Chủ đề 2 logarit mức độ vận dụng cao file word có lời giải

CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA – MŨ – LOGARIT MỨC ĐỘ VẬN DỤNG CAO Câu (Liên trường Quỳnh Lưu - Hoàng Mai - Nghệ An - 2021) Cho số thực không âm a, b, c thoả mãn 2a  4b  8c 4 Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức S a  2b  3c Giá trị biểu thức M  log M m 2809 4096 281 14 A B C D 500 729 50 25 Lời giải Chọn B Đặt a log x, 2b log y,3c log z Ta có S a  2b  3c log x  log y  log z log  xyz  Mà 2a  4b  8c 4  x  y  z 4 3  4  4  4 Suy  x  y  z 3 xyz  xyz    S log  xyz  log   3log    3  3  3  4 Do M max S 3log   x  y z   3  4 Mặt khác, ta có  x  1  y  1 0  xy x  y  3  z  xyz z   z  2 (vì z   1;  )  3 Suy S 1 , m min S 1 x z 1, y 2 M Vậy  log M m 4 Câu  4 3log    3  log2  43     4096  log             3 3log   729  3   (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Biết x, y số thực dương x log y x  log y cho số u1 8 , u2 2 , u3 5 y theo thứ tự lập thành cấp số cộng cấp số nhân Khi đó, tích x y có giá trị bằng: A 10 B C Lời giải D Chọn D  Điều kiện: y  ;  x  log y   8 x log y  y  1  2.2 Theo đề bài, ta có:  2 x  log y  8 x log2 y.5 y  2 8  x log y  5y   log x log y 2 8 x log2 y.5 y   x log2 y  y  0  xlog2 y 5 y (2)  log 5y   x  log y  log log  log y  x  3log y log  log y  x  log y log 5  3 y2 Thay   vào  1 ta được:  x log 2.2 x  log y  5 y  y  2 x  log y  5 y  x  log y log y  x log y   Từ  3    log 5 1 3.log y   y   y   y  y y 25 Trang 2      x log   log  x y 2log2    1  5  5 Câu (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên hình vẽ x x Bất phương trình f  e   m(3e  2019) nghiệm với x  (0;1) A m   1011 B m  1011 C m  f (e ) 3e  2019 D m  f (e) 3e  2019 Lời giải Chọn C  Đầu tiên, ta nhận thấy hàm số y e x đồng biến  hàm số f ( x) hàm số f (e x ) có tính chất giống nên từ bảng biến thiên cho ta suy tính chất hàm số f (e x ) x x Xét bất phương trình f  e   m(3e  2019) (*) Đặt t e x  , với x  (0;1)  t  (1; e) f (t ) (1) Ta bất phương trình f  t   m(3t  2019)  m  (3t  2019) f (t ) f (t )(3t  2019)  f (t ) Xét hàm số g (t )  t  (1; e) , ta có g ( x)  (3t  2019) (3t  2019) Do hàm số f ( x) hàm số f (e x ) có tính chất giống nên khoảng xét f (t )  f (t )  với t  (1; e)  g (t )  với t  (1; e) f (t ) Như ta có bảng biến thiên hàm số g (t )  với t  (1; e) sau: (3t  2019) x x Suy ra, Bất phương trình f  e   m(3e  2019) nghiệm với x  (0;1) (1) với t  (1; e)  m max g (t )  m  g (e)  m   1;e Câu (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Cho a, b hai số thực thay đổi thỏa mãn 2  a  b 2 , biết giá trị nhỏ biểu thức P 2.log a b  4b   log b a m  3 n với  m, n số nguyên dương Tính S m  n Trang f ( e) 3e  2019  a A S 9 B S 18 C S 54 Lời giải D S 15 Chọn D Ta có b  4b  b   b  1  b   0 (điều  b 2 ) 2     1 Nên P 2.log a b    6 log a b     log a b    log a b   Đặt t log a b Với  a  b 2 t    Đặt f  t  6t    với t  P  f  t  , t   t  1 3  t  1  1     6  2 Ta có f  t  6    3  t     t  1   t  1  t  1 f  t  0  t 1          Ta có f    6   6  3     3    33   Vậy m 6, n 9  m  n 15 Câu (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Có số nguyên y    20; 20  thỏa mãn  log  3x  1 log A  yx  x  y  với x   ? C 10 Lời giải B 11 Chọn C Ta có:  log  3x 1 log  yx D  x  y   1 với x   y  2  y ĐKXĐ: yx  x  y  0, x     2   ' 9  y   1  log   3x 1  log  yx 3  6x  y    x  1  yx  x  y   y   x  x  y  0, x    a 0  bx  c 0    a     ' 0   y 9  y  21  33   x  15 0 x   Loai    y   y 9  y  21y  18 0     9   y    y  3 0  Trang  y    20; 20   y   y   10;11; ;18;19 Do  y  2    y  21  33  Vậy có 10 số nguyên y thỏa yêu cầu tốn Câu (Chun Lam Sơn - Thanh Hóa - 2021) Cho hình vng ABCD có đỉnh A, B, C tương ứng nằm đồ thị hàm số y log a x, y 2 log a x, y 3log a x Biết diện tích hình vng 36, cạnh AB song song với trục hồnh Khi a A B C D Lời giải Chọn B  Từ giả thiết cho, ta có đỉnh A, B, C hình vng ABCD nằm đồ thị y log a x, y 2 log a x, y 3log a x  Do AB / / Ox, AB  BC nên suy CB / / Oy   AB  a x2  a x1 ; x2  x1   x x x Giả sử A(a ; x1 ), B (a ; x2 ), C (a ;3x3 ) ta có:   x x  BC  a  a ;3 x3  x2   2 x2  x1 0 CB / / Oy  x2  x1 2 x3 2k  Do  nên  x3 x2  AB / /Ox a  a 0  AB (a k  a k ) 2k k k Khi A(a ; 2k ), B(a ; 2k ), C (a ;3k )   2  BC k  Mà diện tích hình vuông ABCD 36 nên   a k  a k  k 2k  AB (a  a ) 36   k S ABCD  AB BC 36      a  a k 6   BC k 36  k 6, k    a  a12   a 3     a  a12 6    a 6  a   k 6 Câu  ab a b  ab   (Chuyên KHTN - 2021) Cho a, b số thực dương thỏa mãn Giá trị nhỏ a b biểu thức a  b là: A   5 B 51 C Lời giải Chọn D  ab a b  ab     1 Điều kiện ab  a b   ab   log  2a b 2 ab   log    a b   a  b  2ab  log   ab   log  a  b    a  b   log  a  b  1  log   ab     2ab    a  b   log  a  b    2ab   log   2ab  Trang   a k  a k     a k  a k 6  k 6  2 D   Xét hàm số đặt trưng f  t  t  log t với t  , ta có: f  t  1  , t  nên hàm số f  t  đồng biến  0;   t ln    f  a  b   f   2ab   a  b 2  2ab  Để có a, b thỏa u cầu tốn thì: (a  b)  4ab 0   0  ab  (2  2ab)  4ab 0   0  ab  2 3 a b  3ab  0   ab   0  ab   Ta có: P a  b ( a  b)  2ab (2  2ab)  2ab 4a 2b  10ab   Bằng biến thiên  Từ bảng biến thiên ta có P 3  Câu (Chuyên Hồng Văn Thụ - Hịa Bình - 2021) Cho hai số thực x, y thỏa mãn y e x  e y  ln x  y  2, ( x  0) Giá trị lớn biểu thức P  bằng: x 1 A e B C  D  e e e Lời giải Chọn A y 2 y y  e x  e y  ln x  y  ⇔ e x  e  ln  e x   y ⇔ e x  ln  e x  e  ln  e  Xét hàm số: f  t  t  ln  t  với t  ; f  t  1   với t  t 2 y y ⇒ f  t  đồng biến với t  ⇒ e x  ln  e x  e  ln  e  ⇔ e x e y ⇔ x  ey e2 y y e2 y P  y  y  x e e e 2 y y e y P  e e  e y.e  e   y  Khảo sát hàm số: P  y ; ; P 0 ⇔ y 1 ey e  ey  BBT:  y 1  Vậy: max P e ; khi:   x  e Trang Câu (Chuyên Quốc Học Huế - 2021) Gọi S tập hợp cặp số thực  x, y  thỏa mãn đẳng thức sau 22 x  y 1  2 x  y 1  32 x  y 1  3 x  y 1 52 x  y 1  5 x  y 1 Biết giá trị nhỏ biểu P  y  2021x  với  x, y   S đạt  x0 , y0  Khẳng định sau đúng? A x 0   300;  200  B x 0   200;  100  C x 0   100;0  D x 0  0;100  Lời giải Chọn D Đặt a 2 x  y Khi 22 x  y 1  2 x  y 1  32 x  y 1  3 x  y 1 52 x  y 1  5 x  y 1   2a  2 a    3a  3 a  5  5a  5 a    1 1     2a  a    a  a  5  5a  a   1       a a a a 2 3 Đặt sin   a  a ; cos   a  a 5 5 2sin   3cos  5  1   2a  2 a  3a  3 a sin   cos    2  5a   a  a a a  3  3  5  5 2a  3a 2 a  3 a             2  2 2 2   a   a     sin   cos  2 a a a a 5 5 5 a a a a  5  5   5  5           4 2  2 2  2 4    a    a  a  a  2 a a a a   5  5  2 2 2a.2  a a 5 a  5   2          2  2  2  2  2sin   3cos  5    sin  cos  1  a 0 sin   cos  2  y 2 x a  x3  x Câu 10 (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - 2021) Cho phương trình  log x  log  e  m 0 4  Gọi S tập hợp giá trị m nguyên với m    10;10  để phương trình có hai nghiệm Tổng giá trị phần tử S A  28 B  Chọn A  x3  x  Ta có:  log x  log  e  m 0 4  x 0 Điều kiện:  x m e  x3  log x  log 0  x  e  m 0  log 22 x  3log x  0  x  e m Trang C  27 Lời giải D  12  log x 1  x 2     log x 2   x 4  e x m  e x m   Ta có: + Trường hợp 1: m 0 Khi phương trình e x m vơ nghiệm + Trường hợp 2: m    x 2   x  x  x 4 log x  log e  m      4    x ln m  x ln m  ln  m   Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:   e m  e  ln m 0 x Ngồi m 1 e 1  x 0  l  Nên m 1,8;9;10 Vậy m    10;  9;  8;  7;  6;  5;  4;  3;  2;  1;1;8;9;10   m   28 Chọn A Câu 11 (Chuyên Quang Trung - Bình Phước - 2021) Số giá trị m nguyên, m    20; 20 , cho log 0,3 x m  16 log 0,3 x  m x 0,3;1 16 A C 20 Lời giải B D 40 Chọn B  Đặt t log 0,3 x m log 0,3 x  16  x  0  Đặt f  x   log 0,3 x  m mt  16 đoạn  0;1 t m m  16  f t    Từ ,  t  m  Khi đó: Xét f  t   16 m  16 f    , f  1  (Điều kiện m 0,  ) m m 1  Trường hợp 1: m    20;  4  f  t   m  16  t  m  0, t   0;1 Nên hàm số đồng biến khoảng  0;1 Suy ra, f    f  t   f  1  nên f    f  t   f  1  , t   0;1 f  t   f  1  Nên max t 0;1   m  16 m  16   f  t   f  1   m  1 t  0;1   m 1 m 1  m 0  l  m  16 16   Mà  m   32  l  m 1  17  Trường hợp 2: m    4;0  f  t   m  16  t  m  0, t   0;1 Trang Nên hàm số nghịch biến đoạn  0;1 Suy ra,  f    f  t   f  1 nên f  1  f  t   f    , t   0;1 f  x   f    f  x   f    16  m 0  Nên max x 0;1 x 0;1 m Mà 16 16  m  m 1 l    m  1 l   Trường hợp 3: m   0; 4  f  t   m  16  0, t   0;1  t  m Nên hàm số nghịch biến khoảng  0;1 Suy ra, f    f  t   f  1  nên f  1  f  t   f    , t   0;1 f  t   f  1  f  t   f  1  m  16  m  1 Nên xmin  0;1 x 0;1 m 1  m 0  n  m  16 16   Mà  m   32  l  m 1  17  Trường hợp 4: m   4; 20  f  t   m  16  t  m Nên hàm số đồng biến khoảng  0;1 Suy ra,  f    f  t   f  1 nên  f    0, t   0;1  f  t   f  1 , t   0;1 f  t   f    f  t   f    16  m 0  Nên xmin  0;1 x 0;1 m  m 1 l    m  1 l  Vậy tổng hợp trường hợp: m 1 thỏa ycbt Chọn B Mà 16 16  m x Câu 12 (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội- 2021) Cho phương trình ln  x  m   e  m 0 , với m tham số thực Có giá trị nguyên m    2021; 2021 để phương trình cho có nghiệm? A 2022 B 4042 C 2019 D 2021 Lời giải Chọn D Điều kiện: x  m   x  m et t Đặt t ln  x  m   x  m e , ta có hệ phương trình sau:  x t  m e t x x t Suy x  t e  e  e  x e  t  * x x Xét hàm số f  x  e  x , có f  x  e   0, x    f  x  đồng biến khoảng   ;   Ta thấy  * có dạng f  x   f  t   x t Khi ta có phương trình x  m e x  m e x  x x x x Xét hàm số g  x  e  x , có g  x  e  1; g  x  0  e 1  x 0 Bảng biến thiên Trang Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình cho có nghiệm m 1 m    2021; 2021  Mà  nên ta có m   1; 2; ; 2020; 2021 Tức có 2021 số nguyên m thỏa mãn  m   đề Câu 13 (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Cho số thực x , y thỏa mãn  16.4 x  2y    16 x  2y  y  x2 2 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ 10 x  y  26 biểu thức P  Tính T  M  m 2x  y  19 21 A T 15 B T  C T  2 Lời giải Chọn B  16.4 x  2y Đặt t  x     16 x  2y  D T 10 y  x2 2  1 y , phương trình  1 trở thành:  16.4t   16t  2 t  5.7t  16.28t 49   16t    7t  49   16.28t  49.16t 0   t      7t    42t 2        0  t 2       Khi đó: x  y 2  y  x  , vào biểu thức P ta được: 10 x   x    26 x  10 x  20 P   f  x x  x2   x  2x  f  x    x  22 x  10 x  x  3  x  ; f  x  0   x  22 x  10 0    x   2 Bảng biến thiên Trang Dựa vào BBT ta có: M 7; m  Vậy T  M  m 7  5 19  2 Câu 14 (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2021) Có cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  xy  y   x  1  e2 xy  e4 x y 7   x   y   y   e y A B C Lời giải D Chọn C xy x  y 7 Ta có:  xy  y   x  1  e  e   x   y   y   e y   x    xy  y   e xy  y  e x 7  2 x   y   y  (vì e y  y )   x    xy  y   e xy  y  e x 7   x     xy  y    x     xy  y  e xy  y  1  xy  y    x   e x 7  1   xy  y  e2 xy  y   x   e4 x7  xy  y  e xy  y  4x  với x  ; x  ; y 0 1 e x 7  xy  y 4x  t Xét f  t  e   f  t  et   t 0  t  t 0 t2  f  t  đồng biến khoảng xác định  f  xy  y   f  x    TH1:  xy  y   x    Giả sử xy  y  x   Do x, y   nên xy  y  x  1   f  xy  y   f   1 1   e   Do đó, f  xy  y   f  x    f  x    f  1 e     TH2:  xy  y   x    f  xy  y   f  x    xy  y 4 x   y 4x  2  2x  2x  Theo bài, y   nên x    1; 3; 9  x    4;  1;0;1; 2;5 Câu 15 (Chuyên ĐHSP Hà Nội - 2021) Cho a , b , c ba số thực dương đơi phân biệt Có  a; b; c  thỏa mãn: a b 2 b a 2 ; b c 2 c b 2 ; c a 2 a c 2 A B C D Trang 10