Dạng toán 31 biểu diễn hình học của số phức

DẠNG TỐN 31: BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC KIẾN THỨC CẦN NHỚ:  Điểm biểu diễn số phức: a , b   M  a ; b Số phức z a  bi ,  biểu diễn điểm BÀI TẬP MẪU Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức A P   3;  B Q  5;  z   2i  điểm đây? C N  4;  3 D M  4;5  Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn xác định điểm biểu diễn số phức Phương pháp Đưa số phức z dạng z a  bi a , b   M  a ; b Số phức z a  bi ,  biểu diễn điểm HƯỚNG GIẢI: B1: Tính z   2i  đưa dạng z  x  yi B2: Tìm điểm biểu diễn số phức z Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn A Ta có: z   2i  1  4i  4i   4i  3;  Vậy điểm biểu diễn số phức z   4i có tọa độ  Bài tập tương tự phát triển: Câu 31.1: Điểm M hình vẽ biểu thị cho số phức A  3i B  2i C  2i D   3i Trang1 Lời giải Chọn D Hoành độ, tung độ điểm M tương ứng phần thực, phần ảo số phức từ hình vẽ suy z   3i Câu 31.2: Cho số phức z 1  2i Điểm điểm biểu diễn số phức w  z  iz mặt phẳng toạ độ? A P   3;3 B M  3;3 C Q  3;  D N  2;3 Lời giải Chọn B w  z  iz 1  2i  i   2i  3  3i M 3;3 Vậy điểm biểu diễn số phức w  z  iz    z z Câu 31.3: Giả sử A, B theo thứ tự điểm biểu diễn số phức , Khi độ dài AB A z1  z2 B z2  z1 C z2  z1 D z1  z2 Lời giải Chọn C Giả sử z1 a  bi , z2 c  di ,  a, b, c, d    Theo đề ta có: A  a; b  B  c; d   AB   c  a    d  b  , z2  z1  a  c    d  b  i  z2  z1   c  a    d  b   Vậy AB  z2  z1 Câu 31.4: Cho số phức z1   i, z2 2  3i, z3 5  i, z4 2  i có điểm biểu diễn mặt phẳng phức M , N , P, Q Hỏi tứ giác MNPQ hình gì? A Tứ giác MNPQ hình thoi B Tứ giác MNPQ hình vng C Tứ giác MNPQ hình bình hành D Tứ giác MNPQ hình chữ nhật Lời giải Chọn A Từ giả thiết ta có tọa độ điểm : M   1;1 , N  2;3 , P  5;1 , Q  2;  1 Trang2  Ta có    MN  3;  , QP  3;  , MP  6;0  , NQ  0;     QP  MN   MP  NQ Vậy  nên tứ giác MNPQ hình thoi Câu 31.5: Cho số phức z m   m  3 i , m   Tìm m để điểm biểu diễn số phức z nằm đường phân giác góc phần tư thứ hai thứ tư A m 0 B m C m D m Lời giải Chọn D Ta có z m   m  3 i  M  m; m  3  d : y  x  m 3  m  m  1 i z  z Trong khẳng Câu 31.6: Gọi M , M  theo thứ tự điểm biểu diễn số phức z 0 định sau, khẳng định đúng? A OMM  tam giác B OMM  tam giác tù C OMM  tam giác vuông cân D OMM  tam giác nhọn Lời giải Chọn C Gọi M  a; b  điểm biểu diễn số phức z 1 i 1 1 a b a b z  M   ;    a  bi   a  b   a  b  i 2 2  có điểm biểu diễn 2  2 2 Ta có Suy : OM  a  b2 ; OM   a  b2 a  b2 ; MM   2 2 Ta có OM   MM  OM nên OMM  tam giác vuông cân Câu 31.7: Cho A , B , C điểm biểu diễn số phức  3i ;   2i  i ; i Tìm số phức có điểm biểu diễn D cho ABCD hình bình hành A z   3i B z   4i C z 4  2i D z 8  5i Lời giải Chọn D Trang3 A 6;  3   2i  i   i B  2;1 Ta có:  3i nên tọa độ  ; nên tọa độ   i C 0;  1 i nên tọa độ   x  2  x 8    y  Để ABCD hình bình hành: AD BC nên  y     Vậy D có điểm biểu diễn số phức z 8  5i z  z  z3 Câu 31.8: Cho điểm A , B , C biểu diễn cho số phức z1 , z2 , z3 Biết z1  z2 0 Khi tam giác ABC tam giác gì? A Tam giác ABC B Tam giác ABC vuông C C Tam giác ABC cân C D Tam giác ABC vuông cân C Lời giải Chọn B Vì z1  z2 0 nên z1 , z2 hai số phức đối nhau, hai điểm A, B đối xứng qua gốc O ( tức O trung điểm đoạn thẳng AB ) Lại có z1  z2  z3  OA OB OC  CO  AB Vậy ABC có độ dài đường trung tuyến nửa cạnh huyền nên vuông C z   i  z   2i Câu 31.9: Cho số phức z thỏa mãn Tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ đường thẳng Phương trình đường thẳng A x  y  0 B x  y  0 C x  y  0 D x  y  0 Lời giải Chọn A Gọi z x  yi Ta có z   i  z   2i   x  1 2   y  1   x  1   y  2  x  y  0 Trang4 z  2i   z  i Trong mặt phẳng phức Oxy , số phức z thỏa mãn Tìm số phức z Câu 31.10: A 1,3 biểu diễn điểm M cho MA ngắn với   A  i B  3i C  3i D   3i Lời giải Chọn A Gọi M  x, y  điểm biểu diễn số phức z x  yi  x, y  R  Gọi E  1,   điểm biểu diễn số phức  2i Gọi F  0,  1 điểm biểu diễn số phức  i z  2i   z  i  ME MF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung Ta có: trục EF : x  y  0  M  3,1  z 3  i Để MA ngắn MA  EF M Trong mặt phẳng phức Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn Câu 31.11:   z2  z 2 z 16 hai đường thẳng d1 , d Khoảng cách đường thẳng d1 , d bao nhiêu? A d  d1 , d  4 B d  d1 , d  1 C d  d1 , d  6 D d  d1 , d  2 Lời giải Chọn A Gọi M  x, y  Ta có: điểm biểu diễn số phức   z2  z 2 z z x  yi  x, y  R  16  x  xyi  y  x  xyi  y  x  y 16  x 16  x 2  d  d1 , d  4 Ở lưu ý hai đường thẳng x = x = -2 song song với Câu 31.12: Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z   5i 6 đường trịn có tâm bán kính là: A I (2;  5), R 6 B I ( 2;5), R 36 C I (2;  5), R 36 D I ( 2;5), R 6 Trang5 Lời giải Chọn D Giả sử z x  yi; x, y  ; i  Khi đó: z   5i 6  x   ( y  5)i 6  ( x  2)  ( y  5) 6  ( x  2)  ( y  5) 36 Đường trịn có tâm I ( 2;5), R 6 Câu 31.13: Cho số phức z thỏa mãn iz     i  2 Trong mặt phẳng phức, quỹ tích điểm biểu diễn số phức z hình vẽ đây? y y 3 2 1 O O x A x B y y 3 2 1 O O x C D x Lời giải Chọn C x, y    Đặt z x  yi ,  iz     i  2  i  x  yi      i  2  xi  y   i 2    y  3   x  1 i 2    y  3 2   x  1 2   y  3   x  1 4 I 1;3 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm   bán kính R 2 Câu 31.14: z  i  2z  i Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đường trịn có bán kính R Tính giá trị R Trang6 A R 1 B R C R D R Lời giải Chọn D Đặt z  x  yi  x, y     z  x  yi Ta được: z  i  z  i  x  yi  i   x  yi   i  x   y  1 4 x   y  1 2  x   y  1 4 x   y  1  x  y  y 0  x  y  Câu 31.15: y 0  R  3 z  1 Biết số phức z thõa mãn z  z có phần ảo không âm Phần mặt phẳng biểu diễn số phức z có diện tích là: A 2  C B  D  Lời giải Chọn C y -2 -1 O x -1 Đặt z  x  yi  z  x  yi ta có: z  1   x  yi   1   x  1  yi 1   x  1  y 1  1 z  z  x  yi    x  yi  2 yi có phần ảo khơng âm suy y 0   Trang7 I 1;0 Từ (1) (2) ta suy phần mặt phẳng biểu diễn số phức z nửa hình trịn tâm   bán  r   (đvdt) kính r 1 , diện tích Câu 31.16: Cho số phức z thỏa mãn z - + 4i = w = z +1- i Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn tâm I , bán kính R Khi đó: A I (- 7;9), R = B I (7; - 9), R = 16 C I (7; - 9), R = D I (- 7;9), R =16 Lời giải Chọn C Giả sử z = x + yi ( x, y Ỵ ¡ ) Từ giả thuyết Từ z - + 4i = Û x + yi - + 4i = Û ( x - 3) +( y + 4) = ( *) w = z +1- i = ( x + yi ) +1- i = ( x +1) +( y - 1) i ìï a- ïï x = ïì x +1 = a ï a + bi = ( x +1) +( y - 1) i Û ïí Û í ïïỵ y - = b ïï b +1 ïï y = w = a + bi ( a, b ẻ Ă ) ùợ Gi s Ta có ( *) , ta có Thay x, y vo phng trỡnh ổ a- ỗ ỗ ỗ è 2 ỉ b +1 2 3ữ +ỗ + 4ữ = ( a - 7) +( b + 9) = 16 ÷ ÷ ç ÷ ÷ ç ø è ø I ( 7; - 9) Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn tâm , bán kính R = Lưu ý: gs điều kiện Câu 31.17: w = x + yi ( x, y Ỵ ¡ ) z - + 4i = từ gt suy z w  1 i x  y 1   i 2 thay z vào ta có kết z   3i 5 Cho z1 , z2 hai số phức z thỏa mãn điều kiện , đồng thời z1  z 8 Tập hợp điểm biểu diễn số phức w  z1  z2 mặt phẳng tọa độ Oxy đường trịn có phương trình đây?  x  10  A 2   y   36 5  3   x     y   9 2  2 C   x  10  B 2   y   16 5  3   x    y    2  2 D  Trang8 Lời giải Chọn A Gọi A , B , M điểm biểu diễn z1 , z2 , w Khi A , B thuộc đường trịn  C  :  x  5 C có tâm 2   y  3 25 I  5;3 AB  z1  z2 8 bán kính R 5 , gọi T trung điểm AB T trung điểm 2 OM IT  IA  TA 3 J 10;6  Gọi J điểm đối xứng O qua I suy  IT đường trung bình tam giác OJM , JM 2 IT 6 2  x  10    y   36 Vậy M thuộc đường trịn tâm J bán kính có phương trình Câu 31.18: z zz 2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn mặt phẳng tọa độ A đường thẳng B đường tròn C parabol D hypebol Lời giải Chọn C x, y     z x  yi  z  z 2 x Giả sử z x  yi  Bài ta có x   yi  x   2  x  1  y2  2x  2   x  1  y  x  1  x  x   y  x  x   y 4 x z zz 2 Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn mặt phẳng tọa độ parabol Trang9 z   z  8 Cho số phức z thỏa mãn Trong mặt phẳng phức tập hợp điểm Câu 31.19: M biểu diễn cho số phức z A C  C  :  x  2  E : 2   y   64 B x2 y  1 12 16  E : D x2 y  1 16 12  C  :  x  2 2   y   8 Lời giải Chọn B Gọi M  x; y  F1 ( 2;0) F2 (2;0) , , Ta có z   z  8  Do điểm M  x; y  x  ( y  2)2  x  ( y  2) 8  MF1  MF2 8 nằm elip  E có 2a 8  a 4, ta có F1 F2 2c  2c  c 2 2 Ta có b a  c 16  12 Vậy tập hợp điểm M elip Câu 31.20:  E : x2 y  1 16 12 Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C , D điểm biểu diễn số phức z1   i , z2 1  2i , z3 2  i , z4  3i Gọi S diện tích tứ giác ABCD Tính S 17 S A 19 S B C S 23 D S 21 Lời giải Chọn A Ta có z1   i  A   1;1 , z2 1  2i  B  1;  , z3 2  i  C  2;  1 z4  3i  D  0;  3 , y A 1 O 1 B x C 3 D   AC  3;    AC  13 n  2;3 , véc tơ pháp tuyến AC , phương trình AC :  x  1   y  1 0  x  y  0 Trang10 Khoảng cách từ B đến AC là: d  B; AC    3.2  13  1 7  S ABC  d  B; AC  AC  13  2 13 13 Khoảng cách từ D đến AC là: d  D; AC   0 9 13  10 1 10 S ADC  d  D; AC  AC  13 5 2 13 13  17 S S ABC  SADC    2 Vậy Trang11