Toan 9 phu ninh (22 23)

UBND HUYỆN PHÙ NINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022 – 2023 Mơn:Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC I PHẦN TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời ghi vào tờ giấy thi x y  1 Câu 1: Đường thẳng cắt trục hoành A, cắt trục tung B Diện tích tam giác OAB bằng A B 10 C -10 D -5 Câu 2: Cho tam giác ABC , MN // BC (với M nằm A, B N nằm A, C) Biết AM = 3cm; AN = 2cm; AB = 3AN Độ dài cạnh AC bằng A 4cm B 5cm C 6cm D 7cm Câu 3: Giá trị x thỏa mãn A x 0 x    27 x  27 1 B x  Câu 4: Điều kiện x để biểu thức A x  B x  C x 2 P D x  2 x2 x có nghĩa C x 3 D x   H  BC  Câu 5: Cho tam giác ABC vng A Có AH đường cao  Kẻ HE , HF vng góc AB, AC  E  AB; F  AC  Các hệ thức sau đúng? A EF2=AB AC B AB  AH EF C HF  AE AB D AB AE  AC AF 2.EF Câu 6: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm x để ba điểm A, B, C thẳng hàng A -20 B 20 A   2;3 , B   4;   , C ( x;3 x) 20 C 13 D  Giá trị 20 13 2p  x  x  x  p  x  3x  Câu 7: Giá trị p để phương trình có mợt nghiệm x x    12  x  1  x   bằng một nửa nghiệm phương trình   19 A 16 19 B 16 C 1 D x m x  2 Câu 8: Tập hợp giá trị tham số m để phương trình x  x  (ẩn x ) vô nghiệm Trang 1/3 A   2 B   1 C   2;1 D   1; 2 M  20a  92  a  16a  64 N a  20a3  102a  40a  200 Cho Câu 9: Để M  N 0 thì số giá trị a thỏa mãn A B C D Câu 10: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, đường phân giác AD (H,D  BC) Biết AB = 42cm, AC = 56cm Độ dài đoạn DH bằng A 4,8cm C 7, 2cm B 6cm d : y  2m  1 x  Câu 11: Cho đường thẳng   D 8, 4cm với m tham số m  Tổng A  2;1 giá trị m để khoảng cách từ  đến đường thẳng d bằng  19 19 5 A C D B Câu 12: Cho tam giác ABC vuông A biết BC a  26, AC 6a  3, (a  0) Số  giá trị a để B 30 A B C D Câu 13: Một đội bác sỹ gồm 31 người cử tham gia chống dịch đợt dịch Covid-19 ( kinh phí chuyến cấp cho mỡi người) Tuy vậy đến lúc có người không tham gia nên mỗi người còn lại cấp thêm 18000 đồng so với dự kiến ban đầu Tởng chi phí cấp cho chuyến A 028 000 (đồng) B 208 000 (đồng) C 280 000 (đồng) D 054 000 (đồng) O; R  Câu 14 Cho đường tròn  , mợt dây cung có đợ dài bằng bán kính thì khoảng cách O từ tâm đến dây cung bằng R A R C R D B R O; R  Câu 15: Cho đường tròn  , đường kính AB Đường thẳng d tiếp xúc với đường M  A tròn A M một điểm tùy ý d  Đường thẳng qua O vuông góc với BM cắt đường thẳng d N Giá trị nhỏ nhất MN M di chuyển d A R B 2R C D 3R 2.R  Câu 16: Cho tam giác ABC cân A , BAC 45 AB = a ( a  0) Khi độ dài cạnh BC bằng A a C a  B 2a Trang 2/3 D   a 2 II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1: (3,0 điểm) a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x2 + y2 – 2(x – y ) = b) Cho số nguyên dương n thỏa mãn n 10 hai số nguyên tố cùng Chứng minh rằng: (n  1)40 Câu 2: (3,5 điểm) a) Giải phương trình: x   x  2  x  4x  a b b) Cho hai số thực a, b cho a.b 0 thỏa mãn: a b a b 3a  b   a  ab a  ab a  b a  2a 2b  3b P 2a  ab  b3 có giá trị một số tự nhiên Chứng minh biểu thức Câu 3: ( 4,0 điểm) Cho đường tròn ( O;R) điểm A nằm đường tròn Qua điểm A kẻ đường thẳng d  OA, lấy một điểm M tùy ý d ( M  A ) Kẻ tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (O) ( C, D tiếp điểm) Qua O kẻ đường thẳng song song với CD cắt MC, MD E F CD cắt OM H, cắt OA B a) Chứng minh OA.OB = OH OM Từ suy OA.OB không đổi b) Chứng minh CD qua một điểm cố định điểm M di chuyển đường thẳng d c) Tìm vị trí điểm M đường thẳng d để diện tích tam giác HBO đạt giá trị lớn nhất Câu 4: (1,5 điểm) 2 Số thực a thay đổi thỏa mãn điều kiện a  (a  3) 5 Tìm giá trị nhỏ 4 2 nhất biểu thức: P a  (a  3)  6a (a  3) -Hết Chú ý: Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh SBD Trang 3/3 UBND HUYỆN PHÙ NINH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC: 2022 – 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn:Tốn HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Hướng dẫn chấm có 05 trang I Một số ý chấm - Đáp án chấm thi dựa vào lời giải sơ lược một cách Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm - Thí sinh làm theo cách khác với đáp mà thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm đáp án - Điểm thi tổng điểm câu không làm tròn số II Đáp án – thang điểm Phần trắc nghiệm khách quan (8,0 điểm) Câu Đáp án 10 11 12 13 14 15 16 A A D B D A C C B A A C B D B C II Phần tự luận (12,0 điểm) Câu Đáp án Điểm Câu (3,5 điểm) a.Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x2 + y2 – 2(x - y ) = b Cho số nguyên dương n thỏa mãn n 10 hai số nguyên tố cùng Chứng minh (n  1)40 a) x2 + y2 – 2(x – y ) =  (x-1)2 + ( y+1)2 = Trang 4/3 0,25 2đ 2  x  1 0   x  1 3   2 y   y  0       2   Vì x,y  Z = + nên hoặc 0,5   x 1    x  1 0   y 2     x 1   y  1 3    y  TH1 0,5   x 4   x  1 3   y      x   y  1 0    y  TH2 0,5 Vậy cặp số nguyên (x;y) cần tìm (1;2), ( 1;-4), (4;-1), (-2; -1) 0,25 Vì n 10 nguyên tố cùng nên n không chia hết cho 0,5 2 ⇒ n có dạng 10k ± 10k ± với k ∈ ℕ 2 Ta có: n  (n  1)(n  1) (n  1)( n  1)( n  1) 0,25 Do n lẻ nên n – ⋮ 2; n + ⋮ n + ⋮ ⇒ n – ⋮ (1) b) 1,5 điểm  Nếu n = 10k ± ⇒ n2 ≡ (±1)2 ≡ (mod 10) ⇒ n2 – ⋮ 10 ⇒ n4 – ⋮ (2) 0,25 Từ (1) (2), kết hợp với (5;8) = suy n4 – ⋮ 40  Nếu n = 10k ± ⇒ n2 ≡ (±3)2 = (mod 10) ⇒ n2 + ⋮ 10 ⇒ n4 – ⋮ (3) 0,25 0,25 Từ (1) (3) kết hợp với (5, 8) = suy n4 – 1⋮ 40 Vậy mọi trường hợp ta có n4 – ⋮ 40 Câu 2: (3,5đ) a) Giải phương trình: x   x  2  x  4x  a b a b 3a  b   2 2 a b a , b a b  a  ab a  ab a  b b)Cho hai số thực cho thỏa mãn: a  2a 2b  3b3 P 2a  ab  b3 có giá trị mợt sớ tự nhiên Chứng minh biểu thức a) ĐK: x  0,25 Trang 5/3 x   x  2  x  4x   x    x   (x 1)(x  3) 0  (2.0 đ)  x 3   x 1   x   0 0,25     0,25  x 3   0,25 x 1  0  x   0   x   0 0,25 0,25 (1) x=-2 ( loại) 0,25  x 3 (2)  ( TM) 0,25 Vậy PT cho có nghiệm nhất x=3 a b a b 3a  b   2 2 a b Với a.b 0 ta có : a  ab a  ab a  b ( a  b) ( a  b) a(3a  b)    a (a  b)(a  b) a (a  b)(a  b) a (a  b )(a  b) 2  (a  b)  ( a  b) a(3a  b) 2 2  a  2ab  b  a  2ab  b 3a  ab 1.5 đ 0,5 2  a  ab  2b 0 2  a  b  ab  b 0  (a  b)(a  2b) 0 Do a b nên a  b 0 , từ đẳng thức ta a  2b 0  a 2b a  2a 2b  3b3 (2b)3  2(2b) b  3b 19b P   1 2a  ab  b3 2(2b)3  2b.b  b 19b3 Suy 0,5 0,5 Câu (4.0 điểm) Cho đường tròn ( O;R) điểm A nằm đường tròn Qua A kẻ đường thẳng d  OA, lấy M  d ( M  A ) Kẻ tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (O) ( C, D tiếp điểm) Qua O kẻ đường thẳng song song với CD cắt MC, MD E F CD Trang 6/3 cắt OM H, cắt OA B a)Chứng minh OA.OB = OH OM Từ suy OA.OB khơng đởi b) Chứng minh CD qua một điểm cố định M di chuyển đường thẳng d c) Tìm vị trí điểm M đường thẳng d để diện tích tam giác HBO đạt giá trị lớn nhất M C E H A B NK O D F Có OC = OD = R MC = MD ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)  OM là trung trực của CD => OM  CD a) điểm HOB AOM ( g.g )  OB OH   OA.OB OH OM OM OA 0,5 (1) COM vuông ở C, đường cao CH nên OC2 = OH.OM (2) Từ (1) và (2) suy ra: OA.OB = OC = R2 ( không đổi) R2 OB  OA mà R không đởi, OA khơng đởi, OA.OB = R2 => b) điểm OB không đổi Mà O cố định nên B cố định Vậy điểm M di chuyển d thì CD qua điểm cố định B Gọi K trung điểm OB, mà BHO vng H nên ta có điểm HK  BO Do OB không đổi nên HK không đổi 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 c) Kẻ HN  BO, ta có SBHO  HN BO Vì BO không đổi nên SBHO lớn nhất  HN lớn nhất Mà HN HK, dấu ”=” xảy  N K Trang 7/3 0,25 0,25 0,25 Vậy SBHO lớn nhất  BHO vuông cân H  MO tạo với OA mợt góc 450 0,25 2 Câu 4: (1.5 đ) Số thực a thay đổi thỏa mãn điều kiện a  (a  3) 5 4 2 Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức: P a  (a  3)  6a (a  3) Đặt y = a -3 toán cho trở thành tìm GTNN biểu thức: P a  y  6a y a , y số thực thay đổi thỏa mãn: a  y 3  2 a  y 5 Từ hệ thức ta có: a  y  2ay 9   2 2 2  a  y 5  (a  y )  4( a  y  2ay ) 5  4.9 41 2  5(a  y )  4(2ay ) 41 Mặt khác : 16(a  y )  25(2ay ) 40( a  y )2ay (áp dụng A2 + B2  2AB) (1) 2 Dấu đẳng thức xảy  4( a  y ) 5(2ay ) 2 0,25 0,25 0,25 0,25 Cộng hai vế (1) với 25(a  y )  16(2ay ) ta được: 41  ( a  y )  (2ay )   5(a  y )  4(2ay )  412 hay ( a  y )  (2ay ) 41  a  y  6a y 41 a  y 3  (a; y ) (1; 2)  2   a  y 5  (a; y ) (2;1) 4(a  y ) 5(2ay ) Đẳng thức xảy  Do giá trị nhỏ nhất P bằng 41 đạt  a =1 hoặc a =2 Trang 8/3 0,25 0,25