CHuyên đề bồi dưỡng giải phương trình

Chuyên đề: Giải phơng trình

I) Các kiến thức cần nhớ

1) Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (1)

Đặt ∆=b2-4ac

+) Neỏu ∆>0 thỡ phửụng trỡnh (1) coự 2

nghieọm phaõn bieọt:

b

x

a

- + D

2

b x

a

- - D

= +) Neỏu ∆=0 phửụng trỡnh (1) coự

nghieọm keựp:

1 2 2

b

x x

a

-= = +) Neỏu ∆<0 thỡ phửụng trỡnh (1) voõ

nghieọm

Nếu phơng trình (1) coự: b=2b’

ẹaởt ∆’=b’2-ac +) Neỏu ∆’ > 0 thỡ phửụng trỡnh (1) coự hai nghieọm phaõn bieọt:

1

b x

a

- + D

x

a

- + D

=

+) Neỏu ∆’ = 0 thỡ phửụng trỡnh (1) coự nghieọm keựp:

1 2

'

b

x x

a

-= = +) Neỏu ∆’<0 thỡ phửụng trỡnh (1) voõ nghieọm

2) Phơng trình quy về phơng trình bậc hai

a) Phơng trình trùng phơng

- Là phơng trình có dạng ax4 + bx2 + = c 0 (a≠0)

- Cách giải: Đặt x2 = t (t≥0) rồi đa về giải phơng trình bậc hai ẩn t Sau đó đối chiếu điều kiện để lấy t và từ đó thay trở lại để tìm x

b) Phơng trình chứa ẩn ở mẫu

Cách giải:

Bớc 1: Tìm điều kiện xác định của phơng trình

Bớc 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rrồi khử mẫu

Bớc 3: Giải phơng trình vừa nhận đợc

Bớc 4: Trong các giả trị tìm đợc của ẩn, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện xác

định, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định là nghiệm của phơng trình đã cho

c) Phơng trình tích

- Là phơng trình có dạng: A(x).B(x).C(x)… = 0

trong đó A(x); B(x); C(x); … là các đa thức ẩn x

- Cách giải:

( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0

( ) 0

A x

C x

ờ ờ ờ

ờ

ờ

II) Các dạng bài tập

Loại 1: Phơng trình bậc hai

Bài 1:

a) x2 - 28 x + 52 = 0 b) 3 x2 + 5 x - 1 = 0

c) 7 x2 - 2 x + = 3 0 d) 2 x2- 7 x + = 3 0

e) 6 x2 + - x 5 = 0 f) 3 x2 + 5 x + = 2 0

g) x2 - 8 x + 16 = 0 h) 16 z2 + 24 z + = 9 0

i) x2 - 12 x - 288 = 0 j) 9 x2 - 12 x + = 4 0

k) x2 - 13 x + 36 = 0 l) 3 x2 - 2 x + = 5 0

m) x2 - 64 x - 3600 = 0 n) 12 x2 - 8 x + = 1 0

o) - 2 x2 + 7 x + 39 = 0 p) x2 - 3 x + = 7 0

q) 2 x2- 5 x + = 1 0 r) - 3 x2 + 2 x + = 8 0

s) 16 x2 + 10 x + = 1 0 t) 2 x2 - 7 x + = 4 0

Bµi 2:

a)

Lo¹i 2: Ph¬ng tr×nh trïng ph¬ng

a) 2 x4 - 3 x2 - 2 = 0 b) x4 - 2 x2 - 8 = 0

c) x4 - 13 x2 + 36 = 0 d) 4 x4 - 5 x2 - 9 = 0

e) t4 + 24 t2 - 25 = 0 f) 9 x4 + 8 x2 - 1 = 0

g) 3 x4 + 10 x2 + = 3 0 h) 9 a4 + 2 a2- 32 = 0

i) u4 + 3 u2 + = 9 0 j) 2 x4 + 5 x2 + = 2 0

k) x4 - 6 x2 - 27 = 0 l) a4 - 12 a2 + 27 = 0

m) t4 + 3 t2 + 10 = 0 n) x4 + x2 - 6 = 0

o) x4 - 2 x2 - 120 = 0 p) 36 x4 - 13 x2 + = 1 0

q) z4 - 7 z2 - 144 = 0 r) x4 - 1,16 x2 + 0,16 = 0 s) 5 x4 + (2 5 + 3) x2 + 5 + = 3 0 t) 3 x4 - (2 - 3) x2 - 2 = 0 u) 1 4 1 2 1

0

0

3 x - 2 x - 6 = x) (5 + 2) x4 - (5 - 2) x2 - 10 = 0 y) x4 - 39 x2 + 360 = 0

B i 2:à

a) x4 + 2 x2- x + = 1 15 x2- x - 35 b) 2 x4 + x2- 3 = x4 + 6 x2 + 3

c) 5 x4- 7 x2- 2 = 3 x4- 10 x2- 3 d) 5 x4 + 2 x2- 16 10 = - x2

e) ( x - 2)( x + 2)( x2- 10) = 72 f) ( x - 2)( x - 1)( x + 1)( x + 2) = 10 g) ( x - 4)( x - 3)( x + 3)( x + 4) = 44 h) ( x2 - 9)( x2- 1) = 33

i) ( x2 + 2)( x2 - 5) = - 12

Lo¹i 3: Ph¬ng tr×nh chøa Èn ë mÉu

B i 1à

a)

B i 2à

B i 3à

a) 3 1 2 5 2 4 2

2

=

2 2

0

4 8 12 6 3(4 16 )

+

-e)

=

2( x - 1) + x - 1 = 4 g)

2

x

15 3 2 2 3 1

B i 5à

x + x + + x + x + =

b)

c)

d)

2

4

x

-B i 6à

a)

2

1

x x

x

æ ö ÷

ç

+ ç çè - ÷ ÷ ø = b)

2

x x

x

æ ö ÷ ç

+ ç çè + ÷ ÷ ø = c)

2 2

15 1

ç ÷ ç + ÷ =

ç ÷

2 2

2

25

11 ( 5)

x x

x

+

e) 12 1 2 5

2 2

2

4

12 ( 2)

x x

x

+ g)

2 2

2

81

40 ( 9)

x x

x

2 2

( 1)

x x

x

+

B i 7à

a)

æ - ö ÷ æ - ö ÷

b)

2

æ - ö ÷ æ + ö ÷

-c)

2

æ + ö ÷ æ - ö ÷

-d)

2

æ - ö ÷ æ + ö ÷

-e)

2

æ - ö ÷ æ + ö ÷

-B i 8à

a) (3 ) 3

x

- ç + ç çè - ÷ ÷ ÷ ø =

x

- ç + ç çè - ø ÷ ÷ ÷ =

c) (8 ) 8

x

- ç + ç çè - ÷ ÷ ÷ ø =

B i 9à

a) 2 2 2 7

1

1

c) 2 2 2 13

6

4

x - x + + x + + x =

1

1

-B i 10à

a)

2

=

c)

Bµi 11:

4

x + x + + x + + x + = x + + x + + x + + x +

d)

Lo¹i 4: Ph¬ng tr×nh tÝch

B i 1:à

a) (x- 1)(x2+2x- 3)=0 b) x3 +3x2 +2x = 0

c) (3x2- 5x+1)(x2- 4)=0 d) (2x2 + -x 4)2- (2x- 1)2 =0

e) (x2+2x- 5)2 =(x2- x+5)2 f) (x2 + +x 1)2 =(4x- 1)2

g) (x2+3x+2)2 =6(x2 +3x+2) h) (2x2 +3)2- 10x3- 15x =0

i) x3 - 5 x2- x + = 5 0 j) x3 +3x2- 2x- 6=0

k) 3 x3 + 6 x2 - 4 x = 0 l) x3 +6x2 +3x- 10=0

m) x3 - 4 x2 - x + = 4 0 n) (5x2 +4x+10)2- (x2- 7x+9)2 =0 o) (2x2 +10x+5)2 =(2x2 - 21x- 8)2 p) (2x2 - 7x+20)2 =(x2 +5x- 7)2 q) (2x2 + -x 1998)2 +4(x2- 3x- 950)2 =4(2x2 + -x 1998)(x2 - 3x- 950)

r) (x- 2)2 - 2(x- 2)(x2- 3x+4) = - (x2- 3x +4)2

s) (3y2 +10y- 7)2 +2(3y2 +10y- 7)(y2 +5y- 12) (+ y2 +5y- 12)2 =0

B i 2:à

a) x3 + 6 x2 + 3 x - 10 = 0 b) x3 + 2 x2 + 3 x + = 2 0

c) x3 - 3 x2 + + = x 1 0 d) x3- 7 x2 + 14 x - 8 = 0

e) x3 - 5 x2 + + = x 7 0 f) x3 + 4 x2- 29 x + 24 = 0

g) x3- 2 x2- 29 x + 30 = 0 h) 2 x3 - 7 x2 - 7 x + 12 = 0

i) x3 + 6 x2 + 11 x + = 6 0 j) x3 - 5 x2 + 8 x - 4 = 0

k) x3 + 2 x2 + 7 x + 14 = 0 l) x3 + x2 + = 4 0

B i 3:à

a) x4- 10x3+15x2 +10x- 16=0 b) x4 +11x3- 8x2 +8x- 12=0

c) 2x4 +3x3- 17x2 - 27x- 9=0 d) x4- 2x3 +6x2- 10x+ =5 0

e) x4- 4x3- 19x2 +106x- 120=0 f) 2x4- 21x3 +74x2- 105x+50=0

g) x4 +3x3- 14x2- 6x+ =4 0 h) x4- 3x3- 6x2 +3x+ =1 0

Loại 5: Phơng trình tam thức

a) x6- 7 x3 + = 6 0 b) - x6 + 9 x3 - 8 = 0

c) x8 - 17 x4 + 16 = 0 d) x8 + x4 - 2 0 =

e) x12 - x6 - 1 0 = f) x10 + x5- 6 0 =

g) x6- 10 x3 + 16 = 0 h) - 2 x6 + 5 x3 - 3 = 0

Loại 6: Phơng trình đối xứng

B i 1:à

a) 2x3 +7x2 +7x+ =2 0 b) - 9x3+7x2 +7x- 9=0

c) 4x3 +5x2 +5x+ =4 0 d) x3- 2x2- 2x+ =1 0

e) - x3 +4x2 +4x- 1 0= f) 2x3- 5x2 - 5x- 2=0

g) 8x3 +5x2 +5x+ =8 0 h) - 2x3+3x2+3x- 2=0

B i 2:à

a) 2x4 - 3x3- 16x2- 3x+ =2 0 b) x4 +5x3- 12x2 +5x+ =1 0

c) 6x4 +5x3- 38x2+5x+ =6 0 d) 6x4 +7x3 - 36x2 +7x+ =6 0

e) x4- 7x3 +14x2- 7x+ =1 0 f) x4 +x3- 10x2 + + =x 1 0

g) 4x4 +12x3 - 47x2+12x+ =4 0 h) 10x4- 77x3 +150x2- 77x+10=0

i) x4 - 3x3 +4x2 - 3x+ =1 0 j) 2x4 +x3- 6x2 + + =x 2 0

k) x4- 10x3 +26x2- 10x+ =1 0 l) 2x4 +x3- 11x2 + + =x 2 0

Loại 7: Phơng trình Đặt ẩn phụ

B i 1:à

a) 3(x2 +x)2- 2(x2 +x) 1- =0 b) ( x2 + x )2 + 4( x2 + x ) = 12

c) 2(x2- 2 )x 2 +3(x2- 2 ) 1x + =0 d) (2x+3)4 +5(2x+3)2 =6

e) (x2 - 5 )x 2 +10(x2 - 5 ) 24x + =0 f) (x2 +5 )x 2- 2(x2+5 ) 24x - =0 g) (x2+ +x 2)2- 12(x2 + + +x 2) 35=0 h) (x2 +3x- 1)2 +2(x2+ -x 1) 8- =0 i) (x2 +3x+2)(x2 +3x+ =1) 20 j) ( x2 - 3 x + 4)( x2 - 3 x + 2) = 3

k) (x2- 4x+4)2 +x2- 4x- 2=0 l) 1 2 1

æ ö÷ æ ö÷

ç + ÷- ç + ÷+ =

m)

2

2 0

æ ö÷ æ ö÷

ç + ÷+ç + ÷- =

2

æ ö÷ æ ö÷

ç + ÷+ ç + ÷- =

o) 2 12 1

æ ö÷ æ ö÷

ç + ÷+ ç + ÷- =

2 2

æ ö÷ æ ö÷

ç + ÷+ ç + ÷- =

q) 2 12 1

æ ö÷ æ ö÷

ç + ÷+ ç + ÷- =

2 2

æ ö÷ æ ö÷

ç + ÷- ç + ÷=

ç + ÷- ç + ÷+ =

7

7 1

+ +

u)

2

2

3 0 ( 1) ( 1)

2

2

10

æ ö÷ ç

+ = ççè - ø÷÷

B i 2:à

a) x x ( + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) = 8 b) ( x - 1 ) ( x - 4 )(x - 5)( x - 8 ) = - 31 c) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x - 7 ) ( x - 8 ) = 144d) (x + 5)( x + 6 ) ( x + 8 ) ( x + 9 ) = 40 e) (x- 1) (x- 3)(x+5)(x+7) =297 f) ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 4 )(x + 5) = 10 g) (x+1) (x+2) (x+3) (x+4) + =1 0h) ( x - 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 6 ) = 108 i) (x+1) (x+3)(x+5)(x+7) =9 j) ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 4 )(x + 5) = 40 k) (x+1) (x+2) (x+3) (x+4) =3 l) ( x - 7 )(x - 5)( x - 4 ) ( x - 2 ) = 72 m) x x( - 1) (x+1) (x+3) = 3 n) x x ( + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) = 24

o) 16x x( +1) (x+2) (x+3) =9 p) ( x2+ 3 x + 2 ) ( x2 + 7 x + 12 ) = 24 q) ( x2+ - x 1 ) x x ( + = 1 ) 56 r) (4x+1 12) ( x- 1 3) ( x+2) (x+ =1) 4

s) (6x+7 3) (2 x+4) (x+ =1) 6 t) (6x+5 3) (2 x+2) (x+ =1) 35

u) (4x+3) (2 x+1 2) ( x+ =1) 810

B i 3:à

a) (4 x + 5)( x + 6 ) ( x + 10 ) ( x + 12 ) = 3 x2

b) ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 6 ) = 120 x2

c) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ( x + 8 ) ( x + 12 ) = 4 x2

d) ( x - 4 )(x - 5)( x - 8 ) ( x - 10 ) = 72 x2

e) ( x + 1 ) ( x + 3 )(x + 5)( x + 15 ) = - 16 x2

f) (2 x2- 3 x + 1 2) ( x2+ 5 x + = 1) 9 x2

B i 4:à

a) 3 x2+ 2 x = 2 x2 + + - x 1 x b) 3 x2+ + - x 1 x = x2 + 3

c) 2 x2 + 3 x + 2 2 x2 + 3 x + = 9 33 d) 3x2 +21x+16 2+ x2 +7x+ =7 0

e) x + 3 x - 10 = 0 f) x + 12 x + 35 = 0

g) 2 x + 5 x + = 3 0 h) 2 x + 13 x - 45 = 0

2

x

2

4 1

x x

2 3 2

3

3 2

x x

-B i 5:à

a) 2 24 2 15

2

c)

2

2

4 0 5

+

2 1

1 (x+1)(x+2) (+ x- 1)(x+4) = e)

2

2

7

5 1

+ +

B i 6:à

Loại 8: Phơng trình bậc chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài 1:

3

x + =

1

7

x

2

2 x - = -m) 3 2x = -x 6 n) - 3x = -x 8 o) - 5x - 16=3x

p) x- 5 =3x q) x- 2 = +x 2 r) - 2x =4x+5

s) 2 3- x =4x- 1 t) 7 3- x =3x+2 u) 2 3- x =2(x- 3)

v) - 4x- 3+2x- 5=0 x) 2 1

2

2- 3x = x- 3 z) x2 + -x 3 =3 aa) x2+ x =0 ab) x2- 5x+ = -2 2

ac) x2- 3x+ + -2 x 1=0 ad) (3x- 1)2- 4x- 1+ =5 0

Bµi 2:

a) x - x - 1 2 - = 0 b) 2 3 - x - 5 2 - x = 0

c) - x + + - x 2 3 = 0 d) 2 + + - x 3 4 x - 5 = 0 e) - 3 x + - - 2 2 x + + = 1 3 0 f) x + + - 1 x 5 = 4

g) 1

3

i) x + - 1 2 x - 1 = x j) 2 x - 1 3 - x + = 1 2 x + 6 k) - + + - - x 2 4 x 1 = + x 3 l) - 2 x + - 1 2 x + = - + 1 x 2 m) 2 x + + 3 2 3 2 - x = - 2 x - 3 n) 2 x - 1 + - 2 3 x = - x 5 o) - 2 x - 3 + 4 2 4 - x = - 3 2 x p) x + - 7 2 3 - x = - 1 3 x

Bµi 3:

a) x+ + -1 x 2- x- 3 = 4 b) - - x 1 - - x + 2 x + = - 1 2

c) x- 1+ + + + =x 2 x 3 14 d) x+ + -1 2 x - x+ =3 1

e) x- 1+ 2x+ =3 x +4 f) x - 2x+ +1 3x+ =2 0

g) 3 2- x - - x + -x 3 =2 h) 5x - 4 2- x +3x+ =3 7

i) - -x 1+ - 2x + 3x+ =3 2x- 1 j) - 3x+ -2 1 2- x + -x 3 =3x- 4 Lo¹i 9: Ph¬ng tr×nh v« tØ

Bµi 1

a) 3 2 x - 5 8 x + 7 16 x = 28 b) 4x- 8 5+ x- 2- 9x- 18=20

c) 16 x + 16 - 9 x + + 9 4 x + + 4 x + = 1 16

d) 25x- 25 7 49- x- 49= x- 1+ 4x- 4

e) 5 x- 1- 36x- 36+ 9x- 9= 8x- 12

4 20 3 5 9 45 6

3

g) 25 25 15 1 6 1

2 9

x

-B i 2:à

a) x+ = -1 x 1 b) x- 2= -x 2 c) 4x- 20= -x 20

d) x + =1 2 e) 3x + =2 4 f) x+ = -5 1 x

g) x+ x+ =1 13 h) 2x+ =5 2x- 1 i) x- 5 7+ =x

j) x- 4 = -4 x k) x- x- 1=3 l) x- 5= -1 x

m) 3+ 2x- 3=x n) x+2 2x- 1 5+ =0 o) 2x+8 2x- 1=21

p) x- 2 x- 1 16= q) 3x + = =2 2 3 r) 1 2- x2 = -x 1

B i 3:à

a) x2- 4x+ =4 49 b) 4x2 - 4x+ =1 13

c) x2- 6x+ = +9 x 3 d) x2 +2x+ = - +1 x 3

e) x2- 2x+ -1 x2 +4x+ = -4 2x+1

f) x2 - 10x+25+ 9x2 +6x+ =1 3x- 2

g) x2- 4x+ = -3 x 1 h) x2 +5x+ = +4 x 1

i) x2- 2x+ +1 x2- 4x+ =4 3

j) x2 +2x+ +1 x2- 4x+ =4 x2 +4x+4

l) x2- 4x+ + =4 x 8

m) x+ -3 4 x- 1+ x+ -8 6 x- 1=5

n) x- 1 4+ x- 5+ 11+ +x 8 x- 5 =4

o) x+ -4 4 x + x+ -9 6 x =1

p) x+ -6 4 x+ +2 x+11 6- x+ =2 1

q) x+ +2 4 x- 2+ x+ -7 6 x- 2 =1

r) x- 2 x- 1- x- 1 1=

s) x+ +3 4 x- 1+ x+ -8 6 x- 1=5

t) x- 1 4+ x- 5+ 11+ +x 8 x- 5 =4

u) x- 2+ 2x- 5+ x+ +2 3 2x- 5 =7 2

v) x2- 6x+ +9 x2 +10x+25=8

Bµi 4:

a) 2x+ -5 3x- 5=2 b) x+ +3 x- 1=2

c) x+ = -3 5 x- 2 d) x+ = -1 3 x- 2

e) x+ +4 x- 2=2 f) x + x+ =1 1

g) x+ -3 x- 4=1 h) 15- x + 3- x =6

i) 10- x + x+ =3 5 j) x- 1+ x+ =1 2

k) x- 5+ 9- x =2 l) x- 3+ 12+ =x 5

m) 6- x + x- 2=2 n) x+ +4 x+ =9 5

o) 4x+ -1 3x+ =4 1 p) 1- x + 4+ =x 3

q) 8+ x + 5- x =5 r) 3 2- x + 7+ =x 5

B i 5:à

a) 2x- 1+ x- 2= x+1 b) x+ -1 x- 7 = 12- x

c) x- 1- 5x- 1= 3x- 2 d) 3x+15- 4x+17= x+2

e) x+ +1 x+10= x+ +2 x+5 f) x- 3- x = 2x+ -1 3x+4

B i 6:à

a) x+ +1 x- 2 2+ x2- x- 2= 13 2- x

Bµi 7:

a) 7- x + x- 5=x2- 12x+38 b) x- 7+ 9- x =x2- 16x+66

c) x- 2+ 10- x =x2- 12x+40 d) 5- x + x- 1= - x2+2x+1

e) x- 94+ 96- x =x2- 190x+9027 f) x- 4+ 6- x =x2- 10x+27

g) x- 2+ 4- x =x2- 6x+11

h) 3x2 +6x+ +7 5x2+10x+14= -4 2x x- 2

i) 2x- 3+ 5 2- x =3x2- 12x+4

B i 7:à

a) x2 + x2- 9 29- =0 b) x2 + x2- 6=12

Lo¹i 10: Ph¬ng tr×nh c¨n bËc ba

a) 3x + - 1 3x - 4 = 35 x b) 3x + + 1 37 - x = 2

c) 312 - x + 314 + = x 2 d) 1 + 3x - 16 = 3x + 3

e) 3x + - 1 3x - 1 = 35 x f) 3x + 25 + 33 - x = 4

g) 23x - 53x - 1 = 5 h) 32 - x + 3x - 1 = 1

i) 32 x + + 1 3x = 1 j) 3x + 34 - 3x - 3 = 1

k) 313 - x + 322 + = x 5

Lo¹i 11: Ph¬ng tr×nh kh¸c

2002 2001 2000 1999 1998 1997

1970 1972 1974 1976 1978 1980

f)

2001 1999 1997 1995 1993 1991 1989 1987

h) 315 313 311

3

5

10

k) 315 313 311 309

Lo¹i 12: Ph¬ng tr×nh kh«ng mÉu mùc

Website: http://dangngocduong.violet.vn