49 đề đáp án chương mỹ 2019

1 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT QUẬN CHƯƠNG MỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN NĂM HỌC: 2018 – 2019 Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ 49 Bài 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức: A 2x  x  5x   x  2x   x   x (với x  x  3) a) Rút gọn biểu thức A; 2x   3; b) Tính giá trị biểu thức A c) Tìm giá trị nguyên x để A P  x2  x  A x nhận giá trị nguyên; x x2 d) Tìm giá trị x để Bài 2: (3 điểm) a,b 1) Xác định số biết 2x  ax  b chia cho x  dư  6, chia cho x  dư 21 2) Giải phương trình: Bài 3: (3 điểm)  x  7  x  5  x  4  x  2 72 1) Cho M x  x a) Chứng minh M chia hết cho 30 với x  ; b) Chứng minh M  khơng số phương với x   x, y 2) Tìm số nguyên dương thỏa mãn: x y  2xy  y  32x Bài 4: (2,5 điểm) 1) Cho a,b, c  Chứng minh: 1 a b c d     a bc bc d c d a d a b 2 2) Tìm giá trị nhỏ H  2x  y  2xy  2y  2021 Bài 5: (7 điểm)  BAC  90 , AB  AC , M,N Cho tam giác ABC có đường cao AH Gọi hình chiếu H cạnh AB AC a) Chứng minh: MN  AH ; b) Chứng minh rằng: AM AB AN AC AH ; c) Gọi K giao điểm NM BC Chứng minh K B K C K H ; Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com d) Gọi O trung điểm vng góc với AK ; BC , I giao điểm MN AH Chứng minh OI AH 40 AB  e) AO 41 Tính tỉ số AC = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức: A 2x  x  5x   x  2x   x   x (với x  x  3) a) Rút gọn biểu thức A; 2x   3; b) Tính giá trị biểu thức A c) Tìm giá trị nguyên x để d) Tìm giá trị x để A P  x2  x  A x nhận giá trị nguyên; x x2 Lời giải a) A 2x  x  5x  2x    x  2x   x  3 x  x  2x   x x  x x  x  2  x  3 2x    x  3  x  3   2x  1  x  2   x  3  x  2  x2  3x   x  2  x  3 b) Ta có A x x  với x  x  2x    2x   2x    x  x  + Với x  không thỏa mãn điều kiện không thay vào A + Với x  thỏa mãn điều kiện thay vào A ta c) P  (với A  1 1   1 x2  x  x2  x  x  x2  x  A   x x x x x 1; x  x  3) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com P  x2  x  x   x x Để P nguyên x  nguyên  x  ước  x x 1 7 4 Kết hợp với điều kiện xác định ta d) Từ điều kiện suy ra:   x   4;4;10 10 thỏa yêu cầu toán  x  1  x  2 x  x  3  x  12 (thỏa điều kiện) Bài 2: (3 điểm) a,b 1) Xác định số 2) Giải phương trình: biết 2x  ax  b chia cho x  dư  6, chia cho x  dư 21  x  7  x  5  x  4  x  2 72 Lời giải 1) 2x  ax  b chia cho x  dư        2x3  ax  b  x  f x     a  b   b  a  (1) 2x3  ax  b chia cho x  dư 21       2x3  ax  b  x  g x  21  16  2a  b  21  2a  b  (2) Từ (1) b  a   b   a thay vào (2) 2a  b  ta 2a   a   a  Với a   b  Vậy 2) a  3;b  thỏa yêu cầu toán  x  7  x  5  x  4  x  2 72     x2  9x  14 x2  9x  20  72 Đặt t x  9x  17 Phương trình trở thành  t  3  t  3  72  t Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038  81  t 9 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Với    t   x2  9x  17   x2  9x    x  x    x 1 x   9 25 t   x  9x  17   x  9x  26    x    0   Với (vô nghiệm) 2   S  1;8 Vậy Bài 3: (3 điểm) 1) Cho M x  x a) Chứng minh M chia hết cho 30 với x  ; b) Chứng minh M  khơng số phương với x   x, y 2) Tìm số nguyên dương thỏa mãn: x y  2xy  y  32x Lời giải 1) Ta có       M  x5  x  x x4   x x  x  x2                         x x  x  x2    x x  x  x2   5x x  x    x x  x  x  x   5x x  x  + Ta có +     tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 30 x x  x 1 x  x 2 x x  x 1 tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho     5x x  x  chia hết cho 30 Suy M  x  x chia hết cho 30 với x   b) Xét biểu thức M  x  x  Theo câu a ta có M chia hết cho 30 với x số nguyên x số tự nhiên M chia hết cho 30 với  Số tận M  Số tận M  Mà tất số phương tận 0;1;4;5;6;9 Vậy M  không số phương với x   Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 2) x y  2xy  y  32x    y x   32x  y 32x  x  1 (Do x nguyên dương nên x   0) Mà x x  nguyên tố nên  32 chia hết 32 25  x   22    x  1  24  x  1 cho (vì x   1) x  2  x 1 x  22  x  Với x 1  y  Với x   y  Bài 4: (2,5 điểm) 1) Cho a,b,c  Chứng minh: 1 a b c d     a bc bc d c d a d a b 2 2) Tìm giá trị nhỏ H  2x  y  2xy  2y  2021 Lời giải a a a d  1  a  b  c a  b  c  d (1) 1) Ta có a  b  c a a  Mặt khác: a  b  c a  b  c  d (2) Từ (1) (2) ta có a a a d   a  b  c  d a  b  c a  b  c  d (3) b b ba   Tương tự: a  b  c  d b  c  d a  b  c  d (4) c c bc   a  b  c  d c  d  a a  b  c  d (5) d d d c   a  b  c  d d  a  b a  b  c  d (6) Cộng vế với vế (3); (4); (5); (6) ta có Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 1 a b c d     a bc bc d c d a d a b (đpcm) 2 2) Ta có H  2x  y  2xy  2y  2021      x  y   x   2019  2019 Dấu “=” xảy x  1; y  Vậy giá trị nhỏ H 2019 x  1; y  Bài 5: (7 điểm)  BAC  90 , AB  AC , M,N ABC Cho tam giác có đường cao AH Gọi hình chiếu H cạnh AB AC a) Chứng minh: MN  AH ; b) Chứng minh rằng: AM AB AN AC AH ; c) Gọi K giao điểm NM BC Chứng minh K B K C K H ; d) Gọi O trung điểm vuông góc với AK ; BC , I giao điểm MN AH Chứng minh OI AH 40 AB  e) AO 41 Tính tỉ số AC Lời giải A J N I M K B H O C a) Ta có HM  AB M (vì M hình chiếu H AB )   AMH  90 HN  AC M (vì N hình chiếu H AC )   ANH  90    Xét tứ giác AMHN có AMH  ANH MAN  90 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com  AMHN hình chữ nhật  AH  MN (tính chất hình chữ nhật) b) Ta có AMHN hình chữ nhật (chứng minh trên)    AHM  ANM (tính chất hình chữ nhật)   Mà AHM  ABH (cùng phụ với HAB )      ANM  ABH hay ANM ABC Xét hai tam giác ANM ABC có   Góc A chung, ANM  ABC Suy ANM ∽ ABC (g – g)  AN AM   AM AB  AN AC AB AC Mà AN AC  AH Suy AM AB  AH c) Xét hai tam giác K HM K NH có    Góc K chung, K HM  K NH  HAB Do K HM ∽ K NH (g – g)  KH KM   K H  K M K N KN KN (1) Xét hai tam giác K MB K CN có    Góc K chung, K MB K CN AMN Do K MB ∽ K CN (g – g)  KM KB   K M K N  KB K C KC KN (2) Từ (1) (2) suy K H  K B K C d) Tam giác ABC vuông A, trung tuyến AO  OA OB OC (tính chất trung tuyến tam giác vng)    OAC cân O  OAC OCA (tính chất tam giác cân)   Mà OCA AMN  ANM đồng dạng với ABC Liờn h ti liu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038  TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com    OAC  AMN   Mà ANM  AMN  90    OAC  ANM  90  OA  MN hay OA  K N Xét tam giác KAO có AH  K O, KN  OA mà AH cắt K N I  I trực tâm K AO  OI  AK AH 40 AH AO    t 40 41 e) AO 41  AH  40t; AO  41t Xét tam giác HAO vuông H ta có: OH OA  AH  41t     40t   81t  OH  9t Mà OA OA OC (tính chất trung tuyến tam giác vng ABC )  OC  41t;  HC  41t  9t  50t Xét hai tam giác HAC ABC có   AHC  BAC  90 C góc chung Do HAC ∽ ABC (g – g)  HA HC AB HA 40t      AB AC AC HC 50t = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC