PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN Năm học: 2013-2014 Câu (6 điểm) Giải phương trình sau: 2 a. x x 2013 4. x x 2012 4. x x 2013 x x 2012 b) x x 4 2) Chứng minh bất đẳng thức sau: x y z xy xz yz với x, y, z Câu (5 điểm) Tìm đa thức f ( x) biết rằng: f ( x) chia cho x dư 10, f ( x ) chia cho x 2 dư 24, f ( x) chia cho x thương 5x cịn dư 2 Tìm nghiệm nguyên phương trình sau: x xy 6 x y Câu (2 điểm) Cho a, b a b 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 1 M a b Câu (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông A AC AB , đường cao AH H BC Trên tia HC lấy điểm D cho HD HA Đường vng góc với BC D cắt AC E 1) Chứng minh BEC ADC Tính độ dài đoạn BE theo m AB 2) Gọi M trung diểm đoạn thẳng BE Chứng minh BHM BEC Tính số đo góc AHM GB HD 3) Tia AM cắt BC G Chứng minh BC AH HC ĐÁP ÁN Câu 1) a 2 x x 2013 a) Đặt: b x x 2012 Phương trình cho trở thành: a 4b 4ab a 2b 0 a 2b 0 a 2b Khi đó, ta có: x x 2013 2 x x 2012 x x 2013 2 x 10 x 4024 11x 2011 x 2011 11 2011 S 11 b) Lập bảng xét dấu nhị thức : x x Xét x (1) Phương trình x x 4 x (không thỏa (1)) Xét x 1 (2) Phương trình x x 4 x 0 (Thỏa mãn với x / x 1 Xét x 1 (3) Phương trình x x 4 x 2 x 1 (thỏa mãn (3)) Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm x 1 Có x y 2 y z z x 0 với x, y, z 2) x xy y y yz z z zx x 0 x y z 2 xy yz xz x y z xy yz xz (dfcm) Câu 2 1) Giả sử f ( x ) chia cho x thương 5x dư ax b f ( x) x x ax b Khi đó: x 2 x 0 x x 0 x Xét giá trị riêng x cho Với x 2 f (2) 2a b Với x f ( 2) 2a b Theo đề bài, ta có: f (2) 24 f ( 2) 10 2a b 24 2a b 10 a b 17 f ( x) x x x 17 Do đó: 47 x 17 Vậy đa thức f ( x) cần tìm có dạng: 2 x xy x y x x y x 5 (2) 2) f ( x) x3 x2 x x (vì x 5 khơng nghiệm phương trình (2)) y x x Vì x, y nguyên nên x ước Hay x 1;3;1; 3 hay x 4;6;8;2 y Khi x 2 y 0 Khi x 6 y 8 Khi x 4 y 0 Khi x 8 y 8 x, y 2,0 ; 4,0 ; 6,8 ; 8,8 Vậy phương trình có nghiệm ngun Câu 2 a b a b M 1 (Vi a b 1) a b 2 b a M a b 4b b 4a a M 4 4 a a2 b b2 b2 a2 a b M 8 8 4.2 18(Co si) b b a a a b & a b 1 a b Dấu " " xảy Vậy MinM 18 a b Câu A E M B H G D CDE CAB ( g g ) C CD CA CE CB a) Chứng minh Hai tam giác ADC BEC có: CD CA (cmt ) ADC BEC c.g c CE CB C chung; Suy BEC ADC 135 (vì tam giác AHD vng cân H theo gt) Nên AEB 45 Do tam giác ABE vuông cân A suy BE AB m BM BE AD ( BEC ADC ) b) Ta có: BC BC AC Mà AD AH (tam giác AHD vuông cân H) BM AD AH AH AC Nên BC AC AC AH BH ABH CBA( g g ) AC AB Mà BM BH BH BE AB AB BE Nên BC 0 Do BHM BEC c.g c BHM BEC 135 AHM 45 c) Tam giác ABE vng cân A, nên tia AM cịn phân giác BAC GB AB BAC Suy AG phân giác suy : GC AC AB ED AH HD ABC DEC ED / / AH HC HC Mà AC DC GB HD GB HD GB HD GB GC HD HC BC AH HC Do đó: GC HC