28 Website: tailieumontoan.com PHỊNG GD&ĐT HUYỆN THƯỜNG TÍN ĐỀ THI HSG SỐ 25 ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG LỚP MƠN TỐN NĂM HỌC: 2018-2019 Thời gian làm bài: 120 phút Ngày kiểm tra Bài 1: (5,0 điểm) Cho biểu thức: x x x x3 x A , x 0; x 1 x x x x x3 a) Rút gọn A ? b) Tìm A biết x thỗ mãn: x x 12 B c) Chứng minh rằng: A Từ tìm x để Bài 2: (4,0 điểm) Giải phương trình sau: 2 a) x x x 10 x 24 x 3x 18 A nhận giá trị nguyên? b) x 30 x 31x 30 0 Bài 3: (2,0 điểm) a2 b2 c2 a b c 0 1 Cho b+c c+a a+b chứng minh rằng: b+c c+a a+b Bài 4: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD, BE , CF cắt H a) Tính tổng: HD HE HF AD BE CF b) Chứng minh: BH BE CH CF BC c) Chứng minh: H cách cạnh tam giác DEF HB, HC lấy điểm M , N tuỳ ý cho HM CN Chứng minh đường trung trực đoạn MN qua điểm cố định d) Trên cạnh Bài 5: (2,0 điểm) chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta số phương a) Tìm tất số phương gồm 1 1 4 2 x , y , z xy z x y z b) Cho khác thoã mãn: D x y z Tính 2018 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (5,0 điểm) Cho biểu thức: x x x x3 x A , x 0; x 1 x x x x x3 a) Rút gọn A ? b) Tìm A biết x thỗ mãn: x x 12 c) Chứng minh rằng: A Từ tìm x để B A nhận giá trị nguyên? Lời giải A Với x 0, x 1 x x x x3 x A x x x x x3 x2 x2 x 1 x2 x x x x x 2x x a) Rút gọn x 1 x b) Tìm A biết x thoã mãn: x x 12 Ta có: x x 12 x x 12 0 x 3 x loai 16 A Khi x 3 c) Chứng minh rằng: A Từ tìm x để x 1 Vì x nên x B A nhận giá trị nguyên 4x 4 A x Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com B Ta có 6x 0 A x 1 x 6 1,5 A Vì Suy B 1,5 mà B nhận giá trị nguyên nên B 1 A4 6x x 2 1 x x 1 x x 0 x 2 B 1 x 1 2 x 2 x 2 Vậy B 1 Bài 2: (4,0 điểm) Giải phương trình sau: 2 a) x x x 10 x 24 x 3x 18 b) x 30 x 31x 30 0 Lời giải a) Điều kiện x 6; 4; 1;3 2 x x x 10 x 24 x 3x 18 x x 1 x 1 x x x 3 x x 1 x x 3 x 4 x 1 x 3 x 1 x 3 x 0 x 2 S 0; 2 (12 x 1)(12 x 2)(12 x 3)(12 x 4) 7920 (Nhân hai với 24 ) 144 x 60 x 144 x 60 x 7920 Đặt: 144 x 60 x y Ta có phương trình: ( y 1)( y 1) 7920 y 7921 y 89 y 89 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com Với y 89, ta có: 144 x 60 x 89 Giải ra: x 1 x 7 12 Với y 89, ta có: 144 x 60 x 89 Giải thích phương trình vơ nghiệm Kết luận: Phương trình cho có hai nghiệm x 1 x 7 12 b) x 30 x 31x 30 0 x x3 x3 25 x x 25 x x 30 0 x x x x 0 x x x x x x 0 x 0 x 0 x x 0 x x 5 1 x 0, x S 6;5 Vậy Bài 3: (2,0 điểm) a2 b2 c2 a b c 0 1 Cho b+c c+a a+b chứng minh rằng: b+c c+a a+b Lời giải Ta có a b c 1 b+c c+a a+b a a b a c b b c b a c a c a b a b b c a c 3 Suy a b c abc Ta có a2 a b a c b2 b c b a c b c a c a2 b2 c2 b+c c+a a+b a b b c c a Biến đổi tử thức ta có a2 a b a c b2 b c b a c b c a c a b c a 3b a 3c b3 a b3c c3 a c 3b a b c a.b.c Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com 3 Thay a b c abc ta a2 a b a c b2 b c b a c2 b c a c a b c a 3b a 3c b 3a b 3c c3a c 3b a b c a b c 0 a2 b2 c2 0 Vậy b+c c+a a+b Bài 4: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD, BE , CF cắt H a) Tính tổng: HD HE HF AD BE CF b) Chứng minh: BH BE CH CF BC c) Chứng minh: H cách cạnh tam giác DEF HB, HC lấy điểm M , N tuỳ ý cho HM CN Chứng minh đường trung trực đoạn MN qua điểm cố định d) Trên cạnh Lời giải a) Tổng: HD HE HF S BCH SCHA S AHB 1 AD BE CF S ABC b) Chứng minh: BH BE CH CF BC Ta có BH BE BD.BC CH CF CD.CB Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com Suy BH BE CH CF BD CD BC BC H cách cạnh tam giác DEF Ta chứng minh AEF ABC DEC c) Chứng minh: AEF DEC FEB DEB EB phân giác góc FED Chứng minh tương tự ta có FC phân giác góc DFE Suy Suy H giao điểm ba đường phân giác DEF Suy H cách cạnh tam giác DEF HB, HC lấy điểm M , N tuỳ ý cho HM CN Chứng minh đường trung trực đoạn MN qua điểm cố định d) Trên cạnh M trùng với H N trùng với C Kẻ đường trung trực đoạn HC Khi Khi M C ' HC ' CH N H Kẻ đường trung trực đoạn HC ' Hai đường trung trực cắt O điểm O cố định Chứng minh điểm O nằm đường trung trực MN M , N thay đổi Chứng minh OM ON Vậy đường trung trực đoạn MN qua điểm cố định Bài 5: (2,0 điểm) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta số phương a) Tìm tất số phương gồm 1 1 4 2 x , y , z xy z x y z b) Cho khác thoã mãn: D x y z Tính 2018 Lời giải a) Gọi số phương có bốn chữ số ban đầu abcd Ta có abcd m Theo đề ta có abcd 1353 n 2 Suy n m 1353 n m n m 3.11.41 Có m 1000; n 100000 Suy 64 m n 200 m n 123 m 56 n 67 n m 11 Vậy số cần tìm 3136 1 a, b, c y z b) Đặt x Ta có a b c 2 2ab c 4 a b c 2ab 2bc 2ac 4 2ab c a b 2c 2bc 2ac 0 a c 2 b c 0 a b c x y z 1 2 Thay x y z vào x y z ta tìm 1 x , y , z 2 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN 28 Website: tailieumontoan.com Thay vào D x y z 1 D 2 2 2018 ta 2018 1 = = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU MƠN TỐN