1/ LUYỆN TẬP HỆ THỨC VIÉT VÀ ỨNG DỤNG x1 , x nghiệm phương trình ax bx c 0 (a 0) thì: b c x1 x ; x1x a a Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình: X SX P 0 (Điều kiện để có hai số là: S2 4P 0 ) Định lí Viet: Nếu Dấu nghiệm số phương trình bậc hai ax bx c 0 (a 0) (1) 0 (1) có hai nghiệm dấu P (1) có hai nghiệm trái dấu P P (1) có hai nghiệm âm phân biệt S (1) có hai nghiệm dương phân biệt Chú ý: Giải phương trình cách nhẩm nghiệm: c x1 1, x a Nếu a b c 0 phương trình có nghiệm c x1 1, x a Nếu a b c 0 phương trình có nghiệm Dạng 1: Nhẩm nghiệm PT bậc hai Bài Khơng giải phương trình, nhẩm nghiệm phương trình sau: P S a) x 2x 0 b) x x 0 c) x 6x 0 d) 3x 7x 10 0 e) x 3x 0 f) x 4x 0 g) x 5x 0 h) 3x 5x 0 i) 5x x 0 Dạng 2: Lập PT bậc hai có hai nghiệm cho trước Bài Lập phương trình bậc hai có nghiệm cặp số sau: a) d) c) b) –8 e) 2 Dạng 3: Tính giá trị biểu thức theo hai nghiệm Bài Giả sử x1 , x nghiệm phương trình: x 2x 0 Tính giá trị biểu thức: Nhóm Chuyên Đề Toán 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ 2 A x x ; 3 B x x ; C 1 x1 x ; x1 x x x1 D Dạng 4: Tìm m để PT có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Tìm ĐK để PT có nghiệm: 0 Sử dụng hệ thức Vi – ét tính tổng tích nghiệm theo m Thay tổng tích nghiệm vào hệ thức ban đầu để tìm m Bài 4: Cho phương trình x2 – 2mx – = (m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt 2 b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để x1 + x x1x 7 Bài 5: Cho phương trình: x 5x m 0 (m tham số) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 x 3 Bài 6: Cho phương trình: x 2mx 0 (1) a) Giải phương trình cho m = x 1 b) Tìm giá trị m để PT (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 2 x 1 2 Bài 7: Cho phương trình: x 2mx 0 (1) a) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 2 b) Tìm giá trị m để: x1 x x1x 7 Bài 8: Cho phương trình: x x m 0 (1) a) Giải phương trình cho với m = b) Tìm m để PT (1) có hai nghiệm x1 ; x thỏa mãn: x1x (x1x 2) 3(x1 x ) Bài 9: Cho phương trình x 6x m 0 1) Với giá trị m phương trình có nghiệm trái dấu 2) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x thoả mãn điều kiện x1 x 4 Bài 10: Cho phương trình: x 2(m 1) m 0 (1) 1) Giải phương trình với m = –3 2 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thoả mãn hệ thức x1 + x 10 3) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc giá trị m Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng 1: Nhẩm nghiệm PT bậc hai Bài Khơng giải phương trình, nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x 2x 0 b) x x 0 c) x 6x 0 d) 3x 7x 10 0 e) x 3x 0 f) x 4x 0 g) x 5x 0 h) 3x 5x 0 i) 5x x 0 Hướng dẫn: a) x 2x 0 PT cho có a b c 1 0 nên có hai nghiệm phân biệt x1 1; x b) x x 0 PT cho có a b c 1 0 nên có hai nghiệm phân biệt x1 1; x 2 (Làm tương tự cho phần lại) Dạng 2: Lập PT bậc hai có hai nghiệm cho trước Bài Lập phương trình bậc hai có nghiệm cặp số sau: a) d) c) b) –8 e) 2 Hướng dẫn: 3 7 a) Ta có 3.4 12 nên hai nghiệm PT: x 7x 12 0 5 ( 8) b) Ta có 5.( 8) 40 nên –8 hai nghiệm PT: x 3x 40 0 (Làm tương tự cho phần cịn lại) Dạng 3: Tính giá trị biểu thức theo hai nghiệm Bài Giả sử x1 , x nghiệm phương trình: x 2x 0 Tính giá trị biểu thức: 2 A x x ; 3 B x x ; C 1 x1 x ; D x1 x x x1 Hướng dẫn: x ,x PT cho có ac 1.( 3) nên ln có hai nghiệm phân biệt x1 x x x Theo ĐL Viét ta có: Khi đó: A x12 x 22 (x1 x ) 2x1x 10 B x13 x 32 x1 x x12 x 2 x1x 10 26 (Làm tương tự cho phần cịn lại) Dạng 4: Tìm m để PT có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 4: Cho phương trình x2 – 2mx – = (m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt 2 b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để x1 + x x1x 7 GIẢI: a) Ta thấy: a = 1; b = – 2m; c = – 1, rõ ràng: a.c = 1.(–1) = –1 < phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m x1 x 2m x x b) Vì phương trình ln có nghiệm phân biệt nên theo hệ thức Vi – ét, ta có: 2 x x 22 x1x 7 x1 x 3x1x 7 Khi đó: (2m)2 – 3.(–1) = 4m2 = m2 = m = Bài 5: Cho phương trình: x2 – 5x + m = (m tham số) a) Giải phương trình m = x x 3 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: GIẢI: a) Với m = 6, ta có phương trình: x2 – 5x + = ∆ = 25 – 4.6 = Suy phương trình có hai nghiệm: x1 = 3; x2 = b) Ta có: ∆ = 25 – 4m 25 m (*) Phương trình cho có nghiệm 0 Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x2 = (1); x1x2 = m (2) 2 x x 3 x1 x 9 x1 x 4x1x 9 52 4m 9 m 4 Khi đó: Bài 6: Cho phương trình: x – 2mx + = (1) a) Giải phương trình cho m = b) Tìm giá trị m để PT (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: (x1 + 1)2 + (x2 + 1)2 = GIẢI: a) Với m = ta có phương trình: x2 – 6x + = Giải ta hai nghiệm: x1 = 5; x 3 b) Ta có: ∆/ = m2 – m 2 / 0 m (*) Phương trình (1) có nghiệm Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x2 = 2m x1x2 = Suy ra: (x1 + 1)2 + (x2 + 1)2 = x12 + 2x1 + x22 + 2x2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 + 2(x1 + x2) = 4m2 – + 4m = m1 1 m2 + m – = m Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy có giá trị m2 = – thỏa mãn Vậy m = – giá trị cần tìm Bài 7: Cho phương trình: x2 – 2mx – = (1) a) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 b) Tìm giá trị m để: x12 + x22 – x1x2 = GIẢI: a) Ta có ∆/ = m2 + > 0, m R Do phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt b) Theo định lí Vi – ét thì: x1 + x2 = 2m x1.x2 = – Ta có: x12 + x22 – x1x2 = (x1 + x2)2 – 3x1.x2 = 4m2 + = m2 = m = ± Bài 8: Cho phương trình: x2 – x + + m = (1) a) Giải phương trình cho với m = b) Tìm m để PT (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1x2(x1x2 – 2) = 3(x1 + x2) GIẢI: a) Với m = ta có phương trình x2 – x + = Vì ∆ = – < nên phương trình vơ nghiệm b) Ta có: ∆ = – 4(1 + m) = –3 – 4m m (*) Phương trình có nghiệm ∆ 0 – – 4m 0 4m Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x2 = x1.x2 = + m Thay vào đẳng thức: x1x2(x1x2 – 2) = 3(x1 + x2), ta được: (1 + m)(1 + m – 2) = m2 = m = ± Đối chiếu với điều kiện (*) suy có m = –2 thỏa mãn Bài 9: Cho phương trình x2 – 6x + m = 1) Với giá trị m phương trình có nghiệm trái dấu 2) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện x – x2 = GIẢI: 1) Phương trình có nghiệm trái dấu khi: m < 2) Phương trình có nghiệm x1, x2 ' 9 m 0 m 9 (1) x1 x 6 x x m (2) Theo hệ thứcViét ta có Theo yêu cầu x1 – x2 = (3) Từ (1) (3) x1 = 5, thay vào (1) x2 = Suy m = x1.x2 = (thoả mãn) Vậy m = giá trị cần tìm Bài 10: Cho phương trình: x2 – (m – 1)x – m – = (1) 1) Giải phương trình với m = –3 2 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thoả mãn hệ thức x1 + x = 10 3) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc giá trị m GIẢI: x 0 1) Với m = – ta có phương trình: x2 + 8x = x(x + 8) = x 2) Phương trình (1) có nghiệm khi: ∆’ 0 (m – 1)2 + (m + 3) ≥ m2 – 2m + + m + ≥ 15 (m ) m –m+4>0 m Chứng tỏ phương trình có nghiệm phân biệt m x1 x 2(m 1) (1) x x m (2) Theo hệ thức Vi ét ta có: 2 Ta có x1 + x = 10 (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 (m – 1)2 + (m + 3) = 10 m 0 2m(2m 3) 0 m 3 4m2 – 6m + 10 = 10 3) Từ (2) ta có m = –x1x2 – vào (1) ta có: x1 + x2 = (– x1x2 – – 1) = – 2x1x2 – x1 + x2 + 2x1x2 + = Đây hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc m