60 bài tập vận dụng cao xác suất 2018 có lời giải (thầy khánh)

XÁC SUẤT A - BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC, TỨ GIÁC Bài tốn Cho đa giác có n đỉnh Xét tam giác có đỉnh đỉnh đa giác � n( n- 4)  có cạnh chung với đa giác ��  có cạnh chung với đa giác �� � n �Cn3 - n- n( n- 4)  khơng có cạnh chung với đa giác �� Bài tốn Cho đa giác có 2n đỉnh � n( 2n- 2) Số tam giác vng có đỉnh đỉnh đa giác �� n Bài toán Cho đa giác có đỉnh Số tam giác tù tạo thành từ n đỉnh đa giác � nC n2-  n lẻ �� � nC n2-  n chẵn �� 2 Bài toán Cho đa giác có n đỉnh Số tam giác nhọn tạo thành từ n đỉnh đa giác = Cn3 - (số tam giác tù + số tam giác vuông) Câu Cho đa giác có 12 đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác Xác suất để đỉnh chọn tạo thành tam giác khơng có cạnh cạnh đa giác cho 12.8 A C 12 B C12 - 12.8 C12 C C12 - 12- 12.8 C12 D 12 +12.8 C12 Lời giải � � n( W) = C C - 12- 12.8 � �� � P = 12 Ta có � 3 � C n A = C 12 8.12 ( ) 12 � 12 � Đáp án C  Số tam giác tạo từ đỉnh 12 đỉnh: C123  Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác cạnh cạnh đa giác: đỉnh liên tiếp cho tam giác thỏa mãn đề bài, nên có 12 tam giác (hoặc hiểu theo cách khác: tam giác có đỉnh đỉnh liên tiếp đa giác tức có cạnh cạnh liên tiếp đa giác, cạnh cắt đỉnh, mà đa giác có 12 đỉnh nên có 12 tam giác thỏa trường hợp này)  Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác cạnh cạnh đa giác: Trước tiên ta chọn cạnh 12 cạnh đa giác nên có 12 cách chọn; chọn đỉnh lại đỉnh (trừ đỉnh tạo nên cạnh chọn đỉnh liền kề với cạnh chọn) Do trường hợp có 8.12 tam giác Câu Cho đa giác ( H ) có n đỉnh ( n ��, n > 4) Biết số tam giác có đỉnh đỉnh ( H ) khơng có cạnh cạnh ( H ) gấp lần số tam giác có đỉnh đỉnh ( H ) có cạnh cạnh ( H ) Khẳng định sau đúng? A n�[ 4;12] B n�[13;21.] C n�[ 22;30] D n�[ 31;38] Lời giải Số tam giác tạo thành có đỉnh đỉnh đa giác Cn3 Số tam giác tạo thành có cạnh cạnh đa giác n Số tam giác tạo thành có cạnh cạnh đa giác n( n- 4) (điều kiện n�� n< ) �� � số tam giác tạo thành khơng có cạnh cạnh đa giác Cn - n- n( n- 4) � n = 35( tho� a ma� n) Theo giả thiết, ta có Cn - n- n( n- 4) = 5.n( n- 4) � � � n = 4( loa� i) � Đáp án D Câu Cho đa giác lồi ( H ) có 22 cạnh Gọi X tập hợp tam giác có ba đỉnh ba đỉnh ( H ) Chọn ngẫu nhiên tam giác X , xác suất để chọn tam giác có cạnh cạnh đa giác ( H ) tam giác khơng có cạnh cạnh ( H ) A 69 70 12 B 23 17955 C 748 1995 Lời giải D 35 10098 Ta có �X = C = 1540 � 22 � � 748 � n( W) = C1540 = 1185030 �� �P = � � 1995 � 1 � n( A) = C22�18 �C1540- ( 22�18+22) = 444312 � � Đáp án C Câu Cho đa giác gồm 2n đỉnh ( n �2, n ��) Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh số 2n đỉnh đa giác, n = xác suất ba đỉnh chọn tạo thành tam giác vuông A n = B n = Tìm n C Lời giải D n = 10 Ta có n( W) = C2n Để ba đỉnh chọn tạo thành tam giác vng có hai đỉnh ba đỉnh hai đầu mút đường kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đỉnh lại số ( 2n- 2) đỉnh lại 2n =n Cn1 = n đa giác Đa giác có 2n đỉnh nên có đường kính ● Số cách chọn đường kính ● Số cách chọn đỉnh lại ( 2n- 2) đỉnh C21n- = 2n- Suy n( A) = n( 2n- 2) n( 2n- 2) = � n = Theo đề ta có phương trình C2n Đáp án C Câu Cho đa giác có 20 đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác đều, xác suất để đỉnh chọn đỉnh tam giác vuông không cân A 19 B 35 C 57 D 17 114 Lời giải Ta có � n( W) = C20 = 1140 160 � �� �P = = � � 1140 57 n( A) = 10.18- 10.2 = 160 � � Đáp án C ● Số tam giác vuông 10.18 ● Số tam giác vuông cân: Cứ cách chọn đường kính có tam giác cân ( điểm tạo nên tam giác cân giao điểm đường thẳng qua tâm vng góc với đường kính chọn với đường trịn) Do có 10.2 tam giác vng cân Câu Cho đa giác có 15 đỉnh Gọi M tập tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên tam giác thuộc tập M , xác suất để tam giác chọn tam giác cân tam giác A 91 B 18 91 C 20 91 D 73 91 Lời giải Ta có � n( W) = C15 = 455 90 18 � �� �P = = � � 455 91 n( A) = 7.15- 3.5 = 90 � � Đáp án B  Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác Xét đỉnh A đa giác: Có cặp đỉnh đa giác đối xứng với qua đường thẳng OA , hay có tam giác cân đỉnh A Như vậy, với đỉnh đa giác có tam giác nhận làm đỉnh tam giác cân  Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác 15 =5 tam giác  Tuy nhiên, tam giác cân xác định có tam giác đều, tam giác cân đỉnh nên tam giác đếm lần Suy n( A) = 7.15- 3.5 = 90 Bài tốn Cho đa giác có n đỉnh Cơng thức tổng qt tính số tam giác tù: � nC n2-  n lẻ �� � nC n2-  n chẵn �� 2 Câu Cho đa giác 100 đỉnh nội tiếp đường tròn Số tam giác tù tạo thành từ 100 đỉnh đa giác A 44100 B 58800 C 78400 D 117600 Lời giải Đánh số đỉnh A1, A2, , A100 Xét đường chéo A1A51 đa giác đường kính đường tròn ngoại tiếp đa giác chia đường tròn làm hai phần, phần có 49 điểm: từ A2 đến A50 A52 đến A100 Khi đó, tam giác có dạng A1Ai A j tam giác tù Ai Aj nằm nửa đường trịn  Chọn nửa đường trịn: có cách chọn  Chọn hai điểm Ai , A j hai điểm tùy ý lấy từ 49 điểm A2, A3, , A50 có C492 = 1176 cách chọn Giả sử Ai nằm A1 Aj tam giác A1Ai Aj tù đỉnh Ai Mà D Aj Ai A1 �D A1Ai A j nên kết bị lặp hai lần  Có 100 cách chọn đỉnh Vậy số tam giác tù 2.1176.100 = 117600 Đáp án D n2- = 100.C49 = 117600 Cách Áp dụng cơng thức nhanh ta có nC Câu Cho đa giác 100 đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác, xác suất để nhận tam giác nhọn A 11 B 11 C 33 D 25 33 Lời giải Ta có � n( W) = C12 � �� �P = � � 33 n( A) = 39200 � � Đáp án C Số tam giác tù 117600, Số tam giác vuông 50.98 = 4900 - 117600- 4900 = 39200 Suy số tam giác nhọn: C100 Bài toán Cho đa giác có n đỉnh Xét tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác � n�� Cn2- - ( n- 5) � = A  có cạnh chung với đa giác �� � � n( n- 5)  có cạnh chung với đa giác �� � n( n- 5) + = B  có cạnh chung với đa giác �� � n = C �Cn4 - ( A + B +C )  khơng có cạnh chung với đa giác �� n �Cn4 - ( A + B +C ) = Cn3- Và ta chứng minh �� Bài tốn Cho đa giác có 2n đỉnh �Cn2 Số tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác tạo thành HÌNH CHỮ NHẬT �� Bài tốn Cho đa giác có 4n đỉnh � n Số tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác tạo thành HÌNH VNG �� Chứng minh Tứ giác có cạnh chung với đa giác Chọn cạnh n cạnh đa giác nên có n cách Chọn đỉnh cịn lại n- đỉnh (tham khảo hình vẽ trên) nên có Cn2- đỉnh khơng liên tiếp nên trừ cho n- (vì đỉnh liên tiếp tạo nên cạnh mà có n- đỉnh cịn lại nên có n- cạnh) Cn2- - ( n- 5) � Vậy trường hợp có n�� � �tứ giác Tứ giác có cạnh chung với đa giác Trường hợp 1: Tứ giác có hai cạnh kề trùng với cạnh đa giác Vì hai cạnh kề cắt đỉnh, mà đa giác có n đỉnh nên có n cách chọn hai cạnh kề trùng với cạnh đa giác Chọn đỉnh lại n- đỉnh (bỏ đỉnh tạo nên hai cạnh kề đỉnh hai bên, tham khảo hình vẽ) Do trường hợp có n( n- 5) tứ giác Trường hợp 2: Tứ giác có hai cạnh đối thuộc cạnh đa giác Chọn cạnh n cạnh đa giác nên có n cách Trong n- đỉnh cịn lại (bỏ đỉnh tạo nên cạnh chọn đỉnh liền kề cạnh chọn, tham khảo hình vẽ) tạo nên n- cạnh Chọn cạnh n- cạnh nên có n- cách Tuy nhiên trường hợp số tứ giác đếm đến lần n( n- 5) Do trường hợp có tứ giác Vậy có n( n- 5) + n( n- 5) 2 tứ giác thỏa mãn Tứ giác có cạnh chung với đa giác Đánh số thứ tự đỉnh đa giác, ta có n số: ( 1;2;3;4) , ( 2;3;4;5) , , ( n- 3;n- 2; n- 1;n) , ( n- 2; n- 1; n;1) , ( n- 1;n;1;2) , ( n;1;2;3) Vậy trường hợp có n tứ giác thỏa mãn Câu Cho đa giác có 20 đỉnh Có tứ giác tạo thành mà có đỉnh đỉnh đa giác có cạnh chung với đa giác ? A 1700 B 2100 C 2400 D 39520 Lời giải n=20 � � n � C n ��� � 2100 )� Ta có �n- ( Đáp án B Bài tập tương tự Cho đa giác có 20 đỉnh Có tứ giác tạo thành mà có đỉnh đỉnh đa giác có cạnh chung với đa giác ? Đáp số: 450 Bài tập tương tự Cho đa giác có 20 đỉnh Tính xác suất mà hai đường chéo chọn cách ngẫu 57 169 2 � n( W) = C170 C20 - 20 = 170 đường chéo �� nhiên cắt bên đa giác Đáp số:  Đa giác 20 đỉnh có  Biến cố số tứ giác có đỉnh chọn từ 20 đỉnh đa giác (vì tứ giác tạo thành có cặp đường chéo cắt đa giác) nên n( A) = C20 Câu 10 Cho đa giác có 60 đỉnh Người ta lập tứ giác tùy ý có đỉnh đỉnh đa giác Xác suất để lập tứ giác có cạnh đường chéo đa giác cho gần với số số sau? A 13,45% B 40,45% C 80,70% D 85,40% Lời giải � n( W) = C60 � 15.C55 � �� � P = �0,8070 n=60 Ta có � n � C60 n( A) = Cn3- = 15.C55 � � � Đáp án C Câu 11 Có 10 bạn ngồi xung quanh bàn tròn, bạn cầm đồng xu Tất 10 bạn tung đồng xu mình, bạn có đồng xu ngửa đứng, bạn có đồng xu xấp ngồi Xác suất để có người đứng có người đứng liền kề A 35 128 B 25 256 C 35 512 D 75 512 Lời giải Ta có � n( W) = 210 25 � � �� �P = � � 256 n A = 10 C ( ) ( ) � � Đáp án B Biến cố toán phát biểu lại sau: '' số tứ giác tạo thành từ đa giác có 10 đỉnh có cạnh chung với đa giác '' Câu 12 Có bạn ngồi xung quanh bàn tròn, bạn cầm đồng xu (cân đối đồng chất) Tất bạn tung đồng xu mình, bạn có đồng xu ngửa đứng, bạn có đồng xu xấp ngồi Xác suất để khơng có hai bạn liền kề đứng A 31 32 B 45 256 C 47 256 D 49 256 Lời giải Ta có � n( W) = 28 47 � �� �P = � � 256 n( A) = 1+ 8+ 20 +16+ � � Đáp án C  Khơng có bạn đứng: có khả  Có bạn đứng (7 bạn cịn lại ngồi) : có khả  Có bạn đứng khơng cạnh nhau: Đầu tiên chọn người người để đứng nên có cách; chọn người lại đứng (trừ người đứng trước hai người hai bên) nên có cách Hai người đứng khơng phân biệt nên trường hợp có 8.5 = 20 khả  Có bạn đứng khơng có bạn bạn đứng cạnh Bài toán quy cho đa giác có đỉnh, số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác khơng có cạnh chung với đa giác �� � có C83 - 8- 8.4 = 16 khả  Có bạn đứng khơng có bạn bạn đứng cạnh Bài tốn quy cho đa giác có đỉnh, số tứ giác có đỉnh đỉnh đa giác khơng có cạnh chung với đa giác �� � có C3 = khả Câu 13 Cho đa giác 12 đỉnh nội tiếp đường tròn Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác, xác suất để đỉnh chọn tạo thành hình chữ nhật A 15 B 13 15 C 33 D 32 33 Lời giải Ta có � n( W) = C12 � �� �P = � � 33 n( A) = C6 � � Đáp án C  Đa giác cho có 12 =6 đường chéo lớn  Mỗi hình chữ nhật có đỉnh đỉnh 12 đỉnh có đường chéo hai đường chéo lớn Suy số phần tử biến cố n( A) = C6 Bài tập tương tự Cho đa giác 2n đỉnh nội tiếp đường tròn Biết số tam giác có đỉnh 2n đỉnh nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n đỉnh Tìm n Đáp số: n = Câu 14 Cho đa giác có 20 cạnh Có hình chữ nhật tạo thành khơng phải hình vng, có đỉnh đỉnh đa giác cho ? A 35 B 40 C 45 D 50 Lời giải Số hình chữ nhật tạo thành (bao gồm hình vng) C102 = 45 Số hình vuông tạo thành 20 = Vậy số hình chữ nhật thõa mãn u cầu tốn 45- = 40 Đáp án B B - XÁC SUẤT HÌNH HỌC Câu 15 Trên mặt phẳng Oxy, ta xét hình chữ nhật ABCD với điểm A ( - 2;0) , B( - 2;2) , C ( 4;2) , D ( 4;0) (hình vẽ) Một châu chấu nhảy hình chữ nhật tính cạnh hình chữ nhật cho chân ln đáp xuống mặt phẳng điểm có tọa độ ngun (tức điểm có hồnh độ tung độ ngun) Tính xác suất để đáp xuống điểm M ( x; y) mà x + y < A B C D 21 Lời giải Số điểm có tọa độ nguyên thuộc hình chữ nhật 7.3 = 21 điểm �x �{ - 2;- 1;0;1;2;3;4} � � � �y �{ 0;1;2} Để châu chấu đáp xuống điểm M ( x, y) có x + y < châu chấu nhảy khu vực hình �x �{ - 2;- 1;0;1;2} � thang BEIA Để M ( x, y) có tọa độ ngun � � �y �{ 0;1;2}  Nếu x �{ - 2;- 1} y�{ 0;1;2} � có 2.3 = điểm  Nếu x = y�{ 0;1} � có điểm  Nếu x = 1� y = � có điểm �� � có tất 6+ 2+1= điểm thỏa mãn Vậy xác suất cần tính P = = 21 Đáp án B Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên điểm mà tọa độ số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hay Nếu điểm có xác suất chọn nhau, xác suất để chọn điểm mà khoảng cách đến gốc tọa độ nhỏ là: A 11 16 B 13 32 C 13 81 D 15 81 Lời giải Gọi tọa độ điểm M ( x; y) thỏa x, y �� �x �4 � � � �y �4 �x �{ - 4;- 3;- 2;- 1;0;1;2;3;4} � nên � � �y �{ - 4;- 3;- 2;- 1;0;1;2;3;4} Suy n( W) = 9.9 = 81 �x, y �� � � � x2 + y2 �4 � x2 + y2 �2 � � � �� � �x = 0;�1;�2 Gọi điểm M '( x; y) thỏa x, y �� OM �2 � � � � � x , y � � � � � 2 �x, y �� � �y �4- x � y = 0;�1;�2 Do có 1�5 = cách chọn Nếu x = �� � y = 0;�1 Do có 2�3 = cách chọn Nếu x = �1�� � y = Do có 2�1= cách chọn Nếu x = �2 �� Suy n( A) = 5+ 6+ = 13 Vậy xác suất cần tính P = 13 81 Đáp án C Câu 17 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với M ( 0;10) , N ( 100;10) P ( 100;0) Gọi S tập hợp tất điểm A ( x; y) với x, y��, nằm bên (kể cạnh) OMNP Lấy ngẫu nhiên điểm A ( x; y) �S Xác suất để x + y �90 A 169 200 B 845 1111 C 86 101 D 473 500 Lời giải Nhận thấy điểm cần tìm nằm đường thẳng y = m với m= 0;1;2; ;10 Ứng với đường y = m, tương ứng có 101 giá trị x thỏa mãn ( x = 0;1;2; ;100 ) Suy tập S có 11�101= 1111 phần tử � n( W) = C1111 = 1111 86 � �� �P = Ta có � � 101 n( A) = 946 � � Đáp án C  Trên đường y = có 91 điểm thỏa mãn ( x = 0;1;2; ;90 )  Trên đường y = có 90 điểm thỏa mãn ( x = 0;1;2; ;89 ) M  Trên đường y = 10 có 81 điểm thỏa mãn ( x = 0;1;2; ;80 ) Suy n( A) = 91+ 90+ + 81= 946 Câu 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, góc phần tư thứ ta lấy điểm phân biệt; góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lấy 3, 4, điểm phân biệt (các điểm không nằm trục tọa độ) Trong 14 điểm ta lấy điểm Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm cắt hai trục tọa độ A 91 B 23 91 C 68 91 D 83 91 Lời giải Không gian mẫu số cách chọn điểm 14 điểm cho Suy số phần tử không gian mẫu W= C14 = 91 Gọi A biến cố '' Đoạn thẳng nối điểm chọn cắt hai trục tọa độ '' Để xảy biến cố A hai đầu đoạn thẳng phải góc phần tư thứ thứ ba phần tư thứ hai thứ tư ● Hai đầu đoạn thẳng góc phần tư thứ thứ ba, có C21C41 cách ● Hai đầu đoạn thẳng góc phần tư thứ hai thứ tư, có C31C51 cách 1 1 Suy số phần tử biến cố A WA = C2C4 +C3C5 = 23 W 23 A Vậy xác suất cần tính P ( A) = W = 91 Đáp án B Câu 19 Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên d1 có điểm phân biệt, d2 có n điểm phân biệt ( n �3, n ��) Tìm n , biết có 96 tam giác có đỉnh điểm cho A n = B n = C n = D n = Lời giải Cứ điểm không thẳng hàng tạo thành tam giác Do số tam giác tạo thành từ n+ điểm gồm: điểm (thẳng hàng) thuộc d1 n điểm (thẳng 3 hàng) thuộc d2 Cn+6 - C6 - Cn � n = 4( tho� a ma� n) 3 Theo giả thiết, ta có Cn+6 - C6 - Cn = 96 � � � n = - 8( loa� i) � Đáp án B Bài tập tương tự Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy 1, 2, n điểm phân biệt ( n �3, n ��) khác A, B, C, D Tìm n , biết số tam giác lấy từ n+ điểm cho 439 Đáp số n = 10 3 Hướng dẫn Theo giả thiết, ta có Cn+6 - C3 - Cn = 439 Câu 20 Trong không gian cho 2n điểm phân biệt ( < n ��) , khơng có ba điểm thẳng hàng 2n điểm có n điểm nằm mặt phẳng khơng có điểm điểm n điểm đồng phẳng Tìm giá trị n cho từ 2n điểm cho tạo 505 mặt phẳng phân biệt A n = B n = C n = 10 D n = 16 Lời giải Ta có  n điểm đồng phẳng tạo mặt phẳng  n điểm lại giả thiết tạo Cn3 mặt phẳng  điểm n điểm đồng phẳng với n điểm lại tạo Cn2 �n mặt phẳng  điểm n điểm lại với n điểm đồng phẳng tạo Cn2 �n mặt phẳng � n = Theo đề ta có phương trình: 1+ 2nCn2 +Cn3 = 505 �� Đáp án B C - BÀI TOÁN BỐC BI Câu 21 Một hộp chứa bóng đỏ (được đánh số từ đến 6) , bóng vàng (được đánh số từ đến 5) , bóng xanh (được đánh số từ đến 4) Lấy ngẫu nhiên bóng Tính xác suất để bóng lấy có đủ ba màu mà khơng có hai bóng có số thứ tự trùng A 43 91 B 48 91 C 74 455 D 381 455 Lời giải Ta có � n( W) = C15 74 � �� �P = � 1 1 � 455 n A = C C C + C C C + C C C ( ) � 3 4 4 � Đáp án C 1  xanh, vàng, đỏ �� � C4 C3.C3 cách  xanh, vàng, đỏ �� � C4.C4 C3 cách 1  xanh, vàng, đỏ �� � C4.C4.C4 cách Giải thích trường hợp 1: Khi bốc bốc bi trước tiên Bốc viên bi xanh từ viên bi xanh nên có C42 cách, bốc viên bi vàng từ viên bi vàng (do loại viên số với bi xanh bốc) nên có C31 cách, cuối bốc viên bi đỏ từ viên bi đỏ (do loại viên số với bi xanh viên số với bi vàng) nên có C31 cách Tương tự cho trường hợp cịn lại Câu 22 Trong hộp có đựng 40 bóng, gồm 10 bóng xanh đánh số từ đến 10; 10 bóng đỏ đánh số từ đến 10; 10 bóng vàng đánh số từ đến 10 10 bóng trắng đánh số từ đến 10 Hai bóng màu mang số số 10 gọi '' cặp may mắn '' Người ta lấy ngẫu nhiên từ hộp bóng Xác suất để bóng lấy có '' cặp may mắn '' A 1633 9139 B 1408 45695 C 2447 63973 D 291484 3838380 Lời giải Ta có � n( W) = C40 � 291484 � �P= � 2 1 �4 2� � 3838380 n( A) = C4 +C4 ( C36 - C2 ) +C4 � C38 - C3 ( C36 - C2 ) - C3 � � � Đáp án D  Trường hợp Chọn '' cặp may mắn '' : có C43 cách  Trường hợp Chọn '' cặp may mắn '' : có C42.( C362 - C21) cách (Ở C21 số cách chọn '' cặp may mắn '' từ '' cặp may mắn '' lại) C - C31 ( C36 - C21 ) - C32 �  Trường hợp Chọn '' cặp may mắn '' : có C41 � �cách �38 (Ở C3 ( C36 - C2 ) số cách chọn '' cặp may mắn '' từ '' cặp may mắn '' lại; C32 số cách chọn '' cặp may mắn '' từ '' cặp may mắn '' lại) Câu 23 Các mặt xúc sắc đánh số từ đến Người ta gieo xúc sắc lần liên tiếp nhân số nhận lần gieo lại với Tính xác suất để tích thu số chia hết cho A 81 216 B 83 216 C 133 216 D 135 216 Lời giải Ta có = 2�3 ( 2;3) = Số phần tử không gian mẫu n( W) = Xét biến cố A : '' tích thu số chia hết cho '' Ta mô tả không gian biến cố đối A sau:  Khơng có số chia hết cho �� � có 43  Khơng có số chia hết cho �� � có 33  Khơng có số chia hết cho �� � có 23 3 Suy số phần tử biến cố đối A n( A ) = + - Vậy xác suất cần tính P = 1- 43 + 33 - 23 133 = 63 216 Đáp án C Chú ý: Do trường hợp không chia hết cho trường hợp không chia hết cho bao trùm ln trường hợp khơng chia hết cho nên tính đến hai lần Câu 24 Mỗi lượt, ta gieo súc sắc (loại mặt, cân đối) đồng xu (cân đối) Tính xác suất để lượt gieo có lượt gieo kết súc sắc xuất mặt chấm, đồng thời đồng xu xuất mặt sấp A 12 Xét biến cố B A : '' lần 11 12 C 397 1728 D 1331 1728 Lời giải gieo thứ súc sắc xuất mặt chấm, đồng xu xuất mặt sấp '' �� � 1 1 11 �� � P ( A ) = 1= 12 12 12 � � 397 11� � P = 1- � � �= � � 12� 1728 xác suất biến cố A P ( A ) = � = Vậy xác suất cần tính tốn Câu 25 Một chuồng có thỏ trắng thỏ nâu Người ta bắt ngẫu nhiên khỏi chuồng bắt thỏ trắng Xác suất để cần phải bắt đến thỏ A B 35 C 29 35 D 31 35 Lời giải Xét biến cố đối A : '' bắt thỏ trắng lần ''  TH1) Bắt thỏ trắng lần đầu: 3! Ta có n( W) = 7.6.5 n( A 1) = 3! Suy P ( A 1) = 7.6.5  TH2) Bắt thỏ trắng lần đầu: �� � lần bắt trắng; lần 1, bắt trắng nâu T C C 3! Ta có n( W) = 7.6.5.4 n( A ) = C4.C3 3! Suy P ( A ) = 7.6.5.4 Suy P ( A ) = P ( A 1) + P ( A ) = 31 �� �P( A ) = 35 35 Đáp án D Cách Ta mô tả không gian biến cố A sau { TTT; TNNN; NTNN; NNTN } Suy P ( A ) = 31 �� �P( A) = 35 35 D - BÀI TOÁN VỀ CHỮ SỐ Câu 26 Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số chữ số có mặt ba lần, chữ số cịn lại có mặt khơng q lần Chọn ngẫu nhiên số từ S , xác suất để số chọn chia hết cho A B C D 15 Lời giải Gọi số cần tìm tập S có dạng abcde ● Sắp chữ số vào ba vị trí, có C53 = 10 cách ● Cịn lại hai vị trí, chọn số số {1; 2; 4; 5} xếp vào hai vị trí đó, có A42 = 12 cách Do tập S có 10.12 = 120 phần tử � n( W) = C120 = 120 � �� �P = Ta có � � n( A) = 20+ 20+ 20+ 20 = 80 � � Đáp án C ● Hai chữ số lại , có C53.2! = 20 số ● Tương tự cho trường hợp ; ; Câu 27 Cho tập hợp A = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác ln có mặt chữ số lập từ chữ số thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , xác suất để số chọn chia hết cho A B C 26 D 11 26 Lời giải Gọi số cần tìm tập S có dạng abcde ● Ta có cách chọn vị trí cho chữ số , bốn chữ số cịn lại có A64 cách chọn nên có 5A64 số ln có mặt chữ số (kể chữ số vị trí đầu tiên) ● Xét số có chữ số vị trí đầu tiên, có cách chọn vị trí cho chữ số , ba chữ số lại có A53 cách chọn nên có 4A53 số Do tập S có 5A64 - 4A53 = 1560 phần tử � n( W) = C1560 = 1560 � �� �P = Ta có � 3 � 26 n( A) = 4.A5 + 5.A5 = 540 � � Đáp án C ● e= Khi có cách chọn vị trí cho số , ba số cịn lại có A53 cách nên có 4.A53 số ● e= Khi a có cách chọn; b , c , d có A53 cách chọn nên có 5.A53 số Câu 28 Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số lập từ chữ số thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên số từ S , xác suất để số chọn chia hết cho A B C 27 D 28 Lời giải Tập S có 94 phần tử Ta có � n( W) = 94 � �� �P = � � 27 n( A) = 4.9 � � Đáp án C � a1a2a3a4 M2 Gọi số thỏa mãn biến cố a1a2a3a4 Do a1a2a3a4 M6 �� Suy a4 �{ 2,4,6,8} : có cách; a1, a2 có cách chọn � a3 �{ 3; 6; 9} nên a3 có cách chọn  Nếu a1 + a2 + a4 = 3k �� � a3 �{ 2; 5; 8} nên a3 có cách chọn  Nếu a1 + a2 + a4 = 3k +1�� � a3 �{1; 4; 7} nên a3 có cách chọn  Nếu a1 + a2 + a4 = 3k + �� Vậy a3 ln ln có cách chọn nên n( A) = 4.9 = 972 Câu 29 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập S, xác suất để chọn số chia hết cho chữ số hàng đơn vị A 200 B 1287 90000 C 1286 90000 D 500 Lời giải � n( W) = 9.104 Số số tự nhiên có chữ số là: 9.10 �� Giả sử số tự nhiên có chữ số chia hết cho chữ số hàng đơn vị abcd1 Ta có abcd1= 10abcd +1= 3.abcd + 7.abcd +1 chia hết cho � 3.abcd+1 chia hết cho Đặt 3.abcd +1= 7h � abcd = 2h+ h- số nguyên h = 3t +1 7t 1000 ��� 7t 9999 Khi abcd =+����+�� 998 t 9997 t {143,144, ,1428} Suy số cách chọn t cho số abcd1 chia hết cho chữ số hàng đơn vị 1286 hay nói cách khác n( A) = 1286 Vậy xác suất cần tìm P = 1286 90000 Đáp án C Câu 30 Gọi S tập tất số tự nhiên có chữ số chia hết cho Chọn ngẫu nhiên số từ S , xác suất để chữ số đơi khác A 171 3125 B 198 3125 C 207 6250 D 396 6250 Lời giải Số có chữ số, chữ số sau có 10 cách chọn, cịn chữ số đầu phụ thuộc vào tổng chữ số sau nên có cách chọn �� � Khơng gian mẫu: n( W) = 10 Vì tổng chữ số từ đến 45 chia hết cho 9, nên muốn viết số có chữ số đơi khác chia hết cho ta cần bỏ chữ số chữ số từ đến cho tổng số chia hết cho Các ba số có tổng chia hết cho là: ( 0;1;8) , ( 0;2;7) , ( 0;3;6) , ( 0;4;5) , ( 1;2;6) , ( 1;3;5) , ( 1;8;9) , ( 2;3;4) , ( 2;7;9) , ( 3;6;9) , ( 3;7;8) , ( 4;5;9) , ( 4;6;8) , ( 5;6;7)  Trường hợp Bỏ số: ( 0;1;8) , ( 0;2;7) , ( 0;3;6) , ( 0;4;5) : có cách chọn Trong chữ số cịn lại khơng có chữ số 0, nên số lại viết được: 7! số Do trường hợp có 4.7! số  Trường hợp Bỏ số: ( 1;2;6) , ( 1;3;5) , ( 1;8;9) , ( 2;3;4) , ( 2;7;9) , ( 3;6;9) , ( 3;7;8) , ( 4;5;9) , ( 4;6;8) , ( 5;6;7) : có 10 cách chọn Với cách bỏ ba số đi, số lại viết được: 6.6! số Do trường hợp có 10.6.6! số Suy n( A) = 4.7!+10.6.6! Vậy xác suất cần tính P = 4.7!+10.6.6! 198 = 106 3125 Đáp án B E - BÀI TỐN VỀ NHĨM Câu 31 Một tổ học sinh lớp X có 12 học sinh số có An Bình Cơ giáo thực phân nhóm ngẫu nhiên thành nhóm, nhóm gồm thành viên để thực nhiệm vụ học tập Xác suất để An Bình nhóm A 3C10 C84C44 4 C12C8 C4 B 1- 4 3C10 C8 C4 4 C12C8 C4 C 4 3!C10 C8 C4 4 C12C8 C4 D 1- 4 3!C10 C8 C4 4 C12C8 C4 Lời giải Ta có 4 4 � n( W) = C12 C8C4 3C10 C8 C4 � �� � P = � 4 � C12C84C44 n( A ) = 3C10C8C4 � � Đáp án A Đầu tiên có cách chọn nhóm An Bình vào nhóm đó, sau chọn An Bình chọn thêm bạn nên có C102 cách Chọn bạn cho nhóm nên có C84 cách bạn cịn lại vào nhóm cuối nên có C44 cách Câu 32 Trong buổi sinh hoạt nhóm lớp, tổ có 12 học sinh gồm học sinh nữ có Hoa học sinh nam có Vinh Chia tổ thành nhóm, nhóm gồm học sinh phải có học sinh nữ Xác suất để Hoa Vinh nhóm A B C 32 D 25 32 Lời giải Không gian mẫu số cách chia 12 học sinh thành nhóm phải đảm bảo nhóm có học sinh nữ Giả sử ● Nhóm thứ có nữ nam, có C42.C82 cách ● Nhóm thứ hai có nữ nam, có C21.C63 ● Sau chia nhóm thứ thứ hai xong cịn lại nữ nam nên nhóm thứ ba có cách 2 Suy số phần tử không gian mẫu n( W) = C4 C8 C2.C6 = 6720 Gọi A biến cố '' Hoa Vinh nhóm '' Ta mơ tả khả thuận lợi cho biến cố A sau: ● Trường hợp thứ Hoa Vinh với bạn nam bạn nữ thành nhóm nên có C71.C31 cách Nhóm thứ hai có bạn nam bạn nữ nên có C63.C21 Cuối lại bạn nam bạn nữ nên có cách cho nhóm thứ ba Do trường hợp có C71.C31.C63.C21 = 840 cách ● Trường hợp thứ hai Hoa Vinh với bạn nam thành nhóm nên có C72 cách Nhóm thứ hai có bạn nam bạn nữ nên có C52.C32 Cuối lại bạn nam bạn nữ nên có cách cho nhóm thứ ba Do trường hợp có C72.C52.C32 = 630 cách ● Trường hợp thứ ba Hoa Vinh với bạn nam thành nhóm Nhóm thứ hai có bạn nam bạn nữ Suy nhóm thứ ba có bạn nam bạn nữ Trường hợp trùng với trường hợp thứ hai nên ta khơng tính Suy số phần tử biến cố A n( A) = 840+ 630 = 1470 Vậy xác suất cần tính P = 1470 = 6720 32 Đáp án C F - BÀI TỐN VỀ Mà ĐỀ THI Câu 33 Hai thí sinh A B tham gia buổi thi vấn đáp Cán hỏi thi đưa cho thí sinh câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, phong bì đựng câu hỏi; thí sinh chọn phong bì để xác định câu hỏi thi Biết 10 câu hỏi thi dành cho thí sinh nhau, xác suất để câu hỏi A chọn câu hỏi B chọn có câu hỏi giống A 24 B 17 24 C 19 40 D 21 40 Lời giải Không gian mẫu tập hợp gồm cặp hai câu hỏi, mà vị trí thứ cặp câu hỏi thí sinh A chọn vị trí thứ hai cặp câu hỏi thí sinh B chọn ● Thí sinh A có C103 cách chọn câu hỏi từ gồm 10 câu hỏi ● Thí sinh B có C103 cách chọn câu hỏi từ gồm 10 câu hỏi 3 Suy số phần tử không gian mẫu W= C10.C10 Gọi X biến cố '' câu hỏi A chọn câu hỏi B chọn có câu hỏi giống '' Để tìm số phần tử X , ta tìm số phần tử X sau ● Giả sử A chọn trước nên có C103 cách chọn câu hỏi từ gồm 10 câu hỏi ● Để B chọn khác A B phải chọn câu hỏi cịn lại từ 10 câu hỏi nên có C73 cách chọn 3 Suy số phần tử biến cố X WX = C10.C7 Vậy xác suất cần tính P ( X ) = WX W = W- WX W = 3 C10 C10 - C10 C10 17 = 3 C10.C10 24 Đáp án B Bài tập tương tự Với đề câu hỏi tính xác suất để câu hỏi A chọn câu hỏi B chọn có câu hỏi giống Đáp số: 21 40 Câu 34 An Bình tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia 2018, có mơn thi trắc nghiệm Vật lí Hóa học Đề thi mơn gồm mã khác mơn khác có mã khác Đề thi xếp phát cho thí sinh cách ngẫu nhiên Xác suất để mơn thi An Bình có chung mã đề thi A 18 B 13 18 C 36 D 31 36 Lời giải Ta có � n( W) = ( 6.6) ( 6.6) = 64 � �� �P = � � 18 n( A) = 2�( 6.6) ( 1.5) � � Đáp án A ● Mỗi người có cách chọn mã đề cho mơn nên n( W) = ( 6.6) ( 6.6) = ● Có trường hợp trùng mã đề (Vật lí Hóa học) Nếu An chọn đề trước An có 6.6 cách chọn Bình chọn đề sau mà để trùng với mã đề An mơn trùng có cách chọn (An chọn bắt buộc Bình chọn nấy) , mơn cịn lại Bình phải chọn khác An nên có cách chọn (chọn mã đề lại trừ mã đề An chọn ra) Vậy n( A) = 2�( 6.6) ( 1.5) Câu 35 An Bình tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia, ngồi thi ba mơn Văn, Tốn, Anh bắt buộc An Bình đăng ký thêm mơn tự chọn khác mơn: Hóa Học, Vật Lí, Sinh học hình thức trắc nghiệm Mỗi mơn tự chọn trắc nghiệm có mã đề thi khác mã đề thi môn khác khác Xác suất để An Bình có chung mơn thi tự chọn mã đề thi A B C 18 D 18 Lời giải Không gian mẫu số cách chọn mơn tự chọn số mã đề thi nhận An Bình ● An có C32 cách chọn mơn tự chọn, có C61.C61 mã đề thi nhận cho mơn tự chọn An ● Bình có C32 cách chọn mơn tự chọn, có C61.C61 mã đề thi nhận cho mơn tự chọn Bình Suy số phần tử không gian mẫu W= ( C32C61.C61 ) Gọi A biến cố '' An Bình có chung mơn thi tự chọn mã đề thi '' Để tính số kết thuận lợi cho A , ta mô tả cách chọn mơn tự chọn An Bình cách nhận mã đề thi thỏa mãn yêu cầu tốn ● Cách chọn mơn Giả sử An chọn trước mơn tự chọn mơn nên có C32 cách Để Bình chọn mơn tự chọn có mơn trùng với An nên Bình phải chọn mơn An chọn mơn cịn lại An khơng chọn, suy Bình có C21.C11 cách Do có C32.C21.C11 cách chọn mơn thỏa u cầu tốn ● Cách chọn mã đề Vì An chọn trước nên cách chọn mã đề An C61.C61 Để Bình có chung mã đề với An mơn Bình chọn, môn trùng với An phải chọn mã đề giống An nên có cách, mơn khơng trùng với An chọn tùy ý nên có C61 cách, suy số cách chọn mã đề Bình 1.C61 Do có C61.C61.1.C61 cách chọn mã đề thỏa yêu cầu toán 1 1 Suy số phần tử biến cố A WA = ( C3 C2.C1 ) ( C6.C6.1.C6 ) Vậy xác suất cần tính P= ( C32.C21.C11) ( C61.C61.1.C61) = ( C32C61.C61) Đáp án B G - BÀI TOÁN VỀ ĐỀ THI Câu 36 Một phiếu điều tra vấn đề tự học học sinh gồm 10 câu trắc nghiệm, câu có phương án trả lời Phiếu thu lại coi hợp lệ trả lời 10 câu, câu chọn đáp án Hỏi cần tối thiểu phiếu hợp lệ để số ln có phiếu trả lời giống hệt 10 câu hỏi ? A 41 B 10001 C 1048576 D 1048577 Lời giải Mỗi phiếu có phương án trả lời (hay nói cách khác phiếu có cách chọn đáp án) Do có 410 kết khác xảy phiếu hợp lệ 10 Vậy cần tối thiểu ( C41 ) +1= 1048577 phiếu hợp lệ để có hai phiếu trả lời giống hệt 10 câu Đáp án D Câu 37 Từ ngân hàng 20 câu hỏi, có câu hỏi khó Người ta xây dựng hai đề thi đề thi gồm 10 câu câu đề đánh số thứ tự từ Câu đến Câu 10 Hỏi có cách xây dựng hai đề thi mà đề thi gồm câu hỏi khó A 77220 B 77221 C 5080320 D ( 10!) C42C168 Lời giải ● Chọn câu hỏi khó câu câu hỏi dễ 16 câu cho đề thứ nhất, sau xếp 10 câu theo thứ tự từ Câu đến Câu 10 có C42.C168 10! cách ● 10 câu cịn lại lấy làm đề thứ hai xếp theo thứ tự từ Câu đến Câu 10 có 10! cách Suy số phần tử biến cố A WA = C42.C168 10!.10! = ( 10!) C42.C168 Đáp án D Câu 38 Đề cương ôn tập môn Lịch sử có 30 câu Đề thi hình thành cách chọn ngẫu nhiên 10 câu 30 câu đề cương Một học sinh học thuộc 25 câu đề cương, xác suất để đề thi có câu hỏi nằm 25 câu mà học sinh học thuộc A 323 1827 B 3553 7917 C 4346 7917 D 8075 23751 Lời giải Ta có 10 10 � n( W) = C30 C25 C5 +C25 3553 � �� � P = = � 10 10 � C 7917 n A = C C + C ( ) 30 � 25 25 � Đáp án B  câu thuộc - câu khơng thuộc: có C259 C51 khả 10  10 câu học thuộc hết: có C25 khả Câu 39 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia có mơn thi bắt buộc mơn Tốn Mơn thi thi hình thức trắc nghiệm với phương án trả lời A, B, C, D Mỗi câu trả lời cộng 0,2 điểm câu trả lời sai bị trừ 0,1 điểm Bạn Hoa học mơn Tốn nên chọn ngẫu nhiên 50 câu trả lời Xác xuất để bạn Hoa đạt điểm mơn Tốn kỳ thi 40 20 30 10 C5100 ( 3) C5200 ( 3) C5200 ( 3) C5400 ( 3) A B C D 50 50 50 50 4 Lời giải Gọi x số câu trả lời đúng, suy 50- x số câu trả lời sai Ta có số điểm Hoa 0,2.x - 0,1.( 50- x) = � x = 30 Do bạn Hoa trả lời 30 câu sai 20 câu Không gian mẫu số phương án trả lời 50 câu hỏi mà bạn Hoa chọn ngẫu nhiên Mỗi câu có phương 50 án trả lời nên có 450 khả Suy số phần tử không gian mẫu W= Gọi X biến cố '' Bạn Hoa trả lời 30 câu sai 20 câu '' Vì câu có phương án trả lời, 20 câu sai có phương án trả lời Vì có C5030.( 3) khả thuận lợi cho biến cố X Suy số phần 20 tử biến cố X WX = C5030.( 3) Vậy xác suất cần tính P = 30 C50 ( 3) 20 450 = 20 C50 ( 3) 450 20 Đáp án B Câu 40 Một thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu hỏi, câu có phương án trả lời Xác suất để học sinh làm thi câu hỏi A C10 40 B C10 10 C C10 32 10 D 109 262144 Lời giải Ta có � n( W) = 410 109 � �� �P = � 10 � 262144 n( A) = C10.( 3) +C10.3+C10 � � Đáp án B Mỗi câu có phương án trả lời, câu sai có phương án trả lời ● câu - câu sai: có C108 ( 3) khả thuận lợi ● câu - câu sai: có C109 khả thuận lợi ● 10 câu đúng: có C1010 khả thuận lợi Câu 41 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh A dự thi hai môn thi trắc nghiệm Vật lí Hóa học Đề thi mơn gồm 50 câu hỏi; câu hỏi có phương án lựa chọn; có phương án đúng, làm câu 0,2 điểm Mỗi mơn thi thí sinh A làm hết câu hỏi chắn 45 câu, câu cịn lại thí sinh A chọn ngẫu nhiên Xác suất để tổng điểm mơn thi thí sinh A khơng 19 điểm 5 5 5 10 C10 ( 3) 81922 C10 ( 3) C10 ( 3) +C10 A B C D 10 10 10 40 4 Lời giải điểm 10 câu trả lời ngẫu nhiên hai mơn Vậy lí Hóa câu Khơng gian mẫu số phương án trả lời 10 câu hỏi mà thí sinh A chọn ngẫu nhiên 10 Suy số phần tử không gian mẫu n( W) = Gọi X biến cố '' Thí sinh A làm câu 10 cho chọn ngẫu nhiên '' nên ta có trường hợp sau thuận lợi cho biến cố X Mỗi câu có phương án trả lời, câu sai có phương án trả lời ● câu - câu sai: có C105 ( 3) khả thuận lợi Thí sinh khơng 19 học phải A ● câu - câu sai: có C106 ( 3) khả thuận lợi ● câu - câu sai: có C107 ( 3) khả thuận lợi ● câu - câu sai: có C108 ( 3) khả thuận lợi ● câu - câu sai: có C109 khả thuận lợi ● 10 câu đúng: có C1010 khả thuận lợi Suy n( X ) = C105 ( 3) +C106 ( 3) +C107 ( 3) +C108 ( 3) +C109 3+C1010 = 81922 Vậy xác suất cần tính P = 81922 410 Cách Xác suất trả lời câu hỏi , trả lời sai Ta có trường hợp: 5 ���� � �.� �; ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu C105 � � �� � ���� 4� � 4� �� �� � � �.� �; ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu C106 � � � � � �� 4� �� 4� ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu 1� � ���� � C10 �.� � �; � � ���� 4� � 4� ���� � �.� �; ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu C108 � � �� � ���� 4� � 4� �� � � ; ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu C109 � � � �� 4� 10 �� � � ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 10 câu C1010 � � � �� 4� Cộng xác suất ta xác suất cần tính Câu 42 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh An dự thi mơn thi trắc nghiệm Tốn Đề thi gồm 50 câu hỏi; câu hỏi có phương án lựa chọn; có phương án đúng, làm câu 0,2 điểm Bạn An làm chắn 42 câu, câu lại có câu bạn loại trừ câu đáp án chắn sai Do khơng cịn đủ thời gian nên An bắt buộc phải khoanh bừa câu lại Xác suất bạn An 9,4 điểm A 55 1536 B 455 3456 C 379 13824 D 499 13824 Lời giải Ta quan tâm câu lại Trong câu lại chia làm loại:  Loại 1: gồm câu có đáp án A, B, C �� � 3 xác suất chọn đáp án , xác suất chọn đáp án  Loại 2: gồm câu có đáp án A, B, C, D �� � xác suất chọn đáp án , xác suất chọn đáp án Để bạn An đạt 9,4 điểm (tức cần thêm câu câu cịn lại) xảy khả sau �� 2� �� 1� Đúng câu loại & Đúng câu loại 3: �� ��C5 � � � xác suất � � � � � �� �� 3� 4� 2� �� 1� 1 �� � Đúng câu loại & Đúng câu loại 3: �� � xác suất C3 .� � ��C5 � � �� �� �� �� �� 4 ���� 3 � � Đúng câu loại & Đúng câu loại 3: �� � �C5 � �.� � � xác suất C3 � � � �� � � �� ���� 3� 4� � 4� �� �� �� 3 � � � Đúng câu loại & Đúng câu loại 3: �� ��C5 � �.� � � xác suất C3 � � � � � � � �� �� 3� 4� �� 4� Cộng xác suất lại ta xác suất cần tính P = 499 13824 Đáp án D H - BÀI TỐN VỀ CẶP ĐƠI Câu 43 Một trường THPT có 10 lớp 12 , lớp cử học sinh tham gia vẽ tranh cổ động Các lớp tiến hành bắt tay giao lưu với (các học sinh lớp không bắt tay với nhau) Tính số lần bắt tay học sinh với nhau, biết hai học sinh khác hai lớp khác bắt tay lần A 405 B 425 C 432 D 435 Lời giải Mỗi lớp cử học sinh nên 10 lớp cử 30 học sinh Suy số lần bắt tay C302 (bao gồm học sinh lớp bắt tay với nhau) Số lần bắt tay học sinh học lớp 10.C32 Vậy số lần bắt tay học sinh với thỏa mãn yêu cầu C302 - 10.C32 = 405 Đáp án A Bài tập tương tự Có tất cặp vợ chồng thực việc bắt tay lẫn (tất nhiên người không bắt tay vợ chồng mình) buổi gặp mặt, biết có tất có 40 bắt tay Đáp số: cặp vợ chồng Câu 44 Trong buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, có cặp vợ chồng Chọn ngẫu nhiên người để biểu diễn tiết mục văn nghệ Xác suất để người chọn khơng có cặp vợ chồng A 72 1140 B 89 95 C 20 D Lời giải Ta có � n( W) = C20 = 1140 � 72 89 � �� � P = 1= � 1 � 1140 95 n A = C4.C18 = 72 � �( ) Đáp án B Biến cố A người chọn ln có cặp vợ chồng ● Chọn cặp vợ chồng cặp vợ chồng, có C41 cách ● Chọn thêm người 18 người, có C181 cách Câu 45 Một chi đồn có 40 người, có cặp vợ chồng Ban chấp hành cần chọn người để bầu vào chức vụ: Bí thư, Phó bí thư 1, Phó bí thư Xác suất để người chọn khơng có cặp vợ chồng A 65 B 59 65 C 61 65 D 64 65 Lời giải Ta có � n( W) = A40 = 59280 � 912 64 � �� � P = 1= � 1 � 59280 65 n A = C C 3! = 912 � 38 �( ) Đáp án D Câu 46 Hai tổ chuyên môn trường trung học phổ thơng có giáo viên nam 13 giáo viên nữ có cặp vợ chồng Hỏi có cách chọn người số 22 người khơng có cặp vợ chồng ? A 24054 B 24072 C 24090 D 25704 Lời giải Ta có trường hợp sau  TH1: chọn người từ 18 người: có C185 cách  TH2: chọn người từ cặp vợ chồng người từ 18 người: có C41.C184 cách  TH3: chọn người từ cặp vợ chồng cho cặp người từ 18 người: có ( C42 - 2) C183 cách Vậy có C18 +C4.C18 +( C4 - 2) C18 = 24072 cách Đáp án B Cách Tính theo phần bù Tính số cách chọn người tùy ý - (cách chọn người có cặp vợ chồng + cách chọn người có cặp vợ chồng)  Số cách chọn người tùy ý: có C225 = 26334 cách  Số cách chọn người có cặp vợ chồng: Chọn cặp vợ chồng có cách chọn, chọn người cịn lại có hai khả Khả thứ nhất: người từ cặp vợ chồng lại người từ 18 người Khả thứ hai: người từ 18 người Do trường hợp có 2.( C2C18 +C18 ) cách  Số cách chọn có cặp vợ chồng: Chọn cặp vợ chồng có cách, chọn thêm người từ 18 người nên có 18 cách: có 1.18 = 18 cách 2.( C21C18 +C18 = 24072 cách ) +18� Vậy có C22 = 26334- � � � Câu 47 Có 20 cặp vợ chồng tham gia dự thi '' cặp đơi hồn hảo '' Trong giải lao, ban tổ chức chọn ngẫu nhiên người để tham gia văn nghệ Xác suất để người chọn khơng có cặp vợ chồng A 99 323 B 224 323 C 73 481 D 408 481 Lời giải Ta có � n( W) = C40 = 91390 � 408 � �� �P = � 4 � 481 n( A) = C20.( C2 ) = 77520 � � Đáp án D Số cách chọn cặp từ 20 cặp C204 Mỗi cặp chọn người, cặp có nên có ( C21 ) cách chọn K - BÀI TỐN VỀ XẾP VỊ TRÍ Câu 48 Có 12 người xếp thành hàng dọc (vị trí người hàng cố định) Chọn ngẫu nhiên người hàng Tính xác xuất để người chọn khơng có người đứng cạnh A 11 B 20 C 21 55 D 110 Lời giải Ta có � n( W) = C12 � �� �P = � � 11 n( A) = C10 � � Đáp án A Biến cố cần tính số cách đặt người vào 10 khoảng trống tảo người (cứ đặt đâu lấy đó) nên có C103 cách Bài tập tương tự Một nhóm gồm 12 học sinh có Hoa, Anh, Vinh Hỏi có cách xếp 12 bạn thành hàng ngang mà khơng có hai bạn ba bạn Hoa, Anh, Vinh đứng cạnh nhau? Đáp số: 11 Hướng dẫn Thực chất tốn Ta có n( W) = 12! n( A) = 9!.A10 Câu 49 Xếp 10 sách tham khảo khác gồm: sách Văn, sách tiếng Anh sách Tốn (trong có hai Tốn T1 Toán T2 ) thành hàng ngang giá sách Xác suất để sách tiếng Anh xếp hai sách Toán, đồng thời hai Tốn T1 Tốn T2 ln xếp cạnh A 120 B 210 C 300 D 450 Lời giải Ta có � n( W) = 10! � �� �P = � � 210 n A = 5!.2! A � �( ) Đáp án B  Xếp toán (coi T1 T2 khối) nên có 5!.2! cách Tạo khoảng trống Tốn (khơng kể hai đầu) T T T T T  Xếp sách tiếng Anh vào khoảng trống có A43 cách  Xếp Văn vào vị trí cịn lại (một khoảng trống mà tiếng Anh lại, với khoảng trống đầu Tốn) nên có cách Câu 50 Một tổ có học sinh gồm học sinh nữ có hai em Thảo, My học sinh nam Xác suất để xếp học sinh vào hàng dọc cho Thảo My đứng cạnh em nữ cịn lại khơng đứng cạnh khơng đứng cạnh Thảo My A B C 63 Lời giải Ta có � n( W) = 9! � �� �P = � � 63 n( A) = 5!.A6 2! � � Đáp án C  Xếp bạn nam trước (tạo khoảng trống kể hai đầu) : có 5! cách D 67  Coi Thảo My khối bạn nữ lại ta xếp vào chỗ trống nên có A63 cách Giữa Thảo My đổi chỗ cho nên có 2! cách Câu 51 Một tổ có 10 học sinh có bạn gồm An, Bình Cúc Hỏi có cách xếp 10 học sinh vào ghế dài có 10 chỗ trống cho An Bình ln ngồi cạnh An Cúc không ngồi cạnh A 2!.9!- 2!.8! B 2!.9!- 3.8! C 2!.9!- 3!.8! D 3.9!- 2.8! Lời giải ● Vì An Bình ln ngồi cạnh nên xem khối, người đổi chỗ cho nên có 2! cách Một khối (An Bình) với người cịn lại hốn đổi vị trí cho nên có 9! cách Nhưng đếm đếm ln trường hợp An Cúc ngồi cạnh ● Ta đếm xem có trường hợp An Cúc ngồi cạnh (dĩ nhiên An Bình ngồi cạnh nhau) Xem An, Bình Cúc khối để An ngồi cạnh Bình ngồi cạnh Cúc An phải ngồi Bình Cúc, Bình Cúc đổi chỗ cho nên có 2! cách Một khối (Bình, An, Cúc) với người cịn lại hốn đổi vị trí cho nên có 8! cách Vậy có 2!.9!- 2.8! cách thỏa mãn yêu cầu toán Đáp án A Câu 52 Sắp xếp 12 học sinh lớp 12A gồm có học sinh nam học sinh nữ vào bàn dài gồm có hai dãy ghế đối diện (mỗi dãy gồm có ghế) để thảo luận nhóm Tính xác suất để hai học sinh ngồi đối diện cạnh khác giới A 462 B 924 C 99920 D 665280 Lời giải Ta có � n( W) = 12! � �� �P = � � 462 n( A) = 2.6!.6! � Đáp án A Đánh số thứ tự ghế từ đến 12 12 11 10 Chọn số chẵn lẻ xếp bạn nam vào, sau xếp bạn nữ vào ghế cịn lại Câu 53 Có bi xanh, bi đỏ, bi trắng bi vàng (các viên bi màu giống nhau) Hỏi có cách xếp 12 viên bị thành hàng ngang cho bi màu không cạnh nhau? A 22 B 55 C 28512 D 35640 Lời giải Ta có � 12! � n( W) = � 3!.3!.3!.3! �� �P = � � 55 � n( A) = 1.C43.C73.C10 - 2.C63.C93 � � Đáp án B  Xếp bi xanh trước: có cách (tạo khoảng trống kể hai đầu) Tiếp theo xếp bi đỏ vào khoảng trống: có C43 cách Bây có tất viên bi (gồm bi xanh bi đỏ) tạo nên khoảng trống, tiếp tục xếp bi trắng vào khoảng trống: có C73 cách Thời điểm có tất viên bi (gồm bi xanh, bi đỏ bi trắng) , tiếp tục xếp bi vàng vào 10 khoảng trống: có C103 cách Vậy có 1.C43.C73.C103 cách  Tuy nhiên xếp bi xanh xong, xếp bi đỏ vào khoảng trống trình bày có trường hợp mà bi xanh cạnh Đ X X Đ X Đ Đ X Đ X X Đ Ứng với trường hợp kéo theo việc xếp bi trắng không thỏa mãn C63 việc xếp bi vàng không thỏa mãn C103 Vậy số trường hợp không thỏa mãn (cần phải trừ ra) 2.C63.C93 cách Câu 54 Có viên bi gồm bi xanh, bi đỏ, bi vàng (các viên bi bán kính khác nhau) Tính xác suất để xếp bi thành hàng ngang khơng có hai viên bi màu đứng cạnh A B 15 C 15 D 15 Lời giải Ta có � n( W) = 6! � �� �P = � � n( A) = 240 � Đáp án A  Trường hợp Có cặp cạnh nhau: có 3!.2!.2!.2!= 48 cách  Trường hợp Có cặp cạnh  Khả thứ nhất: Cặp xanh cạnh cặp đỏ Ta xem cặp xanh vị trí, cặp đỏ vị trí với viên bi vàng nên có 4! cách xếp Hai viên bi cặp bi xanh đổi vị trí nên có 2! cách, hai viên bi cặp bi đỏ đổi vị trí nên có 2! cách Nhưng ta đếm thừa trường hợp cặp bi cạnh Do khả thứ có 4!.2!.2!- 48 = 48 cách  Khả thứ hai: Cặp xanh cạnh cặp vàng có 48 cách  Khả thứ ba: Cặp đỏ cạnh cặp vàng có 48 cách Vậy trường hợp có 48+ 48+ 48 = 144 cách  Trường hợp Có cặp cạnh  Khả thứ nhất: Chỉ có viên bi xanh cạnh Ta xem cặp xanh vị trí, với viên bi đỏ viên bi vàng nên có 5! cách xếp Hai viên bi cặp bi xanh đổi vị trí nên có 2! cách Nhưng ta đếm thừa trường hợp cặp bi cạnh (cặp xanh cạnh cặp đỏ & cặp xanh cạnh cặp vàng) trường hợp cặp bi cạnh Do khả thứ có 5!.2!- ( 2.48) - 48 = 96 cách  Khả thứ hai: Chỉ có viên bi đỏ cạnh có 96 cách  Khả thứ ba: Chỉ có viên bi vàng cạnh có 96 cách Vậy trường hợp có 96+ 96+ 96 = 288 cách �� � số cách xếp bi thỏa mãn toán 6!- 48- 144- 288 = 240 cách Nhận xét Bài ta khơng thể làm trước viên bi khác Câu 55 Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm học sinh nam (trong có Hồng) học sinh nữ (trong có Lan) thành hàng ngang Xác suất để 10 học sinh khơng có hai học sinh giới đứng cạnh nhau, đồng thời Hồng Lan khơng đứng cạnh A 350 B 450 C 1575 D 1575 Lời giải Ta có � n( W) = 10! � �� �P = � � 1575 n( A) = 18432 � Đáp án D 10 Chọn vị trí chẵn lẻ để xếp nam: có cách Ta xét trường hợp nam vị trí chẵn (tương tự cho vị trí lẻ)  Khả 1: Hồng đứng ngồi cùng: có cách Xếp Lan khơng cạnh Hồng: có cách Đổi vị trí nam: có 4! cách; Đổi vị trí nữ: 4! cách Do trường hợp có 2.1.4.4!.4! = 4608 cách  Khả 2: Hồng khơng đứng ngồi cùng: có cách Xếp Lan khơng cạnh Hồng (bỏ vị trí cạnh Hồng) : có cách Đổi vị trí nam: có 4! cách; Đổi vị trí nữ: 4! cách Do trường hợp có 2.4.3.4!.4! = 13824 cách Câu 56 Có học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C xếp thành hàng ngang cho hai học sinh lớp A khơng có học sinh lớpB Hỏi có cách xếp hàng ? D 80640 B 108864 C 145152 D 322560 Lời giải Gọi k số học sinh lớp C hai học sinh lớp A với k = 0;1;2;3;4 .C 14424 43A Trước tiên ta đếm cách tạo thành cụm ACC k  Chọn học sinh lớp A xếp đầu có 2! cách Chọn k học sinh lớp C xếp vào hai học sinh lớp A C 14424 43A có A4k cách Do có 2!.A4k cách tạo cụm ACC k C 14424 43A vị trí với 9- ( k + 2) học sinh cịn lại thành 8- k vị trí Xếp hàng cho  Coi cụm ACC k vị trí có ( 8- k) ! cách Vậy với k có 2!.A4k.( 8- k) ! cách xếp hàng �� � số cách xếp hàng thỏa mãn đề là: �2!.A ( 8k k) ! = 145152 k=0 cách Đáp án C Câu 57 Có viên bi xanh, viên bi vàng viên bi đỏ (các viên bi có bán kính khác nhau) Hỏi có cách xếp viên bi thành hàng ngang cho viên bi màu không xếp cạnh ? A 72 B 120 C 196 D 432 Lời giải Ta đánh số thứ tự ô cần xếp bi I II III IV V VI ● Trường hợp thứ Bi màu đỏ vị trí I, III, V nên có 3! cách Bi màu vàng màu xanh vị trí cịn lại II, IV, VI nên có 3! cách Do tường hợp có 3!.3! = 36 cách ● Trường hợp thứ hai (như trường hợp thứ nhất) Bi màu đỏ vị trí II, IV, VI nên có 3! cách Bi màu vàng màu xanh vị trí cịn lại I, III, V nên có 3! cách Do tường hợp có 3!.3! = 36 cách ● Trường hợp thứ ba Bi màu đỏ vị trí I, III, VI nên có 3! cách Bi màu vàng màu xanh tùy ý vị trí cịn lại có 3! cách có vị trí II ( x) - IV ( v) - V ( v) không thỏa mãn Do tường hợp có 3!.( 3!- 2) = 24 cách ● Trường hợp thứ tư (như trường hợp thứ ba) Bi màu đỏ vị trí I, IV, VI nên có 3! cách Bi màu vàng màu xanh tùy ý vị trí cịn lại có 3! cách có vị trí II ( v) - III ( v) - V ( x) khơng thỏa mãn Do tường hợp có 3!.( 3!- 2) = 24 cách Vậy có tất 36+ 24+ 36+ 24 = 120 cách thỏa mãn toán Đáp án B Bài tập tương tự: Cũng câu hỏi bi màu giống Đáp số: 10 cách Câu 58 Một nhóm gồm 11 học sinh có bạn An, Bình, Cúc xếp ngẫu nhiên vào bàn trịn Xác suất để bạn An, Bình, Cúc khơng có bạn xếp cạnh A 10 B 15 C 15 D 11 15 Lời giải Ta có � n( W) = ( 11- 1) ! = 10! � �� �P = � � 15 n( A) = 7!.A8 � � Đáp án C Xếp ghế quanh bàn tròn xếp bạn vào (11 bạn trừ An, Bình, Cúc) : có ( 8- 1) ! = 7! cách bạn sinh khoảng trống, xếp bạn (An, Bình, Cúc) vào khoảng trống nên có A83 cách Câu 59 Có học sinh nam, học sinh nữ thầy giáo xếp ngẫu nhiên vào bàn tròn Xác suất để thầy giáo xếp hai học sinh nữ A 39 B 39 C 14 39 D 25 39 Lời giải Ta có � n( W) = ( 14- 1) ! = 13! 14 � �� �P = � � 39 n( A) = C8 2!.11! � � Đáp án C Bước Ta cố định thầy giáo Bước Chọn lấy học sinh nữ để xếp cạnh thầy giáo có C82 cách Bước Xếp học sinh nữ vừa chọn cạnh thầy giáo có 2! cách Bước Cuối xếp 11 người lại vào 11 vị trí cịn lại có 11! cách Câu 60 Có cặp vợ chồng cần xếp ngồi vào bàn trịn Tính số cách xếp cho có vợ chồng nhà A ngồi cạnh cịn cặp vợ chồng khác hai người vợ chồng khơng ngồi cạnh A 240 B 244 C 288 D 480 Lời giải  Có cách xếp cho vợ chồng A ngồi vào bàn trịn (giả sử ơng chồng ngồi cố định, cịn bà vợ có cách xếp)  Ta lại xếp cặp vợ chồng khác vào bàn tròn, cặp vợ chồng đổi chỗ cho nên có 2! cách  Bây có tất khe trống (vì cặp vợ chồng A khơng cho ngồi giữa) Ta xếp cặp vợ chồng khác vào khe nên có A32 = cách  Bây có tất khe trống Ta xếp cặp vợ chồng lại vào khe nên có A52 = 20 cách Vậy có 2�2�6�20 = 480 cách Đáp án D ... +C109 3+C1010 = 81922 Vậy xác suất cần tính P = 81922 410 Cách Xác suất trả lời câu hỏi , trả lời sai Ta có trường hợp: 5 ���� � �.� �; ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu C105 � � �� � ����... � ���� 4� � 4� �� � � ; ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 câu C109 � � � �� 4� 10 �� � � ● Xác suất thí sinh A trả lời 10 10 câu C1010 � � � �� 4� Cộng xác suất ta xác suất cần tính Câu 42 Trong... có đỉnh, số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác khơng có cạnh chung với đa giác �� � có C83 - 8- 8.4 = 16 khả  Có bạn đứng khơng có bạn bạn đứng cạnh Bài toán quy cho đa giác có đỉnh, số tứ giác có