Đề thi hsg toán 12 hà tĩnh năm học 2019 2020

Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH C SINH GIỎI HÀ TĨNH I HÀ TĨNH 2018 -2019 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH SỞ GDĐT HÀ TĨNH – NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN TỐN TIME: 180 PHÚT ĐỀ BÀI Câu ( 5.0 điểm) 2 C  1;4  C  a Cho hàm số y  x  3mx  4m  có đồ thị m điểm Có giá trị C  nguyên m để đồ thị hàm số m có hai điểm cực trị A, B cho diện tích tam giác ABC 4? b Có 10 đội tuyển bóng đá quốc gia khu vực Đông Nam Á tham gia thi đấu AFF Suzuki Cup 2018 có đội tuyển Việt Nam đội tuyển Thái Lan, đội chia làm hai bảng, kí hiệu bảng A bảng B, bảng có đội Việc chia bảng thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để hai đội tuyển Việt Nam Thái Lan nằm hai bảng đấu khác Câu ( 5.0 điểm) log 2018 x  log 2019 y 1  log 2019 x  log 2018 y m m a Tìm giá trị để hệ phương trình sau có nghiệm  b Cho hàm số y  f ( x ) xác định f (  3)  8, f (4)  , f (2)  2  có Biết hàm số y  f '( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm y | f ( x )   x  1 | số có điểm cực trị? Câu ( 5.0 điểm) a Cho hình lăng trụ ABC AB C  có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A lên mp  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA a BC Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a b Một phễu có dạng hình nón chiều cao phễu h Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao lượng nước phễu h1  h ( hình H1 ) Ta bịt kín miệng phễu Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH C SINH GIỎI HÀ TĨNH I HÀ TĨNH 2018 -2019 lật ngược phễu lên ( hình H ), gọi chiều cao cột nước phễu hình H k Tính k h Câu ( 5.0 điểm) a Cho đồ thị hàm số bậc ba y  f ( x ) hình vẽ x y  x  3 x  x x  f ( x )  f ( x )  Hỏi đồ thị hàm số nhiêu đường tiệm cận đứng? có bao b Trên sa mạc có khu đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB 70 km , chiều rộng AD 10 km Vận tốc trung bình xe máy khu đất 20 km/h , riêng cạnh CD vận tốc 40 km/h Một người xe máy xuất phát từ A lúc 8h sáng muốn đến B sau 3h Hỏi người đến B kịp thời gian không? Xây dựng phương án di chuyển khu đất từ A đến B để hết thời gian Hết Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH C SINH GIỎI HÀ TĨNH I HÀ TĨNH 2018 -2019 LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu ( 5.0 điểm) 2 C  1;4  C  a Cho hàm số y  x  3mx  4m  có đồ thị m điểm Có giá trị C  nguyên m để đồ thị hàm số m có hai điểm cực trị A, B cho diện tích tam giác ABC 4? Lời giải  x 0 y ' 3x  6mx 0    x 2m TXĐ: D  Ta có: Để đồ thị hàm số có điểm cực trị điều kiện là: m 0 (*) Tọa độ hai điểm cực trị là: A  0;4m   , B  2m;  4m3  4m   Phương trình đường thẳng AB : 2m x  y  4m  0  2m  d  C ; AB    4m ; AB  2m;  4m   AB  4m  16m 2 m  4m  m 1 S ABC  d  C; AB  AB  6m  2m 4   (tm(*)) m  2  Do đó: m Vậy có giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu toán Câu b Có 10 đội tuyển bóng đá quốc gia khu vực Đông Nam Á tham gia thi đấu AFF Suzuki Cup 2018 có đội tuyển Việt Nam đội tuyển Thái Lan, đội chia làm hai bảng, kí hiệu bảng A bảng B, bảng có đội Việc chia bảng thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để hai đội tuyển Việt Nam Thái Lan nằm hai bảng đấu khác Lời giải Số phần tử không gian mẫu n () C10 252 Gọi C biến cố: “Hai đội tuyển Việt Nam Thái Lan nằm hai bảng đấu khác nhau” TH 1: Đội tuyển Việt Nam bảng A, đội tuyển Thái Lan bảng Số cách xếp thỏa mãn C84 70 TH 2: Đội tuyển Việt Nam bảng B, đội tuyển Thái Lan bảngA Số cách xếp thỏa mãn C84 70 Số phần tử biến cố C n (C ) 140 Vậy xác suất để hai đội tuyển Việt Nam Thái Lan nằm hai bảng đấu khác n(C) 140 P (C )    n () 252 Câu log 2018 x  log 2019 y 1  log 2019 x  log 2018 y m m a.Tìm giá trị để hệ phương trình sau có nghiệm  Lời giải (1) log 2018 x  log 2019 y 1   log 2019 x  log 2018 y m (2) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH C SINH GIỎI HÀ TĨNH I HÀ TĨNH 2018 -2019 Điều kiện: x; y 1 Đặt t log 2019 y ; t 1 1 t log 2018 x 1  t  x 2018     t t  y 2019  y 2019 Phương trình (2) Xét (1  t ) log 2019 2018  t log 2018 2019 m  f  x   (1  t )log 2019 2018  t log 2018 2019 ;0 t 1 f  x    log 2019 2018 (1  t ) f  x  0   log 2019 2018 (1  t ) log 2018 2019 t  log 2018 2019 t  t.log 2018 2019   t  log 2019 2018 t log 2019 2018 t0 log 2018 2019  log 2019 2018 Ta có f    log 2019 2018 f  1  log 2018 2019  f  t0   log 2019 2018  log 2018 2019 Yêu cầu toán log 2019 2018 m  log 2019 2018  log 2018 2019 Câu f (  3)  8, f (4)  , f (2)  2 Biết hàm số y  f '( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hỏi đồ thị hàm số y | f ( x )   x  1 | có điểm cực trị? b Cho hàm số y  f ( x ) xác định  có Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH C SINH GIỎI HÀ TĨNH I HÀ TĨNH 2018 -2019 Lời giải Tác giả: Tô Minh Trường; Fb: Tô Minh Trường Đặt g ( x ) 2 f ( x )   x  1 Nhận xét: Số điểm cực trị hàm số y | g ( x ) | tổng số điểm cực trị hàm số y  g ( x ) số nghiệm phương trình g (x) 0 khơng trùng với điểm cực trị Ta có g '( x ) 2 f '( x )   x  1 2[ f '( x )   x  1 ] y  f '( x ) y  x  ta được: Từ đồ thị hàm số đường thẳng  x   x 1 g '( x ) 0    x 2   x 3 Bảng biến thiên Ta thấy hàm số y  g ( x ) có điểm cực trị Theo giả thiết f (  3)   g (  3) 2 f (  3)  16  f (2)   g (2) 2 f (2)   f (4)   g (4) 2 f (4)   Từ suy phương trình g ( x ) 0 có nghiệm phân biệt khác điểm cực trị hàm số y  g ( x ) Vậy hàm số y | f ( x )   x  1 | có điểm cực trị Câu a Cho hình lăng trụ ABC AB C  có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A lên mp  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA a BC Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a Lời giải Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH C SINH GIỎI HÀ TĨNH I HÀ TĨNH 2018 -2019 Gọi I trung điểm BC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Gọi H hình chiếu vng góc I lên AA BC   AAI   BC  IH Ta có BC  AG; BC  AI nên suy Suy d  AA, BC   IH  Đặt AG h Ta có: a AG AI  IH AA  h a a a2 a  h2   h 3 a a2 a3 VABC ABC  h.S ABC   12 Vậy Câu b Một phễu có dạng hình nón chiều cao phễu h Người ta đổ lượng nước vào phễu h cho chiều cao lượng nước phễu ( hình H1 ) Ta bịt kín miệng phễu lật ngược phễu lên ( hình H ), gọi chiều cao cột nước phễu hình H k Tính h1  k h Lời giải Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH C SINH GIỎI HÀ TĨNH I HÀ TĨNH 2018 -2019 Cho hình chóp hình vẽ bên Đặt SO1 h1; SO h; AO1 r1; CO r SO1 AO1 h r  t   t h r Ta có SO CO Gọi V1;V2 thể tích khối nón trịn xoay quay SA; SC quanh trục SO1 Ta có  V1   r12h1   V1  r1  h1 3   t   V  r  h V1   r h  Áp dụng kết ta có : 3 V1  h1    7       V1  V V h   8 Thể tích phần chứa nước V2  V Chiều cao phần phễu không chứa nước Suy thể tích phần khơng chứa nước V2  h  k  h k     h  k  h  k    H V h   hình h  k Ta có Vậy h Câu a Cho đồ thị hàm số bậc ba y  f ( x ) hình vẽ Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC x y  x  3 x  x x  f ( x )  f ( x )  Hỏi đồ thị hàm số ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH C SINH GIỎI HÀ TĨNH I HÀ TĨNH 2018 -2019 có đường tiệm cận đứng? Lời giải Tác giả:Lê Thị Mai Hoa ; Fb: Mai Hoa y x  x  3 x  x x  f ( x )  f ( x )  Xét hàm số: Điều kiện để (1)  x  x  x 0   x  x có nghĩa  x 0 (*)  a   Vậy: Nếu x a đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số (1) thì:  a 0 Xét phương trình: 1) x  x  0  x   x  ( nghiệm tử thức) 2) x  x 0  x 0  x  (là nghiệm tử thức) 3) x 0 có nghiệm x1 0 x y  x  3 x  x  f ( x )  f ( x )  Với x 0 , ta có: Với x  , ta có: x y Trường hợp có tiệm cận đứng x  x1  x  3  x   x  f ( x )  f ( x )  Khi nghiệm x1 0 (loại)  f  x  0 f  x   f  x  0    f  x  2 4) + Xét f  x  0 x    1;0  có nghiệm x2  (là nghiệm bội) loại Trường hợp có tiệm cận đứng: x  x2 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC f  x  2 + Xét ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH C SINH GIỎI HÀ TĨNH I HÀ TĨNH 2018 -2019 có nghiệm gồm x4 ; x5 ( x3 ; x4  x4   1; x5   ) x6  (loại tử mẫu thức có nghiệm x  ) Trường hợp có hai tiệm cận đứng: x  x4 , x  x5 Vậy đồ thị có tiệm cận đứng gồm: x  x1 , x  x2 , x  x4 , x  x5 Cách khác Xét phương trình  x 0  x  f ( x )  f ( x )  0   f  x  0  f  x  2  Dựa vào đồ thị đề ta có: Phương trình Do f  x f  x x y x a    1;0  có nghiệm kép x 3 nghiệm đơn hàm số bậc Phương trình Do f  x  0 f  x  2  x  3 x  x x  f ( x )  f ( x )  Khi đó: x x lim y  lim x  x  lim y  lim x c x c lim y  lim x b x b x   1; b; c Suy  x  1  x  3 x  x  1 x  x  3  x  a   x  1  x  b   x  c   x  1  x  3 x  x  1 x  x  3  x  a   x  1  x  b   x  c   x  1  x  3 x  x  1 x  x  3  x  a   x  1  x  b   x  c  Vậy đồ thị hàm số   x  1  x  3 x  x  1 x  x  3  x  a   x  1  x  b   x  c  x y c   3; b    3;  1    x   x  a  x  1  x  3 x  x  1 x  x  3  x  a   x  1  x  b   x  c   x  1  x  3 x  x  1 x  x  3  x  a   x  1  x  b   x  c  x  , với f  x     x  1  x  b   x  c   lim y  lim x   lim f  x    x   f  x    x  3  x  1  x  3 x  x  1 x  x  3  x  a   x  1  x  b   x  c  lim y  lim x  Suy có ba nghiệm phân biệt hàm số bậc lim y  lim lim f  x    x   0 không tồn  x  3 x  x x  f ( x )  f ( x )  có đường tiệm cận đứng x 0, x  3, x b, x c Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH C SINH GIỎI HÀ TĨNH I HÀ TĨNH 2018 -2019 Câu b Trên sa mạc có khu đất hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB 70 km , chiều rộng AD 10 km Vận tốc trung bình xe máy khu đất 20 km/h , riêng cạnh CD vận tốc 40 km/h Một người xe máy xuất phát từ A lúc 8h sáng muốn đến B sau 3h Hỏi người đến B kịp thời gian khơng? Xây dựng phương án di chuyển khu đất từ A đến B để hết thời gian Lời giải Cách Trường hợp: xe máy không chạy CD, thời gian ngắn từ A đến B chạy 70 t  3,5  h  20 AB suy Trường hợp: xe máy có chạy CD Giả sử xe chạy từ A đến B qua EF 2 Đặt DE  x, FC  y ,  x, y 70  EF 70  ( x  y ); AE  x  100; BF  y  100 Khi thời gian xe chạy là: t  x  100  20 y  100 70  ( x  y )   x  102  y  102  x  y  35     20   20 40  xy       35   ( x  y )  400  u 20   (áp dụng  v  u  v ) Xét h (a )  a  400  h' (a )  a a  400  a  35 ; a 70 20 0  a  a h a  20 – 70 + h  a Hãy tham gia STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 10 Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH C SINH GIỎI HÀ TĨNH I HÀ TĨNH 2018 -2019 72  20  30  h ( a ) h   35  t  (h)  3   Dựa vào BBT tmin x y  10   20  x  y   x  y a  Từ trường hợp ta kết luận: Sau 3h xe chạy từ A đến B được, với thời gian 10 72 DE CF  t (h) chạy ngắn Cách KN1: Để từ A đến B di chuyển đoạn AB hết số B A S 70 t   3,5 V 20 ( giờ), trường hợp đến B kịp thời gian sau u cầu tốn Vì vận tốc khu đất ( trừ cạnh CD) 20km/h, theo AB khơng kịp thời gian đường khác mà khơng CD khơng kịp thời gian D C Do ta xét khả F E KN2: Để từ A đến B có cạnh CD Giả sử từ A đến E, từ E đến F từ F đến B (như hình vẽ) Đặt DE a, FC b Khi thời gian để di chuyển từ A đến B Áp dụng bđt t 100  a 100  b2 70  ( a  b)   20 20 40 a  b  c  d  ( a  c )  (b  d )2 (10  10)  ( a  b) 400  (a  b) 100  a 100  b    20 20 20 20 Ta có , dấu “=” xảy a b 400  ( a  b) 70  ( a  b) 100  a 100  b2 70  (a  b) t     20 20 40 20 40 Vậy Đặt a  b  x,(0  x 70) 400  x 70  x  20 40 ,  x 70 Xét x f '( x )   ,0  x 70 20 400  x 40 f ( x)  f '( x ) 0  400  x 2 x  x  20 3 BBT x f’(x ) – 20 3 70 + Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 11 Sản phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC n phẩm Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC m Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC a Group FB: TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC - STRONG TEAM TOÁN VD VDC f(x) ĐỀ HỌC SINH GIỎI HÀ TĨNH C SINH GIỎI HÀ TĨNH I HÀ TĨNH 2018 -2019 37 7 Vậy GTNN f(x) Cách 3: t  xy xy    2  35    ( x  y )2  400   35   x  10  y  10  20  2  20   A  a  400  Xét Ta có: a  20   5a ;f a 70  A2   400  a a  400    4 1  4a  a  400  5a  400 a a  400  2a a  400    2  5a 72   a a  400   100  A 300  A 10  t  10  35  20 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán!   Trang 12