Lũy thừa hình thức của các idean đơn thức

VI N H N L M KHOA H¯C V C˘NG NGH VI T NAM VI NTO NH¯C TR×ÌNG THÀ HI N LÔY THØA H NH THÙC CÕA C C I AN LU N ÌN THÙC NTI NS TO NH¯C H Nºi - 2023 VI N H N L M KHOA H¯C V C˘NG NGH VI T NAM VI NTO NH¯C TR×ÌNG THÀ HI N LƠY THØA H NH THÙC CÕA C C I AN Chuy¶n ng nh: ÌN THÙC ⁄i s v Lỵ thuyt s M s: 46 01 04 LU N NTI NS TO NHC Ngữới hữợng dÔn: TS Trƒn Nam Trung H N¸I - 2023 Tâm t›t Cho R = k[x1; : : : ; xr] l v nh a thức trản trữớng k, r bin x 1; : : : ; xr vỵi (n) r > Cho I l i ¶an ìn thøc cıa R v I l lôy thła h…nh thøc thø n cıa I Lun Ăn nghiản cứu vã h m ch s ch‰nh quy Castelnuovo-Mumford (gåi t›t l ch¿ sŁ ch‰nh quy) cıa lơy thła h…nh thøc cıa i ¶an ìn thøc I, (n) kỵ hiằu reg(I ) Dỹa trản viằc nghiản cứu vã a diằn lỗi, cĂc mổ un i ỗng iãu a phữỡng, lun Ăn  t ữổc mt s c¡c k‚t qu£ ch‰nh v• d¡ng i»u ti»m c“n cıa h m ch¿ sŁ ch‰nh quy reg(I (n) ) I l i ảan ỡn thức ỗng (n) thới, lun Ăn cụng ữa mt chn trản tt cho reg(I ) I = I l i ¶an Stanley-Reisner cıa phøc ìn h…nh v ¡p dưng tr÷íng hỉp I = I(G) l i ảan cnh ca ỗ th G CuŁi cịng, lu“n ¡n ch¿ mºt ch°n tr¶n cho ch¿ sŁ Œn ành cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy, reg-stab(J(G)), trữớng hổp J(G) l i ảan ph ca ỗ hai phƒn G Lu“n ¡n ÷ỉc chia l m 04 chữỡng Chữỡng 1, chúng tổi giợi thiằu mt s kh¡i ni»m v k‚t qu£ cıa phøc ìn h…nh, i ảan Stanley-Reisner, ỗ th; trnh b y cổng thức Hochster, cổng thức Takayama; v nghiản cứu mt s tnh chĐt ca cĂc a diằn lỗi Chữỡng 2, chúng tổi nghiản cøu v• d¡ng i»u ti»m c“n cıa h m ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lôy thła h…nh thøc cıa i ảan ỡn thức Chữỡng 3, chúng tổi nghiản cứu vã ch°n tr¶n cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lơy thła h…nh thøc cıa i ¶an ìn thøc khỉng chøa b…nh phữỡng v ứng dửng v o trữớng hổp i ảan cnh ca ỗ th Chữỡng 4, chúng tổi nghiản cứu vã chn trản cho ch s n nh reg-stab(J(G)) vợi G l ỗ th hai phn v J(G) l i ảan ph ca ỗ th ii Abstract Let R = k[x1; : : : ; xr] be a polynomial ring over a field k with r (n) variables x1; : : : ; xr; r > Let I be a monomial ideal of R and I be the n-th symbolic power of I The thesis aims to focus on studying the (n) Castelnuovo-Mumford regularity (briefly, regularity) function reg(I ) Based on inves-tigating the theory of convex polyhedra and the local cohomology module, we obtain some main results for the asymptotic behavior of the regularity function reg(I (n) ) when I is a monomial ideal (n) In addition, the thesis also gives a sharp upper bound for reg(I ) when I = I is a Stanley-Reisner ideal of a simplicial complex and applies to the case the edge ideal of a simple graph Finally, the thesis gives an upper bound for the stability index of the regularity, regstab(J(G)), where J(G) is a cover ideal of a bipartite graph G The thesis is divided into four chapters Chapter 1, we introduce some basic notions and results about the simplicial complex, Stanley-Reisner ideals, graphs, Hochster’s and Takayama’s formula We also study some important properties of the convex polyhedra Chapter 2, we investigate the asymptotic behavior of the regularity (n) function reg(I ), when I is a monomial ideal Chapter 3, we study an upper bound for the regularity of symbolic powers of the square-free monomial ideals and apply it to the case edge ideal of a simple graph Chapter 4, we consider a bound for reg-stab(J(G)) in the case G is a bipartite graph and J(G) is its cover ideal iii Líi cam oan Tỉi xin cam oan ¥y l cỉng tr…nh nghiản cứu ca tổi ữổc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn ca TS Trn Nam Trung CĂc kt quÊ vit chung vợi cĂc tĂc giÊ khĂc  ữổc sỹ nhĐt tr ca cĂc ỗng tĂc giÊ trữợc ÷a v o lu“n ¡n C¡c k‚t qu£ ÷ỉc n¶u lu“n ¡n l trung thüc v ch÷a tłng ÷ỉc cỉng bŁ b§t ký cỉng tr…nh n o khĂc TĂc giÊ Trữỡng Th Hiãn iv Lới cÊm ỡn Sau mºt thíi gian ti‚n h nh tri”n khai nghi¶n cøu, tỉi ¢ ho n th nh nºi dung lu“n ¡n "Lơy thła h…nh thøc cıa c¡c i ¶an ìn thức" Lun Ăn ữổc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn ca Thy: TS Trn Nam Trung Thy  d nh cho tổi nhiãu thới gian, tƠm sức, cho tổi nhiãu ỵ kin, nhn xt quỵ bĂu, chnh sòa nhœng chi ti‚t nhä lu“n ¡n, gióp lu“n ¡n ca tổi ữổc ho n thiằn hỡn vã cÊ mt nºi dung v h…nh thøc Thƒy ¢ d⁄y cho tỉi ki‚n thøc, kinh nghi»m nghi¶n cøu v cơng ln quan t¥m, gióp ï tỉi måi m°t Tỉi xin ÷ỉc b y tä lỈng bi‚t ìn v k‰nh trång sƠu sc ca mnh n Thy Tổi xin ữổc b y tọ lặng bit ỡn n GS.TSKH Lả TuĐn Hoa Thy  luổn quan tƠm v to iãu kiằn thun lỉi ” tỉi câ cì hºi tham gia c¡c hºi thÊo quan trồng, cĂc bui hồc vã cĂc vĐn ã mợi Tổi cụng xin chƠn th nh cÊm ỡn TS Lả XuƠn Dụng, TS ỉ Trồng Ho ng, TS Nguyn Thu Hng nhng ngữới luổn quan tƠm, ng viản tổi to n bº qu¡ tr…nh håc t“p, nghi¶n cøu cıa m…nh Tỉi xin tr¥n trång c£m ìn Vi»n to¡n hồc, Trung tƠm o to sau i hồc, cĂc phặng ban ca Viằn ToĂn hồc  to iãu kiằn thun lỉi ” tỉi håc t“p v nghi¶n cøu t⁄i Vi»n Tỉi cơng tr¥n trång c£m ìn GS.TSKH Ngỉ Vi»t Trung, PGS.TS o n Trung Cữớng, TS Trn Giang Nam  to iãu kiằn thun lổi tổi ữổc tham gia cĂc bui sinh hot khoa hồc ca phặng i s-Lỵ thuyt s, cĂc seminar ti Viằn nghiản cứu cao cĐp