1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Lũy thừa hình thức của các idean đơn thức

104 1 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Tiêu đề Lũy Thừa Hình Thức Của Các Ideal Đơn Thức
Người hướng dẫn TS. Trần Nam Trung
Trường học Khoa Học và Công Nghệ Việt Nam
Thể loại thesis
Năm xuất bản 2023
Thành phố Hà Nội
Định dạng
Số trang 104
Dung lượng 1,59 MB

Cấu trúc

  • 1.1. Ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo-Mumford (18)
  • 1.2. Phức ỡn h…nh v i ảan Stanley-Reisner (20)
  • 1.3. Cổng thức Hochster - Cổng thức Takayama (23)
    • 1.3.1. Cổng thức Hochster (23)
    • 1.3.2. Cổng thức Takayama (24)
  • 1.4. Lỵ thuy‚t ỗ thà (26)
    • 1.4.1. ỗ thà ỡn (26)
    • 1.4.2. ỗ thà hai phƒn (29)
    • 1.4.3. Gh†p c°p trong ỗ thà (31)
    • 1.4.4. Siảu ỗ thà (32)
  • 1.5. a diằn lỗi (33)
    • 1.5.1. T“p lỗi a diằn (33)
    • 1.5.2. Phức b“c v a diằn (35)
    • 1.5.3. a diằn h…nh thức (36)
  • 2.2. H m ch¿ sŁ ch‰nh quy (45)
  • 2.3. T‰nh khổng tuy‚n t‰nh cıa h m ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lụy thła h…nh thức cıa i ảan ỡn thức (50)
  • 3.2. I ảan c⁄nh cıa ỗ thà G (70)
  • 4.2. Ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lụy thła cıa i ảan phı (86)

Nội dung

Ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo-Mumford

KhĂi niằm ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo-Mumford (gồi t›t l ch¿ sŁ ch‰nh quy) ữổc b›t nguỗn tł nhœng cổng tr…nh v• ữớng cong x⁄ Ênh cıa Castelnuovo v ữổc Mumford [38] phĂt bi”u ành nghắa cho cĂc a t⁄p x⁄ Ênh BĐt bi‚n n y cõ th” ữổc ành nghắa thổng qua giÊi tỹ do tŁi ti”u ho°c mổ un Łi ỗng i•u àa phữỡng.

Cho M l R-mổ un phƠn b“c hœu h⁄n sinh khĂc khổng v

F : ! F p ! F p 1 ! ! F 1 ! F 0 ! 0 l giÊi tỹ do tŁi ti”u cıa M trản R.

Vợi mỉi i > 0, j 2 Z, kỵ hiằu i R (M) = rank F i = dim k Tor R i (k; M) v i;j R(M) = dim k Tor R i (k; M) j °t b i (M) = maxfj j i;j (M) 6= 0g; trong õ quy ữợc b i (M) = n‚u F i = 0.

Ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo Mumford cıa M l ⁄i lữổng ” o º lợn cıa b“c sinh cıa F i , i > 0 Cử th”, reg R (M) = maxfb i (M) i j i > 0g

Kỵ hiằu d(M) = b 0 (M) Nhữ v“y, d(M) l tò sinh thuƒn nhĐt tŁi ti”u cıa M, gồi t›t l ành nghắa v• ch¿ sŁ ch‰nh quy ta luổn cõ b“c lợn nhĐt cıa cĂc phƒn b“c sinh lợn nhĐt cıa M Tł d(M) 6 reg R (M):

N‚u M ữổc sinh bði cĂc phƒn tò cõ cũng b“c d v ch¿ sŁ ch‰nh quy reg R M = d, ta nõi r‹ng M cõ giÊi tỹ do tuy‚n t‰nh trản R, ho°c M cõ mºt gi£i tü do d-tuy‚n t‰nh.

Vợi I l mºt i ảan thuƒn nhĐt khĂc khổng cıa R, thổng qua giÊi tỹ do tŁi ti”u ta câ reg R (I) = reg R (R=I) + 1:

Ngo i ra, ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa M cặn ữổc ành nghắa theo mổ un Łi ỗng i•u àa phữỡng cıa M Vợi i = 0; : : : ; dim(M), bĐt bi‚n a i cıa M ữổc xĂc ành nhữ sau: a i (M) = maxft j H m i (M) t 6= 0g; trong õ H m i (M) l mổ un Łi ỗng i•u àa phữỡng thứ i cıa M vợi giĂ m = (x 1 ; : : : ; x r ) l i ảan thuƒn nhĐt cỹc ⁄i cıa R (Quy ữợc max ; = ) Khi â, reg R (M) = maxfa i (M) + i j i = 0; : : : ; dim(M)g:

2) Trong trữớng hổp R l v nh a thức phƠn b“c chu'n trản trữớng k, ta cõ th” kỵ hiằu reg M thay cho reg R M.

Hai cĂch ành nghắa v• ch¿ sŁ ch‰nh quy ð trản l tữỡng ữỡng i•u n y ữổc ch¿ ra bði Eisenbud v Goto [13] Nhữ v“y, ch¿ sŁ ch‰nh quy vła l mºt ch°n trản cıa b“c khổng triằt tiảu cıa cĂc mổ un Łi ỗng i•u àa phữỡng vợi giĂ l i ảan thuƒn nhĐt cỹc ⁄i, vła ữổc sò dửng ” ch°n trản cĂc b“c sinh cıa cĂc mổ un xo›n trong giÊi tỹ do phƠn b“c tŁi ti”u cıa mổ un Ơy l cĂc ỵ nghắa quan trồng cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo-Mumford.

Phức ỡn h…nh v i ảan Stanley-Reisner

Mºt phức ỡn h…nh trản t“p hœu h⁄n V l t“p hổp gỗm cĂc t“p con cıa

V sao cho n‚u F 2 v G F th… G 2 CĂc phƒn tò F 2 ữổc gồi l m°t cıa M°t lợn nhĐt (theo quan hằ bao h m) ữổc gồi l m°t cỹc ⁄i cıa N‚u kỵ hiằu t“p cĂc m°t cỹc ⁄i cıa l F( ) th… ta cõ

=< F j F 2 F( ) > N‚u G 2= th… G ữổc gồi l khổng m°t cıa Khổng m°t G ữổc gồi l khổng m°t cỹc ti”u n‚u G l mºt khổng m°t v khổng cõ t“p con thỹc sỹ n o cıa G l khổng m°t cıa T“p cĂc khổng m°t cỹc ti”u cıa ữổc kỵ hiằu bði N ( ).

Vợi F 2 , chi•u cıa F ữổc xĂc ành bði dim F = jF j 1 Chi•u cıa l dim maxfdim F j F 2 g T“p rỉng, ;, l m°t duy nhĐt cıa cõ chi•u b‹ng 1 N‚u khổng chứa m°t n o th… ữổc gồi l phức ỡn h…nh trŁng, fg N‚u cĂc m°t cỹc ⁄i cıa cõ chi•u b‹ng nhau th… ữổc gồi l phức thuƒn.

Liản k‚t cıa F trong l mºt phức con cıa ữổc xĂc ành bði: lk (F ) = fH

2 j H [ F 2 v H \ F = ;g; v ữổc gồi l phức nŁi cıa F trong

Mỉi phƒn tò trong mºt m°t cıaữổc gồi l ¿nh cıa Kỵ hiằu

V ( ) l t“p cĂc ¿nh cıa N‚u tỗn t⁄i mºt ¿nh, giÊ sò j, sao cho fjg [F 2 vợi mồi F 2 , th… ữổc gồi l nõn trản ¿nh j Nhữ chúng ta bi‚t n‚u l mºt nõn th… nõ l phức xo›n, tức l phức cõ mồi nhõm ỗng i•u b‹ng 0 Mºt phức ữổc gồi l ỡn h…nh n‚u nõ bao gỗm tĐt cÊ cĂc t“p con cıa t“p ¿nh cıa nõ, do õ ỡn h…nh l mºt nõn trản mồi ¿nh cıa nõ.

Mºt ỡn thức trong R = k[x 1 ; : : : ; x r ] l mºt bi”u thức cõ d⁄ng x a := x 1 a 1 x r a r ; trong õ x = x 1 ; : : : ; x r v a = (a 1 ; : : : ; a r ) 2 N r : I ảan

I R ữổc gồi l i ảan ỡn thức n‚u nõ ữổc sinh bði cĂc ỡn thức trong R I ảan I ữổc gồi l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng n‚u nõ ữổc sinh bði cĂc ỡn thức cõ d⁄ng x a vợi a i 2 f0; 1g; i = 1; : : : ; r:

X†t t“p con = fj 1 ; : : : ; j i g cıa [r], kỵ hiằu x = x j 1 x j i Gồi l phức ỡn h…nh trản t“p V = f1; : : : ; rg I ảan Stanley-Reisner liản k‚t vợi l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng, ữổc xĂc ành bði:

I = (x j [r] v 2= ) trong R = k[x 1 ; : : : ; x r ]; v v nh thữỡng k[ ] = R=Iữổc gồi l v nh Stanley-Reisner cıa Chú ỵ r‹ng n‚u I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng th… nõ l i ảan Stanley-Reisner cıa phức ỡn h…nh (I) = f [r] j x 62Ig Trong trữớng hổp I l mºt i ảan ỡn thức bĐt k… (cõ th” khổng l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng) chúng ta vÔn dũng kỵ hiằu (I) cho p phức ỡn h…nh tữỡng ứng vợi i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng I. Nhữ v“y chúng ta cõ th” thĐy r‹ng tỗn t⁄i tữỡng ứng 1-1 giœa t“p cĂc phức ỡn h…nh trản V v t“p cĂc i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng cıa R.

Do õ, chúng ta cõ th” nghiản cứu cĂc t‰nh chĐt cıa i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng thổng qua cĂc Łi tữổng tŒ hổp cıa mºt phức ỡn h…nh v ngữổc l⁄i.

Theo [35, ành lỵ 1.7], I cõ phƠn t‰ch nguyản sỡ tŁi ti”u nhữ sau:

Khi õ, lụy thła h…nh thức thứ n-th cıa I (n > 1) ữổc xĂc ành bði

V‰ dử 1.2 1) Cho phức ỡn h…nh :

=< f1; 2; 4g; f1; 3g; f3; 4g > : Khi õ, i ảan Stanley-Reisner I ữổc xĂc ành:

Khi õ, phức ỡn h…nh liản k‚t vợi I l

=< f2; 3; 4g; f1; 2g; f2; 5g; f3; 5g; f4; 5g > : Łi ngÔu Alexander cıa , kỵ hiằu bði , l phức ỡn h…nh trản V ữổc x¡c ành bði

Chú ỵ r‹ng ( ) = N‚u I = I , ta kỵ hiằu i ảan Stanley-Reisner cıa phức ỡn h…nh Łi ngÔu Alexander bði I , tức l I = I

Cổng thức Hochster - Cổng thức Takayama

Cổng thức Hochster

Vợi I l mºt i ảan ỡn thức trong R th… giÊi tỹ do phƠn b“c tŁi ti”u cıa nõ l Z r -phƠn b“c Vợi 2 Z r , kỵ hiằu i; (I) = dim k Tor R i (k; I) Hi”n nhiản, i; (I) 0 n‚u 2= N r

Vợi = ( 1 ; : : : ; r ) 2 N r , phức ỡn h…nh Koszul trản liản k‚t vợi I t⁄i b“c ữổc xĂc ành bði

K (I) = ff0; 1g v†ctì j x 2 Ig; trong õ quy ữợc = i2 ei vợi fe1; : : : ; erg l cỡ sð ch‰nh t›c r cổng thức Hochster cho ph†p ta xĂc ành cıa Z-mổ un tỹ do Z Khi õ, P sŁ Betti a ph¥n b“c cıa I theo bŒ • sau.

BŒ • 1.3 ([35], ành lỵ 1.34) Vợi mồi i > 0 v 2 N r , i; (I) = dim k He i 1(K (I); k):

Trong trữớng hổp I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng (i ảan Stanley-Reiser), cổng thức Hochster v• chuỉi Hilbert cıa mổ un Łi ỗng i•u àa phữỡng H m i (R=I ) ữổc phĂt bi”u nhữ sau.

BŒ • 1.4 ([35], ành lỵ 13.13) Cho l phức ỡn h…nh Khi õ,

Cổng thức Takayama

Cho I l mºt i ảan ỡn thức khĂc khổng tũy ỵ trong R Do R=I cõ cĐu trúc cıa N r -phƠn b“c nản H m i (R=I) l Z r -mổ un phƠn b“c trản R=I Vợi mỉi = ( 1 ; : : : ; r ) 2 Z r , kỵ hiằu H m i (R=I) l th nh phƒn phƠn b“c t⁄i cıa

H m i (R=I) Chú ỵ r‹ng H m i (R=I) l mºt k-khổng gian v†ctỡ ” cõ th” t‰nh ữổc chi•u cıa khổng gian v†ctỡ n y, chúng ta sò dửng cổng thức ữổc ữa ra bði Takayama [43, ành lỵ 2:2] Cổng thức n y l mºt mð rºng cıa cổng thức Hochster trong trữớng hổp i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh ph÷ìng.

Vợi mỉi = ( 1 ; : : : ; r) 2 Z r ; °t G := fi j i < 0g Kỵ hiằu G(I) l t“p gỗm cĂc ỡn thức sinh tŁi ti”u cıa I Gồi (I) l phức ỡn h…nh tữỡng ứng vợi i ảan Stanley-Reisner I, tức lp p Ig:

(I) = ffi 1 ; : : : ; i k g f1; : : : ; rg j x i 1 : : : x i k 2Phức ỡn h…nh (I) ữổc xĂc ành nhữ sau:

(I) := fF n G j G F V; vợi mồi x b 2 G(I) tỗn t⁄i i 2= F sao cho i < b i g:

Vợi mỉi 1 6 j 6 r, kỵ hiằu j(I) = maxfb j j x b 2 G(I)g: ành lỵ 1.5 (Cổng thức Takayama, [43], ành lỵ 2.2). i 8dim k H i G j 1 ( (I); k) n‚u G 2 dim k H m (R=I) = > e v j < j (I); j = 1; : : : ; r;

: (I) ð trản rĐt khõ ” Ăp dửng Do õ, Trản thỹc t‚ cĂch mổ tÊ phức

D H Giang v L T Hoa [18]  mổ tÊ l⁄i dữợi d⁄ng thu“n lổi hỡn nhữ trong bŒ • dữợi Ơy:

BŒ • 1.6 ([18], BŒ • 1.1) (I) l phức ỡn h…nh bao gỗm cĂc m°t cõ d⁄ng F nG ; trong õ G F V thọa mÂn x 2= IR F vợi R F = R[x i

Khi õ cổng thức Takayama ữổc phĂt bi”u l⁄i nhữ sau.

Trong trữớng hổp lụy thła h…nh thức, nhớ mºt k‚t quÊ sau Ơy cıa N.

C Minh v N V Trung, ta cõ mºt cổng cử hœu hiằu ” t‰nh phức (I (n) ), v tł õ chúng ta cõ th” xĂc ành ch¿ sŁ ch‰nh quy reg(I (n) ) thổng qua Ăp dửng hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh trong lỵ thuy‚t a diằn lỗi.

BŒ • 1.8 ([36], BŒ • 1.3) Cho l mºt phức ỡn h…nh v 2 N r Khi â, F( (I (n) )) = ( F 2 F( ) j i 6 n 1 ) :

Tł bŒ • trản ta cõ nh“n x†t.

Nh“n x†t 1.9 Cho e i l vetỡ ỡn và thứ i cıa N r v l phức ỡn h…nh.

Trữớng hổp 2 Z r , phức (I (n) ) cõ th” xĂc ành theo bŒ• sau.

