PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TAM NÔNG LỚP THCS NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn: Tốn ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề ( Đề thi có 03 trang) I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ( điểm) Hãy chọn phương án trả lời Câu 1: Biểu thức x2 có nghĩa 3 x D x 3 A x B x x C x Câu 2: Rút gọn biểu thức x x x x (với x 2 ) kết A Câu 3: Rút gọn biểu thức P A x1 x 1 B Câu 4: Cho a b x x D x C B x x 1 x 2 x x 1 x 2 x x1 (với x 0; x 4 ) kết x 1 , giá trị biểu thức Q a b 5 A B 10 C 12 2021 Câu 5: Cho đa thức f (x) (x x 5) m 3 A D C B D 16 Giá trị f (m) D 52021 C (a 11)(b 11) Câu 6: Cho ab bc ca 11 Rút gọn biểu thức M (b a) kết c 11 A 2a B 2b C 2a Câu 7: Giá trị nhỏ biểu thức A 2 x x A Câu 8: Cho B 2,5 C D a b D ( x y z 3) x y z Giá trị A x y z D 22 A 14 B 29 C Câu 9: Cho ABC có đường trung tuyến AD, trọng tâm G Qua G kẻ đường thẳng cắt AB AC E F Tổng tỷ số A B 2,5 AB AC AE AF C D 3,5 Câu 10: Cho ABC tam giác nhọn, lấy điểm D thuộc cạnh BC ( D khác B C) cho BD Qua D kẻ DE AC (E AB) ; DF AB (F AC) diện tích BDE 3cm Thì DC diện tích tứ giác AEDF D 12cm A 6cm2 B 10cm C 15cm2 Câu 11: Cho ABC vuông A , đường cao AH (H BC) Biết diện tích AHB 54cm ; diện tích AHC 96cm ; cạnh BC có độ dài D 25cm A 9cm B 16cm C 20cm Câu 12: Cho tam giác nhọn ABC có BAC 600 , kẻ hai đường cao BD, CE D AC; E AB Gọi A S; S' diện tích ABC, ADE Tính tỉ số B C D S' S Câu 13: Cho hình chữ nhật ABCD , có BH AC H , hệ thức sau A AD.BC AC.HC B AB.BH AC.HC C AD AH AB.BH D AD AH AC Câu 14: Cho ABC vuông tạ A , đường cao AH (H BC) ; đường phân giác AD (D BC) Biết BH 20cm ; HC 45cm , độ dài đoạn thẳng HD D 7cm A 4cm B 5cm C 6cm B 2C độ dài cạnh số tự nhiên liên tiếp ( đơn vị Câu 15: Cho ABC có A cm) Khi chu vi ABC D 15cm A 6cm B 9cm C 12cm Câu 16: Bố bạn minh gửi cho Minh 20 000 000( đồng) vào ngân hàng với lãi suất 0, 45% / tháng Nếu hàng tháng Minh rút 900 000 ( đồng) vào ngày ngân hàng tính lãi, để chi phí cho sinh hoạt học tập Hỏi sau năm bạn Minh tiền ngân hàng ?( tính trịn đến đồng) A 10035784 B.10068815 II PHẦN TỰ LUẬN ( 12 điểm) C 10080900 D 9800000 Câu ( 3,0 điểm) a) Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: x3 x y x y 2 b) Cho số thực a; b; c khác thỏa mãn: ab bc ca 2020abc 2020(a b c) 1 Tính P a 2021 b 2021 c 2021 Câu ( 3,5 điểm) Giải phương trình sau: a) (x 1)(x 10 x 24) 144 b) x 3x x 0 Câu ( 4,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a ( a > 0), hai đường chéo AC BD cắt I Điểm M di động cạnh BC ( M khác B C), cạnh AB lấy điểm N cho BN = CM Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC E, đường thẳng IM cắt BE F a) Chứng minh MIN tam giác vuông cân b) Chứng minh CF BE c) Tìm vị trí điểm M cạnh BC để diện tích MIN nhỏ Tìm giá trị nhỏ theo a Câu ( 1,5 điểm) Cho a,b,c số thực dương khác thỏa mãn a b c abc Chứng minh rằng: P a 3 6a 12 b 3 6b 12 c 3 6c 12 …………… Hết……………… Họ tên thí sinh:…………………………………………… Số báo danh:……………… Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM THI Năm học: 2020 - 2021 Mơn: Tốn Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác, tổ chấm thống cho điểm Học sinh khơng vẽ hình vẽ sai khơng tính điểm I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời 0,50 điểm Câu Đáp án C A C D C A II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu B 10 11 12 13 14 15 16 B C D D B A C B A a Tìm số nguyên x; y thỏa mãn: x3 x y x y 2 Câu a; b; c khác thỏa mãn: ab bc ca 2020abc 3,0 điểm b Cho số thực 2020(a b c) 1 Tính P a) 1,5 điểm 2021 2021 2021 a b c x ; y a) Tìm số nguyên thỏa mãn: x x y x y 2 (1) x3 x x x x x x 2 x 1 x 1 x 1 Để y Z x 2x 1 (x 2)(x 2)x Ta có (1) y x 1 x 0 x 4x ( x 1) 5x 5x x 5 x 2 b) 1,5 điểm Điểm Với x 0 y x 2 y 2 x khơng có y ngun thỏa mãn Vậy (x; y) (0; 2);(2; 2) b)Cho số thực a; b; c khác thỏa mãn: ab bc ca 2020abc 2020(a b c) 1 Tính P a 2021 b 2021 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 2021 c 1 1 Từ giả thiết ta có: 2020; 2002 a b c a b c 1 1 1 1 0 a b c a b c a b c a b c a b a b c c 1 0 (a b)( ) 0 ab c(a b c) ab ac bc c a b 0 (a b)(ab ac bc c ) 0 (a b)(b c)(c a) 0 b c 0 c a 0 1 1 a b 2021 2021 ( ).Q Q 0 Nếu a b 0 c 2020 a b a b ab P 20202021 Tương tự b c 0; c a 0 P 20202021 Vậy P 20202021 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Câu Giải phương trình sau: 3,5 điểm a) (x 1)(x 10 x 24) 144 b) x 3x x 0 a) a) (x 1)(x 10 x 24) 144 1,5 điểm (x 1)(x 1)(x 4)(x 6) 144 (x 1)(x 6)(x 1)(x 4) 144 (x x 6)(x x 4) 144 Đặt x x a 0,25 0,25 (a 5)(a 5) 144 a 169 a 13 x 2 b) 2,0 điểm 2 + Nếu a 13 x x 13 x x 14 0 x + Nếu a 13 x 5x 13 x x 12 0 x Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S 2; 7 b) x 3x x 0 (2) 0,25 Pt (2) x x x x 0,5 0,25 0,25 x 1 x 1 x 1 x x 2 x x 3 x x x x 1(x 1) x 9 x x (x 3) x x 0(x 1) x 2 (t/m) x x 10 0(x 3) Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S 2 Câu Cho hình vng ABCD có cạnh a ( a > 0), hai đường chéo AC 4,0 điểm BD cắt I Điểm M di động cạnh BC ( M khác B C), cạnh AB lấy điểm N cho BN = CM Đường thẳng AM cắt đường thẳng DC E, đường thẳng IM cắt BE F a Chứng minh MIN tam giác vuông cân b Chứng minh CF BE c Tìm vị trí điểm M cạnh BC để diện tích MIN nhỏ Tìm giá trị nhỏ theo a A N I a) 0,25 0,25 ĐKXĐ: x 1 (x 1) ( x 2) D 0,25 0,25 B M C F E Chứng minh MIN tam giác vuông cân 0,5 0,25 1,0 điểm Xét CMI BNI có IB IC (T/C hình vng) ; ICM IBN 450 0,5 ; CM BN (gt) CMI BNI (c.g.c) IM IN Vì CMI BNI (cmt) NIB BIM 0,25 MIC MIC 900 BIM BIN 900 MIN 900 Do MIN tam giác vuông 0,25 cân A b) Chứng minh CF BE AM BM 1,5 điểm Ta có: AB CE (Ta Lét); mà BN MC ME MC 0,5 AM AN MN BE (Ta Lét đảo) (gt) AN BM ME NB BFM NMI 450 (1) 0,25 MF BM MC IM 0,5 Mà FMC BMI (đđ) FMC BMI (c.g.c) MFC MBI 45 (2) Từ (1) (2) ta có: BFM MFC 450 450 900 0,25 BFC 900 CF BE Mặt khác: BMF IMC (g.g) c) Tìm vị trí điểm M cạnh BC để diện tích MIN nhỏ Tìm 1,5 điểm giá trị nhỏ theo a Ta có : CMI BNI (cmt) ; tương tự : ANI BMI (c.g.c) Do đó, S ABC S ABCD a khơng đổi 4 Nên diện tích MIN nhỏ diện tích BMN lớn MB.NB (MB NB) (MB CM) BC a Mặt khác: S BMN 8 8 (Theo BĐT Cô si) Dấu “=” xảy MB NB MB MC S BMIN Do : Diện tích MIN nhỏ GTNN SMIN Câu 1,5 điểm a2 a2 a 8 0,5 0,25 0,5 0,25 M trung điểm BC Cho a,b,c số thực dương khác thỏa mãn a b c abc Chứng minh rằng: P a 3 6a 12 b 3 6b 12 c 3 6c 12 Ta có: a b c abc 0,5 (ab a b 1) (bc b c 1) (ca c a 1) (abc ab bc ca a b c 1) (a 1)(b 1) (b 1)(c 1) (c 1)(a 1) (a 1)(b 1)(c 1) 1 1 (1) a 1 b 1 c 1 Ta thấy : 6a 12 4a 2(a 4) 4a 8a (2a 2) a 3 a a 1 1 6a 12 2a 2( a 1) a 1 Chứng minh tương tự : b 3 6b 12 b 3 1 ; 2b 2 b 0,25 0,25 c 3 c 3 1 6c 12 2c 2 c Cộng vế với vế ta có : 0,25 1 1 3 a 1 b 1 c 1 6a 12 6b 12 6c 12 Dấu “=” xảy a b c 2 P a 3 b 3 c 3 - Hết - 0,25