ĐỀ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH BA ĐỀ THI CHỌN HỌC HSNK CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn: TOÁN – LỚP Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề thi có: 03 trang ĐỀ CHÍNH THỨC A PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng: Câu Phân tích đa thức x xy 20 y ta kết A x y x y B x y x y C x y x y D x y x y Câu Số giá trị m m Z , cho đa thức (x + m)(x - 3)+ phân tích thành (x + a)(x +b) với a, b Z a b A B C D Câu Số dư phép chia x 3 x x x 2035 cho x 12 x 30 A 2018 B 2019 C 2020 D Câu Cho đa thức P ( x) 2 x ax x b chia cho nhị thức x thương Q (x) x 3x số dư r 20 Tính 2a 3b A -21 B D - 20 3x y y x Câu Cho x 2y 5 Khi giá trị biểu thức P x y A P = B P = C P = D P = Câu Tìm giá trị x để phân thức sau: A x 2 B x 2 C 15 2x không nhỏ 1: 3x D x C x 2 x 2 Câu Có số tự nhiên n để n 4n 2025 số phương A B C D Câu Biết p p+2 số nguyên tố lớn Khi p+1 chia hết cho A B C D Câu Phương trình 5(m + 3x)(x + 1) – 4(1 + 2x) = 80 có nghiệm x = khi: A m B m C m D m 2 2 Câu 10 Số nghiệm phương trình : x x x 4 : A B C D A n = 20 B n= 17 C n = 19 D n = 16 Câu 11 Một đa giác lồi có n cạnh số đường chéo n 150 Thì số cạnh đa giác : Câu 12 Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích S, điểm E thuộc BC, điểm F thuộc CD cho BE 2CE ; CF 2 DF Tính diện tích tứ giác AECF theo S A S B S 12 C S D S Câu 13 Cho hình thang ABCD AB / / CD;AB CD , hai đường chéo BD AC cắt O, đường thẳng (d) qua O song song với hai đáy hình thang cắt AD, BC M; N Đẳng thức sau ? 1 1 1 OM ON OM ON Trang 1/3 B C 1 2 A D AB CD MN AB CD 2MN CD AB CD AB Câu 14 Cho ABC có G trọng tâm, đường thẳng qua G, cắt cạnh AB AC M N giá trị biểu thức AM AN A B C AB, AC D Câu 15 Cho tam giác ABC vuông A; đường cao AH BC , H BC Biết BH 18cm; CH 32cm Tính chu vi tam giác ABC A 130 (cm) B 120 (cm) C 150 (cm) D 140 (cm) Câu 16 Với phát triển khoa học kĩ thuật người ta tạo nhiều mẫu xe lăn đẹp tiện dụng cho người khuyết tật Công ty A sản xuất xe lăn cho người khuyết tật với số vốn ban đầu 600 triệu đồng để thuê mặt xây nhà xưởng Chi phí sản suất xe lăn 2500000 đồng Giá bán xe lăn 3000000 đồng Hỏi công ty phải bán xe thu hồi vốn ban đầu A 800 xe B 900 xe C 1000xe D 1200 xe B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu (3,0 điểm) a) Cho số nguyên a, b thỏa mãn (a 4ab b ) 3 chứng minh rằng: (a3 b3 a 2b 4ab )3 b) Giải phương trình nghiệm nguyên x xy 2021x 2022 y 2023 0 Câu (4,0 điểm) a) Cho số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện x y z 2 ; xyz x y z 18 Tính giá trị S 1 xy z yz x zx y b) Giải phương trình x x x 0 Câu (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân có đường cao BD, CE cắt H a) Chứng minh AD AC AE AB b) Gọi M , I thứ tự trung điểm BC DE Chứng minh đường thẳng MI qua trung điểm AH c) Gọi O giao ba đường trung trực tam giác ABC Gọi N , P hình chiếu O cạnh CA, AB theo thứ tự Tính giá trị biểu thức OM ON OP T HA3 HB HC Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 3 b2 c a HẾT Họ tên thí sinh: SBD: Cán coi thi khơng giải thích thêm Trang 2/3 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO … KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2021 - 2022 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Hướng dẫn chấm có 04 trang I Một số ý chấm - Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với đáp mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm đáp án - Điểm thi tổng điểm câu khơng làm trịn số II Đáp án – thang điểm A Phần trắc nghiệm khách quan( điểm) Câu 10 11 12 13 14 15 16 Đ.A D C C B A B C D A C A D A B B D Điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 B Phần tự luận ( 12 điểm) Nội dung Điểm Câu 1.(3,0 điểm) a) Cho số nguyên a, b thỏa mãn (a 4ab b2 )3 chứng minh rằng: (a3 b3 a 2b 4ab )3 b) Giải phương trình nghiệm nguyên x xy 2021x 2022 y 2023 0 a) Ta có (a 4ab b )3 (a b) 6ab 3 (a b) 3 a b 3 (Do nguyên tố) a b3 a 2b 4ab (a b)(a ab b ) ab (a b) 3ab 3 0,75 0,75 b) x xy 2021x 2022 y 2023 0 x xy x 2022 x 2022 y 2022 1 0,5 x 2022 x y 1 1 x 2022 1 x y 1 x 2022 x y 0,5 x 2023 y 2023 x 2021 y 2023 0,5 Vậy ( x, y ) 2023; 2023 ; 2021; 2023 Câu (4,0 điểm) a) Cho số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời điều kiện x y z 2 ; Trang 3/3 xyz S Nội dung x y z 18 2 Điểm Tính giá trị 1 xy z yz x zx y b) Giải phương trình x x x 0 a) Ta có xy z xy x y x 1 y 1 yz x y 1 z 1 zx y z 1 x 1 1 xyz Suy S x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 1 z 1 Tương tự 1 xyz xy yz zx x y z xy yz zx Ta có x y z x y z xy yz zx xy yz zx Suy S 0,5 0,5 0,5 b) 2 x x x 0 x x x x 0 x x 0 x x 0 x x 1 x x 0 x x 0 0,5 2 0,5 0.5 1 1 Với x x 0 x 0 vô nghiệm x 2 2 21 21 21 x x 0 x 0 x x 0 2 2 21 Với x A 21 x 21 Vậy S D J I nhọn, không cân Bài (4,0 điểm) ChoP tam giác ABC có đường cao BD, CE N cắt H O AD AC AE AB a) Chứng minh E M , I b) Gọi thứ tự trung điểm BC DE Chứng minh đường thẳng MI qua trung điểm AH H O c) Gọi giao ba đường trung trực tam giác ABC Gọi N , P hình chiếu O cạnh CA, AB theo thứ tự Tính giá trị biểu thức OM ON OP T B C HA3 HBM HC Trang 4/3 K 0,25 0,75 a) Ta có ADB ACE 900 (vì BD, CE đường cao ABC ) Xét ABD ACE có: BAC chung ADB ACE 90 (chứng minh trên) Do ABD ∽ ACE (g-g) AB AD AB AE AC AD đpcm AC AE b) Gọi J trung điểm AH Ta cần chứng minh M , I , J thẳng hàng Dễ dàng tam giác ADH , AEH , BDC , BEC vng, Theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng ta có BC ME MD ME MD JD JE JD JE AH Suy MJ trung trực DE , MJ qua I đpcm Suy c) Gọi K điểm đối xứng với A qua O Theo tính chất đối xứng giao điểm đường trung trực OC OA OK OB ACK , ABK vuông B, C BH AC , CK AC Suy CH AB , BK AB BHCK hình bình hành Do H , M , K thẳng hàng CK / / BH CH / / BK Từ suy OM đường trung bình AHK OM AH 1 Chứng minh tương tự ON BH , OP CH 2 3 OM ON OP Do T 3 8OM 8ON PO Bài (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b c 3 Chứng minh rằng: Trang 5/3 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,5 0,5 0,25 0,5 0,5 a 1 b 1 c 1 3 b2 c a Bài Hướng dẫn chấm Điểm Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: b 2b nên b a 1 b a 1 a 1 ab b a a a 2 1 b b 1 2b a 1 ab b a 1 b b 1 bc c b Tương tự ta có 1 c c 1 ca a c 1 a2 (1) 0,25 (2) (3) Cộng theo vế (1), (2) (3) ta a 1 b 1 c 1 a b c ab bc ca 3 * 2 1 b 1 c 1 a 0,25 Mặt khác: ab bc ca a b c 9 a b c ab bc ca 0 0,25 a 1 b 1 c 1 3 (điều phải chứng minh) b2 c2 a2 Dấu " " xảy a b c 1 Nên (*) Trang 6/3 0,25