Chủ đề 8 hình học không gian mức độ vận dụng file word có lời giải

CHỦ ĐỀ 8: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN(GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH) MỨC ĐỘ VẬN DỤNG Câu (THPT PTNK Cơ sở - TP.HCM - 2021) Cho chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính khoảng cách d SB AC a a a 21 a 30 A d  B d  C d  D d  Lời giải Chọn C Kẻ đường thẳng  qua B  / / AC Kẻ HD   D Khi AC / / BD  AC / /  SDB   d  AC ; SB  d  AC ;  SBD   d  A;  SDB   2d  H ;  SDB   Kẻ HK  SD K Vì BD  DH , BD  SH  BD   SDH   BD  HK Mà HK  SD  HK   SDB   d  H ;  SDB   HK a Ta có SAB vuông cân S nên SH HB HA    Vì AC / / BD  DBH BAC 60 a a  HDB vuông D nên HD HB.sin HBD  sin 60  1 a 21 SHD vuông H có:    HK  d  H ;  SBD   2 SH DH HK 14 a 21  d  SB; AC  2d  H ;  SBD    Câu (THPT Phan Đình Phùng - Quảng Bình - 2021) Cho tứ diện OABC có OA, OB , OC đơi vng góc với nhau, OA a OB OC 2a Gọi P trung điểm BC (minh họa hình bên dưới) Khoảng cách hai đường thẳng OP AB Trang A 2a B 6a 5a C a D Lời giải Chọn B Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, O  0;0;0  , B  2a ;0;0  , C  0; 2a ;0  , A  0;0; a  Vì P trung điểm BC nên P  a ; a ;0     Ta có OP  a ; a ;0  , AB  2a ;0;  a  , OA  0;0; a      OP, AB  OA   2a 6a    2     Suy  OP, AB    a ; a ;  2a   d  OP , AB   4  OP, AB  a  a  a   Câu (THPT Nguyễn Đức Cảnh - Thái Bình - 2021) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A , M trung điểm BC , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm AM Cho biết AB a, AC a mặt phẳng  SAB  tạo với mặt phẳng góc 600 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC 3a 4a 3a a A B C D Lời giải Chọn D Dựng hình bình hành ABCD Khi d  SA, BC  d  BC ,  SAD   d  M ,  SAD   2d  H ,  SAD   với H trung điểm AM Theo đề bài, ta suy SH   ABCD   SH  AD  ABC  Kẻ HJ  AD , HK  SI  HK   SAD   d  H ,  SAD   HK Trang Kẻ HI  AB  SI  AB , suy  60   SAB  ,  ABC    SI , HI  SIH AB BC BC AB a   4  AI   Dễ thấy ABC đồng dạng với IAH suy IA AH BC 4 2 a a a Tam giác HIA vuông I nên IH  AH  IA2         2  4 3a  600  SH  IH tan 600  Tam giác SHI vng H có SIH a CA a Ta có AJH đồng dạng DCA suy JH AH     JH   CA DA 2a 4 Tam giác SHJ vng H có đường cao HK 1 64 3a   2   HK  2 HK SH HJ 9a 3a Vậy d  SA, BC  2 HK  Câu (THPT Mai Anh Tuấn - Thanh Hóa - 2021) Cho hình chóp S ABCD có ABCD hình vng cạnh a , SA 2a vng góc  ABCD  Gọi M trung điểm SD Tính khoảng cách d hai đường thẳng SB CM 2a a a a A d  B d  C d  D d  3 Lời giải Chọn A Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ  a  Khi S (0;0; 2a) , B(a;0;0) , C ( a; a; 0) , M  0; ; a      a    SB (a; 0;  2a ) , CM   a;  ; a  , BC (0; a; 0)       SB, CM  BC 2a    d ( SB, CM )    SB, CM    Câu (THPT Mai Anh Tuấn - Thanh Hóa - 2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB 2a, AD a SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA a Cosin góc SC mặt đáy Trang A B 10 Lời giải C D Chọn B AC hình chiếu SC lên mặt phẳng  ABCD  nên góc SC mặt phẳng  ABCD   góc SC AC góc SCA Tam giác ADC vuông D nên AC  AD  CD a Tam giác SAC vuông A ( SA   ABCD  ) nên Câu  = cos SCA AC AC   SC SA2  AC a  a 3   a 5 10   (THPT Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2021) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác vuông, BA BC 2a , cạnh bên AA 4a , M trung điểm BC (minh họa hình dưới) Khoảng cách hai đường thẳng BC AM B' C' A' M B C A A 2a B a C a D Lời giải Chọn D B' C' A' N H M B C I A Gọi N trung điểm BB , ta có MN // BC ,  AMN  // BC Trang a Dựng BI  AM ; BB   ABC   BB  AM   BBI   AM   BBI    AMN  Dựng BH  BI  BH   AMN  Do  AMN   BB N trung điểm BB , nên ta có: d  BC; AM  d  BC ;  AMN   d  B;  AMN   d  B;  AMN   BH Ta có tam giác ABC tam giác vuông, sử dụng công thức đường cao tứ diện B AMN ta có: 1 1 1 a  2    2  BH  2 2 BH BA BM BN  2a  a  2a  Câu (THPT Đồng Quan - Hà Nội - 2021) Cho lăng trụ tứ giác ABCD ABC D có đáy ABCD  hình thoi cạnh a , góc BAC 60 Biết AA  AB  AD cạnh bên AA hợp với mặt phẳng đáy góc 60 Tính khoảng cách hai đường thẳng CC  BD 3a a a a A B C D Lời giải Chọn D Gọi G trọng tâm tam giác ABD , AA  AB  AD nên G hình chiếu A mặt phẳng  ABCD  Khi AAG 60  BD  CA  BD   ACC A BD   ACC A O Ta có:   BD  A G  d  CC ; BD  d  CC ;  BDDB  d  C ;  BDDB   d  A;  BDD B   d  AA;  BDDB  d  AA; BD  Vì BD   ACC A  BD  AA  d  BD; AA d  O; AA  d  G; AA Từ G kẻ đường thẳng vng góc với AA H , suy ra: d  G; AA GH Tam giác ABC nên AC a Mà G trọng tâm tam giác ABD , suy ra: AO a a a a AG     GH  AG sin 60   3 3 3 a a Vậy  d  BD; AA  d  G; AA   2 Câu (THPT Lê Lợi - Thanh Hóa - 2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I ; AB 2a; BD  AC , mặt bên SAB tam giác cân đỉnh A , hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H AI Khoảng cách hai đường thẳng SB CD Trang A 2a 7 B 2a 35 2a 35 35 Lời giải C D a 35 Chọn B Vì DC / /  SAB  nên d  DC ; SB  d  DC ;  SAB   d  D;  SAB   Mà I trung điểm BD ; H trung điểm AI  d  D;  SAB   2d  I ;  SAB   2  2.d  H ;  SAB    4d  H ;  SAB   Kẻ HM  BA M , kẻ HK  SM K Vì AB  SH , AB  HM  AB   SHM   AB  HK Mà HK  SM  HK   SAB   d  H ,  SAB    HK  AB BC  ABC Vì ABCD hình thoi, BD  AC    BI  AI a  AC  AB 2a  AH  Vì SAB cân A nên SA  AB 2a a 15 Xét SAH vuông H có: SH  SA2  AH  a Xét AHM vng M có: HM  AH sin A  AH sin 60  1 a 35 d H , SAB Xét SHM vng H có:     2  HK  2 HK SH HM 14 2a 35  d  D;  SAB   4d  H ;  SAB    2a 35 Vậy d  SB, CD   Câu (Sở Vĩnh Phúc - 2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ,  BAD 1200 Mặt bên SAB tam giác  SAB    ABCD  (tham khảo hình vẽ) Tính khoảng cách từ A đến  SBC  Trang A a B a C 3a D a 15 Lời giải Chọn D a Gọi H trung điểm AB , SH   ABCD  SH  Do AH   SBC  B  d  A,  SBC   2d  H ,  SBC   Gọi K , I hình chiếu H lên BC SK Khi BC  HK , BC  SH  BC   SHK   BC  HI Vậy HI  BC , HI  SK  HI   SBC  hay d  H ,  SBC   HI a a , HK  1 16 20 a 15 Trong tam giác vng SHK ta có  2     HI  2 HI SH HK 3a 3a 3a 10 a 15 Vậy d  A,  SBC    Gọi E trung điểm BC  AE  Câu 10 (Sở Hà Tĩnh - 2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B , AD a , AB 2a , BC 3a , mặt bên SAB tam giác vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  SCD  A 3a 30 10 B 3a 30 a 30 Lời giải C D 3a Chọn A  Gọi H trung điểm cạnh AB  SH  AB  SH   ABCD  SH a  Kẻ MD  BC với M  BC Suy ta có MD  AB 2a ; MC 2a Trang Suy CD  MD  MC  4a  4a a AB a ; HD  AH  AD  a  a a ;  Mặt khác ta có: AH  SD  SH  HD  3a  2a a ; CH  BH  BC  a  9a a 10  Khi 2a  8a 10a  HD  CD CH  HD  DC AD  BC 2a  Gọi AB  CD O ; N trung điểm cạnh CD Khi HN  d  B;  SCD   OB BC 3a 3      d  B;  SCD    d  H ;  SCD   Ta có: d  H ;  SCD   OH HN 2a 2  Trong  SHD  kẻ HK  SD  1 với K  SD Do DC  HD    DC   SHD   DC  HK   DC  SH  Từ (1) (2) suy HK   SCD   d  H ;  SCD   HK Trong SHD vng H ; đường cao HK ta có: 1 SH HD a 3.a a a 30    HK     HK SH HD a SH  HD 3a  2a 3 3a 30 Vậy d  B;  SCD    d  H ;  SCD    HK  2 10 Câu 11 (Sở Tun Quang - 2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a , AD 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy, biết tam giác SAD có diện tích S 3a Tính khoảng cách từ C đến  SBD  A d  a 39 13 B d  2a 51 17 C d  a 39 D d  2a 39 13 Lời giải Chọn B S a A K 2a D a H B C 6a a Mặt khác ta có d  C ,  SBD   d  A,  SBD   Do S SAD 3a  SA AD  SA  2a Kẻ AH  BD , AK  SH  d  A,  SBD    AK BD  AB  AD a 13  AH  Trang AB AD a.2a 2a 39   BD 13 a 13  AK  SA AH SA2  AH a   a 3 2a 39 13  2a 39     13  Vậy d  C ,  SBD   d  A,  SBD    Câu 12  2a 51 17 2a 51 17 (Liên trường Quỳnh Lưu - Hoàng Mai - Nghệ An - 2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SD a 21 a a 21 a A B C D 7 3 Lời giải Chọn A S K B C H M A D Ta có hình chiếu H S lên mp  ABCD  trung điểm cạnh AB AB //  SCD  nên d ( AB; SC ) d  AB,  SCD   d  H ,  SCD   Từ H kẻ HM  CD  CD   SHM    SCD    SHM  Kẻ HK  SM  d  H ,  SCD   HK 1  2 Trong tam giác vng SHM có: HK SH HM a SH đường cao tam giác cạnh a , nên SH  ; M trung điểm CD nên a 21 HM a  HK  Câu 13 (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - An Giang - 2021) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A1 B1C1D1 có ba kích thước AB a , AD 2a , AA1 3a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  A1BD  bao nhiêu? A a B a 6 a Lời giải C D a Chọn C  BD  AH  BD  ( AA1 H ) Kẻ AH  BD H Ta có:   BD  AA1 ( AA1  ( ABCD)) Trang  AK  A1 H  AK  ( A1BD ) Kẻ AK  A1 H K Ta có:   AK  BD (do BD  ( AA1H )) Do đó: d  A, ( A1 BD)   AK 1 1 1    2 mà 2 AK AH AA12 AH AB AD 1 1 1 49   2   2 2  2 AK AB AD AA1 a 4a 9a 36a 6 Vậy AK  a hay d  A, ( A1BD )   a 7 Ta có: Câu 14 (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2021) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC a tam giác cạnh a , AA 2a Gọi M điểm cạnh AB , AM  Khoảng cách từ M đến mặt phẳng  ABC  bằng? A 57 a 57 B 57 a 57 C 57 a 19 Lời giải Chọn A Ta có: d M ; BAC   d B ; BAC    IM BM   ( BIM đồng dạng AIB ) IB BA Kẻ BN  AC BH  BN Trang 10 D 57a 57  Vì SA   ABCD   AC hình chiếu SC lên  ABCD     SC ,  ABCD   SC ,A C  SCA 45  SAC vuông cân A  S A  AC a  Ta có: ABCD hình thoi nên AC  BD (1)  Vì SA   ABCD   SA  BD (2)  Từ (1) (2) suy ra: BD   SAC  mà BD   SBD  nên  SBD    SAC   Trong tam giác S AC kẻ CH  SO  CH   SBD  SA AC S SOC S SAC CH      Ta có: SO SA2  OA2 SA2  OA2 a   a 3 3a       a 15 a 15  Vậy d  I ;  SBD    d  C ;  SBD    10 Câu 21 (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB a, AD 2a; SA vng góc với đáy ABCD , SC hợp với đáy góc  tan   A a 10 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  SCD  2a a B C 3 Lời giải D 2a 3 Chọn D SA 10 10   SA  AC a AC 5 d  A,  SCD   Theo ta có: AC  a  (2a )2 a ; tan   Vì AB //CD  AB //  SCD  d  B,  SCD   Từ A hạ đường vng góc xuống SD  AH  SD  AH   SCD  nên AH d  A,  SCD   Vì :   AH  DC Ta có: Câu 22 1 1 2a  2    Suy AH  2 AH SA AD a 4a 4a (Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - 2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , SD a Mặt bên SAB tam giác cân nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H trung điểm AB , K trung điểm AD Khoảng cách hai đường thẳng SD HK a 105 a 105 a 105 a 105 A B C D 20 30 10 Lời giải Trang 15 S J A K D O H I B C Chọn C ( SAB )  ( ABCD)   AB ( SAB )  ( ABCD)  SH  ( ABCD )  SH  ( SAB ), SH  AB   HK / / BD  HK / /( SBD)  d ( HK , SD) d ( HK , ( SBD)) d ( H , ( SBD))   BD  ( SBD) Trong ( ABCD ) , gọi I trung điểm BO  BO  HI  BO  ( SHI )  ( SBD)  ( SHI ) Ta có:   BO  SH  HJ  SI Trong ( SHI ) , dựng  Từ suy HJ  ( SBD)  HJ d ( H , ( SBD))  J  SI 7a a2  AO  SH SD  HD SD  ( HA  AD )  , HI      1 a 105    HJ  d ( HK , SD ) 30 SH HI HJ Câu 23 2 2 S ABC Cho hình chóp có Tan góc hai SA 12cm, AB 5cm, AC 9cm, SB 13cm, SC 15cm BC 10cm (Chuyên ĐHSP Hà Nội - 2021) mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) A 14 10 B 10 14 14 Lời giải C D Chọn B S C A B Trang 16 H 12 Do nên SA  AB 2 nên SA  AC Suy SA  ( ABC ) 12  152 Từ A kẻ AH  BC Suy SH  BC góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) SHA 122  52 132 Xét tam giác ABC , có p  (5   10) 12 S ABC  12(12  5)(12  9)(12  10) 6 14 ; 2S 12 14 SA 14 10 14 tan SHA  AH  ABC  12 :  BC 10 AH 14 Câu 24 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An - 2021) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân, AB BC 2a Tam giác SAC cân S nằm mặt phẳng vng góc với  ABC  , SA  3a Góc hai mặt phẳng  SAB   SAC  A 600 B 300 C 450 Lời giải Chọn A D 900 S A H C B Gọi H trung điểm AC Vì tam giác ABC vng cân, có AB BC 2a nên ABC tam giác vuông cân B Suy BH  AC Vì tam giác SAC cân S nằm mặt phẳng vng góc với  ABC  Suy SH   ABC   SH  BH Suy BH   SAC  Suy tam giác SAH hình chiếu tam giác SAB mặt phẳng  SAC  Gọi  góc hai mặt phẳng  SAB   SAC  Ta có: AC 2a ; BH  AH  AC a ; SH  SA2  HA2 a a2 ;  SB  SH  BH a  S SAH  SH HA  2 Gọi p nửa chu vi tam giác ABC , ta có p   SA  AB  SB  a  a 2 Suy S SAB  p  p  SA   p  SB   p  AB  a Ta có: cos   SSAH SSAB Câu 25 a2  22  Suy  60 a 2 (Sở Yên Bái - 2021) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD ) trung điểm AD, góc đường thẳng SB mặt đáy 60o Gọi M trung điểm DC Khoảng cách hai đường thẳng SA BM Trang 17 A a 285 B a 285 19 3a 285 19 Lời giải C D 2a 285 19 Chọn B S J I N D A B H C M Vẽ hình bình hành ABMN Ta có MB / / AN  MB / /  SAN   d  MB; SA d  MB;  SAN   d  M ;  SAN   2d  D;  SAN   4d  H ;  SAN   Gọi I hình chiếu vng góc H lên AN , J hình chiếu vng góc H lên SI Khi HJ d  H ;  SAN    Vì H hình chiếu vng góc S lên  ABCD  nên  SB; ABCD SBH 60o    Xét tam giác SHB vuông H : SH HB.tan 60o  AH  AB tan 60o  a 15 a a IH AH DN AH 2 a   IH   Vì AIH ADN đồng dạng nên DN AN AN 10 a2  aa 1 a 285 Xét tam giác SHI vuông H:  2  HJ  2 76 HJ IH SH  d  MB; SA   Câu 26 (THPT Thanh Chương 1- Nghệ An - 2021) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác đều, tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy, biết SA a Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) A 7a Chọn C Trang 18 a 285 19 B 7a 7a Lời giải C D 7a S K C A H N B M  Kẻ SH  AB ( H trung điềm AB ) Suy SH  ( ABC )  Có AB SA2  SB 2 SA2  AB SA a 12 2a  Và d ( A, ( SBC )) 2d ( H , ( SBC ))  Từ H kẻ HN  BC ( HN / / AM với M trung điểm BC ) kẻ HK  SN  Ta có HN  BC SH  BC nên BC   SHN  , suy HK  BC  Mặt khác HK  BC HK  SN nên HK   SBC  , suy d ( A, ( SBC )) 2d ( H , ( SBC )) 2 HK 1 AB 3a  Có SH  AB a ; HN  AM   2 2 1 1 3a 6a 6a  2     HK   Do d ( A, ( SBC ))  2 HK SH HN 3a 9a 9a 7 Câu 27 (THPT Nguyễn Huệ - Phú n - 2021) Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SC đơi vng góc SA a; SB 2a; SC 3a Gọi M , N , P trung điểm AB, BC , CA Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  SNP  A 5a B 6a a 15 Lời giải C Chọn B D a 13 A P M S C N B 1 1 a2 Vì S MNP  S ABC nên VS MNP  VS ABC  SA.SB.SC  4 Trang 19 a 13 a 10 a Mặt khác: SN  BC  ; SP  AC  NP  AB  Do 2 2 2 7a S MNP  p  p  a   p  b   p  c   3VSMNP a a 6a V  S d M , SNP  d M , SNP   :      Từ SMNP     S MNP MNP Câu 28 (THPT Hoàng Hoa Thám - Đà Nẵng - 2021) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A , BC a SB a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm M BC Góc đường thẳng SA mặt phẳng  ABC  A 300 B 600 C 450 Lời giải D 750 Chọn C Ta có: ABC vuông cân A nên AB  AC a AM  BC a  2 a 2 a Xét SBM có SM  SB  BM  a        2  Góc đường thẳng SA mặt phẳng  ABC  góc SAM a SM     1  SAM 450 Xét SAM có tan SAM AM a 2 Vậy góc đường thẳng SA mặt phẳng  ABC  450 Câu 29 (THPT Hoàng Hoa Thám - Đà Nẵng - 2021) Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có tất cạnh    a BAA ' DAA ' BAD 600 Gọi G trọng tâm tam giác AB ' C Khoảng cách từ G đến mặt phẳng  DA ' C ' A a 22 66 Chọn D Trang 20 B 4a 11 11 2a 11 11 Lời giải C D a 22 11