PHIẾU SỐ - TIẾT - VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN GV: THÂN NGỌC KHÁNH Dạng 1: Nhận biết vị trí tương đối hai đường trịn Bài 1: Cho đường trịn tâm O bán kính R đường trịn tâm O ' bán kính r ( R r ).Viết hệ thức tương ứng r , R OO ' vào bảng sau Vị trí tương đối hai đường tròn Số điểm chung Hai đường tròn cắt Hai đường tròn tiếp xúc +) Tiếp xúc Hệ thức OO ' r R +) Tiếp xúc Hai đường trịn khơng giao +) O O ' +) O đựng O ' Bài 2: Cho đường tròn tâm O bán kính R đường trịn tâm O ' bán kính r Điền vào chỗ trống bảng sau Vị trí tương đối hai đường trịn OO ' 14 Hai đường tròn tiếp xúc 36 R 17 11 r 17 Dạng 2: Bài tập hai đường tròn cắt Bài 3: Cho đường tròn (O, cm) đường trịn (O,5 cm) có đoạn nối tâm OO 8 cm Biết đường tròn (O) (O) cắt OO N , M (hìnhbên) Tính độ dài đoạn thẳng MN Bài 4: Cho hai đường tròn ( O ; cm) ( O ; cm) có OO 5 cm Hai đường tròn cắt A B Tính độ dài AB Bài 5: Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi E trung điểm cạnh CD Tính độ dài dây cung chung DF đường trịn đường kính AE đường trịn đường kính CD Bài 6: Cho hai đường tròn (O1 ; R),(O2 ; R ') cắt K H đường thẳng O1H cắt O1 O A cắt (O2 ) B , đường thẳng O2 H cắt C, cắt (O2 ) D 1) Chứng minh ba điểm A,K, D thẳng hàng 2) Chứng minh ba đường thẳng AC, BD,HK đồng quy điểm Bài 7: Cho hai đường tròn (O1 ; R),(O2 ; R) cắt A, B ( O1 ,O2 nằm khác phía so với P O1 ,Q O2 cho A nằm đường thẳng AB ) Một cát tuyến PAQ xoay quanh A P Q Hãy xác đinh vị trí cát tuyến PAQ trường hợp 1) A trung điểm PQ 2) PQ có độ dài lớn 3) Chu vi tam giác BPQ lớn 4) S BPQ lớn Dạng 3: Bài tập hai đường tròn tiếp xúc Bài 8: Cho hai đường tròn ( I ; cm) ( J ;3 cm) tiếp xúc ngồi Tính độ dài đoạn nối tâm IJ cm Bài 9: Cho hai đường tròn ( O; cm ) ( O;11 cm ) Biết khoảng cách OO 2a với a số thực dương Tìm a để hai đường tròn tiếp xúc Bài 10: Cho hai đường trịn (O; R) (O'; R ') tiếp xúc ngồi A với (R R ') Đường nối tâm OO' cắt (O),(O') B,C Dây DE (O) vng góc với BC trung điểm K BC 1) Chứng minh BDCE hình thoi 2) Gọi I giao điểm EC (O') Chứng minh D,A,I thẳng hàng 3) Chứng minh KI tiếp tuyến (O') Bài 11: Cho hai đường trịn (O) (O') tiếp xúc ngồi A Qua A kẻ cát tuyến cắt (O) C , cắt đường tròn (O') D 1) Chứng minh OC / /O' D 2) Kẻ tiếp tuyến chung MN , gọi P , Q điểm đối xứng với M,N qua OO' Chứng minh MNQP hình thang cân MN PQ MP NQ 3) Tính góc MAN Gọi K giao điểm AM với (O') Chứng minh ba điểm N,O',K thẳng hàng HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng 1: Nhận biết vị trí tương đối hai đường tròn Bài 1: Cho đường tròn tâm O bán kính R đường trịn tâm O ' bán kính r ( R r ).Viết hệ thức tương ứng r , R OO ' vào bảng sau Số điểm chung Hệ thức OO ' r R Hai đường tròn cắt Hai đường tròn tiếp xúc R-r < OO ' R r +) Tiếp xúc OO ' R r OO ' R r 0 OO ' R r OO ' R r Vị trí tương đối hai đường trịn +) Tiếp xúc Hai đường trịn khơng giao +) O O ' +) O đựng O ' Bài 2: Cho đường trịn tâm O bán kính R đường trịn tâm O ' bán kính r Điền vào chỗ trống bảng sau OO ' Vị trí tương đối hai đường tròn Hai đường tròn tiếp xúc ngồi 14 Hai đường trịn tiếp xúc 12 Hai đường tròn cắt O O ' 36 Dạng 2: Bài tập hai đường tròn cắt Bài 3: Cho đường trịn (O, cm) đường trịn (O,5 cm) có đoạn nối tâm OO 8 cm Biết đường tròn (O) (O) cắt OO N , M (hìnhbên) Tính độ dài đoạn thẳng MN Lời giải: Ta có OM MN ON OM MN 6 ON MN OM O N MN 5 r R 17 6 11 17 Suyra OM MN ON MN 11 OO MN 11 MN 3 cm Bài 4: Cho hai đường tròn ( O ; cm) ( O ; cm) có OO 5 cm Hai đường tròn cắt A B Tính độ dài AB Lờigiải Áp dụng định lý Py ta go đảo cho OAO ta có OO2 OA2 OA2 52 4 32 Suy OAO vuông A Gọi H giao AB OO Vì hai đường tròn ( O ; cm) ( O ; cm) cắt A B suy OO AB (Tính chất đường nối tâm với dây chung) Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông OOA 1 12 AH 2, 4 Ta có AH cm Do AB 2 AH 2.2, 4,8 cm Bài 5: Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi E trung điểm cạnh CD Tính độ dài dây cung chung DF đường trịn đường kính AE đường trịn đường kính CD Lờigiải Gọi DF cắt AE H AE DF 1 2 DE AD Tam giác DAE vuông D nên ta có: DH a 5a 2a DE ; DA a DH DF 2 DH 5 Ta có D A H E F B C Bài 6: Cho hai đường tròn (O1 ; R),(O2 ; R ') cắt K H đường thẳng O1H cắt O1 O A cắt (O2 ) B , đường thẳng O2 H cắt C, cắt (O2 ) D 1) Chứng minh ba điểm A,K, D thẳng hàng 2) Chứng minh ba đường thẳng AC, BD,HK đồng quy điểm Lời giải: E C B H O2 O1 A K D O 1) Ta có tam giác HKD nối tiếp dường trịn có cạnh HD đường kính nên tam giác HKD vuông K suy ra: HK KD Tương tự ta có HK KA suy A,K, D thẳng hàng O 2) Các tam giác ACH,AKH nội tiếp đường trịn có cạnh HA đường kính nên tam giác ACH vng C , tam giác AKH vuông K suy DC AC DH AC (1), Tương tự ta có HA BD (2) Lại có HK KA HK DA (3) Từ (1), (2), (3) suy AC, BD,HK đồng quy.(Ba đường cao tam giác AHD) Bài 7: Cho hai đường tròn (O1 ; R),(O2 ; R) cắt A, B ( O1 ,O2 nằm khác phía so với P O1 ,Q O2 cho A nằm đường thẳng AB ) Một cát tuyến PAQ xoay quanh A P Q Hãy xác đinh vị trí cát tuyến PAQ trường hợp 1) A trung điểm PQ 2) PQ có độ dài lớn 3) Chu vi tam giác BPQ lớn 4) S BPQ lớn Lời giải: P H A K I O1 Q O2 1) Giả sử xác định vị trí cát tuyến PAQ cho PA AQ Kẻ O1H PH HA PA vng góc với dây PA Kẻ O2K AK KQ AQ vng góc với dây AQ Nên AH AK Kẻ Ax / /O,H / /O K cắt O , O2 I O1I IO Ax PQ Từ suy cách xác định vị trí cát tuyến PAQ cát tuyến PAQ vng góc với IA A với I trung điểm đoạn nối tâm O1O2 2) Trên hình, ta thấy PA HK Kẻ O2 M O1H tứ giác MHKO có ba góc vng nên hình chữ nhật HK MO2 Lúc O2 M đường vng góc kẻ từ O2 đến đường thẳng O1H,O2 O1 đường xiên kẻ từ O2 đến đường thẳng O1H Nên O M O1O hay PQ 2HK 2O2 M 2O1O (không đổi) dấu đẳng thức xảy M O hay PQ / /O1O Vậy vị trí cát tuyến PAQ / /O1O2 PQ có độ dài lớn 3) Qua A kẻ cát tuyến CAD vng góc với BA O O Thì tam giác ABC ABD vng A nội tiếp đường trịn , nên O1 trung điểm BC O2 trung điểm BD Lúc O1O2 đường trung bình tam giác BCD nên O1O2 / /CD suy PQ 2O1O2 (1) (theo câu b) Lại có BQ BD (2), BP BC (3) Từ (1),(2),(3) suy chu vi tam giác BPQ,C PQ BQ BP 2 O1O2 R R (không đổi) Dấu có P C,Q D Vậy chu vi tam giác BPQ đạt giáB trị lớn cát tuyến PAQ vng góc với dây BA A Q O1 C O2 A P D 4) Kẻ BN PQ BN BA 1 S BPQ BN.PQ BA.CD 2 Lúc khơng đổi Vậy S BPQ đạt giá trị lớn cát tuyến PAQ vng góc với dây chung BA A Dạng 3: Bài tập hai đường tròn tiếp xúc Bài 8: Cho hai đường tròn ( I ; cm) ( J ;3 cm) tiếp xúc Tính độ dài đoạn nối tâm IJ Lờigiải Độ dài đoạn nối tâm IJ : 5 cm cm Bài 9: Cho hai đường tròn ( O; cm ) ( O;11 cm ) Biết khoảng cách OO 2a với a số thực dương Tìm a để hai đường trịn tiếp xúc Lờigiải Các trường hợp xảy +) Hai đường trịn tiếp xúc ngồi (xemhình ), ta có OO R R 2a 15 a 6 cm +) Hai đường trịn tiếp xúc (xemhình ), ta có OO | R R | 2a | 11| a 2 cm Vậy a 6 cm a 2 cm Bài 10: Cho hai đường tròn (O; R) (O'; R ') tiếp xúc A với (R R ') Đường nối tâm OO' cắt (O),(O') B,C Dây DE (O) vng góc với BC trung điểm K BC 1) Chứng minh BDCE hình thoi 2) Gọi I giao điểm EC (O') Chứng minh D,A,I thẳng hàng 3) Chứng minh KI tiếp tuyến (O') Lờigiải D O1 B O2 A K E C I 1) Vì BC vng góc với đường thẳng DE nên DK KE, BK KC (theo giả thiết) tứ giác BDCE hình bình hành, lại có BC DE nên hình thoi O 2) Vì tam giác BDA nội tiếp đường trịn có BA đường kính nên BDA vng D Gọi I' giao điểm DA với CE AI'C 90 (1) (vì so le với BDA ) Lại có AIC nội tiếp đường trịn O có AC đường kính nên tam giác AIC vng I , hay AIC 90 (2) Từ (1) (2) suy I I' Vậy D,A,I thẳng hàng 3) Vì tam giác DIE vng I có IK trung tuyến ứng với cạnh huyền DE nên I KD KI KE D O2 C O2 I C D bán kính đường trịn Từ (1),(2),(3) suy bán kính (1) Lại có O2 I C C (3), (2) phụ với DEC O2 I2 I I2 I5 I5 I3 900 đường tròn O2 Vậy KI hay KIO 90 KI vng góc với tiếp tuyến đường tròn O2 Bài 11: Cho hai đường trịn (O) (O') tiếp xúc ngồi A Qua A kẻ cát tuyến cắt (O) C , cắt đường tròn (O') D 1) Chứng minh OC / /O' D 2) Kẻ tiếp tuyến chung MN , gọi P , Q điểm đối xứng với M,N qua OO' Chứng minh MNQP hình thang cân MN PQ MP NQ 3) Tính góc MAN Gọi K giao điểm AM với (O') Chứng minh N,O',K thẳng hàng Lờigiải M C R N O' O Y X A a) Do hai đường tròn (O) (O') tiếp xúc A nên A nằm OO' Ta có COA, DO' A tam giác CAO DAO' Lại có OCA OAD,O' AD O' DA tamKgiác QD D cân Từ suy OCA O' DA OC / /O' P S b) + Vì MP OO',NQ OO' MP / /OO' MNQP hình thang Vì M đối xứng với P qua OO' , N đối xứng với Q qua OO' O đối xứng với O qua OO' nên OPM OMP 900 Mặt khác MPQ,PMN phụ với góc OPM OMP nên MPQ PMN suy MNQP hình thang cân (Chú ý: Từ ta suy PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn) + Kẻ tiếp tuyến chung qua A hai đường tròn cắt MN,PQ R,S ta có: RM RA RN,SA SP SQ suy MN PQ 2RS Mặt khác RS đường trung bình hình thang nên MP NQ 2RS hay MP NQ MN PQ c) Từ câu b ta có AR RM RN nên tam giác MAN vuông A , từ suy NAK 900 KN đường kính (O') , hay N,O',K thẳng hàng