BŒ • 1.10 ([31], BŒ • 1.3) Cho l mºt phức ỡn h…nh v 2 Z r Khi â,

Lỵ thuy‚t ỗ thà

ỗ thà ỡn

Cho G l mºt ỗ thà ỡn trản t“p ¿nh hœu h⁄n Kỵ hiằu V (G) v E(G) tữỡng ứng l t“p ¿nh v t“p c⁄nh cıa G Hai ¿nh u v v ữổc gồi l k• nhau n‚u fu; vg 2 E(G) ỗ thà G ữổc gồi l tƒm thữớng n‚u jE(G)j = 0.

Cho S l t“p con cıa V (G), lƠn c“n cıa t“p S trong G ữổc xĂc ành:

N G (S) = fv 2 V (G) n S j fu; vg 2 E(G); u 2 Sg; v lƠn c“n õng cıa t“p S trong G l N G [S] = S [ N G (S): N‚u khổng cƒn lữu ỵ v• ỗ thà G, chúng ta cõ th” vi‚t mºt cĂch ỡn giÊn hỡn l N(S) v

N[S] N‚u S ch¿ cõ mºt ¿nh u, ta kỵ hiằu N(u) thay cho N(fug) v N[u] thay cho N[fug]. ỗ thà H l ỗ thà con cıa G n‚u V (H) V (G) v E(H) E(G) (vi‚t t›t H G). ỗ thà con cÊm sinh cıa G trản t“p S, kỵ hiằu G[S], l ỗ thà cõ t“p ¿nh S v t“p c⁄nh gỗm tĐt cÊ cĂc c⁄nh trong E(G) m cõ hai ƒu mút thuºc S ỗ thà G n S l ỗ thà con cıa G thu ữổc tł G b‹ng cĂch xõa i cĂc ¿nh thuºc S v cĂc c⁄nh i qua b§t ký ¿nh n o â trong S.

GiÊ sò p: v 0 ; v 1 ; : : : ; v k l mºt dÂy cĂc ¿nh cıa G Khi õ,

1 p ữổc gồi l mºt ữớng i n‚u fv i 1 ; v i g 2 E(G) vợi i = 1; : : : ; k Trong trữớng hổp n y, ta nõi r‹ng p l ữớng i tł v 0 ‚n v k ;

2 p ữổc gồi l ữớng i ỡn n‚u nõ l mºt ữớng i v mồi ¿nh trong ữớng i xuĐt hiằn duy nhĐt mºt lƒn;

3 p ữổc gồi l mºt chu tr…nh n‚u k > 3 v p l mºt ữớng i vợi cĂc ¿nh khĂc nhau ngo⁄i trł ¿nh v 0 trũng vợi ¿nh v k

Trong cĂc trữớng hổp trản, k ữổc gồi l º d i cıa p Mºt ữớng i ỡn l d i nhĐt trong G n‚u nõ l ữớng i ỡn cõ º d i lợn nhĐt giœa cĂc ữớng i ỡn cıa G.

Mºt ỗ thà ữổc gồi l liản thổng n‚u luổn cõ mºt ữớng i giœa hai i”m bĐt k… trong ỗ thà Mºt th nh phƒn liản thổng cıa ỗ thà G l mºt ỗ thà con liản thổng lợn nhĐt theo nghắa bao h m.

Mºt ỗ thà liản thổng ữổc gồi l cƠy n‚u nõ khổng cõ chu tr…nh N‚u ỗ thà con T cıa G vợi t“p ¿nh V (T ) = V (G) l cƠy, th… T ữổc gồi l cƠy bao tròm cıa G Tł [6, ành lþ 2.2 v ành lþ 2.4], ta câ

D§u b‹ng x£y ra n‚u v mºt ỗ thà liản thổng, th… jE(G)j > jV (G)j 1. ch¿ n‚u G l c¥y.

Theo [6, Mằnh • 2.1], n‚u G l cƠy th… vợi mỉi c°p ¿nh u v v trong G tỗn t⁄i duy nhĐt mºt ữớng i ỡn tł u ‚n v º d i cıa ữớng i ỡn n y ch‰nh l khoÊng cĂch giœa hai¿nh u v v v kỵ hiằu dist G (u; v) B“c cıa mºt ¿nh u 2 V (G), kỵ hiằu deg G (u), l sŁ c⁄nh i qua ¿nh u N‚u deg G (u) = 0, th… uữổc gồi l ¿nh cổ l“p; n‚u deg G (u) = 1, th… u ữổc gồi l lĂ Mºt c⁄nh b›t nguỗn tł lĂ th… ữổc gồi l mºt c⁄nh treo.

Mºt phı ¿nh cıa G l mºt t“p con cıa V (G) m mồi c⁄nh cıa G •u i qua mºt ¿nh n o õ cıa t“p Mºt phı ¿nh ữổc gồi l tŁi ti”u n‚u nõ khổng cõ t“p con thüc sü n o l phı ¿nh cıa G.

Mºt t“p ºc l“p trong G l t“p gỗm cĂc ¿nh m hai ¿nh bĐt k… cıa t“p õ khổng k• nhau Mºt t“p ºc l“p ữổc gồi l cỹc ⁄i (theo quan hằ bao h m) n‚u t“p õ khổng th” mð rºng th nh mºt t“p ºc l“p lợn hỡn T“p gỗm tĐt cÊ cĂc t“p ºc l“p cıa G, kỵ hiằu (G), l mºt phức ỡn h…nh v ữổc gồi l phức ºc l“p cıa G.

Trong ỗ thà G, tỗn t⁄i hai lợp i ảan quan trồng ữổc ành nghắa nhữ sau:

J(G) := (x j l mºt phı ¿nh tŁi ti”u cıa G):

Nh“n x†t 1.12 1) J(G) cõ phƠn t‰ch nguyản sỡ

2) I ảan c⁄nh v i ảan phı cıa ỗ thà l cĂc i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh ph÷ìng v chóng l Łi ng¤u Alexander cıa nhau.

ỗ thà hai phƒn

ỗ thà G ữổc gồi l ỗ thà hai phƒn n‚u t“p ¿nh V (G) cõ th” ữổc chia th nh hai t“p con X v Y rới nhau sao cho bĐt k… c⁄nh n o cıa ỗ thà cụng nŁi tł mºt ¿nh cıa X tợi mºt ¿nh cıa Y C°p (X; Y ) ữổc gồi l hai phƒn cıa ỗ thà Chú ỵ r‹ng, G l ỗ thà hai phƒn n‚u v ch¿ n‚u nõ khổng cõ chu tr…nh lã (xem [6, ành Lỵ 4.7]).

GiÊ sò E(G) = fe 1 ; : : : ; e s g Ma tr“n liản thuºc cıa G ữổc ành nghắa l ma tr“n A(G) = (a ij ) cĐp s r, trong õ a ij = 0 n‚u j 2= e i v a ij = 1 n‚u j 2 e i Theo [4, ành lỵ 5], G l mºt ỗ thà hai phƒn n‚u v ch¿ n‚u

A(G) l ma tr“n unimodular ho n to n, tức l ma tr“n cõ cĂc ma tr“n con cõ ành thức nh“n cĂc giĂ trà l 1; 0 ho°c 1.

BŒ • 1.14 Cho G l ỗ thà hai phƒn cõ ‰t nhĐt mºt c⁄nh GiÊ sò vợi mỉi c⁄nh fi; jg cıa G ta cõ mºt sŁ thỹc a ij sao cho x i + x j = a ij Khi õ, hằ cĂc ph÷ìng tr…nh tuy‚n t‰nh

:fi; jg 2 E(G) khổng cõ nghiằm duy nhĐt.

Chứng minh ” chứng minh bŒ • trản ta ch¿ cƒn ch¿ ra hằ cĂc phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh thuƒn nhĐt tữỡng ứng

:fi; jg 2 E(G) cõ nghiằm khổng tƒm thữớng.

Th“t v“y, giÊ sò (A; B) l hai phƒn cıa ỗ thà G Khi õ, vợi i = 1; : : : ; r ta °t

Nh“n thĐy r‹ng (y 1 ; : : : ; y r ) l mºt nghiằm khổng tƒm thữớng cıa hằ thuƒn nhĐt trản, do õ bŒ • ữổc chứng minh.

Chú ỵ r‹ng, trong trữớng hổp mºt ỗ thà G bĐt k… th… i ảan phı cıa nõ, J(G), l i ảan Stanley-Reisner tữỡng ứng vợi phức ỡn h…nh

Khi G l mºt ỗ thà hai phƒn, theo [24, ành lỵ 1.1], th… i ảan phı J(G) l i ảan khổng xo›n chu'n t›c (normally torsion-free), tức l J(G) (n) = J(G) n vợi mồi n > 1 Do õ, BŒ • 1.8 cõ th” vi‚t l⁄i nhữ sau.

BŒ • 1.15 Cho G l ỗ thà hai phƒn vợi t“p ¿nh V (G) = f1; : : : ; rg v t“p c⁄nh E(G) Vợi mồi = ( 1 ; : : : ; r) 2 N r v n > 1, ta cõ

Gh†p c°p trong ỗ thà

Cho G l mºt ỗ thà ỡn Mºt gh†p c°p M trong G l mºt t“p gỗm cĂc c⁄nh ổi mºt rới nhau, tức l khổng cõ hai c⁄nh n o cõ ¿nh chung Gh†p c°p M ữổc gồi l gh†p c°p cÊm sinh n‚u hai c⁄nh bĐt k… cıa M khổng ữổc nŁi vợi nhau bði mºt c⁄nh n o õ trong G Mºt gh†p c°p cıa G l cỹc ⁄i n‚u nõ cỹc ⁄i theo quan hằ bao h m SŁ gh†p c°p cıa G, kỵ hiằu bði match(G), l sŁ c⁄nh lợn nhĐt trong cĂc gh†p c°p cỹc ⁄i cıa G; v sŁ gh†p c°p cÊm sinh cıa G, kỵ hiằu (G), l sŁ c⁄nh lợn nhĐt trong cĂc gh†p c°p cÊm sinh cıa G.

Theo Constantinescu v Varbaro [7], mºt gh†p c°p M = ffu i ; v i g j i = 1; : : : ; sg ữổc gồi l mºt gh†p c°p cõ thứ tỹ n‚u:

Khi õ, t“p A = fu 1 ; : : : ; u s g ữổc gồi l t“p tham sŁ tỹ do cıa G v

B = fv 1 ; : : : ; v s g ữổc gồi l t“p ỗng h nh cıa A.

SŁ gh†p c°p cõ thứ tỹ cıa G, kỵ hiằu ord-match(G), l lỹc lữổng lợn nhĐt cıa mºt gh†p c°p cõ thứ tỹ trong G.

V‰ dử 1.17 X†t ỗ thà G trong V‰ dử 1.13 Ta cõ:

1) Gh†p c°p trong G : ff1; 5g; f2; 6g; f3; 8gg; : : : ; match(G) = 3;

2) Gh†p c°p cõ thứ tỹ trong G : ff1; 5g; f2; 6gg; ff2; 6g; f3; 8gg; : : : ; ord-match(G) = 2;

3) Gh†p c°p c£m sinh trong G : ff1; 5g; f2; 8gg; : : : ; (G) = 2.

Siảu ỗ thà

Cho V l mºt t“p hœu h⁄n Mºt siảu ỗ thà ỡn H vợi t“p ¿nh V v t“p c⁄nh l t“p gỗm cĂc t“p con cıa V , sao cho cĂc c⁄nh khổng bao h m lÔn nhau Kỵ hiằu V (H) v E(H) tữỡng ứng l t“p ¿nh v t“p c⁄nh cıa siảu ỗ thà H Trong trữớng hổp mỉi c⁄nh cıa H cõ lỹc lữổng b‹ng 2 th… H l mºt ỗ thà Nhữ v“y, siảu ỗ thà l khĂi niằm tŒng quĂt cıa ỗ thà Cho siảu ỗ thà H, mºt c⁄nh ữổc gồi l tƒm thữớng n‚u nõ ch¿ cõ mºt phƒn tò, mºt ¿nh ữổc gồi l cổ l“p n‚u nõ khổng xuĐt hiằn trong bĐt k… mºt c⁄nh n o cıa H, mºt ¿nh ữổc gồi l ¿nh k• cıa mºt ¿nh khĂc n‚u chóng còng thuºc mºt c⁄nh n o â cıa H.

Siảu ỗ thà H 0 ữổc gồi l siảu ỗ thà con cıa H n‚u V (H 0 ) V (H) v E(H 0 ) E(H) Vợi e l mºt c⁄nh cıa H, H n e l mºt siảu ỗ thà thu ữổc b‹ng cĂch xõa c⁄nh e tł t“p c⁄nh cıa H Vợi mºt t“p con S V (H), H n S l mºt siảu ỗ thà thu ữổc tł H b‹ng cĂch xõa i cĂc ¿nh trong S v cĂc c⁄nh m chứa bĐt k… ¿nh n o cıa t“p S.

Mºt phı ¿nh cıa siảu ỗ thà l t“p gỗm cĂc ¿nh cıa siảu ỗ thà m cõ giao khĂc rỉng vợi mồi c⁄nh cıa siảu ỗ thà Nhữ v“y, phı ¿nh cıa siảu ỗ thà l mð rºng cıa khĂi niằm phı ¿nh trong ỗ thà Mºt phı ¿nh ữổc gồi l tŁi ti”u n‚u nõ khổng cõ mºt t“p con thỹc sỹ n o l phı ¿nh cıa siảu ỗ thà.

Mºt t“p S E(H) ữổc gồi l mºt t“p trºi c⁄nh th nh phƒn cıa H n‚u mồi ¿nh khổng cổ l“p cıa H ho°c ữổc chứa trong mºt c⁄nh khổng tƒm th÷íng cıa S ho°c câ mºt l¥n c“n thuºc mºt c⁄nh n o â cıa S SŁ trºi c⁄nh th nh phƒn cıa H ữổc xĂc ành:

(H) = minfjSj j S l t“p trºi c⁄nh th nh phƒn cıa Hg:

Cho H l siảu ỗ thà vợi V (H) [r], mºt i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng liản k‚t vợi siảu ỗ thà H l

I(H) = (x e j e 2 E(H)) R; ữổc gồi l i ảan c⁄nh cıa siảu ỗ thà H.

Ngữổc l⁄i, n‚u I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng th… I l i ảan c⁄nh cıa mºt siảu ỗ thà vợi t“p c⁄nh ữổc xĂc ành mºt cĂch duy nhĐt bði hằ sinh cıa I.

Gồi H = (V (H ); E(H )) l siảu ỗ thà ỡn tữỡng ứng vợi Łi ngÔu Alexander I(H) cıa I(H) Ta cõ V (H ) = V (H) Tł phƠn t‰ch nguyản sỡ tŁi ti”u (xem [35, ành nghắa 1.35 v T‰nh chĐt 1.37]):

I(H ) = (x i j i 2 e); e2E(H) suy ra E(H ) l t“p gỗm cĂc phı ¿nh tŁi ti”u cıa H Do õ,

I(H ) = (x j l mºt phı ¿nh tŁi ti”u cıa H):

a diằn lỗi

T“p lỗi a diằn

Mºt t“p con C R r ữổc gồi l t“p lỗi n‚u nõ chứa o⁄n thflng nŁi hai i”m bĐt ký cıa t“p C, nõi cĂch khĂc, vợi mồi x; y 2 C v 0 6 6 1 ta luổn cõ

Vợi E l mºt t“p bĐt ký trong R r , ta luổn cõ mºt t“p lỗi chứa E Giao cıa tĐt cÊ cĂc t“p lỗi chứa E ữổc gồi l bao lỗi cıa E, kỵ hiằu conv(E) Nhữ v“y, bao lỗi cıa E l t“p lỗi nhọ nhĐt chứa E.

Trong khổng gian Euclid R r , ta x†t t‰ch vổ hữợng cho bði hx; yi = x 1 y 1 + + x r y r ; trong â x = (x 1 ; : : : ; x r ) 2 R r ; y = (y 1 ; : : : ; y r ) 2 R r :

H = fx 2 R r : ha; xi = g l mºt siảu phflng trong R r (xem [32, Hằ quÊ 1.1]) CĂc t“p cõ d⁄ng

H + = fx 2 R r : ha; xi > g v H = fx 2 R r : ha; xi 6 g ữổc gồi l cĂc nòa khổng gian õng cıa R r ành nghắa 1.18 Giao cıa hœu h⁄n cĂc nòa khổng gian õng trong R r ữổc gồi l t“p lỗi a diằn Nõi cĂch khĂc, t“p lỗi a diằn l t“p nghiằm cıa mºt hằ gỗm hœu h⁄n cĂc bĐt phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh cõ d⁄ng ha i ; xi 6 b i ; i = 1; : : : ; m (0 6= a i 2 R r ; b i 2 R); (1.2) ho°c cõ th” bi”u di„n dữợi d⁄ng ma tr“n Ax 6 b; trong õ A l ma tr“n cĐp m r vợi cĂc dặng ữổc xĂc ành bði cĂc v†ctỡ a i 2 R r v b = (b 1 ; : : : ; b m ) 2 R m : Mºt t“p lỗi a diằn bà ch°n ữổc gồi l mºt a diằn lỗi.

Mºt t“p con K trong R r ữổc gồi l t“p afin n‚u a + (1 )b 2 K vợi mồi a; b

2 K v mồi 2 R Giao cıa cĂc t“p afin chứa K ữổc gồi l bao afin cıa K. ành nghắa 1.19 Cho P l t“p lỗi a diằn trong R r : Chi•u cıa P, kỵ hiằu dim P, l chi•u cıa bao afin cıa nâ Mºt j m°t cıa P l mºt m°t câ chi•u l j. N‚u dim P = t th…:

1 0 m°t ữổc gồi l ¿nh (hay i”m cỹc biản) cıa P;

Nh“n x†t 1.20 ([41], Ch÷ìng 8) 1) F l m°t cıa P n‚u v ch¿ n‚u F kh¡c rỉng v

F = fx 2 P j A 0 x = b 0 g; vợi mºt hằ con A 0 x 6 b 0 n o õ cıa hằ Ax 6 b.

2) F l m°t cỹc ⁄i cıa P th… F ữổc xĂc ành bði

3) Mỉi ¿nh cıa P ữổc xĂc ành bði r phữỡng tr…nh ºc l“p tuy‚n t‰nh tł hằ Ax = b.

Phức b“c v a diằn

Trong mửc n y, chúng tổi s‡ nghiản cứu cĂc a diằn lỗi °c biằt, õ l a diằn lỗi ữổc suy ra tł cĂc phức ỡn h…nh (I (n) ) vợi 2 N r v I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng.

GiÊ sò H i (R=I (n) ) 6= 0 vợi 0 6 i 6 dim(R=I ) v = ( ; : : : ; ) 2 N r : m 1 r dim k He i 1( (I (n) ); k) = dim k H m i (R=I (n) ) 6= 0; tức l , (I (n) ) khổng phÊi l mºt phức xo›n.

GiÊ sò F( ) = fF 1 ; : : : ; F t g vợi t > 1 Theo BŒ • 1.8, giÊ sò

Vợi mỉi sŁ nguyản m > 1, x†t P m l t“p lỗi a diằn trong R r ữổc xĂc ành bði: i2=F j x i 6 m 1 vợi j = 1; : : : ; s;

” nghiản cứu v• P m , ta x†t t“p lỗi a diằn C m trong R r ữổc xĂc ành thổng qua hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh sau:

Chú ỵ r‹ng, C m = mC 1 vợi mồi m > 1, trong õ mC 1 = fmy j y 2 C 1 g. Tữỡng tỹ nhữ cĂch chứng minh trong [21, BŒ • 2.1], ta cõ bŒ • sau.

BŒ • 1.21 C 1 l mºt a diằn lỗi cõ chi•u b‹ng r.

Nh“n x†t 1.22 Do C m = mC 1 , nản C m l mºt a diằn lỗi L⁄i cõ, P m C m ,nản P m cụng l mºt a diằn lỗi.

a diằn h…nh thức

a Bao õng nguyản cıa i ảan

Bao õng nguyản cıa i ảan I bĐt k… cıa R, kỵ hiằu I, l t“p gỗm cĂc phƒn tò x nguyản trản I trong R, tức l tỗn t⁄i a i 2 I i ; i = 1; : : : ; n sao cho x n + a 1 x n 1 + : : : + a n 1x + a n = 0:

Nh“n x†t 1.23 Bao õng nguyản cıa mºt i ảan ỡn thức l mºt i ảan ỡn thức. ành lỵ sau nảu lản mŁi liản hằ giœa bao õng nguyản cıa cĂc lụy thła cıa i ảan ỡn thức. ành lỵ 1.24 ([47], ành lỵ 7.58) Cho R = k[x 1 ; : : : ; x r ] l v nh a thức trản trữớng k v I l i ảan ỡn thức Khi õ,

” mổ tÊ I mºt cĂch h…nh hồc chúng ta cõ th” mổ tÊ thổng qua a diằn Newton liản k‚t vợi i ảan I. b a diằn Newton

E(A) = f j 2 N r v x 2 Ag: ành nghắa 1.25 Cho I l i ảan ỡn thức cıa R a diằn Newton cıa

I l a diằn lỗi trong R r , kỵ hiằu N P (I), ữổc ành nghắa l bao lỗi cıa E(I) trong khổng gian R r , tức l

Nh“n x†t 1.26 Theo [40, ành lþ 2.3 v BŒ • 2.5], ta câ

BŒ • sau ữổc chứng minh trong [45, BŒ • 6], cho ta nhœng thổng tin cử th” hỡn v• cĂc hằ sŁ cıa phữỡng tr…nh xĂc ành siảu phflng giĂ cıa a diằn Newton cıa i ảan ỡn thức I.

BŒ • 1.27 Cho I l mºt i ảan ỡn thức cıa R a diằn Newton N P (I) l t“p nghiằm cıa hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh cõ d⁄ng fx 2 R r j ha j ; xi > b j ; j = 1; : : : ; qg; sao cho cĂc i•u kiằn sau ỗng thới ữổc thọa mÂn:

(i) Mỉi siảu phflng ữổc xĂc ành bði phữỡng tr…nh ha j ; xi = b j xĂc ành mºt m°t cỹc ⁄i cıa N P (I) chứa s j i”m ºc l“p afin cıa E(G(I)) v song song vợi r s j vectỡ cıa t“p cỡ sð chu'n t›c Trong trữớng hổp n y, s j ch‰nh l sŁ cĂc th nh phƒn tồa º khĂc khổng cıa a j ;

(iii) N‚u vi‚t a j = (a j;1 ; : : : ; a j;r ), th… a j;i 6 s j d(I) s j 1 vợi mồi i = 1; : : : ; r.

Ti‚p theo, chúng tổi x†t v• a diằn h…nh thức cıa i ảan (xem [8]) Cử th” nh÷ sau. c a diằn h…nh thức

Cho I l i ảan ỡn thức v cõ phƠn t‰ch nguyản sỡ tŁi ti”u

I = Q 1 \ \ Q s \ Q s+1 \ \ Q t ; trong õ Q 1 ; : : : ; Q s l cĂc i ảan nguyản sỡ liản k‚t vợi cĂc i ảan nguyản tŁ tŁi ti”u v Q s+1 ; : : : ; Q t l cĂc th nh phƒn nguyản sỡ nhúng

Vợi mỉi n > 1, a diằn h…nh thức thứ n cıa I ữổc xĂc ành bði cổng thức sau s \

” ỡn giÊn ta kỵ hiằu SP 1 (I) bði SP(I) KhĂi niằm n y tữỡng tỹ nhữ khĂi niằm a diằn h…nh thức ữổc giợi thiằu trong [8, ành nghắa 5.3] vợi trữớng hổp I khổng cõ i ảan nguyản tŁ nhúng Tuy nhiản, trong trữớng hổp tŒng quĂt, hai khĂi niằm n y khĂc nhau do trong ành nghắa v• lụy thła h…nh thức cıa i ảan trong [8] bao gỗm tĐt cÊ cĂc i ảan nguyản tŁ liản k‚t.

Vợi X v Y l cĂc t“p con cıa R r v n l sŁ nguyản dữỡng, kỵ hiằu nX = fnx j x 2 Xg;

BŒ • sau cho chúng ta bi‚t v• cĐu trúc cıa a diằn lỗi SP n (I).

BŒ • 1.28 Cho fv 1 ; : : : ; v d g l t“p c¡c ¿nh cıa SP(I) Khi â,

Chứng minh Vợi mỉi i = 1; : : : ; s, ta cõ N P (Q n i ) = nN P (Q i ) theo [40,

BŒ • 2.5] Tł â suy ra, SP n (I) = n SP(I).

Vợi v 2 SP(I) v u 2 R r + th… v + u 2 SP(I), theo [40, BŒ • 2.5] K‚t hổp vợi [41, Cổng thức (28), trang 106], ta cõ

Do â, SP n (I) = n SP(I) = n convfv 1 ; : : : ; v d g + R r + Ta câ i•u ph£i chứng minh

Theo cĐu trúc v• cĂc a diằn h…nh thức SP n (I) v a diằn Newton tữỡng ứng, chúng tổi cõ th” ữa ra mºt sŁ thổng tin v• cĂc m°t cỹc ⁄i cıa SP n (I)

” tł õ xƠy dỹng ữổc mºt ch°n dữợi cıa h m b“c sinh lợn nhĐt cıa I (n) bði mºt h m tuy‚n t‰nh theo n.

BŒ • 1.29 a diằn SP(I) l t“p nghiằm trong R r cıa mºt hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh câ d⁄ng fx 2 R r j ha j ; xi > b j ; j = 1; 2; : : : ; qg; trong õ vợi mỉi j, cĂc i•u kiằn sau thọa mÂn:

(iii) Ph÷ìng tr…nh ha j ; xi = b j x¡c ành mºt m°t cüc ⁄i cıa SP(I).

Chứng minh Ta thĐy SP(I) l t“p nghiằm trong R r cıa hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh xuĐt hiằn trong hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh xĂc ành a diằn N P (Q i ) vợi i = 1; : : : ; s K‚t hổp cũng vợi BŒ • 1.27 v d(Q i ) 6 d(I), ta cõ bŒ • ữổc chứng minh

DĂng iằu tiằm c“n cıa h m ch¿ sŁ ch‰nh quy

Trong chữỡng n y, chúng tổi nghiản cứu v• dĂng iằu tiằm c“n cıa h m ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lụy thła h…nh thức cıa i ảan ỡn thức trản v nh a thức R Mð rºng k‚t quÊ cıa L T Hoa v T N Trung [30, ành lỵ 4.9], chúng tổi ch¿ ra r‹ng vợi mºt i ảan ỡn thức I bĐt k…, luổn tỗn t⁄i giợi h⁄n lim reg(I (n) )=n v mổ tÊ cử th” giợi h⁄n n y theo a diằn liản k‚t vợi n!1 i ảan I Hỡn nœa, chúng tổi ỗng thới ch¿ ra reg(I (n) ) khổng l mºt h m tuy‚n t‰nh khi n ı lợn, th“m ch‰ ngay cÊ trong trữớng hổp i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng K‚t quÊ cıa chữỡng n y chı y‚u ữổc dỹa trản b i b¡o [12].

Trữợc tiản, chúng tổi x†t Łi vợi h m b“c sinh lợn nhĐt cıa lụy thła h… nh thức cıa i ảan ỡn thức.

Cho I l i ảan ỡn thức trản v nh R vợi phƠn t‰ch nguyản sỡ tŁi ti”u

I = Q 1 \ \ Q s \ Q s+1 \ \ Q t ; trong õ Q 1 ; : : : ; Q s l cĂc i ảan nguyản sỡ liản k‚t vợi cĂc i ảan nguyản tŁ tŁi ti”u v Q s+1 ; : : : ; Q t l cĂc th nh phƒn nguyản sỡ nhúng

” cho ỡn giÊn ta kỵ hiằu J n = J n (I) Theo Nh“n x†t 1:25(1), ta cõ E(J n ) = SP n (I) \ N r Do â, x 2 J n n‚u v ch¿ n‚u 2 SP n (I) \ N r

Nh“n x†t 2.1 Cho I l i ảan ỡn thức v x 2 I, vợi = ( 1 ; : : : ; r ) 2 N r Khi õ, x

BŒ • 2.2 Cho I l i ảan ỡn thức v x 2 I Vợi mỉi i = 1; : : : ; r, giÊ sò m i l mºt sŁ nguyản dữỡng sao cho x m i e i 2= I n‚u i > m i Khi õ tỗn t⁄i cĂc sŁ nguyản 0 6 n i 6 m i 1 sao cho x (n 1 e 1 + +n r e r ) 2 G(I).

Chứng minh Vợi i = 1; : : : ; r, ta chồn cĂc sŁ nguyản 0 6 ni < mi sao cho x (n 1 e 1 + +n r e r ) 2 I v n 1 + + n r ı lợn ” x (n 1 e 1 + +n r e r ) e i 2= I Theo Nh“n x†t 2.1, ta suy ra x (n 1 e 1 + +n r e r ) 2 G(I):

BŒ • 2.3 Cho ỡn thức x 2 I (n) GiÊ sò x e i 2= I (n) õ °t m = (r 1)d(I) + 1 N‚u i > m th… x me i 2 vợi 1 6 i 6 r n o

Chứng minh Do x e i 2= I (n) nản tỗn t⁄i j 2 f1; : : : ; sg sao cho x e i 2Q n j Theo ành lỵ 1.24, tỗn t⁄i 0 6 p 6 r 1 sao cho Q n j = Q n j p Q p j

Do x 2 Q n j v x e i 2= Q n j nản x i chia h‚t mºt phƒn tò sinh n o õ cıa Q n j

M Q j l i ảan nguyản sỡ nản x d i (Q j ) 2 Q j L⁄i cõ, d(Q j ) 6 d(I) nản x d i (I) 2 Q j GiÊ sò x me i 2 J n Khi õ, x me i 2 Q n j Do Q n j = Q n j p Q p j , nản tỗn t⁄i hai ỡn thức m 1 2 Q n j p v m 2 2 Q p j sao cho x me i = m 1 m 2 Tł õ suy ra x e i (m 1 x m i 1 )m 2 L⁄i cõ, x m i 1 2 Q r j 1 do m 1 = (r 1)d(I), nản x e i = (m 1 x m i

1)m 2 2 Q n j p Q r j 1 Q n j , mƠu thuÔn V“y x me i 2= J n , bŒ • ữổc chứng minh

GiÊ sò v = (v 1 ; : : : ; v r ) 2 R r , kỵ hiằu jvj = v 1 + : : : + v r °t

Chứng minh LĐy x 2 G(J n ) bĐt k… v v 1 ; : : : ; v d l tĐt cÊ cĂc ¿nh cıa SP(I) Theo BŒ • 1.28, ữổc bi”u di„n dữợi d⁄ng

Do x l mºt phƒn tò sinh tŁi ti”u cıa J n , nản u i < 1 vợi mồi i = 1; : : : ; r Do â, j j = n( 1 jv 1 j + + djv d j) + juj

6 (I)n + (u 1 + + u r ) < (I)n + r: i•u n y ch¿ ra r‹ng d(J n ) < (I)n+r Ta cõ i•u phÊi chứng minh.

K‚t quÊ ch‰nh ƒu tiản cıa chữỡng n y l ành lỵ sau. ành lþ 2.5. lim d (I (n) ) = (I): n!1 n

Chứng minh °t = r 2 d(I) r 1 Trữợc tiản ta ch¿ ra khflng ành sau:

+ Łi vợi ch°n trản cıa d(I (n) ):

Gồi x l mºt phƒn tò sinh tŁi ti”u bĐt k… cıa I (n) Theo Nh“n x†t 2.1, ta cõ x e i 2= I (n) vợi i = 1; : : : ; r m i > 1.

Theo BŒ • 2.2, tỗn t⁄i cĂc sŁ nguyản 0 6 n i 6 (r 1)d(I) sao cho x (n 1 e 1 +

+n r e r ) l mºt phƒn tò sinh tŁi ti”u cıa J n Do õ d(J n ) > j j (n 1 + + n r ) > j j r(r 1)d(I); suy ra j j 6 d(J n ) + r(r 1)d(I): i•u n y ch¿ ra d(I (n) ) 6 d(J n ) + r(r 1)d(I):

K‚t hổp vợi BŒ • 2.4, ta cõ d(I (n) ) 6 (I)n + r + r(r 1)d(I):

+ Łi vợi ch°n dữợi cıa d(I (n) ):

GiÊ sò v = (v 1 ; : : : ; v r ) l mºt ¿nh cıa a diằn SP(I) sao cho (I) = jvj. °t = ( 1 ; : : : ; r ) 2 N r trong õ i = dnv i e vợi mồi i = 1; : : : ; r Do nv l mºt ¿nh cıa SP n (I) nản x 2 J n

Vợi mỉi i = 1; : : : ; s, theo ành lỵ 1.24, ta cõ x 2 Q n i = Q n i (r 1) Q r i 1

Do õ, ta cõ th” bi”u di„n x dữợi d⁄ng x = m i;1 m i;2 m i;3 ; trong â m i;1 2 Q i , m i;2 2 Q n i r v m i;3 2 Q r i 1 °t f i = m i; r 1 1 Ta câ deg(f i ) 6 (r 1)d(Q i ) 6 (r 1)d(I) v x f i = (m i; r 1 m i;2 )m i;3 2 Q i n : °t x = f 1 f s v x = x x Khi õ, x 2 Q n i vợi mồi i Do v“y, x x 2 I (n) Hỡn nœa, i = 0 n‚u v ch¿ n‚u i = 0, n‚u v ch¿ n‚u v i = 0 Hi”n nhiản, j j deg(f 1 ) + + deg(f s ) 6 s(r 1)d(I).

Theo BŒ • 1.29, a diằn lỗi SP(I) l t“p nghiằm trong R r cıa mºt hằ cĂc b§t ph÷ìng tr…nh tuy‚n t‰nh câ d⁄ng fx 2 R r j ha j ; xi > b j ; j = 1; 2; : : : ; qg; sao cho:

(i) mỉi phữỡng tr…nh ha j ; xi = b j xĂc ành mºt m°t cỹc ⁄i cıa SP(I), (ii) a j 2 N r , b j 2 N, v ,

(iii) ja j j 6 r 2 d(I) r 1 vợi j bĐt k…. °t = r 2 d(I) r 1 nản ja jj 6 vợi mồi j = 1; : : : ; q.

Do v l ¿nh cıa SP(I), nản theo [41, Cổng thức (23), trang 104], ta giÊ sò r‹ng v l nghiằm duy nhĐt cıa hằ phữỡng tr…nh sau: fx 2 R r j ha i ; xi = b i ; i = 1; : : : ; rg :

Do hằ cõ nghiằm duy nhĐt nản vợi mỉi ch¿ sŁ i m i > 1 luổn tỗn t⁄i

1 6 j 6 r, sao cho a j;i 6= 0 Kỵ hiằu a = a j = (a 1 ; : : : ; a r ) nản a i > 1. °t m = (1 + s(r 1)d(I)) + 1 N‚u i > m th… ha; me i i = ha; i + ha; i a i m

6 nb j + jaj + jajj j m < nb j do m = (1 + s(r 1)d(I)) + 1 > jaj + jajj j.

Do â, x me i 2= J n v i•u n y suy ra x me i 2= I (n)

Theo BŒ • 2.2, vợi i = 1; : : : ; r tỗn t⁄i cĂc sŁ nguyản khổng Ơm n i 6 (1 + s(r 1)d(I)) sao cho x (n 1 e 1 + +n r e r ) l mºt phƒn tò sinh tŁi ti”u cıa I (n) Do â, d(I (n) ) > j j (n 1 + + n r ) > j j + j j r (1 + s(r 1)d(I))

Nhữ v“y khflng ành (2.2) ữổc chứng minh Tł khflng ành n y v theo nguyản lỵ kàp cıa giợi h⁄n ta d„ d ng suy ra ữổc lim d (I (n) ) = (I): n!1 n

V“y ành lỵ ữổc chứng minh.

H m ch¿ sŁ ch‰nh quy

Nh›c l⁄i, vợi M l mºt mổ un phƠn b“c hœu h⁄n sinh v i 0 tũy ỵ, b i (M) = supfj j i;j (M) 6= 0g:

Chứng minh Theo BŒ • 1.29, a diằn lỗi SP(I) l t“p nghiằm trong R r cıa mºt hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh cõ d⁄ng fx 2 R r j ha j ; xi > b j ; j = 1; 2; : : : ; qg; trong õ vợi mỉi j, phữỡng tr…nh ha j ; xi = b j xĂc ành mºt m°t cỹc ⁄i cıa SP(I), a j 2 N r , b j 2 N, v ja j j 6 r 2 d(I) r 1 °t = r 2 d(I) r 1 , ta cõ ja jj 6 vợi mồi j.

L§y = ( 1 ; : : : ; r) 2 N r sao cho i; (I (n) ) 6= 0 Theo BŒ • 1.3, i; (I (n) ) = dimk Hei 1(K (I (n) ); k) 6= 0 nản K (I (n) ) khổng phÊi l nõn Do õ, vợi mỉi j = 1; : : : ; r, tỗn t⁄i

Th“t v“y, theo BŒ • 2.3, x me j 2= J n Do v“y, ha i ; me j i < nb i vợi 1 6 i 6 q n o õ.

Do x 2 I (n) J n nản ha i ; i > nb i i•u n y suy ra a i;j > 1.

M°t khĂc, ta cõ > ja i j > ha i ; i nản ha i ; ( + m)e j i = ha i ; me j i + ha i ; e j i < nb i + ha i ; e j i

= nbi + hai; i h ai; eji = nbj + hai; i ai;j 6 nbi + hai; i 6 nbi:

Do â, x ( +m)e j 2= J n ; ta cõ khflng ành ữổc chứng minh.

Theo BŒ • 2.2, tỗn t⁄i cĂc sŁ nguyản 0 6 n i 6 +m 1 vợi i = 1; : : : ; r, sao cho x n 1 e 1 n r e r 2 G(J n ): i•u n y k†o theo d(J n ) > j j j j (n 1 + + n r ) > j j r r( + m 1):

K‚t hổp vợi BŒ • 2.4, ta cõ b(I (n) ) 6 d(J n ) + r + r r 2 d(I) r 1 + (r 1)d(I) i (I)n + 2r + r r 2 d(I) r 1 + (r 1)d(I) :

6V“y bŒ • ữổc chứng minh. ành lþ sau cho chóng ta c¥u tr£ líi cho B i to¡n 1 trong phƒn Mð ƒu cıa lu“n ¡n. ành lþ 2.7. lim reg( I (n) ) = (I): n!1 n

Chứng minh Tł BŒ • 2.6, ta cõ reg I (n) = maxfb i (I (n) ) i j i > 0g 6 (I)n+2r+r(r 2 d(I) r 1 +(r 1)d(I)):

M°t khĂc, theo chứng minh cıa ành lỵ 2.5, tỗn t⁄i c 2 R sao cho d(I (n) ) > (I)n + c vợi mồi n > 1:

(I)n + c 6 reg I (n) 6 (I)n + 2r + r(r 2 d(I) r 1 + (r 1)d(I)) vợi mồi n > 1 Tł õ suy ra lim reg( I (n) ) = (I); n!1 n ta cõ i•u phÊi chứng minh.

T‰nh toĂn v• reg(I (n) ) mºt cĂch cử th” nh…n chung l khõ khôn v phức t⁄p, tuy nhiản ” t‰nh v• (I) th… b i toĂn trð nản ỡn giÊn hỡn nhớ cĂc kắ thu“t trong quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh Minh hồa cho i•u n y, ta x†t v‰ dử sau.

V‰ dử 2.8 Cho p; q 1 l cĂc sŁ nguyản, R = k[x; y; z; t], I = I p;q = (x; y) \ (x; z p ) \ (y p ; t q ) Hi”n nhiản

Trong trữớng hổp n y khổng khõ ” ta cõ th” t‰nh (I) Th“t v“y, ta cõ SP(I) l a diằn ữổc xĂc ành bði hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh

GiÊn ữợc z; t (v cÊ x v y trong trữớng hổp cƒn thi‚t) ‚n cĂc sŁ nguyản khổng Ơm th‰ch hổp Khi õ, ¿nh cıa SP(I) l nghiằm cıa hằ sau:

Nh“n thĐy, nghiằm cıa hằ l mºt h…nh thang trong m°t phflng vợi cĂc ¿nh ữổc xĂc ành

Nh“n x†t 2.9 M°c dũ cĂc giợi h⁄n lim n!1 d(I (n) ) v lim n!1 reg(I (n) ) n n tỗn t⁄i, những i•u n y khổng khflng ành r‹ng lim b i (I (n) ) n!1 n tỗn t⁄i vợi mồi i 0.

Minh hồa cho nh“n x†t n y, ta x†t v‰ dử sau.

V‰ dử 2.10 Cho v nh a thức R = Q[x; y; z; u; v], i ảan I cõ phƠn t‰ch nguyản sỡ

8 0:

T‰nh khổng tuy‚n t‰nh cıa h m ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lụy thła h…nh thức cıa i ảan ỡn thức

cıa lụy thła h…nh thức cıa i ảan ỡn thức

Cho l phức ỡn h…nh trản t“p ¿nh f1; : : : ; rg v n > 1 Trữợc tiản, chúng tổi mổ tÊ SP n (I ) mºt cĂch chi ti‚t hỡn Vợi F 2 F( ), kỵ hiằu P F (x i j i 2= F ) Khi õ N P (P F n ) ữổc xĂc ành bði hằ

X xi > n; x1 > 0; : : : ; xr > 0; i2=F v SPn(I ) ữổc xĂc ành theo hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh

BŒ • 2.11 Vợi : Chứng minh Kỵ hiằu = (I ) Gồi x l mºt phƒn tò sinh tŁi ti”u bĐt k… cıa I (n) GiÊ sò i > 1 vợi i = 1; : : : ; p v i = 0 vợi i = p + 1; : : : ; r; 1 6 p 6 r.

Vợi mỉi i = 1; : : : ; p, tỗn t⁄i mºt m°t cỹc ⁄i F i 2 F( ) khổng chứa i sao cho thuºc siảu phflng j 2=F i x j = n Tł hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh (2.3) ta câ giao cıa SP n (I ) v t“p

< j 2=F i xj = n vợi i = 1; : : : ; p; l mºt m°t õng : x s = 0 vợi s = p + 1; : : : ; r;

Do thuºc v o m°t n y nản tỗn t⁄i mºt ¿nh cıa SP n (I ) n‹m trản m°t n y sao cho j j 6 j j M°t khĂc, =n l mºt ¿nh cıa SP(I ) nản j j 6 j j = j =nj n 6 n.

Do x l mºt phƒn tò sinh tŁi ti”u bĐt k… cıa I (n) nản d(I (n) ) 6 (I )n; ta cõ i•u phÊi chứng minh.

V‰ dử sau cho ta mºt trữớng hổp xÊy ra dĐu b‹ng cıa bŒ • trản.

V‰ dử 2.12 Cho G l mºt ỗ thà trản t“p ¿nh f1; : : : ; rg v

I(G) = (x i x j j fi; jg 2 E(G)) k[x 1 ; : : : ; x r ] l i ảan c⁄nh cıa ỗ thà G Khi õ d(I(G) (n) ) = 2n vợi mồi n > 1.

Th“t v“y, vợi bĐt k… n > 1 ta luổn cõ d(I(G) (n) ) 6 2n, theo [2, Hằ quÊ 2.11] M°t khĂc, n‚u x i x j l phƒn tò sinh tŁi ti”u cıa I(G) th… (x i x j ) n cụng l phƒn tò sinh tŁi ti”u cıa I(G) (n) , nản d(I(G) (n) ) > 2n Do õ, d(I(G) (n) ) 2n.

Theo ành lþ 2.5, suy ra (I(G)) = 2 i•u n y ch¿ ra r‹ng d(I(G) (n) ) = (I(G))n:

Tuy nhiản, I(G) (n) khổng nhĐt thi‚t ữổc sinh bði tĐt cÊ cĂc phƒn tò cõ b“c 2n V‰ dử, cho I(G) = (xy; xz; yz) = (x; y) \ (x; z) \ (y; z) th…

Cho G l ỗ thà trản [r] = f1; : : : ; rg v J(G) l i ảan phı cıa ỗ thà Khi õ a diằn SP(J(G)) ữổc xĂc ành bði hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh

BŒ • sau cho ta mºt cĂch hœu ‰ch trong viằc xĂc ành cĂc ¿nh cıa a diằn SP(J(G)).

BŒ • 2.13 Cho G l ỗ thà khổng cõ i”m cổ l“p trản [r], v = ( 1 ; : : : ; r ) 2

R r l ¿nh cıa SP(J(G)) Khi õ, i 2 f0; 1=2; 1g vợi mồi i = 1; : : : ; r °t S 0 fi : i = 0g, S 1 = fi : i = 1g, v S 1=2 = fi : i = 1=2g C¡c khflng ành sau l óng:

(iii) ỗ thà con cÊm sinh cıa G trản t“p S 1=2 khổng cõ th nh phƒn hai phƒn;

(iv) N‚u v l mºt lĂ khổng n‹m trản S 0 v N(v) = fug th… u 2= S 1

Chứng minh Do l mºt ¿nh cıa SP(J(G)), theo [41, Cổng thức (23), trang 104], l nghiằm duy nhĐt cıa hằ

j j = d.

Bữợc 2: ” chứng minh chi•u ngữổc l⁄i ta lĐy = ( 1; : : : ; r) l mºt ¿nh bĐt k… cıa SP(J) Theo BŒ • 2.13, i 2 f0; 1=2; 1g vợi mồi i °t S = S0 = fi j i

= 0g, S1 = fi j i = 1g v S1=2 = fi j i = 1=2g Theo BŒ • 2.13, S 2 (G) v G n N[S] khổng cõ th nh phƒn hai phƒn Do õ j =S

1 j +jS 1=2 j = jSj + jS 1 j + jS 1=2 j + jS 1 j j Sj =r + jN(S)j j Sj 6 d:

Chồn l ¿nh cıa SP(J) sao cho j j = (J), suy ra (J) 6 d.

V“y (J) = d, ta cõ i•u phÊi chứng minh.

X†t Km l mºt ỗ thà ƒy ı m ¿nh v G = cor(Km; s) (m > 3; s > 2) l ỗ thà thu ữổc tł Km b‹ng cĂch thảm s c⁄nh treo v o mỉi ¿nh cıa ỗ thà K m

2 Chứng minh °t G = cor(K m ; s) Khi õ G cõ r = m(s + 1) ¿nh v ms lĂ.

Gồi S l mºt t“p ºc l“p cıa G sao cho G n N[S] khổng cõ th nh phƒn hai phƒn.

Trữớng hổp 1: S = ;, suy ra N(S) = ; v jN(S)j j Sj = 0.

Trữớng hổp 2: S chứa ¿nh v cıa K m Trong trữớng hổp n y, GnN[S] ho°c l t“p rỉng ho°c l t“p ho n to n khổng liản thổng Do GnN[S] khổng cõ th nh phƒn hai phƒn nản G n N[S] = ;, tức l S gỗm ¿nh v v tĐt cÊ cĂc lĂ khổng k• vợi nõ Do õ, jSj = 1 + (m 1)s; jN(S)j = s + m 1:

Trữớng hổp 3: S ch¿ gỗm cĂc lĂ cıa G Gồi x 1 ; : : : ; x m l cĂc ¿nh cıa

K m Khi õ N(S) ch¿ gỗm cĂc ¿nh cıa K m , giÊ sò x 1 ; : : : ; x t vợi 1 6 t 6 m. L⁄i cõ, vợi mỉi x i th… cõ ‰t nhĐt mºt lĂ trong S k• vợi nõ nản jSj > t = jN(S)j:

Do s > 2 v GnN[S] khổng cõ th nh phƒn hai phƒn nản jSj > jN(S)j V“y trong cÊ ba trữớng hổp ta luổn cõ jN(S)j 6 jSj DĐu b‹ng xÊy ra khi v ch¿ khi S = ;.

