tử tập A Cn , số tập có phần tử tập A Cn4 Theo giả thiết, ta có Cn = 26Cn Û n! n! = 26 Û n = 20 8!( n- 8) ! 4!( n- 4) k 10 Ta dễ dàng tìm tất C20 với k Ỵ { 0;1;2; ; n} C20 lớn Chọn B Câu Cho tập hợp A gồm n phần tử n 4 Tìm n, biết số phần tử A có 16n tập có số phần tử lẻ A n 8 B n 9 C n 10 D n 16 n C C Cnn 16n Li gii Nu l ắắ đ s tập có số phần tử lẻ là: n n n Ta có 1 x Cn0 Cn1x Cn2 x2 Cnn 1xn Cnnxn Cn0 Cn1 Cn2 Cnn Cnn 2n Cho x 1 Cn0 Cn1 Cn2 Cnn Cnn 0 Cho x 1 n n n n n 8: không thỏa mãn Suy 2 Cn Cn Cn 2 Cn Cn Cn 2 16n Nếu n chẵn, tương tự ta có n 8 Chọn A Vấn đề TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Câu Vi n ẻ Ơ , n v tha mãn A P = 29 45 B P = 53 90 Cn5 +Cn3+2 1 1 + + + + = P = Tính C22 C32 C42 Cn2 ( n- 4) ! C P = 59 90 D P = 61 90 Lời giải Ta có 1 1 1 + + + + = Û 1+ + + + = C2 C3 C4 Cn n( n- 1) Û 1 + + + = n( n- 1) Û 2 + + + = 2.3 3.4 n( n- 1) Û 1 + + + = 2.3 3.4 n( n- 1) ỉ 1ư 1ư 1ư ÷+ỉ ÷+ +ổ ữ= ỗ ỗ ỗ - ữ - ữ - ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ2 3ứ ố ỗ3 4ứ ỗn- nứ ố è 1 1 Û - = Û = Û n = 10 n n 10 C +C12 59 Với n = 10 ¾¾ ® P = 10 = Chọn C 6! 90 Câu Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 1+ P1 + 2P2 + 3P3 + + nPn = P2014, với Pn số hoán vị tập hợp có n phần tử A 2013 B 2014 C 2015 D 2016 ( 1) Lời giải Ta có Pk - Pk- = k!- ( k - 1) ! = ( k - 1) !.( k - 1) = ( k - 1) Pk- với k = 1;2; ïìï P2 - P1 = P1 ïï P3 - P2 = 2P2 Áp dụng ( 1) ta có ïí ïï ïï ïïỵ Pn+1 - Pn = nPn Cộng đẳng thức ( 2) ta Pn+1 - P1 = P1 + 2P2 + 3P3 + + nPn ( 2) ® Pn+1 = 1+ P1 + 2P2 + 3P3 + + nPn Do P1 = ắắ đ n = 2013 Chn A Theo , ta có Pn+1 = P2014 Û n +1= 2014 ¾¾ Câu Tính giá trị biểu thức P = 2017 2016 + + + 2015 + 2016 A2017 A2017 A2017 A2017 1 1 B P = 2017 C P = 2018 D P = 2018 2018! 2017! 2017! 2018! 2017.2017! 2016.2016! 2.2! 1.1! + + + + Lời giải Ta có P = 2017! 2017! 2017! 2017! 2017.2017!+ 2016.2016!+ + 2.2!+1.1! = 2017! ( 2018- 1) 2017!+( 2017- 1) 2016!+ +( 3- 1) 2!+( 2- 1) 1! = 2017! ( 2018!- 2017!) +( 2017!- 2016!) + +( 3!- 2!) +( 2!- 1!) = 2017! 2018!- 1! = ắắ đ P = 2018 Chn C 2017! 2017! Câu Tìm số tự nhiên n thỏa mãn 1 1 22018 - + + + + + = 2!.2017! 4!.2015! 6!.2013! 2016!.3! 2018!.1! Pn A P = 2017- A n = 2017 B n = 2018 C n = 2019 D 2020 1 1 22018 - + + + + + = Lời giải Ta có 2!.2017! 4!.2015! 6!.2013! 2016!.3! 2018!.1! Pn Nhận hai vế cho 2019!, ta 2019! 2019! 2019! 2019! 2019! 22018 - + + + + + = 2019! 2!.2017! 4!.2015! 6!.2013! 2016!.3! 2018!.1! Pn 22018 - n! 22018 - 2018 Û C2019 +C2019 +C2019 + +C2019 = 2019! +C2019 n! 2018 Û 22018 = 2019! +1 n! Û 22018.n! = 2019!( 22018 - 1) + n! Û ( 22018 - 1) ( n!- 2019!) = ¾¾ ® n = 2019 Chọn C 2018 Û C2019 +C2019 + +C2019 = 2019! Vấn đề KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIUTƠN ĐỂ TÍNH TỔNG Câu Tính tổng S = C20n +C21n +C22n + +C22nn A S = 22n B S = 22n - C S = 2n D S = 22n +1 2n Lời giải Khai triển nhị thức Niutơn ( 1+ x) , ta có 2n ( 1+ x) = C20n +C21n x +C22n x2 +L +C22nn x2n Cho x = 1, ta C20n +C21n +C22n +L +C22nn = ( 1+1) 2n = 22n Chọn A 2018 + 9C2018 + 92C2018 + + 92018C2018 , biết ln S = aln2+ bln3+ cln5, Câu 10 Cho tổng S = C2018 với a, b, c số nguyên Giá trị a + b+ c A 2018 B 2019 C 4036 D 4038 Lời giải Xét khai triển ( 1+ x) 2018 2018 2108 = C2018 +C2018 x +C2018 x2 + +C2018 x 2018 + 9C2018 + 92C2018 + + 92018C2018 ắắ đ S = 102018 Cho x = 9, ta 102018 = C2018 ïìï a = 2018 ù ắắ đ ln S = 2018ln10 = 2018ln2+ 2018ln5 ắắ đ ùớ b = đ a + b+ c = 4036 Chọn C ïï ïïỵ c = 2018 n n 2n n Câu 11 Giải phương trình Cn + 3Cn + 7Cn + +( - 1) Cn = - - 6480 tập ¥ * A n = B n = C n = D n = n Lời giải Xét khai triển ( 1+ x) = Cn0 +Cn1x +Cn2 x2 + +Cnn xn Thay x = 2, ta được: 3n = Cn0 + 2Cn1 + 22Cn2 + + 2nCnn Thay x = 1, ta được: 2n = Cn0 +Cn1 +Cn2 + +Cnn ( 1) ( 2) n n n n Trừ vế theo vế ( 1) ( 2) , ta được: Cn + 3Cn + 7Cn + +( - 1) Cn = - Theo đề, suy 3n - 2n = 32n - 2n - 6480 Û 3n = 81ắắ đ n = Chn B Vn TÍNH TỔNG NHỜ HỆ THỨC Cnk = Cnn- k 1009 1010 1011 2018 +C2018 +C2018 + +C2018 Câu 12 Tính tổng S = C2018 A S = 22017 - 1009 1009 C2018 B S = 22017 + C2018 2 Lời giải Xét khai triển ( 1+ x) 1009 C S = 22017 - C2018 1009 D S = 22018 - C2018 2018 k 2018 2018 = å C2018 xk = C2018 +C2018 x + +C2018 x 2018 k=0 2018 Cho x = 1, ta 2018 =C 2018 +C 2018 + +C2018 1009 1010 1011 2018 1009 1009 Vì Cnk = Cnn- k ® 22018 = 2( C2018 +C2018 +C2018 = 2S +C2018 ® S = 22017 + C2018 Chọn B ) +C2018 2 n 20 Câu 13 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n+1 +C2n+1 + +C2n+1 = - A n = B n = C n = 10 D n = 11 2n+1 2n+1 ( 1) Lời giải Ta có ( 1+1) = C2n+1 +C2n+1 + +C2n+1 ìï C20n+1 = C22nn++11 ïï ïï C1 = C 2n 2n+1 2n+1 Áp dụng công thức Cnk = Cnn- k , ta có ïí ïï M ïï ïï C2nn+1 = C2nn++11 ỵ ( 1) Từ C20n+1 +C21n+1 + +C2nn+1 = 2n+1 ( 2) , suy 2n+1 - C20n+1 = 22n - 2 n 20 ® 22n - 1= 220 - 1ắắ đ n = 10 Chn C Theo gi thiết: C2n+1 +C2n+1 + +C2n+1 = - 1¾¾ Û C21n+1 + +C2nn+1 = ( 2) ìï x = a Vấn đề TÍNH TỔNG NHỜ KHAI TRIỂN NIU TƠN VÀ CHO ïí ïïỵ x = b 2n+1 Câu 14 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2n+1 +C2n+1 + +C2n+1 = 1024 A n = B n = C n = D n = 10 2n+1 2n+1 2n 2n+1 ( 1) Lời giải Xét khai triển ( x +1) = C2n+1x +C2n+1x + +C2n+1 2n+1 = C20n+1 +C21n+1 + +C22nn++11 Cho x = vào ( 1) , ta được: Cho x = - vào ( 1) , ta được: = - C 2n+1 2n+1 +C 2n+1 +C23n+1 + +C22nn++11 ) - +C Cộng vế theo vế ( 2) ( 3) , ta được: 2n+1 ( 2) ( 3) 2n+1 2n+1 = 2( C Û 22n+1 = 2.1024 Û n = Chọn B 2018 + 32C2018 + 34C2018 + + 32018C2018 = 2a + 2b với a, b ( a > b) số Câu 15 Biết S = 30C2018 nguyên dương không chia hết cho Tính a- b A a- b = B a- b = C a- b = 2017 D a- b = 2018 2018 2 2017 2017 2018 2018 Lời giải Xét khai triển ( 1+ x) = C2018 +C2018x +C2018x + +C2018 x +C2018 x ( 1) 2017 2018 + 3C2018 + 32C2018 + + 32017C2018 + 32018C2018 Thay x = vào ( 1) , ta được: 42018 = C2018 Thay x = - vào ( 1) , ta được: 2018 2018 =C 2018 - 3C 2 2018 +3 C 2017 - - 2018 2018 C ( 2) 2018 +3 2018 C2018 ( 3) Cộng vế theo vế ( 2) ( 3) , ta được: 2S = 42018 + 22018 ắắ đ S = 24035 + 22017 ùỡ a = 4035 ắắ đ ùớ đ a- b = 2018 Chọn D ïïỵ b = 2017 2i 2020 + 5C2020 + 52C2020 + + 5i C2020 + + 51010C2020 Biết S chia hết cho Câu 16 Gọi S = C2020 M , M nhận giá trị ? A M = 21010 B M = 22020 C M = 51010 D M = 52020 Lời giải Theo khai triển nhị thức Niutơn ta có 2020 2019 2019 2020 2020 ( 1) +C2020 x +C2020 x2 +C2020 x3 +C2020 x4 + +C2020 x +C2020 x ( 1+ x) = C2020 Thay x = vào ( 1) , ta được: ( 1+ 5) Thay x = - ( 1- ) 2020 ( 5) = C2020 + 5C2020 + 5C2020 + C2020 + 52C2020 + + ( 5) 2019 2019 2020 C2020 + 51010C2020 vào ( 1) , ta được: 2020 = C2020 - 5C2020 + 5C2020 - 1+ Cộng vế theo vế, ta suy S = ( 1010 é 1+ + 1ê = 21010 ê ê ê ë ( ) ( ) 1010 ( 5) C + C 5) +( 1- 5) 2020 2020 ( 5) ( 6+ 5) = 2020 2020 - - 2019 1010 2019 2020 C2020 + 51010C2020 ( ) + 6- 1010 2 ù ú 1010 1010 ú= ( C1010 + 5C1010 + 52C1010 + + 5505C1010 ) M21010 Chọn A ú ú û 2015 2017 + 32C2017 + 34C2017 + + 32014C2017 + 32016C2017 Biết S chia hết cho số Câu 17 Gọi S = C2017 M , M nhận giá trị ? A M = 22016 B M = 22017 C M = 22018 D M = 22019 2015 2017 + 33C2017 + 35C2017 + + 32015C2017 + 32017C2017 Lời giải Ta có 3S = 3C2017 ( 1) 2016 2017 + 3C2017 + 32C2017 + + 32016C2017 + 32017C2017 ( 2) Thay x = vào ( 1) , ta được: 42017 = C2017 2017 2 2016 2016 2017 Thay x = - vào ( 1) , ta được: - = C2017 - 3C2017 + C2017 - + C2017 - 32017C2017 ( 3) 2017 2017 Trừ vế theo vế ( 2) ( 3) , ta được: 2( 3S) = + Xét ( 1+ x) 2017 2016 2016 2017 2017 = C2017 +C2017 x +C2017 x2 + +C2017 x +C2017 x ắắ đ 3S = 2.42016 + 22016 M22016 ắắ đ S M22016 Chn A Vấn đề KỸ THUẬT TÍNH TỔNG NHỜ VIẾT NGƯỢC BIỂU THỨC n Câu 18 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn 2Cn + 5Cn + 8Cn + +( 3n + 2) Cn = 1600 A n = B n = C n = n S = C + C + C + + n + C ( ) Lời