CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ BÀI 5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ A SƠ ĐỒ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bước 1 Tìm tập xác định của hàm số; Bư[.]
CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ C H Ư Ơ N BÀI KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I LÝ THUYẾT = = = I A SƠ ĐỒ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bước Tìm tập xác định hàm số; Bước Tính đạo hàm y f ( x) ; Bước Tìm nghiệm phương trình Bước Tính giới hạn lim y ; lim y x x f ( x) 0 ; tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có); Bước Lập bảng biến thiên; Bước Kết luận tính biến thiên cực trị (nếu có); Oy , điểm đối xứng, …); Bước Tìm điểm đặc biệt đồ thị (giao với trục Ox , Bước Vẽ đồ thị Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 197 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ B CÁC DẠNG ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP HÀM SỐ BẬC BA y ax bx cx d TRƯỜNG HỢP a 0 a0 a0 y y / Phương trình y 0 có nghiệm phân biệt O x O x y y / Phương trình y = có nghiệm kép 1 O x O x y y / Phương trình y 0 vô nghiệm O x 1 O x MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TỐN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y x 3x Lời giải: Tập xác định: D Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: x 0 y 0 y 3 x x Xét x 2 + Các giới hạn vô cực lim y lim x ; lim y lim x x x x x x x x x Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 198 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ + Bảng biến thiên: x y y 0 2 ; 0 ; 2 Hàm số nghịch biến khoảng Hàm số đồng biến khoảng ; ; + Cực trị : y y 2 y y Hàm số đạt cực đại x 0 ; cd Hàm số đạt cực tiểu x 2 ; ct + Đồ thị x 1 x x 0 x x 0 đồ thị hàm số qua điểm A 1; Ta có Cho x 0 y 2 :Đồ thị hàm số cắt Oy B 0; Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm phương trình y 0 (Điểm uốn) I 1; làm tâm đối xứng Hoành độ điểm I nghiệm Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y x x x Lời giải: Tập xác định: D Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y x x x 1 0 x Suy hàm số nghịch biến khoảng + Cực trị : Hàm số khơng có cực trị + Các giới hạn vô cực Xét y 0 x 1 ; 3 3 lim y lim x ; lim y lim x x x x x x x x x x x Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 199 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 200 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ + Bảng biến thiên: x y y Đồ thị A 1; Ta có x 3x x 0 x 1 đồ thị hàm số qua B 0;1 Oy Cho x 0 y 1 Đồ thị hàm số cắt C ; 1 Cho x 2 y Đồ thị hàm số qua Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm trình y 0 (Điểm uốn) I 1; làm tâm đối xứng.Hoành độ điểm I nghiệm phương Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x + Lời giải: Tập xác định: D Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y 3x 0 x Xét y 0 x 0 Suy hàm số đồng biến khoảng + Cực trị : Hàm số khơng có cực trị + Các giới hạn vô cực ; lim y lim x ; lim y lim x x x x x + Bảng biến thiên: x y 0 y Đồ thị O 0; Ta có x 0 x 0 Vậy đồ thị hàm số qua Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 201 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ ( ) Oy B 1;1 Cho x y :Đồ thị hàm số cắt Cho x 1 y 1 :Đồ thị hàm số cắt qua C 1; 1 Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm phương trình y 0 (Điểm uốn) HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG TRƯỜNG HỢP O 0; làm tâm đối xứng Hoành độ điểm O nghiệm a 0 y ax bx c a>0 a0 y y / Phương trình y 0 có nghiệm phân biệt 1 O O x y x y / Phương trình y 0 có nghiệm O x O x MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TỐN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y x x Lời giải: Tập xác định: D Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 202 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ x 0 y 0 y 4 x x 4 x x x 1 Xét + Các giới hạn vô cực lim y lim x x x x x + Bảng biến thiên x y y 1 + 0 3 4 4 ; 1; Hàm số đồng biến khoảng Hàm số nghịch biến khoảng + Cực trị : ; 1 ; 1 y y Hàm số đạt cực đại x 0 ; cd Hàm số đạt cực tiểu Đồ thị x 1; yct y 1 4 A 1; , B 1; Ta có x x 0 x 1 Vậy đồ thị hàm số qua Oy C ; Cho x 2 y 5 : Đồ thị hàm số Cho x 0 y :Đồ thị hàm số cắt qua D ; 5 , E ; 5 y 1 O x 3 4 Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận Oy Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số làm trục đối xứng y 4 x2 x4 Lời giải: Tập xác định: D Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: x3 x2 y x x 2 Xét y 0 x 0 + Các giới hạn vô cực Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 203 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ 1 lim y lim x x x 2x 8x4 + Bảng biến thiên: x y y 0 ; ; Hàm số nghịch biến khoảng Hàm số đồng biến khoảng + Cực trị : y y Hàm số đạt cực đại x 0 ; cd Hàm số khơng có cực tiểu Đồ thị y -2 O x -1 C ; 0 , D ; 0 Cho x 2 y 0 :Đồ thị hàm qua Oy làm trục đối xứng Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận HÀM SỐ NHẤT BIẾN y ax b cx d D ad bc c 0 , ad bc 0 D ad bc Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 204 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TỐN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ x +1 Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số x - Lời giải: D \ 1 Tập xác định: Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 2 y x 1 Ta thấy y không xác định x 1; y âm với x 1 1; ; 1 Vậy hàm số nghịch biến khoảng + Cực trị : Hàm số khơng có cực trị + Tiệm cận x 1 lim y lim 1 y 1 tiệm cận ngang x x Vậy đường thẳng x 1 x 1 ; lim y lim x x x x x 1 x 1 Vậy đường thẳng x 1 tiệm cận ngang + Bảng biến thiên: x lim y lim y – – y 1 Đồ thị Đồ thị cắt trục tung điểm A ; 1 cắt trục hoành điểm B 1; (Hình vẽ) y -2 Lưu ý : Giao điểm I ;1 x hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 205 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Câu Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y x 1 2x Lời giải 1 D \ 2 Tập xác định: 3 y' 0 x 1 Ta có với lim y lim y x x x 1 y Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang lim y , lim y 1 x 2 1 x 2 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng Bảng biến thiên hàm số có dạng: x y 2 −∞ +∞ − y' x − +∞ −∞ Đồ thị hàm số có dạng: Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 206 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ C MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ Cho hàm số y f x có đồ thị C với số a ta có: Oy lên a đơn vị Hàm số y f x a có đồ thị C tịnh tiến C theo phương Oy Hàm số y f x a có đồ thị C tịnh tiến C theo phương xuống a đơn vị Hàm số y f x a có đồ thị C tịnh tiến C theo phương Ox qua trái a đơn vị Hàm số y f x a có đồ thị C tịnh tiến C theo phương Ox qua phải a đơn vị Hàm số y f x có đồ thị C đối xứng C qua trục Ox Oy Hàm số y f x có đồ thị ( C ¢) đối xứng C qua trục Từ đồ thị C : y f x suy đồ thị C : y f x f x x 0 y f x f x x Ta có y f x * Cách vẽ C hàm chẵn nên đồ thị từ C nhận Oy làm trục đối xứng C : + Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy đồ thị + Bỏ phần đồ thị bên trái Oy C : y f x x Ví dụ: Từ đồ thị C : y f x C , lấy đối xứng phần đồ thị giữ qua Oy 3x C : y x suy đồ thị y 3x x 3x x 0 y x x 3 x 3x x 3x x Ta có: C : Cách vẽ đồ thị + Bỏ phần đồ thị Oy bên phải C O -1 x -2 C : y x C bên trái Oy , giữ nguyên + Lấy đối xứng phần đồ thị giữ qua y Oy -1 O x -2 C : y x 3x Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 207 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn 3x CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Từ đồ thị Ta có: C : y f x C : y f x suy đồ thị f x f x 0 y f x f x f x * Cách vẽ C từ C : y f x + Giữ nguyên phần đồ thị phía Ox đồ thị (C): + Bỏ phần đồ thị phía Ox (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox C : y f x x 3x suy đồ thị C : y x Ví dụ: Từ đồ thị C : Cách vẽ đồ thị C Ox , giữ nguyên C phía Ox + Bỏ phần đồ thị 3 3x + Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox y y 2 O -1 C : y x x C : y x 3x -2 3x O -1 yf x Chú ý: Với dạng: x ta lần y y f x lượt biến đổi đồ thị C : y f x x Ví dụ: Từ đồ thị y f x 3x suy đồ thị yx 3x C Biến đổi C : y x để đồ thị C : y x Biến đổi 3x -1 3x ta đồ thị O x C : y x 3x C : y x 3x Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 208 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Từ đồ thị C : y u x v x C : y u x v x suy đồ thị u x v x f x u x 0 y u x v x u x v x f x u x Ta có: C từ C : * Cách vẽ + Giữ nguyên phần đồ thị miền + Bỏ phần đồ thị miền u x u x 0 đồ thị C : y f x C , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ suy C : y f x x x qua Ox Ví dụ: a) Từ đồ thị C : y f x 2 x C : y x x đồ thị 3x2 x b) Từ đồ thị suy đồ C : y x x thị Ta có: Ta có: f x x 1 y x x x f x x Đồ thị (C’): + Giữ nguyên (C) với x 1 + Bỏ (C) với x Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox (C') y x x 1; x y x x x x ;1 x Đồ thị (C’): nguyên C với x , giữ với x + Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox O C + Bỏ phần đồ thị y x O (C) Nhận xét: Trong trình thực phép suy đồ thị nên lấy đối xứng điểm đặc biệt (C): giao điểm với Ox, Oy, CĐ, CT… x Nhận xét: Đối với hàm phân thức nên lấy đối xứng đường tiệm cận để thực phép suy đồ thị cách tương đối xác Giáo viên: Huỳnh Văn Ánh – 42 Nguyễn Cư Trinh – Thuận Hòa – TP Huế – ĐT: 0984164935 Page 209 Chuyên luyện thi: Tuyển sinh vào lớp 10 – Tốt Nghiệp THPT – BDKT Toán 10; 11; 12 Sưu tầm biên soạn