Tł ành lþ 2.14, suy ra

Tł BŒ • 2.15, chúng tổi cõ th” xƠy dỹng ữổc nhœng v‰ dử ch¿ ra r‹ng h m ch¿ sŁ ch‰nh quy reg(I (n) ) khổng l h m tuy‚n t‰nh trong trữớng hổp i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng.

V‰ dử 2.16 X†t ỗ thà G = cor(K 3 ; 2) nhữ H…nh 2.1 °t J = J(G) l y 1 z 1 x1 x 3 y 3 z 3 x 2 y 2 z 2

H…nh 2.1: ỗ thà cor(K 3 ; 2) i ảan phı cıa ỗ thà G.

Theo BŒ • 2.15, ta cõ (J) = 9=2 i•u n y cõ nghắa l khổng l mºt h m tuy‚n t‰nh theo n. reg(J(G) (n) )

Nh“n x†t 2.17 Nghiản cứu v• t‰nh Koszul cıa i ảan (xem [26]) v Ăp dửng trong trữớng hổp lụy thła h…nh thức cıa i ảan phı J(G) cıa ỗ thà

G = cor(K m ; s) (m > 3; s > 2) th… reg(J(G) (n) ) l mºt h m tüa tuy‚n t‰nh vợi chu ký 2 (xem [12, ành lỵ 5.15]) Cử th”, vợi mồi n > 1, ta cõ reg(J(G) (n) ) = 8 2 9 n

Ch°n trản cıa h m ch¿ sŁ ch‰nh quy

Chữỡng n y chúng tổi ữa ra mºt ch°n trản tŁt cıa h m ch¿ sŁ ch‰nh quy reg(I (n) ), vợi I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng Ch°n n y ữổc mổ tÊ theo cĂc dœ liằu tŒ hổp tł phức ỡn h…nh v siảu ỗ thà liản k‚t vợi i ảan Trong trữớng hổp I l i ảan c⁄nh cıa mºt ỗ thà G, chúng tổi ữa ra ch°n trản cıa reg(I (n) ) theo sŁ gh†p c°p cõ thứ tỹ cıa G K‚t quÊ cıa chữỡng n y ữổc dỹa trản b i bĂo [28].

3.1 I ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng

Gồi l mºt phức ỡn h…nh trản [r] = f1; : : : ; rg Trong trữớng hổp tŒng quĂt, reg(I (n) ) khổng l h m tuy‚n t‰nh theo n khi n ı lợn (xem V‰ dử 2.16), nh÷ng l mºt h m tüa tuy‚n t‰nh theo n theo bŒ • sau.

BŒ • 3.1 ([30], ành lỵ 4.9) Tỗn t⁄i cĂc sŁ nguyản dữỡng N; n0 v cĂc sŁ hœu t¿ a; b 0 ; : : : ; b N 1 < dim(R=I ) + 1 sao cho reg(I (n) ) = an + b k ; vợi mồi n > n 0 v n k mod N; trong â 0 6 k 6 N 1: Hìn nœa, reg(I (n) ) < an + dim(R=I ) + 1 vợi mồi n > 1:

Theo ành lþ 2.7, ta câ a = lim reg(I (n) )

= (I ) = maxfjvj j v l mºt ¿nh cıa SP(I )g: n!1 n

Cho vectỡ = ( 1 ; : : : ; r ) 2 R r , °t j j := 1 + + r Vợi S l mºt t“p con khĂc rỉng, õng v bà ch°n cıa R r , °t

Nh“n x†t 3.2 GiĂ trà (S) ⁄t ữổc t⁄i mºt ¿nh n o õ cıa S (xem [32, Hằ quÊ 2.14]).

X†t a diằn lỗi C m theo Cổng thức (1.4), ta cõ mŁi liản hằ giœa (C 1 ) v (I ) ữổc bi”u thà thổng qua bŒ • sau.

Chứng minh Theo BŒ • 1.21, C1 l a diằn lỗi cõ dim C1 = r, giÊ sò (C1)

= j j vợi l mºt ¿nh n o õ cıa C1 Theo [41, Cổng thức (23), trang 104] th… l nghiằm duy nhĐt cıa hằ phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh:

: trong â S 1 [t] v S 2 [r] sao cho jS 1 j + jS 2 j = r Theo lu“t Cramer th… nghiằm l mºt v†ctỡ cõ cĂc th nh phƒn tồa º l cĂc sŁ hœu t¿ Do v“y, tỗn t⁄i mºt sŁ nguyản dữỡng p sao cho p 2 N r M°t khĂc, C p = pC 1 nản p 2 C p \

Vợi mồi j > 1, °t y = jp + ( 2 Pn) Khi õ, y 2 N r v jyj = (C 1 )jp + j j L⁄i cõ jp 2 C jp v 2 P n nản

: i•u n y ch¿ ra y 2 P jp+n \ N r v y(I (jp+n) ) = hF1; : : : ; Fsi = (I (n) ): (3.1)

Do â dim k He i 1( y(I (jp+n) ); k) = dim k He i 1( (I (n) ); k) 6= 0; hay

Do bĐt flng thức n y thọa mÂn vợi mồi sŁ nguyản dữỡng j, nản ta cõ

BŒ • 3.4 Cho [r] vợi 6= [r], S = k[x i j i 2= ] v J = IR \ S Khi õ, reg(J (n) ) 6 reg(I (n) ) vợi mồi n > 1:

Chứng minh Khổng mĐt t‰nh tŒng quĂt, °t S = k[x 1 ; : : : ; x s ] vợi 1 6 s

H n i (S=J (n) ) 6= 0 v reg(S=J (n) ) = j j + i; trong õ = ( 1 ; : : : ; s ) 2 Z s v n = (x 1 ; : : : ; x s ) l i ảan cỹc ⁄i thuƒn nhĐt cıa S.

X†t = ( 1; : : : ; s; 1; : : : ; 1) 2 Z r , suy ra G = G [fs+1; : : : ; rg Theo BŒ • 1.6, ta câ

Theo BŒ• 1.7, dim k H n i (S=J (n) ) = dim k He i G j 1 ( (J (n) ); k); nản He i G j 1 ( (J (n) ); k) 6= 0 K‚t hổp vợi (3.3), ta cõ

Do jG j = jG j + (r s), theo BŒ • 1.7, ta câ H m i+(r s) (R=I (n) ) 6= 0 Do â reg(R=I (n) ) > j j + i + (r s) = j j + i = reg(S=J (n) ): i•u n y suy ra reg(J (n) ) 6 reg(I (n) ).

K‚t hổp bĐt phữỡng tr…nh trản v ành lỵ 2.7, ta cõ

Ti‚p theo, chúng tổi xƠy dỹng ch°n trản cho bĐt bi‚n a i cıa lụy thła h…nh thức cıa i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng. ành lỵ 3.5 Cho I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng Khi õ vợi mồi i > 0, a i (R=I (n) ) 6 (I)(n 1):

Chứng minh Do I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng nản tł BŒ

• 1.4 suy ra a i (R=I) 6 0 vợi mồi i > 0 V“y ành lỵ úng trong trữớng hổp n

GiÊ sò n > 2 N‚u a i (R=I (n) ) = , ành lỵ l hi”n nhiản Do õ ta giÊ sò a i (R=I (n) ) 6=

Theo BŒ • 1:7, ta câ dim k H i G j 1 ( (I (n) ); k) = dim k H m i (R=I (n) ) 6= 0; (3.4) tức l , (

K‚t hổp vợi (4:1), suy ra H ( (J (n) ); k) = 0 Theo BŒ • 1:7, ta câ e i G j 1

H n i G j (S=J (n) ) 0 6= 0; trong õ n = (x 1 ; : : : ; x m ) l i ảan cỹc ⁄i thuƒn nhĐt cıa S.

Gồi l phức ỡn h…nh trản [m] tữỡng ứng vợi i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng J GiÊ sò F( ) = fF 1 ; : : : ; F t g.

Theo BŒ • 1.8, giÊ sò F( 0(J (n) )) = fF 1 ; : : : ; F s g vợi 1 6 s 6 t °t

: i62F j i62F j suy ra C , trong õ C l a diằn trongữổc xĂc ành bði hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh

Theo BŒ • 1.21, C 1 l a diằn lỗi trong R

Do â j j 6 (C 1 ) Suy ra j 0 j = (n 1)j j 6 (C 1 )(n 1) L⁄i câ j< 0 vợi mồi j 2 G = fm + 1; : : : ; rg, nản a i (R=I (n) ) = j j = j 0 j + ( m+1 + + r) 6 j 0 j 6 (C 1 )(n 1): (3.5) M°t kh¡c, theo c¡c BŒ • 3.3 v 3.4, ta câ

K‚t hổp vợi (3:5), suy ra a i (R=I (n) ) 6 (I)(n 1); ta cõ i•u phÊi chứng minh.

Ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng cõ th” ữổc xĂc ành theo sỹ triằt tiảu cıa ỗng i•u rút gồn cıa phức ỡn h…nh. Theo BŒ • 1.4, ta câ

BŒ • 3.6 Cho phức ỡn h…nh Khi õ reg(R=I ) = maxfd j He d 1(lk ( ); k) 6= 0; vợi 2 n o õg:

Trong trữớng hổp lụy thła h…nh thức cıa I ta cõ k‚t quÊ sau. ành lỵ 3.7 Cho l phức ỡn h…nh Khi õ, reg(I (n) ) 6 (I )(n 1) + b vợi mồi n > 1; trong õ b = maxfreg(I ) j l mºt phức con cıa vợi F( F( )g. Chứng minh °t I = I Gồi i 2 f0; : : : ; dim(R=I)g v 2 Z r sao cho

Theo BŒ • 1.7, ta câ dim k He i G j 1 ( (I (n) ); k) = dim k H m i (R=I (n) ) 6= 0: (3.6)

Suy ra, (I (n) ) khổng l phức xo›n.

N‚u G = [r] th… (I (n) ) ho°c l f;g ho°c l phức trŁng Do (I (n) ) khổng l phức xo›n nản (I (n) ) = f;g Theo (3:6), ta cõ i = jG j = r, suy ra dim(R=I) = r i•u n y cõ nghắa l I = 0 v I (n) = 0 Do õ, reg(I (n) ) = , ành lỵ ữổc chứng minh.

GiÊ sò G = fm + 1; : : : ; rg vợi 1 6 m 6 r D°t S = k[x 1 ; : : : ; x m ] v

K‚t hổp vợi (3:6), ta cõ H ( (J (n) k : ra e i G j 1 0 ); ) 6= 0 Theo BŒ • 1 7, suy

6 trong õ n = (x 1 ; : : : ; x m ) l i ảan thuƒn nhĐt cỹc ⁄i cıa S V“y j 0 j 6 a i G j (S=J (n) ):

K‚t hổp vợi BŒ • 3.4 v ành lỵ 3.5, ta cõ j 0 j 6 (J)(n 1) 6 (I)(n 1):

Tł (3.7) v theo BŒ • 1.10, ta câ

F [ i•u n y ch¿ ra tỗn t⁄i mºt phức ỡn h…nh F cho

Do He i G j 1 (lk (G ); k) 6= 0, nản theo BŒ • 3.6 ta cõ i j G j + 1 6 reg(I ) 6 b:

Hằ quÊ 3.8 Cho I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng Khi õ, reg(I (n) ) 6 (I)(n 1) + dim(R=I) + 1; vợi mồi n > 1:

Chứng minh Gồi l phức ỡn h…nh tữỡng ứng vợi i ảan I Vợi mồi phức con cıa , ta câ dim 6 dim Theo BŒ • 3.6, suy ra reg(I ) 6 dim(R=I ) + 1 6 dim(R=I ) + 1:

Theo ành lþ 3.7, ta câ reg(I (n) ) 6 (I)(n 1) + dim(R=I) + 1; vợi mồi n > 1:

Nhữ chúng ta bi‚t cõ mºt sỹ tữỡng ứng giœa i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng trong v nh R = k[x1; : : : ; xr] v siảu ỗ thà ỡn trản t“p ¿nh

V = fx 1 ; : : : ; x r g Do õ, ành lỵ 3.7 cõ th” ữổc di„n ⁄t l⁄i trong trữớng hổp siảu ỗ thà nhữ sau. ành lỵ 3.9 Cho H l siảu ỗ thà Khi õ, vợi mồi n > 1, reg(I(H) (n) ) 6 (I(H))(n 1) + b; trong â b = maxfpd(R=I(H 0 )) j H 0 l mºt siảu ỗ thà con cıa H vợi

” chứng minh ành lỵ trản, trữợc h‚t ta nh›c l⁄i mºt k‚t quÊ nŒi ti‚ng cıa Terai [44] (ho°c xem [35, ành lỵ 5.59]) v• mŁi quan hằ giœa ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng v chi•u x⁄ Ênh cıa Łi ngÔu Alexander cıa i ảan.

BŒ• 3.10 Cho I R l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng Khi õ, reg(I) = pd(R=I ):

Chứng minh ành lỵ 3.9 Gồi l phức ỡn h…nh tữỡng ứng vợi i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng I(H) GiÊ sò F( ) = fF 1 ; : : : ; F p g Do p \

I(H) = (x i j i 2= F j ); j=1 nản E(H ) = fC 1 ; : : : ; C p g, trong õ C j = [r] n F j vợi mồi j = 1; : : : ; p. Gồi l phức con cıa vợi F( F( ) GiÊ sò F( = fF 1 ; : : : ; F k g,

1 6 k 6 p Khi õ I = I(H 0 ), trong õ H 0 l siảu ỗ thà con cıa H vợi E(H 0 ) fC 1 ; : : : ; C k g.

Theo BŒ• 3.10, ta câ reg(I ) = pd(R=I ) = pd(R=I(H 0 )):

K‚t hổp vợi ành lỵ 3.7, ta suy ra i•u phÊi chứng minh.

BŒ • 3.11 ([11], ành lỵ 3.2) Cho H l mºt siảu ỗ thà Khi õ, pd(R=I(H)) 6 jV (H)j (H): ành lỵ sau cho ta mºt ch°n trản cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lụy thła h…nh thức cıa i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng theo cĂc t‰nh chĐt tŒ hổp cıa siảu ỗ thà liản k‚t vợi i ảan. ành lỵ 3.12 Cho H l mºt siảu ỗ thà Khi õ,reg(I(H) (n) ) 6 (I(H))(n 1) + jV (H)j (H ); vợi mồi n > 1:

Chứng minh Theo ành lỵ 3.9, ta ch¿ cƒn chứng minh pd(R=I(G)) 6 jV (H)j (H ) vợi mồi siảuỗ thà G m E(G) E(H ) Tł BŒ • 3.11, ” chứng minh ành lỵ ta cƒn chứng minh jV (G)j (G) 6 jV (H )j (H ):

Th“t v“y, khổng mĐt t‰nh tŒng quĂt, giÊ sò H khổng cõ c⁄nh tƒm thữớng v cĂc ¿nh cổ l“p.

Gồi S l t“p trºi c⁄nh th nh phƒn cıa G sao cho jSj = (G) Vợi mỉi ¿nh v

2 V (H ) n V (G), lĐy mºt c⁄nh cıa H chứa v, kỵ hiằu F (v) Khi õ,

S 0 = S [ fF (v) j v 2 V (H ) n V (G)g l mºt t“p trºi c⁄nh th nh phƒn cıa H Tł â ta câ

(H ) 6 jS 0 j 6 jSj + jV (H ) n V (G)j = jSj + jV (H )j j V (G)j:

Do â jV (G)j (G) 6 jV (H )j (H ); ta cõ i•u phÊi chứng minh.

Nh›c l⁄i, mºt phức ỡn h…nh ữổc gồi l phức ỡn h…nh matroid n‚u vợi mồi t“p con cıa V ( ) th… phức ỡn h…nh [ ] l phức thuƒn (xem [42, Chữỡng 3]) — Ơy, [ ] l h⁄n ch‚ cıa xuŁng v ữổc xĂc ành bði [ ] = f j 2 v g. V‰ dử sau ch¿ ra r‹ng ch°n trản cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy trong ành lỵ 3.7 l mºt ch°n tŁt vợi mồi n, tức l ch°n cõ dĐu b‹ng xÊy ra.

V‰ dử 3.13 Chol phức matroid v khổng l nõn Khi õ, reg(I (n) ) = (I )(n 1) + b; vợi mồi n > 1; trong õ b = maxfreg(I ) j l phức con cıa vợi F( F( )g.

Chứng minh °t I = I v s = dim(R=I ) Theo [37, ành lỵ 4.5], vợi mồi n > 1 ta câ reg(I (n) ) = d(I)(n 1) + s + 1: i•u n y suy ra lim reg(I (n) ) = d(I); n n!1 v do â (I) = d(I) Ta cƒn ch¿ ra b = s + 1.

Theo ành lþ 3:7, ta câ s + 1 6 b M°t kh¡c, l“p lu“n t÷ìng tü nh÷ trong chứng minh cıa Hằ quÊ 3.8, ta cõ b 6 s + 1.

V“y b = s + 1, ta cõ i•u phÊi chứng minh.

I ảan c⁄nh cıa ỗ thà G

Trong phƒn n y chúng tổi Ăp dửng ành lỵ 3.7 ” nghiản cứu v• h m ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lụy thła h…nh thức cıa i ảan c⁄nh cıa mºt ỗ thà ” xƠy dỹng ch°n cho hằ sŁ b trong ành lỵ 3.7, chúng tổi x†t h m sŁ sŁ hồc sau. ành lỵ 3.14 Cho l phức ỡn h…nh trản [r] v °t

GiÊ sò f : Simp( ) ! N l h m sŁ thọa mÂn cĂc t‰nh chĐt sau:

(i) N‚u 2 Simp( ) l mºt ìn h…nh th… f( ) = 0;

(ii) Vợi mồi 2 Simp( ) v mồi v 2 V ( ) sao cho khổng l nõn trản v th… f(lk (v)) + 1 6 f( ).

Khi õ, vợi mồi phức con cıa m F( F( ) th… reg(I ) 6 f( )+1.

Chứng minh Vợi t“p con S bĐt k… cıa [r], °t p S = (x i j i 2 S) R Trữợc h‚t ta chứng minh khflng ành sau: Vợi mồi S [r] th… reg(p S + I ) 6 f( ) + 1; (3.8) trong õ mồi phức ỡn h…nh •u x†t trản [r].

Th“t v“y, n‚u jV ( )j 6 1 th… l mºt ỡn h…nh Trong trữớng hổp n y, khflng ành trản l hi”n nhiản.

GiÊ sò jV ( )j > 2 N‚u l ỡn h…nh th… khflng ành trản l úng v… reg(p S + I ) = 1 = f( ) + 1:

Do õ, ta giÊ sò khổng l ỡn h…nh Ta s‡ chứng minh khflng ành trản b‹ng phữỡng phĂp quy n⁄p lũi theo lỹc lữổng cıa S.

Suy ra, reg(p S + I ) = 1 Khflng ành (3.8) l óng.

GiÊ sò jSj < r N‚u p S + I l nguyản tŁ, tức l p S + I l i ảan ữổc sinh bði cĂc bi‚n Khi õ, reg(p S + I ) = 1 nản (3.8) úng.

GiÊ sò p S + I khổng phÊi nguyản tŁ Khi õ, tỗn t⁄i bi‚n x v vợi v 2 [r] sao cho x v xuĐt hiằn trong mºt ỡn thức sinh n o õ cıa p S + I cõ b“c ‰t nhĐt b‹ng 2 v v 2= S Chú ỵ r‹ng, n‚u u khổng phÊi l ¿nh cıa th… x u l mºt ỡn thức sinh cıa I , v n‚u l nõn trản ¿nh w n o õ th… x w khổng xuĐt hiằn trong bĐt cứ ỡn thức sinh n o cıa I i•u n y suy ra v l mºt ¿nh cıa v khổng l nõn trản v M°t khĂc, F( F( ) nản cụng khổng l nõn trản v.

(pS + I ) + (xv) = pS[fvg + I ; v (pS + I ) : (xv) = pS + I 0 ; trong õ 0 l phức con cıa vợi F ( 0 ) = fF 2 F( j v 2 F g.

Theo [10, BŒ• 2.10], ta câ reg(pS + I ) 6 maxfreg(pS[fvg + I ); reg(pS + I 0 ) + 1g: (3.9) Theo gi£ thi‚t quy n⁄p, ta câ reg(pS[fvg + I ) 6 f( ) + 1: (3.10)

Ta chứng minh khflng ành sau: reg(p S + I 0) 6 f( ): (3.11)

Th“t v“y, n‚u p S + I 0 l i ảan nguyản tŁ th… reg(p S + I 0 ) = 1 Do khổng phÊi l nõn trản v nản theo ành nghắa cıa f ta cõ f( ) > f(lk (v)) + 1 > 1:

GiÊ sò p S + I 0 khổng l i ảan nguyản tŁ Ta cõ

I 00 = (x v ) + I 0 ; trong õ 00 = lk 0 (v) v phức ỡn h…nh n y cụng ữổc x†t trản [r] Do bi‚n x v khổng xuĐt hiằn trong bĐt k… phƒn tò sinh n o cıa I 0 nản reg(I 00 ) reg(I 0).

M°t kh¡c, theo gi£ thi‚t quy n⁄p th… reg(I 00 ) = reg(I lk 0 (v)) 6 f(lk (v)) + 1: i•u n y ch¿ ra r‹ng reg(p S + I 0 ) 6 reg(I 0 ) = reg(I 00 ) 6 f(lk (v)) + 1:

Theo giÊ thi‚t f(lk (v)) + 1 6 f( ), nản reg(p S + I 0 ) 6 f( ) Nhữ v“y khflng ành ữổc chứng minh.

K‚t hổp (3.9)-(3.11), ta cõ reg(p S + I ) 6 f( ) + 1 Do õ (3.8) ữổc chứng minh. p dửng (3.8) trong trữớng hổp S = ;, ta cõ reg(I ) 6 f( ) + 1:

V“y ành lỵ ữổc chứng minh.

Trong trữớng hổp ỗ thà, ành lỵ 3.14ữổc phĂt bi”u nhữ sau.

Hằ quÊ 3.15 Cho ỗ thà G v °t I G = fG n N G [S] j S 2 (G)g GiÊ sò f : I G !

N l h m sŁ thọa mÂn cĂc t‰nh chĐt sau:

(ii) Vợi mồi ỗ thà H v mồi ¿nh v khổng cổ l“p cıa H th… f(H n N H [v]) + 1 6 f(H):

Khi õ, vợi mồi phức con cıa (G) vợi F( F( (G)) th… reg(I ) 6 f(G) + 1:

Chứng minh Vợi mồi ỗ thà H v S 2 (H), ta luổn cõ

Vợi mồi H 2 I G , ta x†t h m sŁ g ữổc xĂc ành nhữ sau: g : Simp( (G)) ! N

Chú ỵ r‹ng vợi mồi ỗ thà H, (H) l ỡn h…nh n‚u v ch¿ n‚u H l ỗ thà tƒm thữớng, v (H) l mºt nõn trản ¿nh v n‚u v ch¿ n‚u v l mºt ¿nh cổ l“p cıa H. Nhữ v“y, g l h m sŁ thọa mÂn cĂc i•u kiằn trong ành lỵ 3.14, nản reg(I ) 6 g( (G)) + 1 = f(G) + 1:

V“y hằ quÊ ữổc chứng minh.

Nh“n x†t 3.16 GiÊ sò H l mºt siảu ỗ thà ỡn v S V (H) Gồi N H [S] l lƠn c“n õng cıa S trong H, (H) l phức ºc l“p cıa H Ta luổn cõ cĂc flng thức I(H) = I (H) v (H n N H [S]) = lk (H) (S) vợi H l mºt siảu ỗ thà bĐt k… H m sŁ f : fH n N H [S] j S 2 (H)g ! N ữổc xĂc ành nh÷ sau:

(H 0 ) 1 trong cĂc trữớng hổp cặn l⁄i:

Tữỡng tỹ nhữ cĂch chứng minh trong ành lỵ 3.12, ta cõ th” ch¿ ra r‹ng h m sŁ f thọa mÂn cĂc i•u kiằn cıa ành lỵ 3.14 Tł õ, chúng ta cõ mºt cĂch chứng minh khĂc cıa BŒ • 3.11.

Trong trữớng hổp i ảan c⁄nh cıa ỗ thà G, ành lỵ 3.7 ữổc phĂt bi”u l⁄i nh÷ sau.

BŒ • 3.17 Cho G l mºt ỗ thà Khi õ, reg(I(G) (n) ) 6 2(n 1) + b; vợi mồi n > 1; trong â b = maxfreg(I ) j l mºt phức con cıa (G) vợi F( F( (G))g:

Chứng minh Ta cõ I(G) = I (G) v (I(G)) = 2 theo V‰ dử 2.12.

Do õ, theo ành lỵ 3.7 ta cõ i•u phÊi chứng minh.

Ti‚p theo, chúng tổi x†t k‚t quÊ ch‰nh cıa phƒn n y. ành lỵ 3.18 Cho ỗ thà G Khi õ, reg(I(G) (n) ) 6 2n + ord-match(G) 1; vợi mồi n > 1:

Chứng minh Theo BŒ • 3.17, ta cƒn ch¿ ra reg(I ) 6 ord-match(G) + 1 vợi mồi phức con cıa (G) vợi F( F( (G)).

X†t h m sŁ f : I G ! N ữổc xĂc ành nhữ sau: f(H) = 80 n‚u H l tƒm th÷íng;

1:

Chứng minh Th“t v“y, vợi mồi sŁ nguyản dữỡng n, theo [19, ành lỵ 4.6], ta cõ ch°n dữợi reg(I(G) (n) ) > 2n + (G) 1: (3.12) M°t khĂc, theo ành lỵ 3.18 v ord-match(G) = (G) nản ta cõ ch°n trản reg(I(G) (n) ) 6 2n + (G) 1: (3.13)K‚t hổp (3.12) v (3.13), ta cõ i•u phÊi chứng minh.

Nh“n x†t 3.21 Theo [16], Fakhari  chứng minh r‹ng flng thức reg(I(G) (n) ) = 2n + (G) 1 xÊy ra vợi mồi n > 1 khi G l ỗ thà Cameron-Walker ( ỗ thà G ữổc gồi l Cameron-Walker n‚u (G) = match(G) (xem [27])).

Nhữ v“y, k‚t quÊ n y cõ th” ữổc xem nhữ mºt hằ quÊ cıa ành lỵ 3.18(ho°c Hằ quÊ 3.20) v… Łi vợi cĂc ỗ thà Cameron-Walker ta luổn cõ ord- match(G) = (G) (do (G) 6 ord-match(G) 6 match(G)).

T‰nh Œn ành cıa h m ch¿ sŁ ch‰nh quy

Trong ch÷ìng hai chóng ta th§y r‹ng h m ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lôy thła h…nh thức cıa i ảan phı cıa mºt ỗ thà trong trữớng hổp tŒng quĂt khổng phÊi l mºt h m tuy‚n t‰nh khi n ı lợn Tuy nhiản, trong trữớng hổp ỗ thà hai phƒn, theo Herzog, Hibi v N V Trung [24] th… J(G) (t) J(G) t , nản h m ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lụy thła cıa i ảan phı cıa ỗ thà l mºt h m tuy‚n t‰nh khi n ı lợn Hỡn nœa, theo [22], tỗn t⁄i 0 6 b 6 dim

R=J(G) d(J(G)) + 1 sao cho reg(J(G) n ) = d(J(G))n + b vợi mồi n > jV (G)j + 2, hay reg-stab(J(G)) 6 jV (G)j + 2 Trong ch÷ìng n y, b‹ng c¡ch sò dửng cĂc kÿ thu“t  ữổc tr…nh b y trong chữỡng 2 v chữỡng 3 khi nghiản cứu v• nghiằm cıa hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh cho trữớng hổp I = J(G), chúng tổi ữa ra nhœng ch°n tŁt hỡn cho hằ sŁ b v ch¿ sŁ Œn ành reg-stab(J(G)) cıa ỗ thà hai phƒn K‚t quÊ tr…nh b y cıa chữỡng ữổc dỹa trản b i bĂo [20].

4.1 a diằn nguyản ứng vợi ỗ thà hai phƒn

Trữợc h‚t, chúng tổi xƠy dỹng cĂc a diằn lỗi Pn v Cn theo mửc 1.5.2. trong trữớng hổp ỗ thà.

Cho G = (V (G); E(G)) l ỗ thà hai phƒn vợi t“p ¿nh V (G) = f1; : : : ; rg v t“p c⁄nh E(G) GiÊ sò

Theo BŒ • 1:7, ta câ dim k H i 1( (J(G) n ); k) = dim k H i (R=J(G) n ) = 0; (4.1) tức l , (J(G)e n

GiÊ sò E(G) = fe 1 ; : : : ; e t g Theo Phữỡng tr…nh (1:1), ta cõ

Do (J(G) n ) khổng l phức xo›n, theo BŒ • 1:15, ta giÊ sò r‹ng

Vợi mỉi sŁ nguyản n > 1, P n l t“p nghiằm trong R r cıa hằ sau:

2 P n Hìn nœa, theo BŒ • 1:15, ta câ

(J(G) m ) = hV (G) n e 1 ; : : : ; V (G) n e s i = (J(G) n ) vợi bĐt k… 2 P m \ N r : t“p nghiằm trong R r cıa hằ

” nghiản cứu v• P n , chúng tổi x†t C n l sau:

Do G l ỗ thà hai phƒn nản G l mºt siảu ỗ thà unimodular (theo [4,ành lỵ 5]) Do õ, theo [41, ành lỵ 19:1], Pn v Cn •u l cĂc a diằn nguyản, tức l mồi ¿nh cıa nõ •u cõ cĂc th nh phƒn tồa º nguyản Hỡn nœa,

BŒ • 4.1 C 1 l mºt a diằn lỗi cõ dim C 1 = r Hỡn nœa, n‚u ( 1 ; : : : ; r) 2 R r l mºt ¿nh cıa C 1 , th… 2 f0; 1g r :

Chứng minh Th“t v“y, theo [21, BŒ • 2:1], ta cõ C 1 l mºt a diằn lỗi vợi dim C 1 = r.

GiÊ sò l mºt ¿nh cıa C1, theo [41, Cổng thức (23), trang 104], l nghiằm duy nhĐt cıa hằ cĂc phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh cõ d⁄ng

2 ; S 2 f 1; : : : ; rg v 2 S 1 j +jS 2j = r. j M°t khĂc, ma tr“n liản thuºc A(G) cıa ỗ thà hai phƒn G l unimodular ho n to n Do õ, ma tr“n cıa Hằ (4.4) cụng l unimodular ho n to n. Theo [41, ành lþ 2.17], ta câ l f0; 1g v†ctì.

Nh“n x†t 4.2 Do C n = nC 1 , nản C n l mºt a diằn lỗi L⁄i cõ, P n C n , nản P n cụng l mºt a diằn lỗi.

Do C 1 l a diằn lỗi cõ chi•u r, nản tỗn t⁄i v†ctỡ = ( 1 ; : : : ; r ) 2 C 1 sao cho

(C 1 ) = j j = 1 + + r: °t a := j j = (C 1 ), ta câ a > 1 Chó þ r‹ng n công l mºt v†ctì cıa C n v (C n ) = an Do P n C n , nản (P n ) 6 an v ta cõ th” °t

BŒ • 4.3 N‚u Pn =6 ;, th… Pn+1 =6 ; v bn > bn+1.

Chứng minh GiÊ sò = ( 1 ; : : : ; r) 2 P n sao cho (P n ) = j j Do l nghiằm cıa Hằ (4:2), v l nghiằm cıa Hằ (4:3) vợi n = 1, theo BŒ • 4.1 ta câ 2 f0; 1g r °t + = = ( 1 ; : : : ; r ), ta suy ra

n + 1 vợi f u; vg 2 E 2 :: i•u n y suy ra 2 P n+1 Do â, P n+1 6= ; v (P n+1 ) > j j + j j Do (P n+1 ) a(n + 1) b n+1 v j j + j j = a(n + 1) b n , ta câ b n > b n+1

Gồi l l º d i cıa ữớng i ỡn d i nhĐt trong G Trong bŒ • sau, chúng tổi ch¿ ra r‹ng (P n ) l mºt h m tuy‚n t‰nh theo n vợi mồi n > l + 1 2

BŒ • 4.4 Tỗn t⁄i sŁ nguyản khổng Ơm b sao cho

2 Chứng minh °t a = (C 1 ) Vợi n > 1 m P n 6= ;, °t (P n ) = an b n trong õ b n l mºt sŁ nguyản khổng Ơm Theo BŒ • 4:3, ta cõ b n > b n+1 >

> 0 Do õ, tỗn t⁄i n0 > 1 sao cho bn = bn0 vợi n > n0 °t b := bn0 Khi õ,

(P n ) = an b; vợi mồi n > n 0 : L⁄i theo BŒ • 4:3, khi P n 6= ; ta luổn cõ

Gồi s l sŁ nguyản sao cho s > max 2r 2 + b; n 0 Khi õ, ta cõ

Do P s l mºt a diằn lỗi, nản (P s ) = j j vợi l mºt ¿nh n o õ cıa

P s Chú ỵ r‹ng, a diằn lỗi P s ữổc xĂc ành bði hằ

> thức> (23), trang 104], l nghiằm duy nhĐt cıa hằ cĂc

Theo [41, Cổng : ph÷ìng tr…nh tuy‚n t‰nh câ d⁄ng

: trong â S 1 E 1 ; S 2 E 2 ; S 3 [r] sao cho jS 1 j + jS 2 j + jS 3 j = r.

Gồi H l ỗ thà con cıa G vợi V (H) = V (G) v E(H) = S 1 [ S 2 GiÊ sò H 1 ; : : : ; H p l cĂc th nh phƒn liản thổng cıa H.

Ti‚p theo, chúng ta chứng minh cĂc khflng ành sau.

Khflng ành 1: H i l cƠy v jV (H i ) \ S 3 j = 1 vợi mỉi i = 1; : : : ; p.

Th“t v“y, do Hằ (4.6) cõ nghiằm duy nhĐt nản hằ

:x t = 0; vợi t 2 S 3 \ V (H i ); cụng cõ nghiằm duy nhĐt Do õ, ta cõ sŁ phữỡng tr…nh b‹ng sŁ bi‚n i•u n y cõ nghắa l jV (H i )j = jE(H i )j + jS 3 \ V (H i )j: (4.8)

Theo BŒ • 1.14, ta cõ S 3 \V (H i ) 6= ; K‚t hổp vợi Phữỡng tr…nh (4.8) v BŒ • 1.11, ta suy ra jE(H i )j = jV (H i )j 1; jS 3 \ V (H i )j = 1; v H i l c¥y:

Ta cõ khflng ành ữổc chứng minh.

Tł Khflng ành 1, vợi i = 1; : : : ; p, giÊ sò V (H i ) \ S 3 = u i Do H i l cƠy, nản vợi mồi ¿nh v 2 H i , tỗn t⁄i mºt ữớng i ỡn duy nhĐt trong H i tł v ‚n u i , v ta giÊ sò r‹ng ữớng i n y cõ d⁄ng u i = v 0 ; v 1 ; : : : ; v n = v; trong â n = dist H i (v; u i ) l kho£ng c¡ch giœa v v u i

Khflng ành 2: Vợi mồi ¿nh v cıa H i , ta cõ 0 6 a v 6 ddist(v; u i ). v v= 8 a v n‚u dist(v; u i ) chfin;

Khi õ, a v = b n ” chứng minh khflng ành trản ta cƒn chứng minh

0 6 b 2f 6 f; v 0 6 b 2f+1 6 f + 1; v v 2f = b 2f ; v v 2f+1 = s b 2f+1 ; vợi cĂc ch¿ sŁ khổng vữổt quĂ n.

Ta chứng minh quy n⁄p theo f N‚u f = 0, th… b 0 = 0 v v 0 = u i = 0 do u i 2 S 3 Ta cõ b 1 = 1 2 f0; 1g, nản 0 6 b 1 6 1 M°t khĂc, do v 1

1 nản v 1 = s 1= s b 1 Do õ, khflng ành úng trong trữớng hổp f = 0. GiÊ sò f > 1 Theo giÊ thi‚t quy n⁄p, 0 6 b

2f 1 6 f v v 2f 1 = s b 2f 1 Tł ph÷ìng tr…nh v 2f

Do b 2f 1 6 f theo giÊ thi‚t quy n⁄p nản ta cõ b 2f 6 f M°t khĂc, do

Tł ph÷ìng tr…nh v 2f + v 2f+1 = s 2f+1 , ta câ v 2f+1

L⁄i cõ 0 6 b 2f 6 f, nản 0 6 b 2f+1 6 f + 1, khflng ành ữổc chứng minh.

Vợi mỉi n > (l + 1)=2, x†t i”m nguyản (n) = ( 1 (n); : : : ; r (n)) 2 Z r trong â v(n) = 8a v n‚u v 2 H i v dist(v; u i ) chfin;

0 n‚u v 2 V (Hi) v dist(v; ui) lã vợi i = 1; : : : ; p n o õ.

Trong trữớng hổp n y, v (n) = n a v L⁄i theo Khflng ành 2, ta cõ a v 6 ddist H i (v; u i )e 6 (l + 1)=2 6 n nản v (n) > 0.

Ti‚p theo, chúng ta ch¿ ra r‹ng u (n) + v(n) 6 n 1 vợi fu; vg 2 E1. GiÊ sò u 2 V (H i ) v v 2 V (H j ) CĂc trữớng hổp cõ th” xÊy ra nhữ sau.

Trữớng hổp 1: dist(u; ui) v dist(v; uj) •u chfin N‚u i = j, tỗn t⁄i hai ữớng i cõ º d i chfin tł u v v tợi ui Do fu; vg l mºt c⁄nh cıa G, ta suy ra G chứa mºt chu tr…nh lã, mƠu thuÔn vợi giÊ thi‚t G l ỗ thà hai phƒn V“y, i 6= j Trong trữớng hổp n y, u(n) = a u v v(n) = a v , do õ u (n) + v (n) = a u + a v 6 dist H i

N‚u ta cõ mºt ữớng i ỡn p 1 trong H i tł u i tợi u, v mºt ữớng i ỡn p 2 trong H j tł v tợi u j , th… ta cõ mºt ữớng i ỡn p 1 ; u; v; p 2 tł u i tợi u j trong G i•u n y ch¿ ra dist H i (u; u i ) + dist H j (v; u j ) 6 l 1 K‚t hổp vợi bĐt phữỡng tr…nh trản ta cõ u(n) + v(n) 6 l 1 6 n 1:

Trữớng hổp 2: dist(u; u i ) chfin v dist(v; u j ) lã Theo Khflng ành 2, ta câ u+ v = s + a u a v 6 s 1; doõ a u a v 6 1 Tł õ suy ra u (n) + v (n) = n + a u a v 6 n 1 Trữớng hổp 3: dist(u; u i ) lã v dist(v; u j ) chfin Trữớng hổp n y chứng minh tữỡng tỹ nhữ trữớng hổp 2.

Trữớng hổp 4: dist(u; u i ) v dist(v; u j ) •u lã Theo Khflng ành 2 ta cõ u+ v = 2s au a v 6 s 1:

Do s > 2r, a u 6 r 1 v a v 6 r 1 nản trữớng hổp n y khổng th” xÊy ra.

Do õ, ta luổn cõ u (n) + v(n) 6 n 1 vợi mồi fu; vg 2 E 1

Chứng minh ho n to n tữỡng tỹ, ta cõ u (n) + v (n) > n vợi mồi fu; vg 2

V“y ta luổn cõ (n) 2 P n vợi mồi n > (l + 1)=2, v khflng ành ữổc chứng minh.

Ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lụy thła cıa i ảan phı

Trong phƒn n y, chúng tổi ch¿ ra mºt ch°n cho n 0 sao cho reg J(G) n cıa ỗ thà hai phƒn G l mºt h m tuy‚n t‰nh theo n vợi mồi n > n 0 Trữợc h‚t ta x†t bŒ • sau.

BŒ • 4.5 Cho G l ỗ thà hai phƒn vợi J := J(G) l i ảan phı cıa ỗ thà Gồi l l º d i ữớng i ỡn d i nhĐt trong G Khi õ, vợi mồi s > (l + 1)=2, tỗn t⁄i cĂc sŁ nguyản khổng Ơm a v b sao cho

(ii) b 6 maxfreg J(H) j H l mºt ỗ thà con cıa Gg;

Chứng minh N‚u E(G) ch¿ cõ mºt c⁄nh duy nhĐt th… reg J(G) s = s vợi mồi s > 1 Do õ, bŒ • úng trong trữớng hổp n y.

GiÊ sò E(G) cõ ‰t nhĐt hai c⁄nh Vợi s > (l + 1)=2 bĐt k…, giÊ sò reg(R=J s ) = a i (R=J s ) + i; vợi 0 6 i 6 dim(R=J) n o õ; v a i (R=J s ) = j j; trong â 2 Z r sao cho H m i

Theo BŒ• 1.7, ta câ dim k He i G j 1 ( (J s ); k) = dim k H m i (R=J s ) 6= 0: (4.9) i•u n y suy ra, (J s ) khổng l phức xo›n.

N‚u G = [r], th… (J s ) ho°c l f;g ho°c l mºt phức trŁng Do (J s ) khổng l phức xo›n, nản (J s ) = f;g Theo BŒ • 1:6, ta suy ra J s l mºt i ảan m- nguyản sỡ cıa R i•u n y suy ra G cõ duy nhĐt mºt c⁄nh, mƠu thuÔn.

Do õ, ta giÊ sò G = ft + 1; : : : ; rg vợi 1 6 t 6 r n o õ Vợi = ( 1 ; : : : ; t ;

1; : : : ; 1) 2 Z r bĐt k…, theo BŒ • 1:6, ta luổn cõ (J s ) = (J s ) K‚t hổp vợi BŒ • 1.7 v Cổng thức (4.9), ta cõ

Suy ra, a i (R=J s ) > j j Hi”n nhiản, j 6 j vợi j = t + 1; : : : ; r, nản j = 1 vợi j = t + 1; : : : ; r Do õ, a i (R=J s ) = j 0 j j G j vợi

0= ( 1; : : : ; t) 2 N t , v reg(R=J s ) = j 0 j + i j G j: (4.10) °t S = k[x 1 ; : : : ; x t ] v giÊ sò G 0 l ỗ thà trản t“p ¿nh V (G 0 ) f1; : : : ; tg vợi t“p c⁄nh E(G 0 ) = fe 2 E(G) j e V (G 0 )g Theo BŒ • 1:6, ta câ:

JR G \ S = J(G 0 ) =: J 0 : (4.11) Theo BŒ • 1:6 v (4:11), ta câ

0(J 0k ) = (J k ) vợi bĐt k… k > 1; v do õ 0(J 0k ) khổng l phức xo›n.

(J 0 ) = hV (G 0 ) n e j e 2 E(G 0 )i : Theo BŒ • 1:15, ta câ th” vi‚t E(G 0 ) = E 1 [ E 2 sao cho

Vợi mỉi n > 1, P n l t“p nghiằm trong R t cıa hằ sau:

Ta cõ a diằn liản k‚t C n cıa P n ữổc xĂc ành bði

Th“t v“y, gồi 0 = ( 1 ; : : : ; t ) l mºt ¿nh cıa P n sao cho (P n ) = j 0 j °t

Hi”n : 2 1 nhiản, cõ cĂc th nh phƒn tồa º khổng Ơm, nản C

V“y khflng ành ữổc chứng minh.

K‚t hổp vợi BŒ • 4.4, suy ra tỗn t⁄i sŁ nguyản khổng Ơm f sao cho vợi mồi n > (l + 1)=2 ta cõ

K‚t hổp vợi (4.9) v BŒ • 1.7, ta cõ dim k H m i (R=J n ) = dim k H m i (R=J s ) 6= 0:

Suy ra, a i (R=J n ) > j j = j 0 j j G j i•u n y k†o theo, reg(R=J n ) > (P n ) + i j G j = a(n 1) + i j G j f; (4.13) vợi mồi n > (l + 1)=2.

Do 0 2 P s, tł (4.10), (4.12) v (4.13) ta câ reg(R=J s ) = (P s ) + i j G j = a(s 1) + i j G j f: (4.14)

Chú ỵ r‹ng vợi bĐt k… i ảan thuƒn nhĐt khĂc khổng I cıa R, ta cõ reg(I) = reg(R=I) + 1 Do õ, tł (4.13) v (4.14), ta cặn cƒn chứng minh b 6 e trong â b = i j G j f + 1 v e = maxfreg(J(H)) j

H l mºt ỗ thà con cıa Gg L‰ lu“n tữỡng tỹ nhữ trong ành lỵ 3.7, ta cõ i j G j + 1 6 e i•u n y ch¿ ra b 6 e, v bŒ • ữổc chứng minh.

Ti‚p theo chúng tổi chứng minh ành lỵ ch‰nh cıa phƒn n y. ành lỵ 4.6 Cho G l ỗ thà hai phƒn Tỗn t⁄i sŁ nguyản khổng Ơm b vợi

0 6 b 6 e d(J(G)), sao cho reg J(G) n = d(J(G))n+b vợi mồi n > max 2 ; e b d (J(G)) + 1 ; l + 1 trong õ l l º d i cıa ữớng i ỡn lợn nhĐt trong G v e = maxfreg(J(H)) j H l mºt ỗ thà con cıa Gg:

Chứng minh °t J = J(G) v d = d(J) Ta chứng minh ành lỵ dữợi d⁄ng tữỡng ữỡng sau: tỗn t⁄i sŁ nguyản khổng Ơm b vợi d 6 b 6 e, sao cho reg J(G) n = d(n 1) + b vợi mồi n > max 2 ; e b + 1 : l + 1 Nhữ chúng ta  bi‚t, tỗn t⁄i cĂc sŁ nguyản b > d v s 0 > 1 sao cho reg(J s ) = d(s 1) + b vợi mồi s > s 0 : (4.15)

Do J l i ảan khổng xo›n nản J s = J (s) Theo ành lỵ 3.7, suy ra b 6 e 6 r 1.

Ta chứng minh khflng ành sau: reg(J s ) > d(s 1) + b vợi mồi s > (l + 1)=2: (4.16)

Th“t v“y, x†t n > maxfs 0 ; r + 1g Theo BŒ • 4.5, tỗn t⁄i cĂc sŁ nguyản khổng Ơm d 1 v b 1 vợi b 1 6 e sao cho reg(J n ) = d 1 (n 1) + b 1 ; v reg(J s ) > d 1 (s 1) + b 1 vợi mồi s > (l + 1)=2:

Do õ, ta cƒn ch¿ ra d = d 1 v b = b 1 Tł cĂc flng thức reg(Jn) = d(n 1) + b = d1(n 1) + b 1 ; ta câ (d d1)(n 1) = (b1 b) Do jb1 bj 6 maxfb; b1g 6 e v n suy ra d = d1 v do õ b = b1, ta cõ khflng ành trản.

Vợi bĐt k… n > maxf(l + 1)=2; e b + 1g, ta s‡ chứng minh

Th“t v“y, theo BŒ • 4.5, tỗn t⁄i cĂc sŁ nguyản > 0 v c 6 e sao cho reg(Jn) = (n 1) + c: (4.17) v reg(J s ) > (s 1) + c vợi s > (l + 1)=2: (4.18)

Ta x†t hai trữớng hổp sau:

Trữớng hổp 1: = d Tł (4.15) v (4.18), ta cõ b > c M°t khĂc, tł

(4.16) v (4.17), ta câ b 6 c Do â, b = c Theo (4.17), ta câ reg(J n ) = d(n

Trữớng hổp 2: < d Tł (4.16) v (4.17), ta cõ reg(Jn) = (n 1) + c > d(n 1) + b; v do â (d )(n 1) 6 c b i•u n y suy ra n 1 6 c n 6 c b + 1 M°t kh¡c, n > e b + 1 > c b + 1 Do õ, n = c v d = 1 Trong trữớng hổp n y, ta câ b, hay b + 1 reg Jn = (n 1) + c = d(n 1) + b:

V“y ành lỵ ữổc chứng minh.

Hằ quÊ 4.7 Cho G l mºt ỗ thà hai phƒn vợi r ¿nh Khi õ, tỗn t⁄i sŁ nguyản khổng Ơm b 6 r d(J(G)) 1 sao cho reg J(G) n = d(J(G))n + b; vợi mồi n > 2 r

: Chứng minh Theo ành lỵ 4.6, tỗn t⁄i sŁ nguyản khổng Ơm b vợi 0 6 b 6 e d(J(G)), sao cho reg J(G) n = d(J(G))n+b vợi mồi n > max 2 ; e b d(J(G)) + 1 ; l + 1 trong õ l l º d i cıa ữớng i ỡn lợn nhĐt trong G v e = maxfreg(J(H)) j H l mºt ỗ thà con cıa Gg.

Vợi ỗ thà H bĐt ký cõ V (H) f1; : : : ; rg v E(H) 6= ;, ta cõ reg(J(H)) = reg(R=J(H)) + 1 6 dim(R=J(H)) + 1 = r 1 :

Ti‚p theo ta ch¿ ra ; e b d(J(G)) + 1 6

Th“t v“y, gồi (X; Y ) l hai phƒn cıa ỗ thà G Khi õ, X v Y l cĂc phı¿nh tŁi ti”u cıa G Do d(J(G)) l lỹc lữổng lợn nhĐt cıa cĂc phı ¿nh tŁi ti”u cıa G, ta câ d(J(G)) > maxfjXj; jY jg > r=2:

Do â, max 2 ; e b d (J(G)) + 1 6 2 ; l + 1 r v hằ quÊ ữổc chứng minh Nh“n x†t 4.8 Ch°n cıa b trong ành lỵ 4.6 l mºt ch°n tŁt Łi vợi lợp ỗ thà hai phƒn ƒy ı Th“t v“y, giÊ sò G l mºt ỗ thà hai phƒn ƒy ı vợi r ¿nh v G = A [ B trong õ jAj = r 1 6 jBj = r 2

Khi â, d(J(G)) = r 2 : Theo ành lỵ 4.6, tỗn t⁄i sŁ nguyản khổng Ơm b 6 e d(J(G)) sao cho reg J(G) n = d(J(G))n+b vợi mồi n > max 2 ; e b d(J(G)) + 1 ; l + 1 trong õ l l º d i cıa ữớng i ỡn lợn nhĐt trong G v e = maxfreg(J(H)) j H l mºt ỗ thà con cıa Gg:

Theo [34, ành lþ 4.6], ta câ reg(J(G) n ) = n:d(J(G)) + r 1 1 vợi mồi n > 1: i•u n y suy ra b = r 1 1.

L⁄i cõ, b 6 e d(J(G)) nản r1 1 6 e r2 i•u n y tữỡng ữỡng vợi e > r1 + r2 1 = r 1 (V… r = r1 + r2):

M°t khĂc, ta luổn cõ e 6 r 1 (nhữ chứng minh trong Hằ quÊ 4.7) V“y e = r 1 Do â, b = r 1 1 = e d(J(G)):

Trong lu“n Ăn n y, b‹ng cĂc cổng cử ⁄i sŁ v tŒ hổp, chúng tổi  ⁄t ữổc mºt sŁ k‚t quÊ ch‰nh sau:

Ch¿ ra ữổc sỹ tỗn t⁄i cĂc giợi h⁄n lim n!1 d(I (n) )

; lim n!1 reg(I (n) ) nn (hai giợi h⁄n n y b‹ng nhau) trong trữớng hổp I l mºt i ảan ỡn thức bĐt k…, ỗng thới mổ tÊ mºt cĂch cử th” v• giợi h⁄n n y ( ành lỵ 2.5 v ành lþ 2.7). ữa ra mºt v‰ dử ch¿ ra h m ch¿ sŁ ch‰nh quy reg(I (n) ) khổng l h m tuy‚n t‰nh khi n ı lợn trong trữớng hổp I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng (V‰ dử 2.16).

XƠy dỹng mºt ch°n trản tŁt cho reg(I (n) ) trong trữớng hổp I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng theo cĂc dœ liằu tŒ hổp tł phức ỡn h…nh ( ành lỵ 3.7) v siảu ỗ thà liản k‚t ( ành lỵ 3.12), v theo sŁ gh†p c°p cõ thứ tỹ cıa G trong trữớng hổp i ảan c⁄nh cıa mºt ỗ thà G ( ành lỵ 3.18).

Ch¿ ra mºt ch°n trản cho ch¿ sŁ Œn ành cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lụy thła cıa i ảan phı cıa ỗ thà hai phƒn ( ành lỵ 4.6).

1 L X Dung, T T Hien, N D Hop and T N Trung (2021), Reg- ularity and Koszul property of symbolic powers of monomial ide- als,Mathematische Zeitschrift, 298 , no 3-4, 1487-1522.

2 T T Hien and T N Trung (2023), Regularity of symbolic powers of square-free monomial ideals, Arkiv for Matematik, 61, pp 99 121.

3 N T Hang and T T Hien (2023), Regularity of powers of cover ideals of bipartite graphs, International Journal of Algebra and Com-putation, 33(2), pp 317 335.

- Xảmina ⁄i sŁ v Lỵ thuy‚t sŁ - Viằn ToĂn hồc.

- Hºi nghà nghiản cứu sinh cıa Viằn ToĂn hồc: 11/2019; 11/2020; 11/2021.

- Hºi nghà V§n • v T‰nh to¡n trong ⁄i sŁ giao ho¡n (H Nºi): 10/2020.

- Hºi nghà ⁄i sŁ - H…nh hồc - Tổpổ (ThĂi Nguyản): 10/2021.

- Hºi thÊo Lỵ thuy‚t v nh v TŒ hổp (Thanh Hõa): 7/2022.

[1] Alilooee A., Beyarslan S., Selvaraja S (2019), Regularity of Powers of Unicyclic Graphs , Rocky Mountain J Math., 49(3), pp 699 728.

[2] Bahiano, C E (2004), Symbolic powers of edge ideals , Journal of Algebra 273(2), pp 517 537.

[3] Banerjee, A., Beyarslan, S K., H , H T (2020), Regularity of pow- ers of edge ideals: from local properties to global bounds , Algebraic Combinatorics, 3(4), pp 839 854.

[4] Berge, C (1989), Hypergraphs: combinatorics of finite sets, North- Holland, New York.

[5] Beyarslan, S., H , H T., T N Trung (2015), Regularity of powers of forests and cycles , Journal of Algebraic Combinatorics, 42(4), pp 1077 1095.

[6] Bondy, J A., Murty, U S R (2008), Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, 244, Springer, New York.

[7] Constantinescu, A., Varbaro, M (2011), Koszulness, Krull dimension, and other properties of graph-related algebras , Journal of Algebraic Combinatorics, 34, pp 375 400.

[8] Cooper, S M., Embree, R J., H , H T., Hoefel, A H (2017), Sym- bolic powers of monomial ideals , Proceedings of the Edinburgh Math-ematical Society, 60(1), pp 39 55.

[9] Cutkosky, S D., Herzog, J., N V Trung (1999), Asymptotic be- haviour of the Castelnuovo-Mumford regularity , Compositio Mathe-matica, 118(3), pp 243 261.

[10] Dao, H., Huneke, C., Schweig, J (2013), Bounds on the regularity and projective dimension of ideals associated to graphs , Journal of Algebraic Combinatorics, 38, pp 37 55.

[11]Dao, H., Schweig, J (2015), Bounding the projective dimension of a squarefree monomial ideal via domination in clutters , Proceedings of the American Mathematical Society, 143(2), pp 555 565.

[12] L X Dung, T T Hien, Nguyen, H D., T N Trung (2021), Reg- ularity and Koszul property of symbolic powers of monomial ideals , Mathematische Zeitschrift, 298, pp 1487 1522.

[13] Eisenbud, D., Goto, S (1984), Linear free resolutions and minimal multiplicity , Journal of Algebra, 88(1), pp 89 133.

[14] Eisenbud, D., Ulrich, B (2012), Notes on regularity stabilization , Proceedings of the American Mathematical Society, 140(4), pp.

[15]Fakhari, S A S (2016), Depth, Stanley depth and regularity of ideals associated to graphs , Archiv der Mathematik, 107, pp 461 471.

[16] Fakhari, S A S (2020), Regularity of symbolic powers of edge ideals of Cameron-Walker graphs , Communications in Algebra, 48(12), pp 5215 5223.

[17] Fakhari, S A S (2019), On the regularity of small symbolic powers of edge ideals of graphs , arXiv:1908.10845.

[18] D H Giang, L T Hoa (2010), On local cohomology of a tetrahedral curve , Acta Math Vietnam, 35, pp 229 241.

[19] Gu, Y., H , H T., O’Rourke, J L., Skelton, J W (2020), Symbolic powers of edge ideals of graphs , Communications in Algebra 48(9), pp 3743 3760.

[20] N T Hang, T T Hien (2023), Regularity of powers of cover ideals of bipartite graphs , International Journal of Algebra and Computation, 33(2), pp 317 335.

[21] N T Hang, T N Trung (2017), The behavior of depth functions of powers of cover ideals of unimodular hypergraphs , Arkiv for Matem-atik, 55(1), pp 89 104.

[22] N T Hang, T N Trung (2018), Regularity of powers of cover ideals of unimodular hypergraphs , Journal of Algebra 513(1), pp 159 176.

[23] Herzog, J., Hibi, T., N V Trung (2007), Symbolic powers of mono- mial ideals and vertex cover algebras , Advances in Mathematics, 210(1), pp 304 322.

[24] Herzog, J., Hibi, T., N V Trung (2009), Vertex cover algebras of unimodular hypergraphs , Proceedings of the American Mathematical Society, 137(2), pp 409 414.

[25] Herzog, J., L T Hoa, N V Trung (2002), Asymptotic linear bounds for the Castelnuovo-Mumford regularity , Transactions of the Ameri-can Mathematical Society 354(5), pp 1793 1809.

[26] Herzog, J., Iyengar, S (2005), Koszul modules , Journal of Pure and Applied Algebra 201(1-3), pp 154 188.

[27] Hibi, T., Higashitani, A., Kimura, K., O’Keefe, A B (2015), Alge- braic study on Cameron - Walker graphs , Journal of Algebra, 422, pp 257 269.

[28] T T Hien, T N Trung (2023), Regularity of symbolic powers of square-free monomial ideals , Arkiv for Matematik, 61, pp 99 121.

[29]L T Hoa (2021), Maximal Generating Degrees of Powers of Homo- geneous Ideals , Acta Mathematica Vietnamica , 47, pp 19 37.

[30] L T Hoa, T N Trung (2010), Partial Castelnuovo-Mumford regu- larities of sums and intersections of powers of monomial ideals , Math-ematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 149(2), pp 229 246.

[31] L T Hoa, T N Trung (2016), Castelnuovo - Mumford regularity of symbolic powers of two-dimensional square-free monomial ideals , Journal of Commutative Algebra, 8(1), pp 77 88.

[32] Hoang Tuy (2016), Convex Analysis and Global Optimization, Springer International Publishing.

[33] Kodiyalam, V (2000), Asymptotic behaviour of Castelnuovo- Mumford regularity , Proceedings of the American Mathematical So-ciety, 128(2), pp 407 411.

[34] Kumar, A., Kumar, R., Sarkar, R., Selvaraja, S (2021), Symbolic powers of certain cover ideals of graphs , Acta Mathematica Vietnam-ica, pp 1 13.

[35] Miller, E., Sturmfels, B (2005), Combinatorial commutative algebra, Springer.

[36] N C Minh, N V Trung (2009), Cohen - Macaulayness of powers of two-dimensional squarefree monomial ideals , Journal of Algebra, 322(12), pp 4219 4227.

[37] N C Minh, T N Trung (2019), Regularity of symbolic powers and arboricity of matroids , Forum Mathematicum, 31(2), pp 465 477.

[38] Mumford, D (1966), Lectures on curves on an algebraic surface Princeton University Press, New Jersey.

[39] Nguyen, H D., N V Trung (2019), Depth functions of symbolic powers of homogeneous ideals , Inventiones mathematicae, 218(3), pp 779 827.

[40] Reid, L., Roberts, L G., Vitulli, M A (2003), Some results on normal homogeneous ideals , Communications in Algebra, 31(9), pp 4485 4506.

[41] Schrijver, A (1998), Theory of linear and integer programming, John Wiley & Sons.

[42] Stanley, R P (1996), Combinatorics and Commutative Algebra, sec-ond edition, Birkhauser, Boston, MA.

[43]Takayama, Y (2005), Combinatorial characterizations of generalized Cohen-Macaulay monomial ideals , Bulletin math†matique de la So- ci†t† des Sciences Math†matiques de Roumanie, 48, pp 327 344.

[44] Terai, N (1999), Alexander duality theorem and Stanley-Reisner rings Free resolutions of coordinate rings of projective varieties and related topics (Japanese) (Kyoto, 1998), Surikaisekikenkyusho K okyuroku no 1078, pp 174 184.

[45] T N Trung (2009), Stability of associated primes of integral clo- sures of monomial ideals , Journal of Combinatorial Theory, Series A, 116(1), pp 44 54.

[46] N V Trung, Wang, H J (2005), On the asymptotic behavior ofCastelnuovo-Mumford regularity , Journal of Pure and AppliedAlge-bra, 201(1-3), pp 42 48.

[47] Vasconcelos, W (2005), Integral Closure: Rees Algebras, Multiplicities,Algorithms, Springer Monographs in Mathematics, Springer.

Ti‚ng Viằt Ti‚ng Anh b“c degree c⁄nh treo pendant ch¿ sŁ ch‰nh quy (Castelnuovo-Mumford) (Castelnuovo-Mumford) regularity chi•u x⁄ £nh projective dimension a diằn h…nh thức symbolic polyhedron a diằn Newton Newton polyhedron ¿nh cổ l“p isolated vertex ìn h…nh simplex ỗ thà hai phƒn bipartite graph Łi ng¤u Alexander Alexander dual gh†p c°p matching gh†p c°p c£m sinh induced matching gh†p c°p thứ tỹ ordered matching gi£i tü do ph¥n b“c tŁi ti”u minimal graded free resolution gi£i tü do tuy‚n t‰nh linearity resolution hằ sinh tŁi ti”u minimal generator i ảan c⁄nh edge ideal i ảan phı cover ideal

Ngày đăng: 19/10/2023, 17:12

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w