28 Website: tailieumontoan.com UBND HUYỆN THANH TRÌ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HSG SỐ ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH NĂNG KHIẾU NĂM HỌC: 2018-2019 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút Ngày kiểm tra: 16 tháng năm 2019 Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1 x x 3 x 24 Phân tích đa thức thành nhân tử: x Bài 2: (3,0 điểm) 2 x2 x 3 x 3 x 4 x 2 x2 Giải phương trình: 2 2 Tìm số nguyên x,y thỏa mãn : x y x y 60 37 xy Bài 3: (3,0 điểm) 3 Cho số x, y , z đôi khác nhau, thỏa mãn: x y z 3xyz xyz 0 16 x y y z 2019 z x P z x y Tính giá trị biểu thức 27 12 x A x2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Bài 4: (3,0 điểm) Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh rằng: tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ 2 Cho đa thức F ( x) x ax bx c (với a, b, c R ) Biết đa thức F ( x) chia cho đa thức x dư , đa thức F ( x ) chia cho đa thức x dư A a 2019 b 2019 b2020 c 2020 c 2021 a 2021 Hãy tính giá trị Bài 5: (6,0 điểm) Cho điểm O trung điểm đoạn thẳng AB Trên mặt phẳng bờ chứa cạnh AB , vẽ tia Ax , By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C ( C A ), qua O kẻ đường thẳng vng góc với OC cắt tia By D Chứng minh: AB 4 AC.BD Kẻ OM CD M Chứng minh: CO tia phân giác góc ACD AC MC Tia BM cắt tia Ax N Chứng minh: C trung điểm AN Kẻ MH AB H Chứng minh: Các đường thẳng AD , BC , MH đồng quy 2019 4 Bài 6: (1,0 điểm) Tìm số nguyên n cho n 2018n 2020 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = (Đề thi có 01 trang) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2018 - 2019 MƠN: TỐN Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: x 1 x x 3 x 24 Phân tích đa thức thành nhân tử: x Lời giải 1) Ta có x 1 x x 3 x 24 x 5x x x 24 Đặt x x t x2 5x 4 x2 5x 6 24 t 1 t 1 24 t 25 t 5 t 5 x x x x 10 2 x x x 2) Ta có x x x x Bài 2: (3,0 điểm) 2 x2 x 3 x 3 6 7 x 2 x2 x Giải phương trình: 2 2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn : x y x y 60 37 xy Lời giải 2 x 9 x 3 x 3 6 7 x 2 x 2 x (đkxđ: x 2 ) 1) x 3 x a; b 2 x2 Đặt x , ta có a 6b 7 ab a b a 6b 0 a b a 6b Giải PT: a b tìm x 0 (TMĐK) Giải PT: a 6b tìm x 1 x 6 (TMĐK) Kết luận 2 2 2) x y x y 60 37 xy 2 x y x y 35 xy 60 x y 5 xy xy xy 3 xy 0 Vì VT 0 nên Suy xy 4 xy 3 xy 4 (vì xy nguyên) 2 x y 0 xy Với x y x 3 (loại) x y 0 x y 2 x y (loại) Với xy 4 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Bài 3: (3,0 điểm) 3 Cho số x, y , z đôi khác nhau, thỏa mãn: x y z 3 xyz xyz 0 16 x y y z 2019 z x P z x y Tính giá trị biểu thức 27 12 x A x2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Lời giải x y z x y z xy yz zx 0 3 x y z xyz 1) Ta có Do x, y, z đơi khác x y x 0 Thay x y z; y z x; z x y ta có P 16 2019 2000 A 27 12 x x2 2) Viết Amin x 6 27 12 x A x2 Viết Amax 4 x 1,5 x 6 x2 x 3 x2 4 Bài 4: (3,0 điểm) Cho hai số phương liên tiếp Chứng minh rằng: tổng hai số cộng với tích chúng số phương lẻ 2 Cho đa thức F ( x) x ax bx c (với a, b, c R ) Biết đa thức F ( x) chia cho đa thức x dư , đa thức F ( x ) chia cho đa thức x dư Hãy tính giá trị A a 2019 b 2019 b2020 c 2020 c 2021 a 2021 Lời giải k 1 1) Gọi hai số phương liên tiếp k 2 2 k k 1 k k 1 k k 1 1 Ta có Lập luận kết luận 2) Gọi thương phép chia F ( x) cho x x P( x), Q( x) Ta có F ( x ) x3 ax bx c x P ( x ) F ( x) x3 ax bx c x 1 Q ( x ) Thay x 2 vào (1) ta 4a 2b c Thay x vào (2) ta a b c Từ (3) (4) ta có a b Nêu A 0 (1) (2) (3) (4) Bài 5: (6,0 điểm) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com Cho điểm O trung điểm đoạn thẳng AB Trên mặt phẳng bờ chứa cạnh AB , vẽ tia Ax , By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C ( C A ), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By D Chứng minh: AB 4 AC.BD Kẻ OM CD M Chứng minh: CO tia phân giác góc ACD AC MC Tia BM cắt tia Ax N Chứng minh: C trung điểm AN Kẻ MH AB H Chứng minh: Các đường thẳng AD , BC , MH đồng quy Lời giải 1) Chứng minh ACO BOD đồng dạng AB 4 AC.BD 2) ACO BOD đồng dạng OC OD OC OD AC OB hay AC OA Đưa đk kl: ACO OCD đồng dạng ACO DCO Chứng minh: ACO MCO (ch gn) AC CM CA CM BD DM 3) Nêu BD DM (tương tự câu 2) CN CM Sử dụng hệ định lí TaLét đưa BD DM (vì CN //BD ) Do suy CA CN 4) Gọi K giao điểm MH BC HK MK Nêu AC NC Suy MK HK hay BC cắt MH trung điểm MH Tương tự AD cắt MH trung điểm MH Vậy MH , BC , AD đồng quy K trung điểm MH 2019 4 Bài 6: (1,0 điểm) Tìm số nguyên n cho n 2018n 2020 Lời giải Ta có n3 2018n n3 n 2019n chia hết cho 2019 chia dư Ta có 2020 Vậy khơng tìm n = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC