Đề thi hsg toán 12 nam định năm học 2020 2021

NHĨM TỐN 🙲 VD-VDC ĐỀ THI THỬ:2019-2020 ĐỀ THI HSG TỐN 12 – SỞ NAM ĐỊNH – NĂM 2021 Mơn: Toán Lớp 12 HỌC HỎI -C HỎI -I - CHIA SẺ KIẾNN THỨCC Câu Câu Thời gian: 1800 phút (Không kể thời gian phát đề) 2 (2 điểm) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y mx  2mx  m  có ba điểm cực trị A , B , C với gốc tọa độ O tạo thành đỉnh hình thoi (2,5 điểm) Gọi S tập hợp tất số tự nhiên chia hết cho mà số có 2021 chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp S , tính xác suất để chọn số chứa chữ số Giải phương trình x   x  x   x  0  1  3xy  y   x   x   x.227 x   y 81x2 80  27 x  81x  80 2 x  80 y  81x y      Câu (1.5 điểm) Giải hệ phương trình Câu (2 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh 3a , SA SB SD a tam giác ABD a/ Tính thể tích khối chóp S ABCD tính khồng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) b/ Giả sử ( P ) mặt phẳng thay đổi, qua B vng góc với mặt phẳng ( SCD ) Gọi  góc đường thẳng BD mặt phẳng ( P) Tính giá trị lớn sin  Câu  x  1  y  1  z  (2 điểm) Xét ba số thực x, y, z  thỏa mãn 4 x  y 2x y   x  y  18 x  y  z 25 z Tìm giá trị lớn biểu thức HẾT -P TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD 🙲 BIÊN SOẠN TOÁN THPT ĐỀ THI HSG TOÁN 12 – SỞ NAM ĐỊNH – NĂM 2021 Mơn: Tốn Lớp 12 HỌC HỎI -C HỎI -I - CHIA SẺ KIẾNN THỨCC Câu Thời gian: 1800 phút (Không kể thời gian phát đề) 2 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y mx  2mx  m  có ba điểm cực trị A , B , C với gốc tọa độ O tạo thành đỉnh hình thoi Lời giải y  4mx3  4mx 4mx  x  1 Ta có:  Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị m 0  x 0 y  0   x 1  x  Khi  Do tọa độ ba điểm cực trị là: A  0; m  3 B  1; m  m  3 C   1; m2  m  3 , ,  m2   I  0;    Gọi I trung điểm AO Suy ra:    BC   2;0   nBC  0;1  Ta có: BC  : y m  m  Phương trình đường thẳng  m 3 I  BC   m  m   m  2m     Để ABOC hình thoi  m 3  m    m 3   Đối chiếu với điều kiện: m 0 ta  m  Câu 2.1 Gọi S tập hợp tất số tự nhiên chia hết cho mà số có 2021 chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp S , tính xác suất để chọn số chứa chữ số Lời giải Ta có khơng gian mẫu cần tìm tập hợp tất số tự nhiên chia hết cho mà số có 2021 chữ số 102021  102020 n()  Suy không gian mẫu là: Gọi biến cố chọn số tự nhiên có 2021 chữ số mà chia hết cho với chữ số A Ta xét trường hợp sau: * Trường hợp 1: Chữ số số nên chắn P chia hết cho 2019 Khi chọn 2019 chữ số có cách chữ số cịn lại có cách * Trường hợp 2: Chữ số số khác Trang TÀI LIỆU ƠN THU THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN 🙲 VD-VDC ĐỀ THI THỬ:2019-2020 Khi đó, ta chọn chữ số có:  8 cách Chọn vị trí để bỏ số vào 2020 số lại: 2020 cách 2018 Chọn 2018 số chữ số có cáchvà chữ số cịn lại có cách Từ ta suy biến cố chọn số tự nhiên có 2021 chữ số mà chia hết cho với 2019 2018 chữ số n( A) 9  8.2020.9 cách n( A) 92019.1  8.2020.92018.1 16169.9 2018 P   102021  102020 n    102020 Vậy suy xác suất cần tìm Câu 2.2 Giải phương trình x   x  x   x  0  1 Lời giải Ta có: TXĐ: x  0  x  Xét x  lúc phương trình trở thành :   2               mà  0 nên x  nghiệm phương trình  1 Xét x   :  1 3  x   x  x   x  0  x  x x    x   x  0   Chia vế phương trình cho  x2  ta sau :  x  x      x 2 x   x   x   x            x  x   x2   x2    x2  x 4  x      x 0   x  x  0    x 0   x  x   x  x  0   x 2   t / m     x 2   l      x 2  t / m   x 2      x  1 l   x 2  x 2   x 2 Vậy phương trình có nghiệm   3xy  y   x   x   x.227 x   y 81x2 80  27 x  81x  80 2 x  80 y  81x y     Câu Giải hệ phương trình  Lời giải TÀI LIỆU ƠN THi THPT QUỐC GIA Trang ĐỀ THI THỬ:2019-2020 NHÓM WORD 🙲 BIÊN SOẠN TOÁN THPT Điều kiện: x  (do x 0 khơng thỏa phương trình (1))  x 1   3xy  y   Phương trình (1) tương đương với:    3y  y2 1   Xét hàm đặc trưng  x 1  x 1   x x x2  1  1  y   y      1   1 x x  x   x   y  f (t ) t  t    1      x      có f '(t )  t2 t 1  t    0, t  R  1 1  f (3 y )  f   y2   x    y  x x 9y  x Suy f (t )  R (*) Phương trình (2) tương đương với:  x.227 x   y 81x  80   27 x   81x  80 2 x  80 y  81x y  81x  80  x.227 x   y 81x  80  81x  80 27 x   y 81x  80 2 x  81x  80   Đặt a 27 x   y 81x  80 phương trình trở thành:  x.2a  a 81x  80 2 x  81x  80  x  2a     a  1 81x  80 0 a     a  VT     a  Trường hợp 1: phương trình vơ nghiệm a     a  VT  2   Trường hợp 2: a  phương trình vơ nghiệm Như dấu xày a 1  27 x   y 81x  80 1   27 x    81x  80 9x 80 x   27 x   9 x   x y nên suy y 1  y 1 9x mà  Như ta kết luận hệ phương trình có nghiệm Câu   1  ;1 ,  ;  1 9  9   x; y   Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi cạnh 3a , SA SB SD a tam giác ABD a/ Tính thể tích khối chóp S ABCD tính khồng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD) b/ Giả sử ( P) mặt phẳng thay đổi, qua B vng góc với mặt phẳng ( SCD) Gọi  góc đường thẳng BD mặt phẳng ( P) Tính giá trị lớn sin  Trang TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA NHĨM TỐN 🙲 VD-VDC ĐỀ THI THỬ:2019-2020 S E B C I ( ) H A D F Lời giải a/ Tính thể tích khối chóp S ABCD tính khồng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD) Ta có: SA SB SD a ABD suy hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABD) trùngvới tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD , gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD  SH  ( ABD) Kẻ HF  CD, F CD suy SH  CD CD  SHF  (F trùng D) HI   SCD  HI  CD d  H;  SCD   HI Kẻ tiếp HI  SF ta suy (do ) HD AB  3a a 3; SH  SD  DH  6a  3a a d  A;  SCD   Mà mặt khác ta thấy: d  H;  SCD    AC  HC 3 SH.HD 9a 3a  d  A;  SCD    d  H;  SCD    HI    2 2 SH  HD b/ Giả sử ( P) mặt phẳng thay đổi, qua B vuông góc với mặt phẳng ( SCD) Gọi  góc đường thẳng BD mặt phẳng ( P) Tính giá trị lớn sin  Ta giả sử cho điểm E thuộc mặt phẳng ( SCD) với B, E ( P ) cho ( P ) ( SCD) Mà mặt khác ta thấy B  ( P ), D  (SCD ) nên suy sin góc đường thẳng BD mặt phẳng ( P) đạt giá trị lớn góc cần tìm với góc BD mặt phẳng ( SCD) Suy cos  sin  BD;  SCD    d  B;  SCD   BD  d  A;  SCD   BD  3a 6  3a  6 10 sin    cos         Như vậy, TÀI LIỆU ÔN THi THPT QUỐC GIA Trang ĐỀ THI THỬ:2019-2020 Câu NHÓM WORD 🙲 BIÊN SOẠN TOÁN THPT  x  1  y  1  z  Xét ba số thực x, y, z  thỏa mãn P Tìm giá trị lớn biểu thức 4 x  y  2x y   x  y  18 x  y  z 25 z Lời giải Ta có:  x  1  y  1 z 4  xy  ( x  y )  z   z  z   z   0  xy  ( x  y ) 4 z   x  y  z  xy  4 x  y 4 x  y x y x y      xy  x  y  z 25 z x  y  4z x  y  4z 25 z  x  y  4z   x  y  4z  4z  x  y  4z  4z  16  4z   1      x  y  4z 25 z 25  x  y  z 25 z     x  y  z  41 41 4z 41  40 2     25 x  y  4z 25 z 25 25 25 Như vậy, giá trị lớn biểu thức P 25 Trang  z 2   x  y 1 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA