28 Website: tailieumontoan.com PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HSG MƠN TỐN LỚP NĂM HỌC: 2018 – 2019 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 a) m( x 1) x( m 1) b) ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) 24 A 33 55 44 Cho phương n n ( n số tự nhiên lớn 1) Chứng minh A số n Bài 2: (4,0 điểm) x 1009 x x 2017 6 1011 1012 a) Giải phương trình: 1010 1 1 b) Cho abc 1 Chứng minh a ab b bc c ca Bài 3: (4,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ N x2 x x2 b) Cho x; y; z số không âm thoả mãn xyz 1 Chứng minh rằng: 1 1 P 2 2 2 ( x 1) y ( y 1) z ( z 1) x Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH , trung tuyến AM Gọi D E hình chiếu H AB AC a) Chứng minh AD AB AE AC b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện để diện tích tứ giác AEHD diện tích tam giác ABC ? CF CB 1 c) Vẽ phân giác góc ACB cắt AM F cắt AB G Chứng minh FG CA Bài 5: (2,0 điểm) Sáu điểm phân biệt thuộc hình chữ nhật có độ dài cạnh 3cm 4cm (Các điểm nằm cạnh hình chữ nhật) Chứng minh tồn hai điểm sáu điểm mà bình phương khoảng cách chúng nhỏ 5cm = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MƠN TỐN LỚP PHỊNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2 a) m( x 1) x(m 1) b) ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) 24 2 A 33 44 55 Cho phương n n n ( n số tự nhiên lớn 1) Chứng minh A số Lời giải a) b) Học sinh phân tích cho 1,0 điểm, phân tích khơng hết trừ 0,5 điểm 10n a 11 n Đặt a 11 n 10 , suy ra: n Ta có 10 9a a A (3a) (9a 1) 4a 10 2 9a 9a 9a ( ) ( ) 2 9a Vì A lẻ nên nguyên Suy A số phương Bài 2: (4,0 điểm) x 1009 x x 2017 6 1011 1012 a) Giải phương trình: 1010 1 1 b) Cho abc 1 Chứng minh a ab b bc c ca Lời giải Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com x 1009 x x 2017 6 1010 1011 1012 x 1009 x 3 x 2017 1 2 0 1010 1011 1012 x 1009 1010 x 2.1011 x 2017 3.1012 0 1010 1011 1012 x 2019 x 2019 x 2019 0 1010 1011 1012 1 ( x 2019)( ) 0 1010 1011 1012 x 2019 x y z a b c y, z, x với x; y; z 0 b) Vì abc 1 nên đặt 1 1 1 a ab b bc c ca x x y y z z y z z x x y yz zx xy 1 xy yz zx xy yz zx xy yz zx Ta có a) Bài 3: (4,0 điểm) x2 x N x2 a) Tìm giá trị nhỏ b) Cho x; y; z số không âm thoả mãn xyz 1 Chứng minh rằng: 1 1 P 2 2 2 ( x 1) y ( y 1) z ( z 1) x Lời giải 2 x x x x x ( x 1) N 3 x2 x2 x 2 a) Dấu “=” xảy x 1 Vậy MinN = x 1 b) Ta có: ( x 1) y x x y 2 xy x 1 2 ( x 1) y xy x 1 Tương tự ( y 1) z 1 yz y 1 2 ( z 1) x zx z 2 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com 1 xy x 2 yz y 2 zx z 1 1 ( ) xy x yz y zx z P Hay Dấu “=” xảy x y z 1 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH , trung tuyến AM Gọi D E hình chiếu H AB AC a) Chứng minh AD AB AE AC b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện để diện tích tứ giác AEHD diện tích tam giác ABC ? CF CB 1 c) Vẽ phân giác góc ACB cắt AM F cắt AB G Chứng minh FG CA Lời giải a) Ta có AEHD hình chữ nhật nên góc ADE = góc AHE Mà góc AHE = góc C (vì phụ góc EHC ) Suy ADE đồng dạng với ACB (g-g) nên AD AB AE AC 1 S ABC S ADE S ABC nên Suy DE BC S AEHD b) Ta có DE Suy BC Suy DE AM Khi AH AM nghĩa tam giác ABC vuông cân A CM CF BG BK c) Kẻ GK / / AM , ta có MK FG (1) (theo Talet) GA KM (2) (theo Talet) BG CB Mặt khác lại có GA CA (3) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 28 Website: tailieumontoan.com BK CB Từ (2) (3) ta có KM CA (4) Từ (1) (4) lấy vế trừ vế ta có CF CB CM BK CM BK 1 FG CA MK KM KM Bài 5: (2,0 điểm) Sáu điểm phân biệt thuộc hình chữ nhật có độ dài cạnh 3cm 4cm (Các điểm nằm cạnh hình chữ nhật) Chứng minh tồn hai điểm sáu điểm mà bình phương khoảng cách chúng nhỏ 5cm Lời giải Chia hình chữ nhật cho thành phần hình vẽ Khi tồn điểm điểm nằm hình Ta có khoảng cách lớn điểm hình theo định lí Pitago: Bình phương khoảng cách hai điểm lớn 12 + 22 = Vậy tồn hai điểm mà khoảng cách chúng nhỏ = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC