1 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT QUẬN CHƯƠNG MỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN NĂM HỌC: 2018 – 2019 Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ 49 Bài 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức: A 2x x 5x x 2x x x (với x x 3) a) Rút gọn biểu thức A; 2x 3; b) Tính giá trị biểu thức A c) Tìm giá trị nguyên x để A P x2 x A x nhận giá trị nguyên; x x2 d) Tìm giá trị x để Bài 2: (3 điểm) a,b 1) Xác định số biết 2x ax b chia cho x dư 6, chia cho x dư 21 2) Giải phương trình: Bài 3: (3 điểm) x 7 x 5 x 4 x 2 72 1) Cho M x x a) Chứng minh M chia hết cho 30 với x ; b) Chứng minh M khơng số phương với x x, y 2) Tìm số nguyên dương thỏa mãn: x y 2xy y 32x Bài 4: (2,5 điểm) 1) Cho a,b, c Chứng minh: 1 a b c d a bc bc d c d a d a b 2 2) Tìm giá trị nhỏ H 2x y 2xy 2y 2021 Bài 5: (7 điểm) BAC 90 , AB AC , M,N Cho tam giác ABC có đường cao AH Gọi hình chiếu H cạnh AB AC a) Chứng minh: MN AH ; b) Chứng minh rằng: AM AB AN AC AH ; c) Gọi K giao điểm NM BC Chứng minh K B K C K H ; Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com d) Gọi O trung điểm vng góc với AK ; BC , I giao điểm MN AH Chứng minh OI AH 40 AB e) AO 41 Tính tỉ số AC = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: (4,5 điểm) Cho biểu thức: A 2x x 5x x 2x x x (với x x 3) a) Rút gọn biểu thức A; 2x 3; b) Tính giá trị biểu thức A c) Tìm giá trị nguyên x để d) Tìm giá trị x để A P x2 x A x nhận giá trị nguyên; x x2 Lời giải a) A 2x x 5x 2x x 2x x 3 x x 2x x x x x x 2 x 3 2x x 3 x 3 2x 1 x 2 x 3 x 2 x2 3x x 2 x 3 b) Ta có A x x với x x 2x 2x 2x x x + Với x không thỏa mãn điều kiện không thay vào A + Với x thỏa mãn điều kiện thay vào A ta c) P (với A 1 1 1 x2 x x2 x x x2 x A x x x x x 1; x x 3) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com P x2 x x x x Để P nguyên x nguyên x ước x x 1 7 4 Kết hợp với điều kiện xác định ta d) Từ điều kiện suy ra: x 4;4;10 10 thỏa yêu cầu toán x 1 x 2 x x 3 x 12 (thỏa điều kiện) Bài 2: (3 điểm) a,b 1) Xác định số 2) Giải phương trình: biết 2x ax b chia cho x dư 6, chia cho x dư 21 x 7 x 5 x 4 x 2 72 Lời giải 1) 2x ax b chia cho x dư 2x3 ax b x f x a b b a (1) 2x3 ax b chia cho x dư 21 2x3 ax b x g x 21 16 2a b 21 2a b (2) Từ (1) b a b a thay vào (2) 2a b ta 2a a a Với a b Vậy 2) a 3;b thỏa yêu cầu toán x 7 x 5 x 4 x 2 72 x2 9x 14 x2 9x 20 72 Đặt t x 9x 17 Phương trình trở thành t 3 t 3 72 t Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 81 t 9 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com Với t x2 9x 17 x2 9x x x x 1 x 9 25 t x 9x 17 x 9x 26 x 0 Với (vô nghiệm) 2 S 1;8 Vậy Bài 3: (3 điểm) 1) Cho M x x a) Chứng minh M chia hết cho 30 với x ; b) Chứng minh M khơng số phương với x x, y 2) Tìm số nguyên dương thỏa mãn: x y 2xy y 32x Lời giải 1) Ta có M x5 x x x4 x x x x2 x x x x2 x x x x2 5x x x x x x x x 5x x x + Ta có + tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 30 x x x 1 x x 2 x x x 1 tích số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5x x x chia hết cho 30 Suy M x x chia hết cho 30 với x b) Xét biểu thức M x x Theo câu a ta có M chia hết cho 30 với x số nguyên x số tự nhiên M chia hết cho 30 với Số tận M Số tận M Mà tất số phương tận 0;1;4;5;6;9 Vậy M không số phương với x Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 2) x y 2xy y 32x y x 32x y 32x x 1 (Do x nguyên dương nên x 0) Mà x x nguyên tố nên 32 chia hết 32 25 x 22 x 1 24 x 1 cho (vì x 1) x 2 x 1 x 22 x Với x 1 y Với x y Bài 4: (2,5 điểm) 1) Cho a,b,c Chứng minh: 1 a b c d a bc bc d c d a d a b 2 2) Tìm giá trị nhỏ H 2x y 2xy 2y 2021 Lời giải a a a d 1 a b c a b c d (1) 1) Ta có a b c a a Mặt khác: a b c a b c d (2) Từ (1) (2) ta có a a a d a b c d a b c a b c d (3) b b ba Tương tự: a b c d b c d a b c d (4) c c bc a b c d c d a a b c d (5) d d d c a b c d d a b a b c d (6) Cộng vế với vế (3); (4); (5); (6) ta có Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com 1 a b c d a bc bc d c d a d a b (đpcm) 2 2) Ta có H 2x y 2xy 2y 2021 x y x 2019 2019 Dấu “=” xảy x 1; y Vậy giá trị nhỏ H 2019 x 1; y Bài 5: (7 điểm) BAC 90 , AB AC , M,N ABC Cho tam giác có đường cao AH Gọi hình chiếu H cạnh AB AC a) Chứng minh: MN AH ; b) Chứng minh rằng: AM AB AN AC AH ; c) Gọi K giao điểm NM BC Chứng minh K B K C K H ; d) Gọi O trung điểm vuông góc với AK ; BC , I giao điểm MN AH Chứng minh OI AH 40 AB e) AO 41 Tính tỉ số AC Lời giải A J N I M K B H O C a) Ta có HM AB M (vì M hình chiếu H AB ) AMH 90 HN AC M (vì N hình chiếu H AC ) ANH 90 Xét tứ giác AMHN có AMH ANH MAN 90 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: tailieumontoan.com AMHN hình chữ nhật AH MN (tính chất hình chữ nhật) b) Ta có AMHN hình chữ nhật (chứng minh trên) AHM ANM (tính chất hình chữ nhật) Mà AHM ABH (cùng phụ với HAB ) ANM ABH hay ANM ABC Xét hai tam giác ANM ABC có Góc A chung, ANM ABC Suy ANM ∽ ABC (g – g) AN AM AM AB AN AC AB AC Mà AN AC AH Suy AM AB AH c) Xét hai tam giác K HM K NH có Góc K chung, K HM K NH HAB Do K HM ∽ K NH (g – g) KH KM K H K M K N KN KN (1) Xét hai tam giác K MB K CN có Góc K chung, K MB K CN AMN Do K MB ∽ K CN (g – g) KM KB K M K N KB K C KC KN (2) Từ (1) (2) suy K H K B K C d) Tam giác ABC vuông A, trung tuyến AO OA OB OC (tính chất trung tuyến tam giác vng) OAC cân O OAC OCA (tính chất tam giác cân) Mà OCA AMN ANM đồng dạng với ABC Liờn h ti liu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website: tailieumontoan.com OAC AMN Mà ANM AMN 90 OAC ANM 90 OA MN hay OA K N Xét tam giác KAO có AH K O, KN OA mà AH cắt K N I I trực tâm K AO OI AK AH 40 AH AO t 40 41 e) AO 41 AH 40t; AO 41t Xét tam giác HAO vuông H ta có: OH OA AH 41t 40t 81t OH 9t Mà OA OA OC (tính chất trung tuyến tam giác vng ABC ) OC 41t; HC 41t 9t 50t Xét hai tam giác HAC ABC có AHC BAC 90 C góc chung Do HAC ∽ ABC (g – g) HA HC AB HA 40t AB AC AC HC 50t = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC