Bài GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Các bước giải toán cách lập phương trình Bước Lập hệ phương trình Chọn ẩn số, đặt điều kiện đơn vị phù hợp cho ẩn số; Biểu diễn đại lượng chưa biết qua ẩn số; Thiết lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ ẩn số đại lượng biết; Bước Giải hệ phương trình vừa lập được; Bước Đối chiếu nghiệm phương trình với điều kiện ẩn số (nếu có) Bước 1, từ đưa kết luận cần tìm B CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Bài toán quan hệ số Thực bước giải phần kiến thức trọng tâm Chú ý: với a, b, c chữ số từ đến 9, ta có Số tự nhiên có hai chữ số: ab = 10a + b Số tự nhiên có ba chữ số: abc = 100a + 10b + c Ví dụ Cho số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng hai chữ số số 13 chia chữ số hàng chục cho hàng đơn vị thương dư Tìm số ĐS: 94 Ví dụ Cho hai số tự nhiên biết tổng chúng 33 lấy số lớn chia cho số bé thương dư Tìm hai số cho ĐS: 27 Ví dụ Cho số tự nhiên có hai chữ số, lần chữ số hàng chục lớn lần chữ số hàng đơn vị Nếu đổi chỗ hai chữ số số cho ta số nhỏ số cho 18 đơn vị Tìm số ĐS: 53 Ví dụ Tổng chữ số hàng đơn vị lần chữ số hàng chục số có hai chữ số 21 Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số lớn số ban đầu 27 đơn vị Tìm số ĐS: 36 Dạng 2: Bài toán chuyển động Chú ý công thức: S = vt , S quãng đường, v vận tốc t thời gian Trong toán chuyển động mặt nước, ta có Vận tốc xi dịng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực – vận tốc dịng nước Vận tốc thực ln lớn vận tốc dịng nước Ví dụ Một tơ từ A đến B cách 115 km gồm hai đoạn đường nhựa đường sỏi Thời gian xe đoạn đường nhựa sỏi Tính vận tốc tô đoạn đường, biết đoạn đường nhựa vận tốc ô tô lớn đoạn đường sỏi 25 km /h ĐS: 55 km/h 53 km/h Ví dụ Một tơ xuất phát từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 30 km/h Sau đến B người quay trở A với vận tốc 40 km/h Tính thời gian ô tô lúc lúc về, biết tổng thời gian lẫn ĐS: Ví dụ Một ô tô từ A đến B với vận tốc thời gian dự định Nếu người tăng vận tốc thêm 20 km/h đến B sớm dự định Nếu người giảm vận tốc 10 km/h đến B muộn Tính vận tốc, thời gian dự định độ dài quãng đường AB ĐS: 40 km/h, giờ, 120 km Ví dụ Một người xe máy dự định từ A đến B thời gian định, người tăng tốc thêm 15 km/h đến B sớm giờ, xe chạy với vận tốc giảm 15 km/h đến ĐS: 180 km B chậm Tính quãng đường AB Ví dụ Một ca nơ chạy sơng xi dịng 38 km ngược dịng 64 km Một lần khác chạy khúc sông ca nơ chạy xi dịng 19 km ngược dịng 16 km Hãy tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước, biết vận tốc không đổi ĐS: 35 km/h km/h Ví dụ 10 Hai bến sơng A, B cách 200 km Một ca nô xuôi dòng từ bên A đến bến B ngược từ B trở A hết tổng thời gian Biết thời gian ca nơ xi dịng km thời gian ca nơ ngược dịng km Tính vận tốc ca nô nước yên lặng vận tốc dòng nước ĐS: 45 km/h km/h Ví dụ 11 Hai xe khởi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 100 km, ngược chiều gặp sau Nếu xe thứ khởi hành trước xe thứ hai 30 phút hai xe gặp xe thứ hai 30 phút Tìm vận tốc xe ĐS: 30 km/h 20 km/h Ví dụ 12 Hai địa điểm A B cách 120 km Một xe đạp xe máy khởi hành lúc từ A đến B, sau khoảng cách hai xe 30 km Tìm vận tốc hai xe, biết thời gian để hết quãng đường AB xe đạp nhiều xe máy ĐS: 30 km/h 20 km/h Ví dụ 13 Một ô tô xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc xe khơng đổi tồn qng đường AB dài 200 km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 30 km/h nên ô tơ đến sớm xe máy Tính vận tốc xe ĐS: 50 km/h 20 km/h Ví dụ 14 Một xe khách xe Du lịch khởi hành lúc từ Hà Nội đến Hải Phịng Xe Du lịch có vận tốc lớn xe khách 10 km/h, xe đến Hải Phịng trước xe khách 30 phút Tính vận tốc xe, biết khoảng cách Hà Nội Hải Phòng 100 km ĐS: 50 km/h 40 km/h C BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Cho hai số có tổng 57 Bốn lần số bé lớn lần số lớn Tìm hai số cho ĐS: 20 37 Bài Tìm số tự nhiên, biết tổng chúng 112 lấy số lớn chia cho số nhỏ thương , số dư ĐS: 90 22 Bài Cho số có hai chữ số, đổi chỗ hai chữ số ta số lớn số cho 18 Tổng số cho số tạo thành 132 Tìm số cho ĐS: 57 Bài Một ô tô từ A đến B với vận tốc thời gian dự định Nếu người tăng vận tốc thêm 25 km/h đến B sớm dự định Nếu người giảm vận tốc 20 km/h đến B muộn Tính vận tốc, thời gian dự định độ dài quãng đường AB ĐS: 50 km/h, giờ, 150 km Bài Hai xe khởi hành lúc từ hai tỉnh A B, cách 120 km, ngược chiều gặp sau Nếu xe thứ khởi hành trước xe thứ hai 40 phút hai xe gặp xe thứ hai Tìm vận tốc xe ĐS: 30 km/h 10 km/h Bài Một ca nơ chạy sơng, xi dịng 66 km ngược dòng 54 km hết tất Một lần khác chạy khúc sơng đó, xi dịng 11 km ngược dòng 18 km hết tất Hãy tính vận tốc xi dịng ngược dịng ca nơ, biết vận tốc dịng nước vận tốc riêng ca nô không đổi ĐS: 30 km/h km/h Bài Một ô tô xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc xe không đổi toàn quãng đường AB dài 280 km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 30 km/h nên ô tô đến sớm xe máy Tính vận tốc xe ĐS: 70 km/h 40 km/h D BÀI TẬP VỀ NHÀ HƯỚNG DẪN GIẢI Ví dụ 1.Cho số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng hai chữ số số 13 chia chữ số hàng chục cho hàng đơn vị thương dư Tìm số Lời giải * Gọi số cần tìm ab ( a, b ; a, b 9 ) Theo đề bài, ta có hệ phương trình a b 13 a 2b Giải hệ phương trình ta a 9 ; b 4 Vậy số tự nhiên cần tìm 94 Ví dụ 2.Cho hai số tự nhiên biết tổng chúng 33 lấy số lớn chia cho số bé thương dư Tìm hai số cho Lời giải * Gọi số lớn số bé cần tìm x , y ( x, y ; x, y 33 ) x y 33 Theo đề bài, ta có hệ phương trình x 4 y Giải hệ phương trình ta x 27 ; y 6 Vậy hai số cần tìm 27 Ví dụ 3.Cho số tự nhiên có hai chữ số, lần chữ số hàng chục lớn lần chữ số hàng đơn vị Nếu đổi chỗ hai chữ số số cho ta số nhỏ số cho 18 đơn vị Tìm số Lời giải * Gọi số cần tìm ab ( a , b ; b a 9 ) 2a 3b 1 10 a b (10 b a ) 18 Theo đề ra, ta có hệ phương trình 2a 3b 1 a b 2 Giải hệ phương trình ta a 5; b 3 Vậy số cần tìm 53 Ví dụ 4.Tổng chữ số hàng đơn vị lần chữ số hàng chục số có hai chữ số 21 Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số lớn số ban đầu 27 đơn vị Tìm số Lời giải * Gọi số cần tìm ab ( a , b ; a, b 9 ) 5a b 21 Theo đề ra, ta có hệ phương trình 10b a (10a b) 27 5a b 21 a b Giải hệ phương trình ta a 3; b 6 Vậy số cần tìm 36 Ví dụ 5.Một tơ từ A đến B cách 115 km gồm hai đoạn đường nhựa đường sỏi Thời gian xe đoạn đường nhựa sỏi Tính vận tốc tơ đoạn đường, biết đoạn đường nhựa vận tốc ô tô lớn đoạn đường sỏi 25 km /h Lời giải Gọi vận tốc ôtô đoạn đường nhựa x ( x 25 , km/h) Vận tốc xe đoạn đường sỏi y ( y x , km/h) x y 115 y 30 x y 25 x 55 Theo đề bài, ta có: (TMĐK) Vậy vận tốc ô tô đoạn đường nhựa đường sỏi 55 km/h 30 km/h Ví dụ 6.Một tơ xuất phát từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 30 km/h Sau đến B người quay trở A với vận tốc 40 km/h Tính thời gian ô tô lúc lúc về, biết tổng thời gian lẫn Lời giải Gọi thời gian ôtô lúc x , y ( x, y , giờ) 30 x 40 y x y Theo đề bài, ta có: y 3 x 4 (TMĐK) Vậy thời gian lúc giờ, lúc Ví dụ 7.Một tơ từ A đến B với vận tốc thời gian dự định Nếu người tăng vận tốc thêm 20 km/h đến B sớm dự định Nếu người giảm vận tốc 10 km/h đến B muộn Tính vận tốc, thời gian dự định độ dài quãng đường AB Lời giải Gọi vận tốc thời gian dự định x (km/h); y (h) (ĐK: x 10 ; y ) ( x 20)( y 1) xy x 20 y 20 ( x 10)( y 1) xy x 10 y 10 Ta có hệ phương trình: 40 km/h, thời gian dự định giờ, quãng đường AB: 120 km x 40 y 3 Vậy, vận tốc dự định Ví dụ 8.Một người xe máy dự định từ A đến B thời gian định, người tăng tốc thêm 15 km/h đến B sớm giờ, xe chạy với vận tốc giảm 15 km/h đến B chậm Tính quãng đường AB Lời giải Gọi vận tốc thời gian dự định x (km/h); y (h) (ĐK: x 15 ; y ) ( x 15)( y 1) xy Ta có hệ phương trình: ( x 15)( y 2) xy x 45 Giải hệ phương trình, ta y 4 Vậy, vận tốc dự định 45 km/h, thời gian dự định giờ, quãng đường AB: 180 km Ví dụ 9.Một ca nơ chạy sơng xi dịng 38 km ngược dịng 64 km Một lần khác chạy khúc sơng ca nơ chạy xi dịng 19 km ngược dịng 16 km Hãy tính vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước, biết vận tốc không đổi Lời giải Gọi vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước x , y (km/h; y x ) 64 38 x y x y 3 19 16 1 Ta có hệ phương trình: x y x y Đặt a 38a 64b 3 1 1 ,b a ,b x y x y Ta hệ 19a 16b 1 Giải HPT ta 38 32 Từ tìm được: x 35 , y 3 (TMĐK) Vậy vận tốc ca nô 35 km/h, vận tốc dịng nước km/h Ví dụ 10 Hai bến sông A, B cách 200 km Một ca nơ xi dịng từ bên A đến bến B ngược từ B trở A hết tổng thời gian Biết thời gian ca nô xi dịng km thời gian ca nơ ngược dịng km Tính vận tốc ca nơ nước yên lặng vận tốc dòng nước Lời giải Gọi vận tốc riêng ca nô vận tốc dòng nước x , y (km/h; y x ) 200 200 x y x y 9 Ta có hệ phương trình: x y x y Đặt a 1 1 ,b a ,b x y x y Giải HPT ta 50 40 Từ tìm được: x 45 , y 5 (TMĐK) Vậy vận tốc ca nô 45 km/h, vận tốc dịng nước km/h Ví dụ 11 Hai xe khởi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 100 km, ngược chiều gặp sau Nếu xe thứ khởi hành trước xe thứ hai 30 phút hai xe gặp xe thứ hai 30 phút Tìm vận tốc xe Lời giải Gọi vận tốc xe thứ xe thứ hai x , y (km/h; x, y 50 ) 2 x y 100 3x y 100 Ta có hệ phương trình: Giải HPT ta x 30; y 20 (TMĐK) Vậy vận tốc xe thứ 30 km/h, vận tốc xe thứ hai 20 km/h Ví dụ 12 Hai địa điểm A B cách 120 km Một xe đạp xe máy khởi hành lúc từ A đến B, sau khoảng cách hai xe 30 km Tìm vận tốc hai xe, biết thời gian để hết quãng đường AB xe đạp nhiều xe máy Lời giải Gọi vận tốc xe máy xe đạp x , y (km/h; x, y ) Ta có hệ phương trình: 3x y 30 x y 10 120 120 60 y 60 x xy x y x y 10 y 10 y 600 0 x 30 Giải HPT ta y 20 (TMĐK) Vậy vận tốc xe máy 30 km/h, vận tốc xe đạp 20 km/h Ví dụ 13 Một ô tô xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc xe khơng đổi tồn qng đường AB dài 200 km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 30 km/h nên ô tô đến sớm xe máy Tính vận tốc xe Lời giải Gọi vận tốc ô tô xe máy x , y (km/h; y x 30 ) Ta có hệ phương trình: x y 30 200 200 y x 6 x 50 Giải HPT ta y 20 (TMĐK) Vậy vận tốc ô tô 50 km/h, vận tốc xe máy 20 km/h Ví dụ 14 Một xe khách xe Du lịch khởi hành lúc từ Hà Nội đến Hải Phòng Xe Du lịch có vận tốc lớn xe khách 10 km/h, xe đến Hải Phịng trước xe khách 30 phút Tính vận tốc xe, biết khoảng cách Hà Nội Hải Phòng 100 km Lời giải Gọi vận tốc xe du lịch xe khách x , y (km/h; y x 10 ) Ta có hệ phương trình: x y 10 100 100 y x 2 x 50 Giải HPT ta y 40 (TMĐK) Vậy vận tốc xe Du lịch 50 km/h, vận tốc xe khách 40 km/h Bài Cho hai số có tổng 57 Bốn lần số bé lớn lần số lớn Tìm hai số cho Lời giải Gọi số bé a số lớn b a b 57 Ta có hệ phương trình: 4a 2b 6 a 20 Giải ta b 37 Vậy số bé 20 , số lớn 37 Bài Tìm số tự nhiên, biết tổng chúng 112 lấy số lớn chia cho số nhỏ thương , số dư Lời giải * Gọi số lớn a số bé b ( a, b ; a b ) a b 112 Ta có hệ phương trình: a 4b a 90 Giải ta b 22 Vậy số bé 90 , số lớn 22 Bài Cho số có hai chữ số, đổi chỗ hai chữ số ta số lớn số cho 18 Tổng số cho số tạo thành 132 Tìm số cho Lời giải * Gọi số cần tìm ab 10a b ( a, b ; a, b 9 ) Đổi chỗ hai chữ số ta số ba 10b a 10b a (10a b) 18 b a 2 11a 11b 132 Ta có hệ phương trình: 10a b 10b a 132 a 5 Giải ta b 7 Vậy số cần tìm 57 Bài Một ô tô từ A đến B với vận tốc thời gian dự định Nếu người tăng vận tốc thêm 25 km/h đến B sớm dự định Nếu người giảm vận tốc 20 km/h đến B muộn Tính vận tốc, thời gian dự định độ dài quãng đường AB Lời giải Gọi vận tốc thời gian dự định x (km/h); y (h) (ĐK: x 20 ; y ) ( x 25)( y 1) xy x 50 Ta có hệ phương trình: ( x 20)( y 2) xy Giải hệ phương trình, ta y 3 Vậy, vận tốc dự định 50 km/h, thời gian dự định giờ, quãng đường AB: 150 km Bài Hai xe khởi hành lúc từ hai tỉnh A B, cách 120 km, ngược chiều gặp sau Nếu xe thứ khởi hành trước xe thứ hai 40 phút hai xe gặp xe thứ hai Tìm vận tốc xe Lời giải Gọi vận tốc xe thứ xe thứ hai x , y (km/h; x, y ) Đổi: 40 phút chúng AB hai xe ngược chiều nên gặp tổng quãng đường 3 x y 120 11 x y 120 Ta có hệ phương trình: Giải HPT ta x 30; y 10 (TMĐK) Vậy vận tốc xe thứ 30 km/h, vận tốc xe thứ hai 10 km/h Bài Một ca nô chạy sông, xi dịng 66 km ngược dịng 54 km hết tất Một lần khác chạy khúc sơng đó, xi dịng 11 km ngược dịng 18 km hết tất Hãy tính vận tốc xi dịng ngược dịng ca nơ, biết vận tốc dòng nước vận tốc riêng ca nô không đổi Lời giải Gọi vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước x , y (km/h; y x ) 54 66 x y x y 4 11 18 1 Ta có hệ phương trình: x y x y Đặt a 1 1 ,b a ,b x y x y Giải HPT ta 33 27 Từ tìm được: x 30 , y 3 (TMĐK) Vậy vận tốc ca nơ 30 km/h, vận tốc dịng nước km/h Bài Một ô tô xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc xe khơng đổi tồn quãng đường AB dài 280 km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 30 km/h nên ô tô đến sớm xe máy Tính vận tốc xe Lời giải Gọi vận tốc ô tô xe máy x , y (km/h; x y 30 ) Ta có hệ phương trình: x y 30 280 280 y x 3 x 70 Giải HPT ta y 40 (TMĐK) Vậy vận tốc xe máy 70 km/h, vận tốc xe đạp 40 km/h - HẾT -