giải Đặt n n n n Viết ngược lại biểu thức S, ta S = ( 3n + 2) Cnn +( 3n- 1) Cnn- +( 3n- 4) Cnn- + + 2Cn0 Cộng ( 1) ( 2) vế theo vế kết hợp với công thức C = C k n n- k n D n = 10 ( 1) ( 2) , ta có 2S = ( 3n + 4) C +( 3n + 4) C +( 3n + 4) C + +( 3n + 4) Cnn n n n n nù n = ( 3n + 4) é êCn +Cn +Cn + +Cn û ú= ( 3n + 4) ( 1+1) = ( 3n + 4) ë n ® n = Chọn B Theo giả thiết: 2´ 1600 = ( 3n + 4) ¾¾ n Câu 19 Cho n số tự nhiên thỏa mãn 3Cn + 4Cn + 5Cn + +( n + 3) Cn = 8192 Khẳng định sau ? A nỴ [1;8) B nỴ [ 8;12) C nỴ [12;16) D nỴ [16;20] n Lời giải Đặt S = 3Cn + 4Cn + 5Cn + +( n + 3) Cn Viết ngược lại biểu thức S, ta S = ( n + 3) Cnn +( n + 2) Cnn- +( n +1) Cnn- + + 3Cn0 ( 1) ( 2) Cộng ( 1) ( 2) vế theo vế kết hợp với cơng thức Cnk = Cnn- k , ta có 2S = ( n + 6) Cn0 +( n + 6) Cn1 +( n + 6) Cn2 + +( n + 6) Cnn n nù n = ( n + 6) é ê ëCn +Cn +Cn + +Cn ú û= ( n + 6) ( 1+1) = ( n + 6) n ® n = 10 Chọn B Theo giả thiết: 2´ 8192 = ( n + 6) ¾¾ 2018 - 2C2018 + 3C2018 - 4C2018 + - 2016C2018 Câu 20 Tính tổng S = C2018 A S =- 2018 B S =- 2016 C S = 2016 Lời giải Đặt T =- ( - 2) C2018 +( - 1) C2018 - 0.C2018 =- 2016 D S = 2018 2017 2018 Xét P = T + S =- ( - 2) C2018 +( - 1) C2018 - 0.C2018 +1.C2018 - + 2015.C2018 - 2016.C2018 Viết ngược lại biểu thức P , ta 2018 2017 2016 2015 P = - 2016.C2018 + 2015.C2018 - 2014.C2018 + 2013.C2018 - +( - 1) C2018 - ( - 2) C2018 Cộng ( 1) ( 2) vế theo vế kết hợp với công thức Cnk = Cnn- k , ta có 2017 2018 2P =- 2014C2018 + 2014C2018 - 2014C2018 + 2014C2018 - + 2014C2018 - 2014C2018 2018 = - 2014( C2018 - C2018 +C2018 - C2018 + +C2018 ) = - 2014( 1- 1) 2018 =0 Suy P = ắắ đT + S = ắắ đ S =- T = 2016 Chọn C Phần – Vận dụng cao Vấn đề TÍNH TỔNG (BÀI TỐN BỐC BI) ( 1) ( 2) 2 2 100 Câu Tính tổng S = ( C100 ) +( C100 ) +( C100 ) + +( C100 ) A S = 2200 100 - C S = C200 B S = 2200 - Lời giải Xét đa thức: ( 1+ x) 100 ( x +1) 100 = ( 1+ x) 200 100 D S = C200 100 Cân hệ số x hai vế, ta 100 99 98 97 100 100 C100 C100 +C100 C100 +C100 C100 +C100 C100 + +C100 C100 = C20 hay 100 100 C100 C100 + S = C200 100 100 100 - C100 C100 = C200 - Chọn C Suy S = C200 100 99 98 97 100 C100 +C100 C100 +C100 C100 +C100 C100 + +C100 C10 Cách Nhận thấy biểu thức C100 số cách lấy tùy ý 100 viên bi từ hộp chứa 100 viên bi xanh 100 viên bi đỏ (các viên bi 100 màu giống nhau) thu kết C200 +C71C2018 +C72C2018 +C73C2018 +C74C2018 +C75C2018 Bài tập tương tự Tính tổng S = C70C2018 A S = C2018 2 C S = ( C2018 ) B S = C2025 D S = ( C2025 ) Lời giải Tương tự trên, biểu thức cần tính số cách lấy tùy ý viên bi từ hộp chứa viên bi xanh 2018 viên bi đỏ (các viên bi màu giống nhau) thu Chọn B kết C2025 2 2 2018 Câu Tính tổng S = ( C2018 ) + 2( C2018 ) + + 2018( C2018 ) 2018 A S = 1009C4035 2017 B S = 1009C4036 2018 C S = 1009C4036 2 2018 D S = 2018C4036 2 2018 Lời giải Ta có S = 0.( C2018 ) +( C2018 ) + 2( C2018 ) + + 2018( C2018 ) ( 1) Viết ngược lại biểu thức S, ta 2 2 2018 2017 2026 S = 2018( C2018 ) + 2017( C2018 ) + 2016( C2018 ) + + 0.( C2018 ) ( 2) Cộng ( 1) ( 2) vế theo vế kết hợp với công thức Cnk = Cnn- k , ta có 2 2 2018 ù 2018 2S = 2018 é ê( C2018 ) +( C2018 ) +( C2018 ) + +( C2018 ) ú= 2018.C4036 ë û 2018 Chọn C Vậy S = 1009C4036 2 2 2018 Câu Tính tổng S = ( C2018 ) +( 2C2018 ) +( 3C2018 ) + +( 2018C2018 ) 20182 2018 C4036 2017 C S = 20182.C4034 20182 2018 ( C4036 - 1) 2 2017 D S = 2018 ( C4034 - 1) A S = B S = ìï C2018 = 2018C2017 ïï ïï 2C = 2018C1 2017 ïï 2018 ï k k- C = 2018 C Lời giải Áp dụng công thức kCn = nCn- , ta í 2018 2017 ïï ïï M ïï 2018 2017 = 2018C2017 ïï 2018C2018 ỵ 2 2 2017 Suy S = ( 2018.C2017 ) +( 2018.C2017 ) +( 2018.C2017 ) + +( 2018.C2017 ) 2 2 2017 ù 2017 = 20182 é ê( C2017 ) +( C2017 ) +( C2017 ) + +( C2017 ) ú= 2018 C4034 Chọn C ë û 2 2 2018 Câu Tính tổng S = ( C2018 ) - ( C2018 ) +( C2018 ) - +( C2018 ) 2018 A S = C4036 2018 B S = - C4036 Lời giải Xét đa thức: ( 1- x) 2018 2018 ( 1+ x) 1009 C S = C2018 2018 = ( 1- x2 ) 2018 1009 D S = - C2018 Cân hệ số x hai vế, ta 2018 2017 2016 2015 2018 1009 C2018.C2018 - C2018.C2018 +C2018 C2018 - C2018 C201 + +C2018 C2018 =- C2018 1009 Chọn D Suy S = - C2018 1 2018 Câu Tìm số tự nhiên n thỏa mãn C2018 Cn2018 +C2018 Cn2017 +C2018 Cn2016 + +C2018 Cn = C22019 n A n = 2016 B n = 2017 C n = 2018 D n = 2019 2018 Cn2018 +C2018 Cn2017 +C2018 Cn2016 + +C2018 Cn có dạng '' số Lờigiải Nhận thấy vế trái C2018 n cách lấy tùy ý 2018 viên bi từ hộp chứa 2018 viên bi xanh viên bi đỏ (các viên bi 2018 C màu giống nhau) thu kết 2018+n ( n+ 2018) ! ( 2n) ! 2019 2018 = Khi đó, tốn Û Cn+2018 = C2n Û 2018!.n! 2019!.( 2n- 2019) ! Û ( n + 2018) ! n! ( 2n) ! = 2019.( 2n- 2019) ! ( 2n) ( 2n- 1) ( 2n- 2) ( 2n- 2018) Û ( n + 2018) ( n + 2017) ( n +1) = 2019 ùé Û ( 2.2019) ( n + 2018) ( n + 2017) ( n +1) = ( 2.n) é n + n +( n- 2) ù ë ( n- 1) ûë û n +( n- 2018) ® VT ( *) < VP ( *) n> 2019 ắắ ( *) đ VT ( *) >VP ( *) n< 2019 ¾¾ n = 2019 thỏa mãn ( *) Chọn D Vấn đề DŨNG KỸ THUẬT ĐẠO HÀM ĐỂ TÍNH TỔNG 2018 + 2C2018 + 3C2018 + + 2018C2018 , biết ln S = aln2018+ bln2+ c, với Câu Cho tổng S = C2018 a, b, cẻ Ô Giỏ tr ca a + b+ c A B C 2018 D 2019! Lời giải Xét ( 1+ x) 2018 2018 2018 = C2018 +C2018 x +C2018 x2 + +C2018 x Lấy đạo hàm hai vế ta được: 2018( 1+ x) 2017 2018 2017 = C2018 + 2C2018 x + 3C2018 x2 + + 2018C2018 x ( 1) 2017 2018 Thay x = vào ( 1) , ta được: 2018( 1+1) = C2018 + 2C2018 + 3C2018 + + 2018C2018 ùỡù a = ù ắắ đ S = 2018.2 ị ln S = ln2018+ 2017ln2 ắắ ® ïí b = 2017 Þ a + b+ c = 2018 Chọn C ïï ïỵï c = Cách (Dành cho hs học 11) Áp dụng công thức kCnk = nCnk 11, ta ìï C2018 = 2018C2017 ïï ïï 2C = 2018C1 2017 ïï 2018 ï 3C = 2018C í 2018 2017 ïï ïï M ïï 2018 2017 = 2018C2017 ïï 2018C2018 ỵ n- n Bài tng t Tỡm nẻ Ơ tha Cn + 2Cn + 3Cn +L +( n- 1) Cn + nCn = 64n ĐS: n = 100 + 8C100 +12C100 + + 200C100 , biết S = a.2b với a, b số Câu Cho tổng S = 4C100 nguyên dương Tính giá trị biểu thức P = a + b A P = B P = 99 C P = 199 D P = 200 Lời giải Ta có 100 100 100 ( 1) +C100 x +C100 x2 + +C100 x ; ( 1+ x) = C100 2017 ( 1- x) 100 100 100 = C100 - C100 x +C100 x2 - C100 x3 + +C100 x ( 2) Cộng ( 1) ( 2) vế theo vế, ta 100 100 100 100 + 2C100 x2 + 2C100 x4 + + 2C100 x ( 3) ( 1+ x) +( 1- x) = 2C100 Lấy đạo hàm hai vế ( 3) theo ẩn x ta 99 100( 1+ x) - 100( 1- x) Thay x = vào ( 4) , ta 100.2 = 4C ùỡ a = 100 ắắ đ ùớ ị a + b = 199 Chọn C ïïỵ b = 99 99 Câu S= Tổng bằng: A 32016 - 100 99 100 99 = 4C100 x + 8C100 x3 + + 200C100 x 100 + 8C 100 100 + + 200C ( 4) 99 hay S = 100.2 k 2017 + 3.32C2017 + 4.33C2017 + + k.3k- 1C2017 + + 2017.32016C2017 ( 2.3C2017 ) 2017 B 32016 C 42016 - D 42016 2017 2017 2017 Lời giải Xét ( 1+ x) = C2017 +C2017 x +C2017 x2 + +C2017 x Đạo hàm hai vế ta được: 2017( 1+ x) 2016 k 2017 2016 = C2017 + 2C2017 x + 3C2017 x2 + + kC2017 xk- + + 2017C2017 x Thay x = vào biểu thức ta được: 2017.( 1+ 3) 2016 k 2017 = C2017 + 2.3C2017 + 3.32C2017 + 4.33C2017 + + k.3k- 1C2017 + + 2017.32016C2017 k 2017 Û 2017.42016 - C2017 = 2.3C2017 + 3.32C2017 + 4.33C2017 + + k.3k- 1C2017 + + 2017.32016C2017 k 2017 Û 2017.( 42016 - 1) = 2.3C2017 + 3.32C2017 + 4.33C2017 + + k.3k- 1C2017 + + 2017.32016C2017 Suy S = 42016 - Chọn C 2017 2016 k 2017- k 2017 C2018 +C2018 C2017 + +C2018 C2018 Câu Tính tổng S = C2018 - k + +C2018C1 A S = 1009.22017 B S = 2018.22017 C S = 2018.22018 D S = 2018.22019 2017 2016 2015 k 2017- k 2017 C1 Lời giải Ta có S = C2018C2018 +C2018C2017 +C2018C2016 + +C2018C2018- k + +C2018 2018 2017 2016 = C2018 C2018 +C2018 C2017 +C2018 C2016 + 2018 / 2018 2017 2016 = 2018.C2018 + 2017.C2018 + 2016.C2018 + +1.C2018 =é = 2018.22017 Chọn B ( 1+ x) ù ê ú ë ûx=1 Câu 10 Cho tổng 2018 S = 2.1.C2018 + 3.2.C2018 + + 2018.2017.C2018 , biết ln S = aln2+ bln2018+ c ln2017 với a, b, c số nguyên Giá trị a + b+ c A B 2011 C 2018 D 2019 2018 2018 2018 Lời giải Xét ( 1+ x) = C2018 +C2018 x +C2018 x2 + +C2018 x Đạo hàm hai vế ta được: 2018( 1+ x) 2017 2018 2017 = C2018 + 2C2018 x + 3C2018 x2 + + 2018C2018 x Tiếp tục đạo hàm hai vế lần nữa, ta 2018.2017.( 1+ x) 2016 2018 2016 = 2.1.C2018 + 3.2.C2018 x + + 2018.2017.C2018 x Thay x = vào biểu thức trên, ta được: 2018.2017.22016 = S ỡù a = 2016 ùù ắắ đ ln S = 2016ln2 + ln2018+ ln2017 ắắ đ ị ïí b = Þ a + b+ c = 2018 Chọn C ïï ïïỵ c = 1 n Câu 11 Cho số nguyên dương n thỏa mãn 2Cn + 3Cn + 4Cn + +( n +1) Cn = 111 Khẳng định sau đúng? A nỴ ( 1;4) B nỴ [ 4;7) C nỴ [ 7;10) D nỴ [10;18] n Lời giải Xét ( 1+ x) = Cn0 +Cn1x +Cn2 x2 + +Cnn xn ( 1) n Nhân hai vế ( 1) cho x ta được: ( 1+ x) x = Cn0 x +Cn1x2 +Cn2 x3 + +Cnn xn+1 ( 2) Lấy đạo hàm hai vế ( 2) theo ẩn x ta n( 1+ x) Thay x = vào ( 3) , ta n- n x +( 1+ x) = Cn0 + 2Cn1x + 3Cn2 x2 + +( n +1) Cnn xn ( 3) n.2n- + 2n = 1+ 2Cn1 + 3Cn2 + +( n +1) Cnn Û n.2n- + 2n = 1+111 Nếu n > ¾¾ ® n.2 + 2n > 5.24 + 25 = 112: vụ lớ Nu n < ắắ đ n.2n- + 2n < 5.24 + 25 = 112: vô lí Kiểm tra n = thỏa mãn Chọn B 2018 + 2C2018 + 3C2018 + + 2019C2018 = 505.22019 Bài tập tương tự Chứng minh C2018 n- 2018 Hướng dẫn Xét ( 1+ x) Nhan x ắắ ắđ x( 1+ x) 2018 Dao ham ắắ ắắ đ ( 1+ x) 2018 + 2018x( 1+ x) 2017 Cho x=1 ắắ ắắ đ 2n Bài tập tương tự Chứng minh C2n - 2C2n + 3C2n - 4C2n + +( 2n +1) C2n = Hướng dẫn Xét ( 1- x) 2n Nhan x ắắ ắđ x( 1- x) 2n 2n Dao ham ắắ ắắ đ ( 1- x) - 2n.x( 1- x) 2n- Cho x=1 ắắ ắắ đ 2019 + 4C2019 + 5C2019 + + 2022C2019 = 2025.22018 Bài tập tương tự Chứng minh 3C2019 Hướng dẫn Xét ( 1+ x) 2019 Nhan x ¾¾ ¾¾ ® x3 ( 1+ x) 2019 Dao ham Cho x=1 ắắ ắắ đ ắắ ắắ đ 2018 - 2C2018 + 3C2018 - 4C2018 + - 2016C2018 Câu 12 Tính tổng S = C2018 A S = 2016 B S = 2017 C S = 2018 Lời giải Xét ( 1+ x) 2018 2018 =C Chia hai vế cho x2 ta 2018 +C ( 1+ x) Lấy đạo hàm hai vế ta 2017 ( 2016x - 2) ( 1+ x) 2018 x +C 2018 = x2 2018 2018 x + +C D S = 2019 2018 x C2018 C2018 2018 2016 + +C2018 +C2018 x + +C2018 x x2 x 2C2018 C1 2018 2015 - 2018 +C2018 + 2C2018 x + + 2016C2018 x x x x2 - C2018 + S ắắ đ S = 2016 Chn A Thay x = - vào biểu thức ta = 2C2018 =- nn Câu 13 Tính tổng S = 2.Cn1 + 22.2.Cn2 + 23.3.Cn3 + + 2n.nC A S = 2n.3n- B S = 2n.3n+1 C S = 3n.2n- D S = 3n.2n+1 n Lời giải Xét ( 1+ x) = Cn0 +Cn1x +Cn2 x2 + +Cnn xn Đạo hàm hai vế ta được: n( 1+ x) n- = Cn1 + 2Cn2 x + 3Cn3x2 + + nCnn xn- n- Nhân x vào hai vế ta được: nx( 1+ x) = Cn1x + 2Cn2x2 + 3Cn3x3 + + nCnnxn Thay x = vào biểu thức ta được: S = 2n.3n- Chọn A 2018 x + 22C2018 + 32C2018 + + 20182C2018 , biết S = a.2b với a, b Câu 14 Cho tổng S = 12C2018 số nguyên không chia hết cho Giá trị a + b A 4076358 B 2039188 C 4079198 D 2009197 Lời giải Xét ( 1+ x) 2018 2018 2018 = C2018 +C2018 x +C2018 x2 + +C2018 x Đạo hàm hai vế ta được: 2018( 1+ x) 2017 2018 2017 = C2018 + 2C2018 x + 3C2018 x2 + + 2018C2018 x 2017 2018 2018 Nhận hai vế cho x ta được: 2018x( 1+ x) = C2018 x + 2C2018 x2 + 3C2018 x3 + + 2018C2018 x Tiếp tục đạo hàm hai vế ta được: 2018.( 2018x +1) ( 1+ x) 2016 2018 2017 = 12C2018 x + 22C2018 x +32C2018 x2 + + 20182C2018 x Thay x = vào biểu thức trên, ta được: 2018.2019.( 1+1) 2016 = S hay S = 1009.2019.22017 ìï a = 1009.2019 ắắ đ ùớ ắắ đ a+ b = 2039188 Chọn B ïïỵ b = 2017 Bài tập tương tự: Chứng minh 1 k 2012 C2012 C2010 +( 12C2012 22011 - 22C2012 22010 + + (- 1)k- k2C2012 22012- k + - 20122C2012 ) = Hướng dẫn: Xét ( 2- x) 2012 Dao ham Nhan x Dao ham Cho x=1 ắắ ắắ đ ắắ ắđ ắắ ắắ đ ắắ ắắ ® 2 2 3 n n n- Bài tập tương tự: Chứng minh Cn.2+ Cn + Cn + + n Cn = 2n( 2n +1) n Dao ham Nhan x Dao ham Cho x=1 Hng dn: Xột ( 1+ x) ắắ ắắ đ ¾¾ ¾® ¾¾ ¾¾ ® ¾¾ ¾¾ ® 99 100 101 199 1÷ 1÷ 1÷ 1÷ ỉư ổử ổử 100 ổử ỗ ỗ ỗ ỗ Câu 15 Tính tổng S = 100C100 + 101 C + 102 C + + 200 C ÷ ÷ ữ ữ ỗ 100 ỗ 100 ỗ 100 ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ2ứ ỗ2ứ ỗ2ứ ỗ2ứ ố ố ố ố 99 ổ3ử ữ A S = 100.ỗ ữ ç ÷ ç è4ø Lời giải Xét ( 1+ x) 99 ổ3ử ữ B S = 200.ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố4ứ 100 100 Nhan x ắắ ắắ đ x100 ( 1+ x) 100 ổ3ữ C S = 100.ỗ ữ ỗ ỗ ố4ữ ứ 100 100 ổ3ử ữ D S = 200.ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố4ứ 99 Cho x= ổ3ử Dao ham ữ ắắ ắắ đ ắắ ắắ đ 200.ỗ ữ ỗ ữ Chn B ỗ ố4ứ Vn DNG K THUẬT LẤY TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH TỔNG 1 1 2a - b 2018 + C2018 + C2018 + + C2018 , biết S = Câu 16 Cho tổng S = C2018 với a, b, c 2019 c b số nguyên dương không chia hết cho 2; phân số tối giản Tính c P = a + b+ c A P = 4034 B P = 4037 C P = 4038 D P = 4039 2018 2 2018 2018 ( 1) Lời giải Xét ( 1+ x) = C2018 +C2018x +C2018x + +C2018 x Lấy tích phân hai vế ( 1) với cận từ đến ta ò( 1+ x) 2018 Û ( 1+ x) 2019 2019 1 2018 2018 dx = ò( C2018 +C2018 x +C2018 x2 + +C2018 x ) dx ổ0 ử1 1 =ỗ Cn x + Cn1x2 + Cn2x3 + + Cnn x2019 ữ ữ ỗ ữ0 ỗ ố ứ 2019 2019 - 1 1 2018 = C2018 + C2018 + C2018 + + C2018 2019 2019 ìï a = 2019 ïï 22019 - ắắ đ ùớ b = ị P = a + b+ c = 4039 Chọn D Vậy S = ïï 2019 ïïỵ c = 2019 Û ìï 1 ïï C2018 = C2019 ïï 2019 ïï ïï 1C1 = C Cnk 11 Cnk 2018 2019 k k- 2019 Câu Áp dụng công thức kCn = nCn- ¾¾ ® = , ta ïí ï k n ïï M ïï ïï 1 2018 2019 C2018 = C2019 ïï 2019 ỵï 2019 1 1 1 2018 2019 + C2018 + C2018 + + C2018 = +C2019 +C2019 + +C2019 Suy S = C2018 ( C2019 ) 2019 2019 0 C2019 C2019 1 22019 - 2019 2019 = C + C + C + C + + C = + = ( ) ( 2019 2019 2019 2019 2019 ) 2019 2019 2019 2019 2019 22 23 22019 2018 32019 - Bài tập tương tự Chứng minh 2C2018 + C2018 + C2018 + + C2018 = 2019 2019 Hướng dẫn Xét ( + x ) 2018 tich phan ắắ ắắ đ ũ( + x ) 2018 dx 20 21 22 23 22018 2018 C2018 C2018 + C2018 C2018 + + C2018 2019 1 A S = 2018 B S = 2019 C S = D S = 2018 2019 C k- C k Lời giải Áp dng cụng thc kCnk = nCnk 11 ắắ đ n- = n , ta k n C C C C3 C 2018 S = 2018 - 2018 + 22 2018 - 23 2018 + + 22018 2018 2019 Câu 17 Tính tổng S = 1 2019 ( 2C2019 - 22.C2019 + 23.C2019 - + 22019.C2019 ) 2.2019 0 2 3 2019 2019 ù = é êC2019 - ( C2019 - 2C2019 + C2019 - C2019 + - C2019 ) û ú 2.2019 ë 1 2019 = é C2019 - ( 1- 2) ù = Chọn D ê ú ë û 2.2019 2019 = Cách Xét khai triển ( 1- x) 2018 2018 2018 = C2018 - C2018 x +C2018 x2 - C2018 x3 + +C2018 x Lấy tích phân hai vế, cận từ đến ta ò( 1- x) 2018 Û Û ( x - 1) 2 2018 2018 dx = ò( C2018 - C2018 x +C2018 x2 - C2018 x3 + +C2018 x ) dx 2019 2019 æ x2 x3 x4 x2019 2018 ữ =ỗ xC2018 C2018 + C2018 C2018 + + C2018 ữ ỗ ữ ỗ ÷ 2019 è ø æ0 2 22 23 22018 2018 ữ = 2ỗ C2018 + + C2018 ữ çC2018 - C2018 + C2018 ÷ ÷ ç 2019 2019 è ø 20 21 22 23 22018 2018 C2018 C2018 + C2018 C2018 + + C2018 = 2019 2019 1 1 2a - b 2018 + C2018 + C2018 + C2018 + C2018 , biết S = Câu 18 Cho tổng S = C2018 2.2018+ c b với a, b, c số nguyên dương, phân số tối giản Tính P = a+ b+ c c A P = 4037 B P = 4039 C P = 6454 D P = 6458 ö 1æ 1 1 2018 ÷ C2018 ÷ Lời giải Ta viết lại S = ỗ ỗC2018 + C2018 + C2018 + C2018 + ữ ỗ ứ 2ố 2018+1 Suy S = Xét ( 1+ x) 2018 tich phan ắắ ắắ đ ũ( 1+ x) 2018 22019 - 2019 dx = ïìï a = 2019 22019 - 22019 - ï = ¾¾ ® ïí b = Þ P = a + b+ c = 6058 Chọn D Suy S = ´ ïï 2019 4038 ïỵï c = 4038 C2018 C1 C2 C3 C 2017 C 2018 - 2018 + 2018 - 2018 + - 2018 + 2018 2020 2021 1 A B C 4121202989 4121202990 4121202991 Câu 19 Tổng S = Lời giải Xét ( 1- x) 2018 Nhan x ắắ ắắ đ x2 ( 1- x) 2018 tich phan ắắ ắắ đ ũ x2 ( 1- x) 2018 dx = Câu 20 Cho n số tự nhiên thỏa mãn 4121202992 Chọn B 4121202990 n C C1 C Cnn 2100 - n- + n + n + + = 1.2 2.3 3.4 ( n +1) ( n + 2) ( n +1) ( n + 2) Khẳng định sau đúng? A nỴ [1;49] B nỴ [ 50;99] C nỴ [100;149] Lời giải Áp dụng công thức ( k +1) C = ( n +1) C hai lần ta k+1 n+1 D D nỴ [150;200] k n Cnk++22 C = ( k +1) ( k + 2) ( n +1) ( n + 2) k n Do S = = Cn0 Cn1 Cn2 Cnn + + + + = ( C +C + +Cnn++22 ) 1.2 2.3 3.4 ( n +1) ( n + 2) ( n +1) ( n+ 2) n+2 n+2 1 n+2 ù é ê( Cn+2 +Cn+2 +Cn+2 +Cn+2 + +Cn+2 ) - ( Cn+2 +Cn+2 ) û ú ( n +1) ( n + 2) ë = 2n+2 - n- n+2 é 1+1) - ( 1+ n + 2) ự = ắắ đ n = 98 Chọn B (ê ú û ( n +1) ( n + 2) ( n +1) ( n + 2) ë æ Cn0 Cn1 Cnn Cn0 Cn1 Cnn ữ ữ ỗ + + + =ỗ + + + ữỗ Cỏch Ta cú 1.2 2.3 ữ ( n +1) ( n + 2) ỗố ( n +1) ø 14444444444244444444443 A ò( 1+ x) n Û dx = ò( Cn0 +Cn1x + Cnn xn ) dx ắắ đA= ổ Cn0 Cn1 Cnn ữ ỗ ữ ỗ + + + ữ ỗ ữ ỗ2 ( n + 2) ø è 14444444444244444444443 B n+1 - n +1 1 n n ò x( 1+ x) dx = ò x( Cn +Cnx + Cn x ) dx n 0 1 ò( 1+ x) n+1 dx - 1 n n+1 ò( 1+ x) dx = ò( Cn x +Cnx + Cn x )dx n 0 æ ( 1+ x) ỗ( 1+ x) ỗ ỗ ỗ n + n +1 ỗ ố n+2 n+1 1 ỉ ÷ Cn0 x2 Cn1x3 Cnn xn+2 n2n+1 +1 ữ ỗ ữ ữ = + + + ắắ đ B = ữ ỗ ữ ữ ữ ç ÷ ç n+ ø ( n +1) ( n + 2) è ø 0 0 2018 C2018 21C2018 22C2018 23C2018 22018C2018 a + + + = với a, b số 1.2 2.3 3.4 4.5 2019.2020 b a nguyên dương tối giản Hiệu a- b b A - 4039 B - 4037 C 4037 D 4039 k+1 k Lời giải Áp dụng công thức ( k +1) Cn+1 = ( n +1) Cn hai lần ta Câu 21 Biết Cnk++22 Cnk = ( k +1) ( k + 2) ( n +1) ( n + 2) 2018 20C2018 21C2018 22C2018 23C2018 22018C2018 + + + 1.2 2.3 3.4 4.5 2019.2020 2020 = - 21C2020 + 22C2020 - 23C2020 + + 22018C2020 ( 20C2020 ) 2019.2020 Do S = Xét ( 1- x) 2020 2020 2020 = C2020 - C2020 x +C2020 x2 - C2020 x3 +C2020 x4 - +C2020 x Chia hai vế cho x2 ta ( 1- x) 2020 = C2020 C1 2020 2018 - 2020 +C2020 - C2020 x +C2020 x2 - +C2020 x x x x 1 2020 2020 Cho x = ta = +C2020 - 2C2020 + 22C2020 - + 22018C2020 4 2 2020 - 2C2020 + 22C2020 - + 22018C2020 = 1010 ắắ đS = Suy C2020 4038 ỡù a = ắắ đ ùớ Þ a- b =- 4037 Chọn B ïïỵ b = 4038 Câu 22 Biết 1 2a - b 2017 với a, b, c số nguyên dương C2018 + C2018 + + C2018 = 2018 c b tối giản Tính P = a + b+ c c A P = 4034 B P = 4037 C P = 4038 D P = 4039 2018 2018 2018 2018 2018 ìï ( 1+ x) ( 1+ x) +( 1- x) ( 1+ x) - ( 1- x) ùù Tich phan ắắ đ ắắ ¾ ¾ ®ị dx Lời giải Xét í ïï ( 1- x) 2018 2 ïỵ ìï a = 2018 ïï 1 22018 - 2017 C2018 = ắắ đ ùớ b = ị P = a + b+ c = 4038 Chọn C Vậy C2018 + C2018 + + ïï 2018 2019 ïïỵ c = 2019 phân số Câu 23 Biết nguyên dương A 1008 1 a.2b +1 2018 C2018 + C2018 + C2018 + + C2018 = với a, b số 2020 b( b+1) a tối giản Hiệu b- a b B 1009 C 1010 D 2010 2018 2018 2018 2018 ìï ( 1+ x) 2018 x( 1+ x) + x( 1- x) ( 1+ x) +( 1- x) ï Nhan x ¾¾ ® ¾¾ ¾ ® Lời giải Xét ïí ïï ( 1- x) 2018 2 ïỵ 2018 2018 x( 1+ x) + x( 1- x) 1009.22019 +1 Tich phan ¾¾ ¾¾ ®ị dx = 2019.2020 ìï a = 1009 Þ b- a = 1010 Chọn C Suy ïí ïïỵ b = 2019 1 2 3 2018 2018 2019 a 2018 22 + C2018 23 + C2018 + + C2018 = + với a, b, c Câu 24 Biết C2018 2019 b c a ; b = ( ) số nguyên dương Tổng a + b+ c A 3364 B 4036 Lời giải Ta thực theo sơ đồ sau ( 1+ x) 2018 dao ham ắắ ắắ đ 2018( 1+ x) 2017 C 4037 nhan x ắắ ắđ 2018x( 1+ x) D 8037 2017 tich phan ¾¾ ¾¾ ® ị 2018x( 1+ x) 2017 dx 1 2 3 2018 2018 2019 1345 2018 C2018.22 + C2018 23 + C2018 + + C2018 = + 2019 673 2019 ùỡù a = 1345 ù ắắ đ ïí b = 673 Þ a+ b+ c = 4037 Chọn C ïï ïïỵ c = 2019 n 2n+1Cnn vi nẻ Ơ * Tỡm s t nhiờn n Câu 25 Cho tổng Sn = 22Cn1 + 23Cn2 + + n +1 nhỏ thỏa mãn Sn > 5200 + n +1 A n = 200 B n = 201 C n = 292 D n = 293 Khi n dao ham ® n( 1+ x) Lời giải Xét ( 1+ x) ¾¾ ¾¾ n- nhan x ¾¾ ¾® nx( 1+ x) n- tich phan ắắ ắắ đ ũ nx( 1+ x) n- dx 2n- 1ö n ỉ ÷ ÷ Khi ta S = ỗ ỗ ữ+ n +1 ỗ n +1 ø è ỉ 2n- 1ư 1 2n- 1ư n ổ 200 ữ ữ + > 5200 + ơắ đ 3n.ỗ ữ ữ Theo bi, ta cn cú ç ç ç ÷ ÷> ç ç è n +1 ø n +1 è n +1 ø n +1 2n- 2n- > 200 Û n log5 3> 200- log5 > 200- log5 n +1 n +1 200- log5 ắắ đ n> ; 292,36 ắắ đ n 293 Chn D log5 ắắ đ n log5 3+ log5 Vấn đề KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI Câu 26 Cho S = C2018 + 2018 2.C2018 3.C2018 2018.C2018 + + + , biết ln( 2S) = a ln2018+ bln2019 + c 1 2017 C2018 C2018 C2018 vi a, b, cẻ Ô Giá trị a + b+ c A B Lời giải Ta có C 2018 D 2019 n! n ( k) !k! ( n- k +1) !( k - 1) ! ( n- k +1) kC = k = k = k = n- k +1 n! k C ( n- k) !k! ( n- k +1) !( k - 1) ! k n k- n Do S = ( 2018- 1+1) +( 2018- 2+1) +( 2018- 3+1) + ( 2018- 2018+1) ỉ ÷ = 2018.2018- ( 1+ 2+ 3+ + 2018) +ỗ +1+41 +44 444 +1 ỗ1 144444 24 3ữ ữ ữ ỗ ố ứ 2018 so 1+ 2018 2018 2019 2018+ 2018 = 2 ìï a = ùù đ ùớ b = ắắ đ a+ b+ c = Chọn B Suy ln( 2S) = ln2018+ ln2019 ắắ ùù ùùợ c = = 20182 - 2 2017 2017 2018 2018 a a C2018 + C2018 + + ( ) ( ) ( C2018 ) + ( C2018 ) = b.C2a với 2018 2017 a a, b số nguyên dương phân số tối giản Khẳng định sau b ? A a+ bỴ ( 0;2018) B a + b Ỵ [ 2018;4036] C a + b Ỵ ( 4036;6054) D a- b = Câu 27 Biết 2018 k k C2018 ( ) k=1 2019- k k k 2018! 2018! k k- C2018 = = = C2018 Ta có ù 2019- k 2019- k k!( 2018- k) ! ( k - 1) ! é 2018 k ! ( ) ë û Lời giải Viết thu gọn S = å 2018 k- k 1 2017 2018 Do S = å C2018.C2018 = C2018.C2018 +C2018.C2018 + +C2018 C2018 k=1 2017 2016 2017 2017 = C2018 C2018 +C2018 C2018 + +C2018 C2018 = C4036 = 2018 2018 C4036 2019 ïì a = 2018 ắắ đ a + b = 4037 Chn C Suy ïí ïïỵ b = 2019 1009 1009 1009 1009 1009 S1 = C2018 +C2017 +C2016 + +C1010 +C1009 Câu 28 Cho 1010 2016 S2 = C 1009 2016 + 3C 1008 2016 + 3C A S1 = S2 1007 2016 +C Khẳng định sau ? B S1 = 2019S2 C S1 = 2018S2 D S1 < S2 ® Cnk 11 = Cnk - Cnk- Lời giải Ta có Cnk 11 +Cnk- = Cnk ¾¾ 1009 1010 1010 ìï C2018 = C2019 - C2018 ïï ïï C1009 = C1010 - C1010 2018 2017 ïï 2017 ïï 1009 1009 1009 1009 1009 1010 ắắ đ S1 = C2018 +C2017 +C2016 + +C1010 +C1009 = C2019 Suy ïí 1009 1010 1010 ïï C1011 = C1012 - C1011 ïï 1009 1010 1010 ïï C1010 = C101 - C1010 ïï 1009 1010 ïïỵ C1009 = C1010 1010 1009 1008 1007 1010 1009 1009 1008 1008 1007 Ta có S2 = C2016 + 3C2016 + 3C2016 +C2016 = ( C2016 +C2016 ) + 2( C2016 +C2016 ) +( C2016 +C2016 ) 1010 1009 1008 1010 1009 1009 1008 1010 1009 1010 = C2017 + 2C2017 +C2017 = ( C2017 +C2017 +C2017 +C2018 = C2019 ) +( C2017 ) = C2018 Vậy ta có S1 = S2 Chọn A 2000 k Câu 29 Tính tổng S = å C2018+k k=0 2018 4018 A S = C 2018 B S = C4019 2000 2000 k=0 k=0 2019 C S = C4018 2019 D S = C4019 k 2018 2018 2018 2018 2018 2019 Lời giải Ta có S = å C2018+k = å C2018+k = C2018 +C2019 +C2020 + +C4018 = C4019 Chọn D n n n n n+1 Nhận xét: Chứng minh công thức tổng quát Cn +Cn+1 +Cn+2 + +Cn+k = Cn+k+1 chứng minh trước hai cách Cách thứ dùng công thức Cnk 11 = Cnk - Cnk- ( *) Cách thứ hai thấy vế trái ( *) hệ số xn khai triển n ( 1+ x) +( 1+ x) n+1 +( 1+ x) n+2 + +( 1+ x) n+k Ta coi cấp số nhân với u1 = ( 1+ x) q = ( 1+ x) nên tổng n n ( 1+ x) k+1 ( 1+ x) x Hệ số xn biểu thức cuối triển ( 1+ x) n+k+1 - = ( 1+ x) ( 1+ x) n+k+1 - x n+k+1 ( 1+ x) - x ( 1+ x) x n n hệ số xn+1 khai x n+1 Cn+k+1 Câu 30 Gọi M = sau đúng? M 1008 = A N 2017 1 2017 C + 2017 C + + 2017 2017 C 2016 C + 1 2016 C + + 2016 2016 C Khẳng định M 2016 M 2018 = = D N 2017 N 2017 1 1 æ 2017 2017 2017ử ữ ỗ ữ + + + ỗ Lời giải Ta có M = + + + 2017 = 2017 ữ ỗ ữ ç 2017 C2017 C2017 C2017 C2017 ø èC2017 C2017 B M 1009 = N 2017 N = C ìï 2017 ïï = 01 ïï C2017 C2016 ïï ïï 2017 n k ïï = k k- ® k = k- , ta í C2017 C2016 Áp dụng công thức kCn = nCn- ¾¾ ïï Cn Cn- ïï M ïï ïï 2017 = 2017 ïï C 2017 C 2016 2016 ïỵ 2017 ỉ 2017 2017 2017ư ỉ 2017ử ỗ ỗ ữ ữ + + + 2017 ÷ = + + + 2016 ữ ỗ ỗ Suy M = ữ ữ ỗ ỗ ữ 2017ố ữ ỗC2017 C2017 ỗC2016 C2016 2017è C2017 ø C2016 ø 2017 2017 2016 Viết ngược ta có S = 2016 + 2015 + + 2016 C C C2016 C2016 C2016 C2016 Cộng vế theo vế ta æ1 æ1 1 1 ữắắ ữ= 1009N 2S = 2018ỗ + + + 2016 ữ đ S = 1009ỗ + + + 2016 ữ ỗ ỗ ữ ữ 0 ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ C2016 ứ C2016 ứ ốC2016 C2016 ốC2016 C2016 Đặt S = 2016 + 2016 Từ suy M = + + 1009 M 1009 N ắắ đ = Chn B 2017 N 2017 Vấn đề KỸ THUẬT DÙNG SỐ PHỨC ĐỂ TÍNH TỔNG Đặc điểm nhận dạng để ta ứng dụng số phức vào biểu thức cần tính có Các hạng tử chẵn (hoặc lẻ) có dấu đối xứng, ví dụ S = Cn1 - Cn3 +Cn5 - S = Cn0 - Cn2 +Cn4 - S = a1 - a3 + a5 - S = a0 - a2 + a4 - Tổng S = Cn0 +Cn4 +Cn8 +Cn12 2019 - C2019 +C2019 - - C2019 Câu 31 Tổng C2019 1010 1009 A - B - C 21009 D 21010