vã ToĂn Tổi xin gòi lới cÊm ỡn n Trung tƠm Quc t v o to v Nghiản cứu vi ToĂn hồc  cõ nhng hỉ trổ tch cỹc vã mt t i chnh cụng nhữ vã mt tinh thn tổi cõ thảm ng lỹc v iãu kiằn trung cho vi»c håc t“p v nghi¶n cøu cıa m…nh Tỉi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u v Ban chı nhi»m Khoa Khoa håc Tü nhi¶n - trữớng i hồc Hỗng ức  to iãu kiằn thun læi ” tæi ho n th nh vi»c håc t“p cıa m…nh Tỉi xin c£m ìn c¡c anh, chà, em nghiản cứu sinh ang hồc tp, nghiản cứu ti phặng i s v phặng Lỵ thuyt s, Viằn toĂn hồc ¢ gióp ï tỉi håc t“p v cuºc sŁng Cui cũng, tổi xin ữổc b y tọ lặng bit ỡn vổ hn tợi B, Mà, cĂc em v mồi ngữới i gia nh, nhng ngữới luổn yảu thữỡng, l nguỗn ng viản v truyãn nhiằt huyt tổi ho n th nh lu“n ¡n n y T¡c gi£ Trữỡng Th Hiãn BÊng cĂc kỵ hiằu N cĂc sŁ tü nhi¶n Z t“p c¡c sŁ nguy¶n Q t“p c¡c sŁ hœu t R t“p c¡c sŁ thüc (n) I reg(I) d(I) i(M) G(I) K (I) i H (M) m Hei( ; k) NP(I) lôy thła h…nh thøc thø n cıa i ¶an I ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo-Mumford ca i ảan I bc sinh lợn nhĐt ca i ¶an I sŁ Betti thø i cıa mæ un M t“p c¡c ìn thøc sinh tŁi ti”u cıa i ¶an I phức ỡn hnh Koszul trản liản kt vợi i ảan I ti bc mổ un i ỗng iãu a phữỡng thứ i ca M vợi giĂ m ỗng iãu ìn h…nh rót gån thø i cıa tr¶n k a di»n Newton cıa I a di»n h…nh thøc cıa I I k[ ] F( ) (I) G = (V (G); E(G)) phức ỡn hnh i ảan Stanley-Reisner liản kt vợi phøc ìn h…nh v nh Stanley-Reisner cıa phøc ìn h…nh t“p c¡c m°t cüc ⁄i cıa phøc ìn h…nh phøc ỡn hnh liản kt vợi i ảan I ỗ th vỵi t“p ¿nh V (G) v t“p c⁄nh E(G) vii viii NG(S) cĂc nh kã vợi S G degG(u) bc ca nh u G G[S] ỗ c£m sinh cıa G tr¶n J (G) S i ảan ph ca ỗ th G i ảan I (G) cnh ca ỗ th G I bao õng nguyản ca i ảan I H = (V; E) siảu ỗ vỵi t“p ¿nh V v t“p c⁄nh E i J (H) ảan ph liản kt vợi siảu ỗ th H i ảan I (H) cnh liản kt vợi siảu ç H chi•u x⁄ £nh pd(M) lk F cıa mæ un M phøc nŁi cıa F Łi ngÔu Alexander ca phức ỡn hnh i I ngÔu Alexander cıa I Łi gi¡ cıa v†ctì G (H) sŁ trºi c⁄nh th nh phƒn cıa si¶u (G) phøc ºc l“p cıa G match(G) sŁ gh†p c°p cıa G (G) sŁ gh†p c°p c£m sinh cıa G ord-match(G) sŁ gh†p c°p cõ thứ tỹ ca G ỗ th H Mửc lửc Tâm t›t Abstract ii iii Líi cam oan iv Líi cÊm ỡn v BÊng cĂc kỵ hiằu vii M u 1 Ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo-Mumford 1.2 Phøc ìn h…nh v i ¶an Stanley-Reisner 1.3 Cæng thøc Hochster - Cæng thøc Takayama 12 1.3.1 Cæng thøc Hochster 12 1.3.2 Cæng thøc Takayama 13 1.4 Lỵ thuyt ỗ th 14 1.4.1 ỗ th ỡn 14 1.4.2 ỗ th hai phn 17 1.4.3 Ghp cp ỗ th 19 1.4.4 Siảu ỗ th 20 1.5 a diằn lỗi 1.5.1 Tp lỗi a diằn ix 21 21