Đề thi hsg toán 12 hà nam năm học 2019 2020

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT NĂM HỌC: 2018 – 2019 Mơn: Tốn – Lớp 12 (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút Họ và tên: ………………… ………………………SBD:…………………… ĐỀ Câu (5,0 điểm) Cho hàm số y mx  3mx   2m  1 x   m  1 , với m tham số thực Tìm tất  1 có điểm cực trị A B cho khoảng cách từ giá trị tham số m để đồ thị hàm số  15  I ;  điểm   đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn x2 x  có đồ thị  C  Có bao Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hàm số nhiêu điểm M thuộc trục Oy, có tung độ số nguyên nhỏ 2019 thỏa mãn từ điểm C M kẻ tiếp tuyến tới đồ thị   cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục Ox ? y Câu (4,0 điểm) Cho phương trình sau với m tham số thực x  x2  2x 1  x  log 2019 x  x  2011  m  log 2019 ( x  x  2011)     Tìm tất giá trị m cho phương trình có hai nghiệm thực phân biệt thỏa mãn  x  3    2019 x  y  x   x y 1  y   18 y  25 x  x x  2  y 1 Giải hệ phương trình sau tập số thực:    1  2   cos x  sin x sin x  x cos x  I   x  dx e  sin x  sin x   0  Câu (2,0 điểm) Tính tích phân Câu (5,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M , N hai điểm thay đổi thuộc cạnh AB , AC cho mặt phẳng ( DMN ) vng góc với mặt phẳng  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 ( ABC ) Đặt AM x, AN  y Tìm x, y để tam giác DMN có diện tích nhỏ nhất, lớn Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có tất mặt hình thoi cạnh a ,     AAD 60 BAD BAA a) Tính thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' P b) Gọi I , J , G trung điểm AD, AB, IJ Mặt phẳng   qua G cắt cạnh A1 , B1 , D1  A   P  , B   P  , D   P   Gọi AA, AB, AD VA A1B1D1 , VB A1B1D1 , VD A1B1D1 A A1 B1 D1 , B A1 B1D1 , D.A1 B1 D1 thể tích khối chóp T VA A1B1D1  VB A1B1D1  VD A1B1D1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức theo a A   1;  1;0  , M  0;1;0  Câu (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm Tìm tọa  P  : x  y  z  0 biết AH  mặt phẳng  AMH  độ điểm H thuộc mặt phẳng  P vng góc với mặt phẳng  a  c   b  c  4c Tìm giá trị nhỏ Câu (2,0 điểm) Cho số thực dương a , b , c thỏa mãn P biểu thức 32a  b  3c   32b3  a  3c    a  b  3c  1  a2 b2  HẾT   Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NAM ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT NĂM HỌC: 2018 – 2019 Mơn: Tốn – Lớp 12 (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút Họ và tên: ………………… ………………………SBD:…………………… LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1 Cho hàm số y mx  3mx   2m  1 x   m  1 , với m tham số thực Tìm tất  1 có điểm cực trị A B cho khoảng cách từ giá trị tham số m để đồ thị hàm số  15  I ;  điểm   đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn Lời giải Nhóm Tác giả: Nguyễn Thị Huỳnh Như; Fb: Nhu Nguyen; Vũ Kiều Oanh; Fb: Rio Vũ Vũ Trần Ngọc Hiếu; FB: Trần Ngọc Hiếu TX Đ : D  Ta có: y  3mx  6mx  2m  Để hàm số  1 có điểm cực trị  m 0       PT: y 0 có nghiệm phân biệt m 0 m 0  (*)  m  m  m    1 2 10 1 y  y  x    mx  x  m  3 3 3 3 Ta có: Khi đường thẳng qua điểm cực trị A B đồ thị hàm số (1) m  10 () : y   m  1 x  3   m  1 x  y  m  10 0 Giả sử đường thẳng    qua điểm M  x0 ; y0  cố định với giá trị m  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Suy ra: TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019  m  1 x0  y0  m  10 0, m  m  x0  1  x0  y0  10 0, m 2 x0  0    x0  y0  10 0   x0      y0 3  M   ;3  Gọi H hình chiếu vng góc I lên  hình vẽ I M H Khi : Do d  I ,    IH  IM d  I ,   lớn H  M    IM    IM u 0    (1  m) 0  m 3 (thỏa mãn (*))    IM   1;   ; u  3; 2(1  m)  4  (vì ) Vậy m 3 Nhận xét: (Lê Thanh Bình)  15  I ;  AB :2  m  1 x  y  m  10 0 Xử lý toán khoảng cách từ   đến đường thẳng m  1 d  I ; AB   đại số sau: Ta có Đặt t 2  m  1 d  I ; AB   ta  Đẳng thức xảy 45  m  10 4  m  1  9 t t2  Bunhiacopxky   m  1   4  m  1    2  2 1     t        t2   t   t 4   m  1 4  m 3 (thỏa mãn (*)) x2 x  có đồ thị  C  Có bao Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hàm số nhiêu điểm M thuộc trục Oy, có tung độ số nguyên nhỏ 2019 thỏa mãn từ điểm y  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 M kẻ tiếp tuyến tới đồ thị trục Ox ?  C  cho tiếp điểm tương ứng nằm phía Lời giải Tác giả: Lê Hoàn ; Fb: Lê Hoàn y Gọi x2  y 1  x x M  0; m   Oy Gọi tiếp tuyến  C  qua M đường thẳng d : y kx  m   kx  m 1  x  (1)   3 k  (2) x  1  x , x 1  Yêu cầu đề bài, điều kiện hệ phương trình có nghiệm  y  x1    y  x2   thỏa mãn   1  x      y  x1      1 0  y  x2    x2    Xét điều kiện  3x Từ (1) (2) suy  x  1  m 1   x         x2  3     m 0 x  x  1 x  1 t  t 0  Đặt x  , phương trình (3) trở thành 3t  6t   m 0 (3) (4) t,t Bài toán trở thành tìm m để phương trình (4) có nghiệm thỏa mãn Đặt f  t  3t  6t   m t1    t2 0 , với điều kiện ta có bảng biến thiên sau Từ bảng biến thiên suy điều kiện  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC  f  f  TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019   2  1  1    0 3          m  m      3  3   3     0 m 1 1  m 0 m   0; 2;3; ; 2018 Do m số nguyên nhỏ 2019 nên  có 2018 điểm M Cách y Tác giả:Nguyễn Ngọc Như Trang ; Fb:nhutrangnguyenngoc x 2 3  y'  x ( x  1)2 Gọi  phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho K ( x0 ; y0 ) () : y  Ta có: x 2 3 ( x  x0 )  x0  ( x0  1) M  Oy  M (0; m) M    m  x 2 3 ( x )  x0  ( x0  1)  x 1  m( x0  1) 3x0  ( x0  2)( x0  1)  x 1  f(x0 ) (m  1) x0  2(m  2) x0  m  0 (1) u cầu tốn  phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 khác cho y( x1 ).y( x )  phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 khác  m 1 m 1 m 1    '    (2) 3(m  2)  m    f (1) 0 (luon dung)   y( x1 ).y( x2 )     x1  x2  0 x1  x2  x1 x2  2( x1  x2 )  0 x1 x2  ( x1  x2 )  m  4(m  2)  4 9m  2 m  m   0 0 m (3) m  2(m  2) 3  1 m m  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019  m 1   2 m  Từ (2),(3) suy :  Do m  , m  2019 nên m  {0; 2; 3; ; 2018} Vậy có 2018 giá trị m thỏa đề Câu Cho phương trình sau với m tham số thực  x2  2x 1 2 x  x log x  x  2011   m log 2019 ( x  x  2011)      2019   Tìm tất giá trị m cho phương trình có hai nghiệm thực phân biệt thỏa  x  3 mãn GIẢI  x  x 0  x    ;0   2;    x  x  2011   ĐK  Ta có  PT  x  3  x    2;0   2;4  (*) 1  x  x  log 2019 ( x  x  2011)  m  x  x log 2019 ( x  x  2011)    4 2   x  x  log 2019 ( x  x  2011)  m  x  x log 2019 ( x  x  2011)  1   2 Đặt t  x  x log 2019 ( x  x  2011) t' x x2  2x log 2019 ( x  x  2011)  (2 x  2) x  x ( x  x  2011).ln 2019  log ( x  x  2011)  x2  x 2019 ( x  1)    ( x  x  2011) ln 2019  x2  2x  Do với x    2;0 x   2; 4 t '  , với t '  Bảng biến thiên  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 Từ bảng biến thiên ta thấy, với x    2;0   2; 4 t   0;  cho ta hai giá trị Như tốn trở thành tìm m để phương trình sau có nghiệm t  m t  m Ta có m'    2.t   m   t   0;   2.t  t2  t 2.t  (do không nghiệm pt) 2t  2t  ( 2.t  1)2 , m ' 0  t 2 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy m  ( ;  4]  [4; ) u cầu tốn thỏa mãn    2019 x  y  x   x y 1  y   18 y  25 x  x x  2  y 1 Câu 2.2 Giải hệ phương trình sau tập số thực:    1  2 Lời giải Tác giả:Trần Ngọc Quang ; Fb:Quang Tran Điều kiện x   Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC  2019 x (1)   x   x 2019  y    x ln 2019  ln Xét hàm số TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019      y     x   x  y ln 2019  ln   f  t  t ln 2019  ln f '(t ) ln 2019    y t 1    y     y   (*)   t 1  t , t    0, t   Suy hàm số đồng biến  Do phương trình (*)  x  y 18 x 25 x  x x  2  x  (3) Thay x  y vào (2) ta có 2 18 x 2 x 18 x  , x2  x 1 Nếu , suy pt (3) vô nghiệm Nếu 18 2  25  9    (**) x x x 1 (3) x Đặt u ,0  u  x , Pt (**) trở thành  18u   u   12   2u   9  4u  0    u  2 36  u      u  2  0 u 1  4u   u 2  36  2 0(4)  4u   u  25  9  4u 2u  18u  u 1   4u    Vì 36 36 2 8 9u   , u 1 , suy phương trình (4) vơ nghiệm  x  u 2  2   1 x  x    Với x Vì 2 1  x  y 2  1  ;   2   Vậy hệ phương trình có nghiệm  Trang  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019  Câu  cos x  sin x sin x  x cos x  I   x  dx e   sin x    sin x 0 (2,0 điểm) Tính tích phân Lời giải Tác giả: Nguyễn Thanh Việt ; Fb: Nguyễn Thanh Việt    4  cos x  sin x sin x  x cos x  cos x  sin x sin x  x cos x I   x d x  d x  dx I1  I    e   sin x   e x   sin x   sin x  sin x 0 0 Ta có:  cos x  sin x I1  dx  sin x +) Tính Ta có:  sin x    cos x  sin x   cos x  sin x cos x  sin x     x   0;   4 ) ( d  cos x  sin x  cos x  sin x cos x  sin x I1  dx  dx  ln cos x  sin x cos x  sin x cos x  sin x  sin x 0  ln  +) Tính sin x  x cos x I  x dx e  sin x   sin x  x cos x  u  ex  dx dx  dv  dx     sin x  sin x  cos x    cos   x   4  Đặt    x  1  sin x  cos x  dx du   ex  v  tan    x   cos x  sin x    2 sin x  cos x 4  Suy ra:     sin x  x cos x     cos x  sin x  x  1  sin x  cos x  I  tan  x  dx    ex ex 4   sin x  cos x    x  1  cos x  sin x    dx 20 ex  x e  x cos x  x sin x  cos x  sin x    dx 20 e2 x  x x  2sin x  x cos x  sin x  e  e  x sin x  cos x    dx 20 e2 x  Trang 10  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC  TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 /  x sin x  cos x     dx 0 ex   x sin x  cos x 2  2     x e 8e I I1  I ln  8e Vậy Câu 2  2   Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M , N hai điểm thay đổi thuộc cạnh AB , AC cho mặt phẳng ( DMN ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Đặt AM x, AN  y Tìm x, y để tam giác DMN có diện tích nhỏ nhất, lớn Lời giải Tác giả: Trần Duy Khương ; Fb:Tran Duy Khuong Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do ABCD tứ diện nên DO   ABC  Theo đề bài, mặt phẳng  DMN    ABC  nên suy O  MN S DMN  DO.MN S Tam giác DMN có DO  MN nên Mà DO số nên DMN lớn MN lớn nhất, nhỏ MN nhỏ MN x  y  xy  x  y   3xy Áp dụng định lí cosin tam giác AMN ta có Như M , N thay đổi cho đoạn thẳng MN ln qua O Ta có  x, y 1             MO  AO  AM  AH  x AB   x  AB  AC 3 3  Ta có MN  AN  AM  y AC  x AB ,   Trang 11  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 1  x 1 3    y   x 3 Vì MN MO hướng nên y Từ  x, y 1 , ta có x  y 3xy   x   x  xy x  y  1 1 1  3  3   2  x  x y x y x 2 Ta có MN  x  y    x  y  x  3x     t ' x  x x   ;1 t x  3x  1  t  x  y   x  Đặt Ta có với , Bảng biến thiên: t  Quan sát bảng biến thiên, ta có  3  3; 2 MN  f  t  t  t f  t  ta Ta có Khảo sát biến thiên hàm đoạn  2   x t    2 t     t 1  y 2   , MN max MN   x 1, y    y 1, x   2 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có tất mặt hình thoi cạnh a ,     AAD 60 BAD BAA a) Tính thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' P b) Gọi I , J , G trung điểm AD, AB, IJ Mặt phẳng   qua G cắt cạnh A1 , B1 , D1  A   P  , B   P  , D   P   Gọi AA, AB, AD VA A1B1D1 , VB A1B1D1 , VD A1B1D1 A A1B1 D1 , B A1B1D1 , D.A1 B1D1 thể tích khối chóp T VA A1B1D1  VB A1B1D1  VD A1B1D1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức theo a Lời Giải Tác giả: Nguyễn Tuấn Phương ; Fb:phuongnguyentuan86  Trang 12  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 Các tam giác ABD, AAD, AA ' B tam giác suy AB BD  AD a Do tứ diện AABD tứ diện có cạnh a a a BH   3 Tam giác ABH vuông Gọi H trọng tâm tam giác ABD Ta có a2 a a2 AH  AB  BH  a   S A ' BD  3 ; H nên a a a3 VA A ' BD   12 Vậy 2 VABCD AB C D 6.VA A ' BD 6 a3 a3  12 Suy Cách khác: Gọi O trọng tâm ABD , tứ diện A ' ABD tứ diện nên AO vng góc với mặt  ABD  Do AO chiều cao hình hộp phẳng a2 a AO  AD  OD  a   3 Ta có a a2 a3 a2 a2 VABCD ABC D  AO S ABCD   S ABCD 2 S ABD 2  2 Vậy Bổ đề: Cho tứ diện SABC có SA SB SC 1 Một mặt phẳng ( P ) thay đổi qua trọng 1 CMR :   4 SM SN SP tâm G tứ diện cắt SA, SB, SC M , N , P Chứng minh:  Trang 13  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 Gọi G trọng tâm ABC Theo tính chất trọng tâm tứ diện ta có S , G , G thẳng hàng SG VSABGG  VSBCG  VSGCA  VSABC  SG Thêm Ta có: VSMNG SM SN SG 3V V 3SM SN SM SN   SMNG   SMNG   1 VSABG SA SB SG VSABC VSABC (Lưu ý SA SB 1 ) VSNPG SN SP VSGPM SP.SM    2  3 V V  SABC SG CA Lập luận tương tự thu  1 ,   ,  3 ta Cộng theo vế đẳng thức VSMNP SM SN  SN SP  SP.SM SM SN SP SM SN  SN SP  SP.SM    VSABC SA SB SC 1    4  4.SM SN SP SM SN  SN SP  SP.SM SM SN SP Quay lại toán cho: G trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối tứ diện AABD nên G trọng tâm tứ diện Coi a đơn vị dài Áp dụng bổ đề cho tứ diện AABD với G  Trang 14  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 A1 , B1 , D1 giao điểm mặt phẳng  P  qua G với 1   4 A1 AB1 AD1 A    A A , A B , A D cạnh Ta có: 1   4 AA1  x; AB1  y; AD1 z   x, y , z  1 x y z Đặt ta trọng tâm tứ diện 1 1 27 27    3  64  xyz  x y z xyz xyz 64 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có x  y z  (mặt phẳng (P) song song với  ABD  ) Dấu xảy Mặt khác VAA1B1D1 AA  x VBA1B1D1 BB  y VDA1B1D1 DD1  z       VAA1B1D1 AA1 x VAA1B1D1 AB1 y VAA1B1D1 AD1 z ; ; VAA1B1D1 AA1 AB1 AD1  xyz  VAA1B1D1 xyz.VAABD VAABD AA AB AD Suy 1 1 1  1  T       1 VAA1B1D1      xyz.VAABD  xyz.V   27 V  A ABD A ABD y z  x x y z  64 Mà VAABD  a3 27 a 9a T  Tmin  12 64 12 256 đạt mp ( P) song song với  ABD  mp Cách trình bày khác: (Theo thầy Kiên Nguyễn) AA AB AD AA1 BB1 DD1   4    1 A1 AB1 AD1 A1 AB1 AD1 A A Chứng minh (cách chứng minh tương tự bổ đề trên) h d  A;  A1 B1D1   ; h2 d  B;  A1B1D1   ; h3 d  C ;  A1B1D1   ; h d  A;  A1B1D1   Đặt h1 AA1 h2 BB1 h3 DD1 h h h  ;  ;     1     h1  h2  h3 h h h h Ta có h A D1 h A B1 h A D1 1 VA A1B1D1  VB A1B1D1  VD A1B1D1  S A1B1D1  h1  h2  h3   h.S A1B1D1 VAA1B1D1 3  AA AB AD    VAA1B1D1 AA AB AD  AA1 AB1 AD1  4     VA ABD AA1 AB1 AD1  27      Lại có 27 27 a 9a3  VAA1B1D1  VA ABD   64 64 12 256 AA AB AD       A1 B1D1  A1 AB1 AD1  ABD  A Dấu xảy // 9a T  256 đạt  P  //  ABD  Vậy Nhận xét: (Lê Thanh Bình) Cách chứng minh vectơ cho bổ đề:  Trang 15  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 Bổ đề: Cho tứ diện SABC có SA SB SC a Một mặt phẳng ( P ) thay đổi qua trọng tâm G 1 CMR :    SA , SB , SC M , N , P SM SN SP a tứ diện cắt Chứng minh: S M A P G C N H K B       SM  xSA , SN  ySB , SP  zSC với Ta có SM SM SN SN SP SP x  ; y  ;z  SA a SB a SC a SG   ABC  H Vì G trọng tâm tứ diện S ABC nên ta có với H trọng  3  3   1   1  SG  SH  SA  SB  SC   SM  SN  SP  4 4 x y z  tâm tam giác ABC Suy   1 1 1   1    4 x y z Vì M , N , P, G đồng phẳng nên x y z a a a    4 SM SN SP 1    Hay SM SN SP a dnk260690@gmail.com A   1;  1;0  , M  0;1;0  Câu ( điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm Tìm tọa  P  : x  y  z  0 biết AH  mặt phẳng  AMH  độ điểm H thuộc mặt phẳng  P vng góc với mặt phẳng    nP  1;1;1 AM  1; 2;0  u AM Ta có: ; Lời giải    nP ; AM   2;  1;  1  Ta có:   Trang 16  STRONG TEAM TỐN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019  AMH  chứa AM vng góc với mặt phẳng  P  nên phương trình mặt phẳng Mặt phẳng  AMH  : x  y  z 1 0  2 H  x; y; z  AH  x  1; y  1; z  AH 2   x  1   y  1  z 2 Gọi , ta có:  x  y  z  0  x  y  z  0   2 x  1   y  1  z 2 P     H Vì thuộc mặt phẳng nên ta có hpt: giải hpt ta H1   1;0;  1 H   1;  2;1 Câu  a  c   b  c  4c Tìm giá trị nhỏ biểu Cho số thực dương a , b , c thỏa mãn P thức 32a  b  3c   32b3  a  3c    a  b  3c  1  a2 b2 Lời giải Tác giả: Lê Đức Hợp ; Fb: Le Hoop Bổ đề: Cho m , n hai số thực dương ta có a) 1  2 2 m n  m  n m3  n  m  n      b) Thật a) Ta có 1 1  2 2 2  2 m n m n m.n  m  n  m  n Đẳng thức xảy  m n m3  n  m  n       4m3  4n3 m3  3m n  3m.n  n3  m3  n3  m n  m.n 0 b)   m  n  m  n  0 (luôn với m , n hai số thực dương ) m3  n  m  n      m , n  ; Đẳng thức xảy  m n Vậy Áp dụng vào tốn Ta có  a  c   b  c  4c  a  b     1   1 4  c  c  a b x  0 y  0  x 1  y 1 4 c c Đặt ; Từ giả thiết ta có  Trang 17  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019 P 32a  b  3c  32b  3  a  3c  3 a b 32   32   c c         a  b  3c  1   a  b  3c    b    a       a b c  c  3  a  b a b a b 32   32   32   32   2c c c c c  P   3    2    3    2  a b a b  b b  a   a     3   3   3   3 c c c  c  c  c    x 3  y   6 32    P  2      2  3 x y x y   y    x     y    x  3 32 x 32 y 3  x y   P 8    2  x y  y 3 x 3 x y x  3x  y  y  x  y    x  y   xy    y 3 x 3 xy   x  y    x  3  y  3 Ta có Từ  x 1  y 1 4  Ta có  xy  x  y  xy  x  y 3  xy 3  x  y  x  y x y   x  y 4   x  y   0  x  y 2 (vì x  y  ) Đặt t  x  y 2 Ta có xy 3  t Khi 3   x  y    x  y   xy   t  3t    t   6 P 8   2  8  2   xy   x  y   x y t     t  3t    t  5t   6  P 8   t  1  2  2  t t  2t  12  Xét hàm f  t   t  1  2  2;  t Ta có f  t  3  t  1   t   2;   t2 Vậy hàm số Từ suy Vậy Pmin 1  f  t   t  1  2  2;  t đồng biến P  f  t   f   1  xảy x  y 1  a b c  Trang 18  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC TỔ _ ĐỀ THI HSG HÀ NAM 2019  HẾT   Trang 19 