Ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo-Mumford
KhĂi niằm ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo-Mumford (gồi t›t l ch¿ sŁ ch‰nh quy) ữổc b›t nguỗn tł nhœng cổng tr…nh v• ữớng cong x⁄ Ênh cıa Castelnuovo v ữổc Mumford [38] phĂt bi”u ành nghắa cho cĂc a t⁄p x⁄ Ênh BĐt bi‚n n y cõ th” ữổc ành nghắa thổng qua giÊi tỹ do tŁi ti”u ho°c mổ un Łi ỗng i•u àa phữỡng.
Cho M l R-mổ un phƠn b“c hœu h⁄n sinh khĂc khổng v
F : ! F p ! F p 1 ! ! F 1 ! F 0 ! 0 l giÊi tỹ do tŁi ti”u cıa M trản R.
Vợi mỉi i > 0, j 2 Z, kỵ hiằu i R (M) = rank F i = dim k Tor R i (k; M) v i;j R(M) = dim k Tor R i (k; M) j °t b i (M) = maxfj j i;j (M) 6= 0g; trong õ quy ữợc b i (M) = n‚u F i = 0.
Ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo Mumford cıa M l ⁄i lữổng ” o º lợn cıa b“c sinh cıa F i , i > 0 Cử th”, reg R (M) = maxfb i (M) i j i > 0g
Kỵ hiằu d(M) = b 0 (M) Nhữ v“y, d(M) l tò sinh thuƒn nhĐt tŁi ti”u cıa M, gồi t›t l ành nghắa v• ch¿ sŁ ch‰nh quy ta luổn cõ b“c lợn nhĐt cıa cĂc phƒn b“c sinh lợn nhĐt cıa M Tł d(M) 6 reg R (M):
N‚u M ữổc sinh bði cĂc phƒn tò cõ cũng b“c d v ch¿ sŁ ch‰nh quy reg R M = d, ta nõi r‹ng M cõ giÊi tỹ do tuy‚n t‰nh trản R, ho°c M cõ mºt gi£i tü do d-tuy‚n t‰nh.
Vợi I l mºt i ảan thuƒn nhĐt khĂc khổng cıa R, thổng qua giÊi tỹ do tŁi ti”u ta câ reg R (I) = reg R (R=I) + 1:
Ngo i ra, ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa M cặn ữổc ành nghắa theo mổ un Łi ỗng i•u àa phữỡng cıa M Vợi i = 0; : : : ; dim(M), bĐt bi‚n a i cıa M ữổc xĂc ành nhữ sau: a i (M) = maxft j H m i (M) t 6= 0g; trong õ H m i (M) l mổ un Łi ỗng i•u àa phữỡng thứ i cıa M vợi giĂ m = (x 1 ; : : : ; x r ) l i ảan thuƒn nhĐt cỹc ⁄i cıa R (Quy ữợc max ; = ) Khi â, reg R (M) = maxfa i (M) + i j i = 0; : : : ; dim(M)g:
2) Trong trữớng hổp R l v nh a thức phƠn b“c chu'n trản trữớng k, ta cõ th” kỵ hiằu reg M thay cho reg R M.
Hai cĂch ành nghắa v• ch¿ sŁ ch‰nh quy ð trản l tữỡng ữỡng i•u n y ữổc ch¿ ra bði Eisenbud v Goto [13] Nhữ v“y, ch¿ sŁ ch‰nh quy vła l mºt ch°n trản cıa b“c khổng triằt tiảu cıa cĂc mổ un Łi ỗng i•u àa phữỡng vợi giĂ l i ảan thuƒn nhĐt cỹc ⁄i, vła ữổc sò dửng ” ch°n trản cĂc b“c sinh cıa cĂc mổ un xo›n trong giÊi tỹ do phƠn b“c tŁi ti”u cıa mổ un Ơy l cĂc ỵ nghắa quan trồng cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo-Mumford.
Phức ỡn h…nh v i ảan Stanley-Reisner
Mºt phức ỡn h…nh trản t“p hœu h⁄n V l t“p hổp gỗm cĂc t“p con cıa
V sao cho n‚u F 2 v G F th… G 2 CĂc phƒn tò F 2 ữổc gồi l m°t cıa M°t lợn nhĐt (theo quan hằ bao h m) ữổc gồi l m°t cỹc ⁄i cıa N‚u kỵ hiằu t“p cĂc m°t cỹc ⁄i cıa l F( ) th… ta cõ
=< F j F 2 F( ) > N‚u G 2= th… G ữổc gồi l khổng m°t cıa Khổng m°t G ữổc gồi l khổng m°t cỹc ti”u n‚u G l mºt khổng m°t v khổng cõ t“p con thỹc sỹ n o cıa G l khổng m°t cıa T“p cĂc khổng m°t cỹc ti”u cıa ữổc kỵ hiằu bði N ( ).
Vợi F 2 , chi•u cıa F ữổc xĂc ành bði dim F = jF j 1 Chi•u cıa l dim maxfdim F j F 2 g T“p rỉng, ;, l m°t duy nhĐt cıa cõ chi•u b‹ng 1 N‚u khổng chứa m°t n o th… ữổc gồi l phức ỡn h…nh trŁng, fg N‚u cĂc m°t cỹc ⁄i cıa cõ chi•u b‹ng nhau th… ữổc gồi l phức thuƒn.
Liản k‚t cıa F trong l mºt phức con cıa ữổc xĂc ành bði: lk (F ) = fH
2 j H [ F 2 v H \ F = ;g; v ữổc gồi l phức nŁi cıa F trong
Mỉi phƒn tò trong mºt m°t cıaữổc gồi l ¿nh cıa Kỵ hiằu
V ( ) l t“p cĂc ¿nh cıa N‚u tỗn t⁄i mºt ¿nh, giÊ sò j, sao cho fjg [F 2 vợi mồi F 2 , th… ữổc gồi l nõn trản ¿nh j Nhữ chúng ta bi‚t n‚u l mºt nõn th… nõ l phức xo›n, tức l phức cõ mồi nhõm ỗng i•u b‹ng 0 Mºt phức ữổc gồi l ỡn h…nh n‚u nõ bao gỗm tĐt cÊ cĂc t“p con cıa t“p ¿nh cıa nõ, do õ ỡn h…nh l mºt nõn trản mồi ¿nh cıa nõ.
Mºt ỡn thức trong R = k[x 1 ; : : : ; x r ] l mºt bi”u thức cõ d⁄ng x a := x 1 a 1 x r a r ; trong õ x = x 1 ; : : : ; x r v a = (a 1 ; : : : ; a r ) 2 N r : I ảan
I R ữổc gồi l i ảan ỡn thức n‚u nõ ữổc sinh bði cĂc ỡn thức trong R I ảan I ữổc gồi l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng n‚u nõ ữổc sinh bði cĂc ỡn thức cõ d⁄ng x a vợi a i 2 f0; 1g; i = 1; : : : ; r:
X†t t“p con = fj 1 ; : : : ; j i g cıa [r], kỵ hiằu x = x j 1 x j i Gồi l phức ỡn h…nh trản t“p V = f1; : : : ; rg I ảan Stanley-Reisner liản k‚t vợi l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng, ữổc xĂc ành bði:
I = (x j [r] v 2= ) trong R = k[x 1 ; : : : ; x r ]; v v nh thữỡng k[ ] = R=Iữổc gồi l v nh Stanley-Reisner cıa Chú ỵ r‹ng n‚u I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng th… nõ l i ảan Stanley-Reisner cıa phức ỡn h…nh (I) = f [r] j x 62Ig Trong trữớng hổp I l mºt i ảan ỡn thức bĐt k… (cõ th” khổng l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng) chúng ta vÔn dũng kỵ hiằu (I) cho p phức ỡn h…nh tữỡng ứng vợi i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng I. Nhữ v“y chúng ta cõ th” thĐy r‹ng tỗn t⁄i tữỡng ứng 1-1 giœa t“p cĂc phức ỡn h…nh trản V v t“p cĂc i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng cıa R.
Do õ, chúng ta cõ th” nghiản cứu cĂc t‰nh chĐt cıa i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng thổng qua cĂc Łi tữổng tŒ hổp cıa mºt phức ỡn h…nh v ngữổc l⁄i.
Theo [35, ành lỵ 1.7], I cõ phƠn t‰ch nguyản sỡ tŁi ti”u nhữ sau:
Khi õ, lụy thła h…nh thức thứ n-th cıa I (n > 1) ữổc xĂc ành bði
V‰ dử 1.2 1) Cho phức ỡn h…nh :
=< f1; 2; 4g; f1; 3g; f3; 4g > : Khi õ, i ảan Stanley-Reisner I ữổc xĂc ành:
Khi õ, phức ỡn h…nh liản k‚t vợi I l
=< f2; 3; 4g; f1; 2g; f2; 5g; f3; 5g; f4; 5g > : Łi ngÔu Alexander cıa , kỵ hiằu bði , l phức ỡn h…nh trản V ữổc x¡c ành bði
Chú ỵ r‹ng ( ) = N‚u I = I , ta kỵ hiằu i ảan Stanley-Reisner cıa phức ỡn h…nh Łi ngÔu Alexander bði I , tức l I = I
Cổng thức Hochster - Cổng thức Takayama
Cổng thức Hochster
Vợi I l mºt i ảan ỡn thức trong R th… giÊi tỹ do phƠn b“c tŁi ti”u cıa nõ l Z r -phƠn b“c Vợi 2 Z r , kỵ hiằu i; (I) = dim k Tor R i (k; I) Hi”n nhiản, i; (I) 0 n‚u 2= N r
Vợi = ( 1 ; : : : ; r ) 2 N r , phức ỡn h…nh Koszul trản liản k‚t vợi I t⁄i b“c ữổc xĂc ành bði
K (I) = ff0; 1g v†ctì j x 2 Ig; trong õ quy ữợc = i2 ei vợi fe1; : : : ; erg l cỡ sð ch‰nh t›c r cổng thức Hochster cho ph†p ta xĂc ành cıa Z-mổ un tỹ do Z Khi õ, P sŁ Betti a ph¥n b“c cıa I theo bŒ • sau.
BŒ • 1.3 ([35], ành lỵ 1.34) Vợi mồi i > 0 v 2 N r , i; (I) = dim k He i 1(K (I); k):
Trong trữớng hổp I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng (i ảan Stanley-Reiser), cổng thức Hochster v• chuỉi Hilbert cıa mổ un Łi ỗng i•u àa phữỡng H m i (R=I ) ữổc phĂt bi”u nhữ sau.
BŒ • 1.4 ([35], ành lỵ 13.13) Cho l phức ỡn h…nh Khi õ,
Cổng thức Takayama
Cho I l mºt i ảan ỡn thức khĂc khổng tũy ỵ trong R Do R=I cõ cĐu trúc cıa N r -phƠn b“c nản H m i (R=I) l Z r -mổ un phƠn b“c trản R=I Vợi mỉi = ( 1 ; : : : ; r ) 2 Z r , kỵ hiằu H m i (R=I) l th nh phƒn phƠn b“c t⁄i cıa
H m i (R=I) Chú ỵ r‹ng H m i (R=I) l mºt k-khổng gian v†ctỡ ” cõ th” t‰nh ữổc chi•u cıa khổng gian v†ctỡ n y, chúng ta sò dửng cổng thức ữổc ữa ra bði Takayama [43, ành lỵ 2:2] Cổng thức n y l mºt mð rºng cıa cổng thức Hochster trong trữớng hổp i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh ph÷ìng.
Vợi mỉi = ( 1 ; : : : ; r) 2 Z r ; °t G := fi j i < 0g Kỵ hiằu G(I) l t“p gỗm cĂc ỡn thức sinh tŁi ti”u cıa I Gồi (I) l phức ỡn h…nh tữỡng ứng vợi i ảan Stanley-Reisner I, tức lp p Ig:
(I) = ffi 1 ; : : : ; i k g f1; : : : ; rg j x i 1 : : : x i k 2Phức ỡn h…nh (I) ữổc xĂc ành nhữ sau:
(I) := fF n G j G F V; vợi mồi x b 2 G(I) tỗn t⁄i i 2= F sao cho i < b i g:
Vợi mỉi 1 6 j 6 r, kỵ hiằu j(I) = maxfb j j x b 2 G(I)g: ành lỵ 1.5 (Cổng thức Takayama, [43], ành lỵ 2.2). i 8dim k H i G j 1 ( (I); k) n‚u G 2 dim k H m (R=I) = > e v j < j (I); j = 1; : : : ; r;
: (I) ð trản rĐt khõ ” Ăp dửng Do õ, Trản thỹc t‚ cĂch mổ tÊ phức
D H Giang v L T Hoa [18]  mổ tÊ l⁄i dữợi d⁄ng thu“n lổi hỡn nhữ trong bŒ • dữợi Ơy:
BŒ • 1.6 ([18], BŒ • 1.1) (I) l phức ỡn h…nh bao gỗm cĂc m°t cõ d⁄ng F nG ; trong õ G F V thọa mÂn x 2= IR F vợi R F = R[x i
Khi õ cổng thức Takayama ữổc phĂt bi”u l⁄i nhữ sau.
Trong trữớng hổp lụy thła h…nh thức, nhớ mºt k‚t quÊ sau Ơy cıa N.
C Minh v N V Trung, ta cõ mºt cổng cử hœu hiằu ” t‰nh phức (I (n) ), v tł õ chúng ta cõ th” xĂc ành ch¿ sŁ ch‰nh quy reg(I (n) ) thổng qua Ăp dửng hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh trong lỵ thuy‚t a diằn lỗi.
BŒ • 1.8 ([36], BŒ • 1.3) Cho l mºt phức ỡn h…nh v 2 N r Khi â, F( (I (n) )) = ( F 2 F( ) j i 6 n 1 ) :
Tł bŒ • trản ta cõ nh“n x†t.
Nh“n x†t 1.9 Cho e i l vetỡ ỡn và thứ i cıa N r v l phức ỡn h…nh.
Trữớng hổp 2 Z r , phức (I (n) ) cõ th” xĂc ành theo bŒ• sau.
BŒ • 1.10 ([31], BŒ • 1.3) Cho l mºt phức ỡn h…nh v 2 Z r Khi â,
Lỵ thuy‚t ỗ thà
ỗ thà ỡn
Cho G l mºt ỗ thà ỡn trản t“p ¿nh hœu h⁄n Kỵ hiằu V (G) v E(G) tữỡng ứng l t“p ¿nh v t“p c⁄nh cıa G Hai ¿nh u v v ữổc gồi l k• nhau n‚u fu; vg 2 E(G) ỗ thà G ữổc gồi l tƒm thữớng n‚u jE(G)j = 0.
Cho S l t“p con cıa V (G), lƠn c“n cıa t“p S trong G ữổc xĂc ành:
N G (S) = fv 2 V (G) n S j fu; vg 2 E(G); u 2 Sg; v lƠn c“n õng cıa t“p S trong G l N G [S] = S [ N G (S): N‚u khổng cƒn lữu ỵ v• ỗ thà G, chúng ta cõ th” vi‚t mºt cĂch ỡn giÊn hỡn l N(S) v
N[S] N‚u S ch¿ cõ mºt ¿nh u, ta kỵ hiằu N(u) thay cho N(fug) v N[u] thay cho N[fug]. ỗ thà H l ỗ thà con cıa G n‚u V (H) V (G) v E(H) E(G) (vi‚t t›t H G). ỗ thà con cÊm sinh cıa G trản t“p S, kỵ hiằu G[S], l ỗ thà cõ t“p ¿nh S v t“p c⁄nh gỗm tĐt cÊ cĂc c⁄nh trong E(G) m cõ hai ƒu mút thuºc S ỗ thà G n S l ỗ thà con cıa G thu ữổc tł G b‹ng cĂch xõa i cĂc ¿nh thuºc S v cĂc c⁄nh i qua b§t ký ¿nh n o â trong S.
GiÊ sò p: v 0 ; v 1 ; : : : ; v k l mºt dÂy cĂc ¿nh cıa G Khi õ,
1 p ữổc gồi l mºt ữớng i n‚u fv i 1 ; v i g 2 E(G) vợi i = 1; : : : ; k Trong trữớng hổp n y, ta nõi r‹ng p l ữớng i tł v 0 ‚n v k ;
2 p ữổc gồi l ữớng i ỡn n‚u nõ l mºt ữớng i v mồi ¿nh trong ữớng i xuĐt hiằn duy nhĐt mºt lƒn;
3 p ữổc gồi l mºt chu tr…nh n‚u k > 3 v p l mºt ữớng i vợi cĂc ¿nh khĂc nhau ngo⁄i trł ¿nh v 0 trũng vợi ¿nh v k
Trong cĂc trữớng hổp trản, k ữổc gồi l º d i cıa p Mºt ữớng i ỡn l d i nhĐt trong G n‚u nõ l ữớng i ỡn cõ º d i lợn nhĐt giœa cĂc ữớng i ỡn cıa G.
Mºt ỗ thà ữổc gồi l liản thổng n‚u luổn cõ mºt ữớng i giœa hai i”m bĐt k… trong ỗ thà Mºt th nh phƒn liản thổng cıa ỗ thà G l mºt ỗ thà con liản thổng lợn nhĐt theo nghắa bao h m.
Mºt ỗ thà liản thổng ữổc gồi l cƠy n‚u nõ khổng cõ chu tr…nh N‚u ỗ thà con T cıa G vợi t“p ¿nh V (T ) = V (G) l cƠy, th… T ữổc gồi l cƠy bao tròm cıa G Tł [6, ành lþ 2.2 v ành lþ 2.4], ta câ
D§u b‹ng x£y ra n‚u v mºt ỗ thà liản thổng, th… jE(G)j > jV (G)j 1. ch¿ n‚u G l c¥y.
Theo [6, Mằnh • 2.1], n‚u G l cƠy th… vợi mỉi c°p ¿nh u v v trong G tỗn t⁄i duy nhĐt mºt ữớng i ỡn tł u ‚n v º d i cıa ữớng i ỡn n y ch‰nh l khoÊng cĂch giœa hai¿nh u v v v kỵ hiằu dist G (u; v) B“c cıa mºt ¿nh u 2 V (G), kỵ hiằu deg G (u), l sŁ c⁄nh i qua ¿nh u N‚u deg G (u) = 0, th… uữổc gồi l ¿nh cổ l“p; n‚u deg G (u) = 1, th… u ữổc gồi l lĂ Mºt c⁄nh b›t nguỗn tł lĂ th… ữổc gồi l mºt c⁄nh treo.
Mºt phı ¿nh cıa G l mºt t“p con cıa V (G) m mồi c⁄nh cıa G •u i qua mºt ¿nh n o õ cıa t“p Mºt phı ¿nh ữổc gồi l tŁi ti”u n‚u nõ khổng cõ t“p con thüc sü n o l phı ¿nh cıa G.
Mºt t“p ºc l“p trong G l t“p gỗm cĂc ¿nh m hai ¿nh bĐt k… cıa t“p õ khổng k• nhau Mºt t“p ºc l“p ữổc gồi l cỹc ⁄i (theo quan hằ bao h m) n‚u t“p õ khổng th” mð rºng th nh mºt t“p ºc l“p lợn hỡn T“p gỗm tĐt cÊ cĂc t“p ºc l“p cıa G, kỵ hiằu (G), l mºt phức ỡn h…nh v ữổc gồi l phức ºc l“p cıa G.
Trong ỗ thà G, tỗn t⁄i hai lợp i ảan quan trồng ữổc ành nghắa nhữ sau:
J(G) := (x j l mºt phı ¿nh tŁi ti”u cıa G):
Nh“n x†t 1.12 1) J(G) cõ phƠn t‰ch nguyản sỡ
2) I ảan c⁄nh v i ảan phı cıa ỗ thà l cĂc i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh ph÷ìng v chóng l Łi ng¤u Alexander cıa nhau.
ỗ thà hai phƒn
ỗ thà G ữổc gồi l ỗ thà hai phƒn n‚u t“p ¿nh V (G) cõ th” ữổc chia th nh hai t“p con X v Y rới nhau sao cho bĐt k… c⁄nh n o cıa ỗ thà cụng nŁi tł mºt ¿nh cıa X tợi mºt ¿nh cıa Y C°p (X; Y ) ữổc gồi l hai phƒn cıa ỗ thà Chú ỵ r‹ng, G l ỗ thà hai phƒn n‚u v ch¿ n‚u nõ khổng cõ chu tr…nh lã (xem [6, ành Lỵ 4.7]).
GiÊ sò E(G) = fe 1 ; : : : ; e s g Ma tr“n liản thuºc cıa G ữổc ành nghắa l ma tr“n A(G) = (a ij ) cĐp s r, trong õ a ij = 0 n‚u j 2= e i v a ij = 1 n‚u j 2 e i Theo [4, ành lỵ 5], G l mºt ỗ thà hai phƒn n‚u v ch¿ n‚u
A(G) l ma tr“n unimodular ho n to n, tức l ma tr“n cõ cĂc ma tr“n con cõ ành thức nh“n cĂc giĂ trà l 1; 0 ho°c 1.
BŒ • 1.14 Cho G l ỗ thà hai phƒn cõ ‰t nhĐt mºt c⁄nh GiÊ sò vợi mỉi c⁄nh fi; jg cıa G ta cõ mºt sŁ thỹc a ij sao cho x i + x j = a ij Khi õ, hằ cĂc ph÷ìng tr…nh tuy‚n t‰nh
:fi; jg 2 E(G) khổng cõ nghiằm duy nhĐt.
Chứng minh ” chứng minh bŒ • trản ta ch¿ cƒn ch¿ ra hằ cĂc phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh thuƒn nhĐt tữỡng ứng
:fi; jg 2 E(G) cõ nghiằm khổng tƒm thữớng.
Th“t v“y, giÊ sò (A; B) l hai phƒn cıa ỗ thà G Khi õ, vợi i = 1; : : : ; r ta °t
Nh“n thĐy r‹ng (y 1 ; : : : ; y r ) l mºt nghiằm khổng tƒm thữớng cıa hằ thuƒn nhĐt trản, do õ bŒ • ữổc chứng minh.
Chú ỵ r‹ng, trong trữớng hổp mºt ỗ thà G bĐt k… th… i ảan phı cıa nõ, J(G), l i ảan Stanley-Reisner tữỡng ứng vợi phức ỡn h…nh
Khi G l mºt ỗ thà hai phƒn, theo [24, ành lỵ 1.1], th… i ảan phı J(G) l i ảan khổng xo›n chu'n t›c (normally torsion-free), tức l J(G) (n) = J(G) n vợi mồi n > 1 Do õ, BŒ • 1.8 cõ th” vi‚t l⁄i nhữ sau.
BŒ • 1.15 Cho G l ỗ thà hai phƒn vợi t“p ¿nh V (G) = f1; : : : ; rg v t“p c⁄nh E(G) Vợi mồi = ( 1 ; : : : ; r) 2 N r v n > 1, ta cõ
Gh†p c°p trong ỗ thà
Cho G l mºt ỗ thà ỡn Mºt gh†p c°p M trong G l mºt t“p gỗm cĂc c⁄nh ổi mºt rới nhau, tức l khổng cõ hai c⁄nh n o cõ ¿nh chung Gh†p c°p M ữổc gồi l gh†p c°p cÊm sinh n‚u hai c⁄nh bĐt k… cıa M khổng ữổc nŁi vợi nhau bði mºt c⁄nh n o õ trong G Mºt gh†p c°p cıa G l cỹc ⁄i n‚u nõ cỹc ⁄i theo quan hằ bao h m SŁ gh†p c°p cıa G, kỵ hiằu bði match(G), l sŁ c⁄nh lợn nhĐt trong cĂc gh†p c°p cỹc ⁄i cıa G; v sŁ gh†p c°p cÊm sinh cıa G, kỵ hiằu (G), l sŁ c⁄nh lợn nhĐt trong cĂc gh†p c°p cÊm sinh cıa G.
Theo Constantinescu v Varbaro [7], mºt gh†p c°p M = ffu i ; v i g j i = 1; : : : ; sg ữổc gồi l mºt gh†p c°p cõ thứ tỹ n‚u:
Khi õ, t“p A = fu 1 ; : : : ; u s g ữổc gồi l t“p tham sŁ tỹ do cıa G v
B = fv 1 ; : : : ; v s g ữổc gồi l t“p ỗng h nh cıa A.
SŁ gh†p c°p cõ thứ tỹ cıa G, kỵ hiằu ord-match(G), l lỹc lữổng lợn nhĐt cıa mºt gh†p c°p cõ thứ tỹ trong G.
V‰ dử 1.17 X†t ỗ thà G trong V‰ dử 1.13 Ta cõ:
1) Gh†p c°p trong G : ff1; 5g; f2; 6g; f3; 8gg; : : : ; match(G) = 3;
2) Gh†p c°p cõ thứ tỹ trong G : ff1; 5g; f2; 6gg; ff2; 6g; f3; 8gg; : : : ; ord-match(G) = 2;
3) Gh†p c°p c£m sinh trong G : ff1; 5g; f2; 8gg; : : : ; (G) = 2.
Siảu ỗ thà
Cho V l mºt t“p hœu h⁄n Mºt siảu ỗ thà ỡn H vợi t“p ¿nh V v t“p c⁄nh l t“p gỗm cĂc t“p con cıa V , sao cho cĂc c⁄nh khổng bao h m lÔn nhau Kỵ hiằu V (H) v E(H) tữỡng ứng l t“p ¿nh v t“p c⁄nh cıa siảu ỗ thà H Trong trữớng hổp mỉi c⁄nh cıa H cõ lỹc lữổng b‹ng 2 th… H l mºt ỗ thà Nhữ v“y, siảu ỗ thà l khĂi niằm tŒng quĂt cıa ỗ thà Cho siảu ỗ thà H, mºt c⁄nh ữổc gồi l tƒm thữớng n‚u nõ ch¿ cõ mºt phƒn tò, mºt ¿nh ữổc gồi l cổ l“p n‚u nõ khổng xuĐt hiằn trong bĐt k… mºt c⁄nh n o cıa H, mºt ¿nh ữổc gồi l ¿nh k• cıa mºt ¿nh khĂc n‚u chóng còng thuºc mºt c⁄nh n o â cıa H.
Siảu ỗ thà H 0 ữổc gồi l siảu ỗ thà con cıa H n‚u V (H 0 ) V (H) v E(H 0 ) E(H) Vợi e l mºt c⁄nh cıa H, H n e l mºt siảu ỗ thà thu ữổc b‹ng cĂch xõa c⁄nh e tł t“p c⁄nh cıa H Vợi mºt t“p con S V (H), H n S l mºt siảu ỗ thà thu ữổc tł H b‹ng cĂch xõa i cĂc ¿nh trong S v cĂc c⁄nh m chứa bĐt k… ¿nh n o cıa t“p S.
Mºt phı ¿nh cıa siảu ỗ thà l t“p gỗm cĂc ¿nh cıa siảu ỗ thà m cõ giao khĂc rỉng vợi mồi c⁄nh cıa siảu ỗ thà Nhữ v“y, phı ¿nh cıa siảu ỗ thà l mð rºng cıa khĂi niằm phı ¿nh trong ỗ thà Mºt phı ¿nh ữổc gồi l tŁi ti”u n‚u nõ khổng cõ mºt t“p con thỹc sỹ n o l phı ¿nh cıa siảu ỗ thà.
Mºt t“p S E(H) ữổc gồi l mºt t“p trºi c⁄nh th nh phƒn cıa H n‚u mồi ¿nh khổng cổ l“p cıa H ho°c ữổc chứa trong mºt c⁄nh khổng tƒm th÷íng cıa S ho°c câ mºt l¥n c“n thuºc mºt c⁄nh n o â cıa S SŁ trºi c⁄nh th nh phƒn cıa H ữổc xĂc ành:
(H) = minfjSj j S l t“p trºi c⁄nh th nh phƒn cıa Hg:
Cho H l siảu ỗ thà vợi V (H) [r], mºt i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng liản k‚t vợi siảu ỗ thà H l
I(H) = (x e j e 2 E(H)) R; ữổc gồi l i ảan c⁄nh cıa siảu ỗ thà H.
Ngữổc l⁄i, n‚u I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng th… I l i ảan c⁄nh cıa mºt siảu ỗ thà vợi t“p c⁄nh ữổc xĂc ành mºt cĂch duy nhĐt bði hằ sinh cıa I.
Gồi H = (V (H ); E(H )) l siảu ỗ thà ỡn tữỡng ứng vợi Łi ngÔu Alexander I(H) cıa I(H) Ta cõ V (H ) = V (H) Tł phƠn t‰ch nguyản sỡ tŁi ti”u (xem [35, ành nghắa 1.35 v T‰nh chĐt 1.37]):
I(H ) = (x i j i 2 e); e2E(H) suy ra E(H ) l t“p gỗm cĂc phı ¿nh tŁi ti”u cıa H Do õ,
I(H ) = (x j l mºt phı ¿nh tŁi ti”u cıa H):
a diằn lỗi
T“p lỗi a diằn
Mºt t“p con C R r ữổc gồi l t“p lỗi n‚u nõ chứa o⁄n thflng nŁi hai i”m bĐt ký cıa t“p C, nõi cĂch khĂc, vợi mồi x; y 2 C v 0 6 6 1 ta luổn cõ
Vợi E l mºt t“p bĐt ký trong R r , ta luổn cõ mºt t“p lỗi chứa E Giao cıa tĐt cÊ cĂc t“p lỗi chứa E ữổc gồi l bao lỗi cıa E, kỵ hiằu conv(E) Nhữ v“y, bao lỗi cıa E l t“p lỗi nhọ nhĐt chứa E.
Trong khổng gian Euclid R r , ta x†t t‰ch vổ hữợng cho bði hx; yi = x 1 y 1 + + x r y r ; trong â x = (x 1 ; : : : ; x r ) 2 R r ; y = (y 1 ; : : : ; y r ) 2 R r :
H = fx 2 R r : ha; xi = g l mºt siảu phflng trong R r (xem [32, Hằ quÊ 1.1]) CĂc t“p cõ d⁄ng
H + = fx 2 R r : ha; xi > g v H = fx 2 R r : ha; xi 6 g ữổc gồi l cĂc nòa khổng gian õng cıa R r ành nghắa 1.18 Giao cıa hœu h⁄n cĂc nòa khổng gian õng trong R r ữổc gồi l t“p lỗi a diằn Nõi cĂch khĂc, t“p lỗi a diằn l t“p nghiằm cıa mºt hằ gỗm hœu h⁄n cĂc bĐt phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh cõ d⁄ng ha i ; xi 6 b i ; i = 1; : : : ; m (0 6= a i 2 R r ; b i 2 R); (1.2) ho°c cõ th” bi”u di„n dữợi d⁄ng ma tr“n Ax 6 b; trong õ A l ma tr“n cĐp m r vợi cĂc dặng ữổc xĂc ành bði cĂc v†ctỡ a i 2 R r v b = (b 1 ; : : : ; b m ) 2 R m : Mºt t“p lỗi a diằn bà ch°n ữổc gồi l mºt a diằn lỗi.
Mºt t“p con K trong R r ữổc gồi l t“p afin n‚u a + (1 )b 2 K vợi mồi a; b
2 K v mồi 2 R Giao cıa cĂc t“p afin chứa K ữổc gồi l bao afin cıa K. ành nghắa 1.19 Cho P l t“p lỗi a diằn trong R r : Chi•u cıa P, kỵ hiằu dim P, l chi•u cıa bao afin cıa nâ Mºt j m°t cıa P l mºt m°t câ chi•u l j. N‚u dim P = t th…:
1 0 m°t ữổc gồi l ¿nh (hay i”m cỹc biản) cıa P;
Nh“n x†t 1.20 ([41], Ch÷ìng 8) 1) F l m°t cıa P n‚u v ch¿ n‚u F kh¡c rỉng v
F = fx 2 P j A 0 x = b 0 g; vợi mºt hằ con A 0 x 6 b 0 n o õ cıa hằ Ax 6 b.
2) F l m°t cỹc ⁄i cıa P th… F ữổc xĂc ành bði
3) Mỉi ¿nh cıa P ữổc xĂc ành bði r phữỡng tr…nh ºc l“p tuy‚n t‰nh tł hằ Ax = b.
Phức b“c v a diằn
Trong mửc n y, chúng tổi s‡ nghiản cứu cĂc a diằn lỗi °c biằt, õ l a diằn lỗi ữổc suy ra tł cĂc phức ỡn h…nh (I (n) ) vợi 2 N r v I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng.
GiÊ sò H i (R=I (n) ) 6= 0 vợi 0 6 i 6 dim(R=I ) v = ( ; : : : ; ) 2 N r : m 1 r dim k He i 1( (I (n) ); k) = dim k H m i (R=I (n) ) 6= 0; tức l , (I (n) ) khổng phÊi l mºt phức xo›n.
GiÊ sò F( ) = fF 1 ; : : : ; F t g vợi t > 1 Theo BŒ • 1.8, giÊ sò
Vợi mỉi sŁ nguyản m > 1, x†t P m l t“p lỗi a diằn trong R r ữổc xĂc ành bði: i2=F j x i 6 m 1 vợi j = 1; : : : ; s;
” nghiản cứu v• P m , ta x†t t“p lỗi a diằn C m trong R r ữổc xĂc ành thổng qua hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh sau:
Chú ỵ r‹ng, C m = mC 1 vợi mồi m > 1, trong õ mC 1 = fmy j y 2 C 1 g. Tữỡng tỹ nhữ cĂch chứng minh trong [21, BŒ • 2.1], ta cõ bŒ • sau.
BŒ • 1.21 C 1 l mºt a diằn lỗi cõ chi•u b‹ng r.
Nh“n x†t 1.22 Do C m = mC 1 , nản C m l mºt a diằn lỗi L⁄i cõ, P m C m ,nản P m cụng l mºt a diằn lỗi.
a diằn h…nh thức
a Bao õng nguyản cıa i ảan
Bao õng nguyản cıa i ảan I bĐt k… cıa R, kỵ hiằu I, l t“p gỗm cĂc phƒn tò x nguyản trản I trong R, tức l tỗn t⁄i a i 2 I i ; i = 1; : : : ; n sao cho x n + a 1 x n 1 + : : : + a n 1x + a n = 0:
Nh“n x†t 1.23 Bao õng nguyản cıa mºt i ảan ỡn thức l mºt i ảan ỡn thức. ành lỵ sau nảu lản mŁi liản hằ giœa bao õng nguyản cıa cĂc lụy thła cıa i ảan ỡn thức. ành lỵ 1.24 ([47], ành lỵ 7.58) Cho R = k[x 1 ; : : : ; x r ] l v nh a thức trản trữớng k v I l i ảan ỡn thức Khi õ,
” mổ tÊ I mºt cĂch h…nh hồc chúng ta cõ th” mổ tÊ thổng qua a diằn Newton liản k‚t vợi i ảan I. b a diằn Newton
E(A) = f j 2 N r v x 2 Ag: ành nghắa 1.25 Cho I l i ảan ỡn thức cıa R a diằn Newton cıa
I l a diằn lỗi trong R r , kỵ hiằu N P (I), ữổc ành nghắa l bao lỗi cıa E(I) trong khổng gian R r , tức l
Nh“n x†t 1.26 Theo [40, ành lþ 2.3 v BŒ • 2.5], ta câ
BŒ • sau ữổc chứng minh trong [45, BŒ • 6], cho ta nhœng thổng tin cử th” hỡn v• cĂc hằ sŁ cıa phữỡng tr…nh xĂc ành siảu phflng giĂ cıa a diằn Newton cıa i ảan ỡn thức I.
BŒ • 1.27 Cho I l mºt i ảan ỡn thức cıa R a diằn Newton N P (I) l t“p nghiằm cıa hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh cõ d⁄ng fx 2 R r j ha j ; xi > b j ; j = 1; : : : ; qg; sao cho cĂc i•u kiằn sau ỗng thới ữổc thọa mÂn:
(i) Mỉi siảu phflng ữổc xĂc ành bði phữỡng tr…nh ha j ; xi = b j xĂc ành mºt m°t cỹc ⁄i cıa N P (I) chứa s j i”m ºc l“p afin cıa E(G(I)) v song song vợi r s j vectỡ cıa t“p cỡ sð chu'n t›c Trong trữớng hổp n y, s j ch‰nh l sŁ cĂc th nh phƒn tồa º khĂc khổng cıa a j ;
(iii) N‚u vi‚t a j = (a j;1 ; : : : ; a j;r ), th… a j;i 6 s j d(I) s j 1 vợi mồi i = 1; : : : ; r.
Ti‚p theo, chúng tổi x†t v• a diằn h…nh thức cıa i ảan (xem [8]) Cử th” nh÷ sau. c a diằn h…nh thức
Cho I l i ảan ỡn thức v cõ phƠn t‰ch nguyản sỡ tŁi ti”u
I = Q 1 \ \ Q s \ Q s+1 \ \ Q t ; trong õ Q 1 ; : : : ; Q s l cĂc i ảan nguyản sỡ liản k‚t vợi cĂc i ảan nguyản tŁ tŁi ti”u v Q s+1 ; : : : ; Q t l cĂc th nh phƒn nguyản sỡ nhúng
Vợi mỉi n > 1, a diằn h…nh thức thứ n cıa I ữổc xĂc ành bði cổng thức sau s \
” ỡn giÊn ta kỵ hiằu SP 1 (I) bði SP(I) KhĂi niằm n y tữỡng tỹ nhữ khĂi niằm a diằn h…nh thức ữổc giợi thiằu trong [8, ành nghắa 5.3] vợi trữớng hổp I khổng cõ i ảan nguyản tŁ nhúng Tuy nhiản, trong trữớng hổp tŒng quĂt, hai khĂi niằm n y khĂc nhau do trong ành nghắa v• lụy thła h…nh thức cıa i ảan trong [8] bao gỗm tĐt cÊ cĂc i ảan nguyản tŁ liản k‚t.
Vợi X v Y l cĂc t“p con cıa R r v n l sŁ nguyản dữỡng, kỵ hiằu nX = fnx j x 2 Xg;
BŒ • sau cho chúng ta bi‚t v• cĐu trúc cıa a diằn lỗi SP n (I).
BŒ • 1.28 Cho fv 1 ; : : : ; v d g l t“p c¡c ¿nh cıa SP(I) Khi â,
Chứng minh Vợi mỉi i = 1; : : : ; s, ta cõ N P (Q n i ) = nN P (Q i ) theo [40,
BŒ • 2.5] Tł â suy ra, SP n (I) = n SP(I).
Vợi v 2 SP(I) v u 2 R r + th… v + u 2 SP(I), theo [40, BŒ • 2.5] K‚t hổp vợi [41, Cổng thức (28), trang 106], ta cõ
Do â, SP n (I) = n SP(I) = n convfv 1 ; : : : ; v d g + R r + Ta câ i•u ph£i chứng minh
Theo cĐu trúc v• cĂc a diằn h…nh thức SP n (I) v a diằn Newton tữỡng ứng, chúng tổi cõ th” ữa ra mºt sŁ thổng tin v• cĂc m°t cỹc ⁄i cıa SP n (I)
” tł õ xƠy dỹng ữổc mºt ch°n dữợi cıa h m b“c sinh lợn nhĐt cıa I (n) bði mºt h m tuy‚n t‰nh theo n.
BŒ • 1.29 a diằn SP(I) l t“p nghiằm trong R r cıa mºt hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh câ d⁄ng fx 2 R r j ha j ; xi > b j ; j = 1; 2; : : : ; qg; trong õ vợi mỉi j, cĂc i•u kiằn sau thọa mÂn:
(iii) Ph÷ìng tr…nh ha j ; xi = b j x¡c ành mºt m°t cüc ⁄i cıa SP(I).
Chứng minh Ta thĐy SP(I) l t“p nghiằm trong R r cıa hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh xuĐt hiằn trong hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh xĂc ành a diằn N P (Q i ) vợi i = 1; : : : ; s K‚t hổp cũng vợi BŒ • 1.27 v d(Q i ) 6 d(I), ta cõ bŒ • ữổc chứng minh
DĂng iằu tiằm c“n cıa h m ch¿ sŁ ch‰nh quy
Trong chữỡng n y, chúng tổi nghiản cứu v• dĂng iằu tiằm c“n cıa h m ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lụy thła h…nh thức cıa i ảan ỡn thức trản v nh a thức R Mð rºng k‚t quÊ cıa L T Hoa v T N Trung [30, ành lỵ 4.9], chúng tổi ch¿ ra r‹ng vợi mºt i ảan ỡn thức I bĐt k…, luổn tỗn t⁄i giợi h⁄n lim reg(I (n) )=n v mổ tÊ cử th” giợi h⁄n n y theo a diằn liản k‚t vợi n!1 i ảan I Hỡn nœa, chúng tổi ỗng thới ch¿ ra reg(I (n) ) khổng l mºt h m tuy‚n t‰nh khi n ı lợn, th“m ch‰ ngay cÊ trong trữớng hổp i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng K‚t quÊ cıa chữỡng n y chı y‚u ữổc dỹa trản b i b¡o [12].
Trữợc tiản, chúng tổi x†t Łi vợi h m b“c sinh lợn nhĐt cıa lụy thła h… nh thức cıa i ảan ỡn thức.
Cho I l i ảan ỡn thức trản v nh R vợi phƠn t‰ch nguyản sỡ tŁi ti”u
I = Q 1 \ \ Q s \ Q s+1 \ \ Q t ; trong õ Q 1 ; : : : ; Q s l cĂc i ảan nguyản sỡ liản k‚t vợi cĂc i ảan nguyản tŁ tŁi ti”u v Q s+1 ; : : : ; Q t l cĂc th nh phƒn nguyản sỡ nhúng
” cho ỡn giÊn ta kỵ hiằu J n = J n (I) Theo Nh“n x†t 1:25(1), ta cõ E(J n ) = SP n (I) \ N r Do â, x 2 J n n‚u v ch¿ n‚u 2 SP n (I) \ N r
Nh“n x†t 2.1 Cho I l i ảan ỡn thức v x 2 I, vợi = ( 1 ; : : : ; r ) 2 N r Khi õ, x
BŒ • 2.2 Cho I l i ảan ỡn thức v x 2 I Vợi mỉi i = 1; : : : ; r, giÊ sò m i l mºt sŁ nguyản dữỡng sao cho x m i e i 2= I n‚u i > m i Khi õ tỗn t⁄i cĂc sŁ nguyản 0 6 n i 6 m i 1 sao cho x (n 1 e 1 + +n r e r ) 2 G(I).
Chứng minh Vợi i = 1; : : : ; r, ta chồn cĂc sŁ nguyản 0 6 ni < mi sao cho x (n 1 e 1 + +n r e r ) 2 I v n 1 + + n r ı lợn ” x (n 1 e 1 + +n r e r ) e i 2= I Theo Nh“n x†t 2.1, ta suy ra x (n 1 e 1 + +n r e r ) 2 G(I):
BŒ • 2.3 Cho ỡn thức x 2 I (n) GiÊ sò x e i 2= I (n) õ °t m = (r 1)d(I) + 1 N‚u i > m th… x me i 2 vợi 1 6 i 6 r n o
Chứng minh Do x e i 2= I (n) nản tỗn t⁄i j 2 f1; : : : ; sg sao cho x e i 2Q n j Theo ành lỵ 1.24, tỗn t⁄i 0 6 p 6 r 1 sao cho Q n j = Q n j p Q p j
Do x 2 Q n j v x e i 2= Q n j nản x i chia h‚t mºt phƒn tò sinh n o õ cıa Q n j
M Q j l i ảan nguyản sỡ nản x d i (Q j ) 2 Q j L⁄i cõ, d(Q j ) 6 d(I) nản x d i (I) 2 Q j GiÊ sò x me i 2 J n Khi õ, x me i 2 Q n j Do Q n j = Q n j p Q p j , nản tỗn t⁄i hai ỡn thức m 1 2 Q n j p v m 2 2 Q p j sao cho x me i = m 1 m 2 Tł õ suy ra x e i (m 1 x m i 1 )m 2 L⁄i cõ, x m i 1 2 Q r j 1 do m 1 = (r 1)d(I), nản x e i = (m 1 x m i
1)m 2 2 Q n j p Q r j 1 Q n j , mƠu thuÔn V“y x me i 2= J n , bŒ • ữổc chứng minh
GiÊ sò v = (v 1 ; : : : ; v r ) 2 R r , kỵ hiằu jvj = v 1 + : : : + v r °t
Chứng minh LĐy x 2 G(J n ) bĐt k… v v 1 ; : : : ; v d l tĐt cÊ cĂc ¿nh cıa SP(I) Theo BŒ • 1.28, ữổc bi”u di„n dữợi d⁄ng
Do x l mºt phƒn tò sinh tŁi ti”u cıa J n , nản u i < 1 vợi mồi i = 1; : : : ; r Do â, j j = n( 1 jv 1 j + + djv d j) + juj
6 (I)n + (u 1 + + u r ) < (I)n + r: i•u n y ch¿ ra r‹ng d(J n ) < (I)n+r Ta cõ i•u phÊi chứng minh.
K‚t quÊ ch‰nh ƒu tiản cıa chữỡng n y l ành lỵ sau. ành lþ 2.5. lim d (I (n) ) = (I): n!1 n
Chứng minh °t = r 2 d(I) r 1 Trữợc tiản ta ch¿ ra khflng ành sau:
+ Łi vợi ch°n trản cıa d(I (n) ):
Gồi x l mºt phƒn tò sinh tŁi ti”u bĐt k… cıa I (n) Theo Nh“n x†t 2.1, ta cõ x e i 2= I (n) vợi i = 1; : : : ; r m i > 1.
Theo BŒ • 2.2, tỗn t⁄i cĂc sŁ nguyản 0 6 n i 6 (r 1)d(I) sao cho x (n 1 e 1 +
+n r e r ) l mºt phƒn tò sinh tŁi ti”u cıa J n Do õ d(J n ) > j j (n 1 + + n r ) > j j r(r 1)d(I); suy ra j j 6 d(J n ) + r(r 1)d(I): i•u n y ch¿ ra d(I (n) ) 6 d(J n ) + r(r 1)d(I):
K‚t hổp vợi BŒ • 2.4, ta cõ d(I (n) ) 6 (I)n + r + r(r 1)d(I):
+ Łi vợi ch°n dữợi cıa d(I (n) ):
GiÊ sò v = (v 1 ; : : : ; v r ) l mºt ¿nh cıa a diằn SP(I) sao cho (I) = jvj. °t = ( 1 ; : : : ; r ) 2 N r trong õ i = dnv i e vợi mồi i = 1; : : : ; r Do nv l mºt ¿nh cıa SP n (I) nản x 2 J n
Vợi mỉi i = 1; : : : ; s, theo ành lỵ 1.24, ta cõ x 2 Q n i = Q n i (r 1) Q r i 1
Do õ, ta cõ th” bi”u di„n x dữợi d⁄ng x = m i;1 m i;2 m i;3 ; trong â m i;1 2 Q i , m i;2 2 Q n i r v m i;3 2 Q r i 1 °t f i = m i; r 1 1 Ta câ deg(f i ) 6 (r 1)d(Q i ) 6 (r 1)d(I) v x f i = (m i; r 1 m i;2 )m i;3 2 Q i n : °t x = f 1 f s v x = x x Khi õ, x 2 Q n i vợi mồi i Do v“y, x x 2 I (n) Hỡn nœa, i = 0 n‚u v ch¿ n‚u i = 0, n‚u v ch¿ n‚u v i = 0 Hi”n nhiản, j j deg(f 1 ) + + deg(f s ) 6 s(r 1)d(I).
Theo BŒ • 1.29, a diằn lỗi SP(I) l t“p nghiằm trong R r cıa mºt hằ cĂc b§t ph÷ìng tr…nh tuy‚n t‰nh câ d⁄ng fx 2 R r j ha j ; xi > b j ; j = 1; 2; : : : ; qg; sao cho:
(i) mỉi phữỡng tr…nh ha j ; xi = b j xĂc ành mºt m°t cỹc ⁄i cıa SP(I), (ii) a j 2 N r , b j 2 N, v ,
(iii) ja j j 6 r 2 d(I) r 1 vợi j bĐt k…. °t = r 2 d(I) r 1 nản ja jj 6 vợi mồi j = 1; : : : ; q.
Do v l ¿nh cıa SP(I), nản theo [41, Cổng thức (23), trang 104], ta giÊ sò r‹ng v l nghiằm duy nhĐt cıa hằ phữỡng tr…nh sau: fx 2 R r j ha i ; xi = b i ; i = 1; : : : ; rg :
Do hằ cõ nghiằm duy nhĐt nản vợi mỉi ch¿ sŁ i m i > 1 luổn tỗn t⁄i
1 6 j 6 r, sao cho a j;i 6= 0 Kỵ hiằu a = a j = (a 1 ; : : : ; a r ) nản a i > 1. °t m = (1 + s(r 1)d(I)) + 1 N‚u i > m th… ha; me i i = ha; i + ha; i a i m
6 nb j + jaj + jajj j m < nb j do m = (1 + s(r 1)d(I)) + 1 > jaj + jajj j.
Do â, x me i 2= J n v i•u n y suy ra x me i 2= I (n)
Theo BŒ • 2.2, vợi i = 1; : : : ; r tỗn t⁄i cĂc sŁ nguyản khổng Ơm n i 6 (1 + s(r 1)d(I)) sao cho x (n 1 e 1 + +n r e r ) l mºt phƒn tò sinh tŁi ti”u cıa I (n) Do â, d(I (n) ) > j j (n 1 + + n r ) > j j + j j r (1 + s(r 1)d(I))
Nhữ v“y khflng ành (2.2) ữổc chứng minh Tł khflng ành n y v theo nguyản lỵ kàp cıa giợi h⁄n ta d„ d ng suy ra ữổc lim d (I (n) ) = (I): n!1 n
V“y ành lỵ ữổc chứng minh.
H m ch¿ sŁ ch‰nh quy
Nh›c l⁄i, vợi M l mºt mổ un phƠn b“c hœu h⁄n sinh v i 0 tũy ỵ, b i (M) = supfj j i;j (M) 6= 0g:
Chứng minh Theo BŒ • 1.29, a diằn lỗi SP(I) l t“p nghiằm trong R r cıa mºt hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh cõ d⁄ng fx 2 R r j ha j ; xi > b j ; j = 1; 2; : : : ; qg; trong õ vợi mỉi j, phữỡng tr…nh ha j ; xi = b j xĂc ành mºt m°t cỹc ⁄i cıa SP(I), a j 2 N r , b j 2 N, v ja j j 6 r 2 d(I) r 1 °t = r 2 d(I) r 1 , ta cõ ja jj 6 vợi mồi j.
L§y = ( 1 ; : : : ; r) 2 N r sao cho i; (I (n) ) 6= 0 Theo BŒ • 1.3, i; (I (n) ) = dimk Hei 1(K (I (n) ); k) 6= 0 nản K (I (n) ) khổng phÊi l nõn Do õ, vợi mỉi j = 1; : : : ; r, tỗn t⁄i
Th“t v“y, theo BŒ • 2.3, x me j 2= J n Do v“y, ha i ; me j i < nb i vợi 1 6 i 6 q n o õ.
Do x 2 I (n) J n nản ha i ; i > nb i i•u n y suy ra a i;j > 1.
M°t khĂc, ta cõ > ja i j > ha i ; i nản ha i ; ( + m)e j i = ha i ; me j i + ha i ; e j i < nb i + ha i ; e j i
= nbi + hai; i h ai; eji = nbj + hai; i ai;j 6 nbi + hai; i 6 nbi:
Do â, x ( +m)e j 2= J n ; ta cõ khflng ành ữổc chứng minh.
Theo BŒ • 2.2, tỗn t⁄i cĂc sŁ nguyản 0 6 n i 6 +m 1 vợi i = 1; : : : ; r, sao cho x n 1 e 1 n r e r 2 G(J n ): i•u n y k†o theo d(J n ) > j j j j (n 1 + + n r ) > j j r r( + m 1):
K‚t hổp vợi BŒ • 2.4, ta cõ b(I (n) ) 6 d(J n ) + r + r r 2 d(I) r 1 + (r 1)d(I) i (I)n + 2r + r r 2 d(I) r 1 + (r 1)d(I) :
6V“y bŒ • ữổc chứng minh. ành lþ sau cho chóng ta c¥u tr£ líi cho B i to¡n 1 trong phƒn Mð ƒu cıa lu“n ¡n. ành lþ 2.7. lim reg( I (n) ) = (I): n!1 n
Chứng minh Tł BŒ • 2.6, ta cõ reg I (n) = maxfb i (I (n) ) i j i > 0g 6 (I)n+2r+r(r 2 d(I) r 1 +(r 1)d(I)):
M°t khĂc, theo chứng minh cıa ành lỵ 2.5, tỗn t⁄i c 2 R sao cho d(I (n) ) > (I)n + c vợi mồi n > 1:
(I)n + c 6 reg I (n) 6 (I)n + 2r + r(r 2 d(I) r 1 + (r 1)d(I)) vợi mồi n > 1 Tł õ suy ra lim reg( I (n) ) = (I); n!1 n ta cõ i•u phÊi chứng minh.
T‰nh toĂn v• reg(I (n) ) mºt cĂch cử th” nh…n chung l khõ khôn v phức t⁄p, tuy nhiản ” t‰nh v• (I) th… b i toĂn trð nản ỡn giÊn hỡn nhớ cĂc kắ thu“t trong quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh Minh hồa cho i•u n y, ta x†t v‰ dử sau.
V‰ dử 2.8 Cho p; q 1 l cĂc sŁ nguyản, R = k[x; y; z; t], I = I p;q = (x; y) \ (x; z p ) \ (y p ; t q ) Hi”n nhiản
Trong trữớng hổp n y khổng khõ ” ta cõ th” t‰nh (I) Th“t v“y, ta cõ SP(I) l a diằn ữổc xĂc ành bði hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh
GiÊn ữợc z; t (v cÊ x v y trong trữớng hổp cƒn thi‚t) ‚n cĂc sŁ nguyản khổng Ơm th‰ch hổp Khi õ, ¿nh cıa SP(I) l nghiằm cıa hằ sau:
Nh“n thĐy, nghiằm cıa hằ l mºt h…nh thang trong m°t phflng vợi cĂc ¿nh ữổc xĂc ành
Nh“n x†t 2.9 M°c dũ cĂc giợi h⁄n lim n!1 d(I (n) ) v lim n!1 reg(I (n) ) n n tỗn t⁄i, những i•u n y khổng khflng ành r‹ng lim b i (I (n) ) n!1 n tỗn t⁄i vợi mồi i 0.
Minh hồa cho nh“n x†t n y, ta x†t v‰ dử sau.
V‰ dử 2.10 Cho v nh a thức R = Q[x; y; z; u; v], i ảan I cõ phƠn t‰ch nguyản sỡ
8 0:
T‰nh khổng tuy‚n t‰nh cıa h m ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lụy thła h…nh thức cıa i ảan ỡn thức
cıa lụy thła h…nh thức cıa i ảan ỡn thức
Cho l phức ỡn h…nh trản t“p ¿nh f1; : : : ; rg v n > 1 Trữợc tiản, chúng tổi mổ tÊ SP n (I ) mºt cĂch chi ti‚t hỡn Vợi F 2 F( ), kỵ hiằu P F (x i j i 2= F ) Khi õ N P (P F n ) ữổc xĂc ành bði hằ
X xi > n; x1 > 0; : : : ; xr > 0; i2=F v SPn(I ) ữổc xĂc ành theo hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh
BŒ • 2.11 Vợi : Chứng minh Kỵ hiằu = (I ) Gồi x l mºt phƒn tò sinh tŁi ti”u bĐt k… cıa I (n) GiÊ sò i > 1 vợi i = 1; : : : ; p v i = 0 vợi i = p + 1; : : : ; r; 1 6 p 6 r.
Vợi mỉi i = 1; : : : ; p, tỗn t⁄i mºt m°t cỹc ⁄i F i 2 F( ) khổng chứa i sao cho thuºc siảu phflng j 2=F i x j = n Tł hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh (2.3) ta câ giao cıa SP n (I ) v t“p
< j 2=F i xj = n vợi i = 1; : : : ; p; l mºt m°t õng : x s = 0 vợi s = p + 1; : : : ; r;
Do thuºc v o m°t n y nản tỗn t⁄i mºt ¿nh cıa SP n (I ) n‹m trản m°t n y sao cho j j 6 j j M°t khĂc, =n l mºt ¿nh cıa SP(I ) nản j j 6 j j = j =nj n 6 n.
Do x l mºt phƒn tò sinh tŁi ti”u bĐt k… cıa I (n) nản d(I (n) ) 6 (I )n; ta cõ i•u phÊi chứng minh.
V‰ dử sau cho ta mºt trữớng hổp xÊy ra dĐu b‹ng cıa bŒ • trản.
V‰ dử 2.12 Cho G l mºt ỗ thà trản t“p ¿nh f1; : : : ; rg v
I(G) = (x i x j j fi; jg 2 E(G)) k[x 1 ; : : : ; x r ] l i ảan c⁄nh cıa ỗ thà G Khi õ d(I(G) (n) ) = 2n vợi mồi n > 1.
Th“t v“y, vợi bĐt k… n > 1 ta luổn cõ d(I(G) (n) ) 6 2n, theo [2, Hằ quÊ 2.11] M°t khĂc, n‚u x i x j l phƒn tò sinh tŁi ti”u cıa I(G) th… (x i x j ) n cụng l phƒn tò sinh tŁi ti”u cıa I(G) (n) , nản d(I(G) (n) ) > 2n Do õ, d(I(G) (n) ) 2n.
Theo ành lþ 2.5, suy ra (I(G)) = 2 i•u n y ch¿ ra r‹ng d(I(G) (n) ) = (I(G))n:
Tuy nhiản, I(G) (n) khổng nhĐt thi‚t ữổc sinh bði tĐt cÊ cĂc phƒn tò cõ b“c 2n V‰ dử, cho I(G) = (xy; xz; yz) = (x; y) \ (x; z) \ (y; z) th…
Cho G l ỗ thà trản [r] = f1; : : : ; rg v J(G) l i ảan phı cıa ỗ thà Khi õ a diằn SP(J(G)) ữổc xĂc ành bði hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh
BŒ • sau cho ta mºt cĂch hœu ‰ch trong viằc xĂc ành cĂc ¿nh cıa a diằn SP(J(G)).
BŒ • 2.13 Cho G l ỗ thà khổng cõ i”m cổ l“p trản [r], v = ( 1 ; : : : ; r ) 2
R r l ¿nh cıa SP(J(G)) Khi õ, i 2 f0; 1=2; 1g vợi mồi i = 1; : : : ; r °t S 0 fi : i = 0g, S 1 = fi : i = 1g, v S 1=2 = fi : i = 1=2g C¡c khflng ành sau l óng:
(iii) ỗ thà con cÊm sinh cıa G trản t“p S 1=2 khổng cõ th nh phƒn hai phƒn;
(iv) N‚u v l mºt lĂ khổng n‹m trản S 0 v N(v) = fug th… u 2= S 1
Chứng minh Do l mºt ¿nh cıa SP(J(G)), theo [41, Cổng thức (23), trang 104], l nghiằm duy nhĐt cıa hằ
j j = d.
Bữợc 2: ” chứng minh chi•u ngữổc l⁄i ta lĐy = ( 1; : : : ; r) l mºt ¿nh bĐt k… cıa SP(J) Theo BŒ • 2.13, i 2 f0; 1=2; 1g vợi mồi i °t S = S0 = fi j i
= 0g, S1 = fi j i = 1g v S1=2 = fi j i = 1=2g Theo BŒ • 2.13, S 2 (G) v G n N[S] khổng cõ th nh phƒn hai phƒn Do õ j =S
1 j +jS 1=2 j = jSj + jS 1 j + jS 1=2 j + jS 1 j j Sj =r + jN(S)j j Sj 6 d:
Chồn l ¿nh cıa SP(J) sao cho j j = (J), suy ra (J) 6 d.
V“y (J) = d, ta cõ i•u phÊi chứng minh.
X†t Km l mºt ỗ thà ƒy ı m ¿nh v G = cor(Km; s) (m > 3; s > 2) l ỗ thà thu ữổc tł Km b‹ng cĂch thảm s c⁄nh treo v o mỉi ¿nh cıa ỗ thà K m
2 Chứng minh °t G = cor(K m ; s) Khi õ G cõ r = m(s + 1) ¿nh v ms lĂ.
Gồi S l mºt t“p ºc l“p cıa G sao cho G n N[S] khổng cõ th nh phƒn hai phƒn.
Trữớng hổp 1: S = ;, suy ra N(S) = ; v jN(S)j j Sj = 0.
Trữớng hổp 2: S chứa ¿nh v cıa K m Trong trữớng hổp n y, GnN[S] ho°c l t“p rỉng ho°c l t“p ho n to n khổng liản thổng Do GnN[S] khổng cõ th nh phƒn hai phƒn nản G n N[S] = ;, tức l S gỗm ¿nh v v tĐt cÊ cĂc lĂ khổng k• vợi nõ Do õ, jSj = 1 + (m 1)s; jN(S)j = s + m 1:
Trữớng hổp 3: S ch¿ gỗm cĂc lĂ cıa G Gồi x 1 ; : : : ; x m l cĂc ¿nh cıa
K m Khi õ N(S) ch¿ gỗm cĂc ¿nh cıa K m , giÊ sò x 1 ; : : : ; x t vợi 1 6 t 6 m. L⁄i cõ, vợi mỉi x i th… cõ ‰t nhĐt mºt lĂ trong S k• vợi nõ nản jSj > t = jN(S)j:
Do s > 2 v GnN[S] khổng cõ th nh phƒn hai phƒn nản jSj > jN(S)j V“y trong cÊ ba trữớng hổp ta luổn cõ jN(S)j 6 jSj DĐu b‹ng xÊy ra khi v ch¿ khi S = ;.
Tł ành lþ 2.14, suy ra
Tł BŒ • 2.15, chúng tổi cõ th” xƠy dỹng ữổc nhœng v‰ dử ch¿ ra r‹ng h m ch¿ sŁ ch‰nh quy reg(I (n) ) khổng l h m tuy‚n t‰nh trong trữớng hổp i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng.
V‰ dử 2.16 X†t ỗ thà G = cor(K 3 ; 2) nhữ H…nh 2.1 °t J = J(G) l y 1 z 1 x1 x 3 y 3 z 3 x 2 y 2 z 2
H…nh 2.1: ỗ thà cor(K 3 ; 2) i ảan phı cıa ỗ thà G.
Theo BŒ • 2.15, ta cõ (J) = 9=2 i•u n y cõ nghắa l khổng l mºt h m tuy‚n t‰nh theo n. reg(J(G) (n) )
Nh“n x†t 2.17 Nghiản cứu v• t‰nh Koszul cıa i ảan (xem [26]) v Ăp dửng trong trữớng hổp lụy thła h…nh thức cıa i ảan phı J(G) cıa ỗ thà
G = cor(K m ; s) (m > 3; s > 2) th… reg(J(G) (n) ) l mºt h m tüa tuy‚n t‰nh vợi chu ký 2 (xem [12, ành lỵ 5.15]) Cử th”, vợi mồi n > 1, ta cõ reg(J(G) (n) ) = 8 2 9 n
Ch°n trản cıa h m ch¿ sŁ ch‰nh quy
Chữỡng n y chúng tổi ữa ra mºt ch°n trản tŁt cıa h m ch¿ sŁ ch‰nh quy reg(I (n) ), vợi I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng Ch°n n y ữổc mổ tÊ theo cĂc dœ liằu tŒ hổp tł phức ỡn h…nh v siảu ỗ thà liản k‚t vợi i ảan Trong trữớng hổp I l i ảan c⁄nh cıa mºt ỗ thà G, chúng tổi ữa ra ch°n trản cıa reg(I (n) ) theo sŁ gh†p c°p cõ thứ tỹ cıa G K‚t quÊ cıa chữỡng n y ữổc dỹa trản b i bĂo [28].
3.1 I ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng
Gồi l mºt phức ỡn h…nh trản [r] = f1; : : : ; rg Trong trữớng hổp tŒng quĂt, reg(I (n) ) khổng l h m tuy‚n t‰nh theo n khi n ı lợn (xem V‰ dử 2.16), nh÷ng l mºt h m tüa tuy‚n t‰nh theo n theo bŒ • sau.
BŒ • 3.1 ([30], ành lỵ 4.9) Tỗn t⁄i cĂc sŁ nguyản dữỡng N; n0 v cĂc sŁ hœu t¿ a; b 0 ; : : : ; b N 1 < dim(R=I ) + 1 sao cho reg(I (n) ) = an + b k ; vợi mồi n > n 0 v n k mod N; trong â 0 6 k 6 N 1: Hìn nœa, reg(I (n) ) < an + dim(R=I ) + 1 vợi mồi n > 1:
Theo ành lþ 2.7, ta câ a = lim reg(I (n) )
= (I ) = maxfjvj j v l mºt ¿nh cıa SP(I )g: n!1 n
Cho vectỡ = ( 1 ; : : : ; r ) 2 R r , °t j j := 1 + + r Vợi S l mºt t“p con khĂc rỉng, õng v bà ch°n cıa R r , °t
Nh“n x†t 3.2 GiĂ trà (S) ⁄t ữổc t⁄i mºt ¿nh n o õ cıa S (xem [32, Hằ quÊ 2.14]).
X†t a diằn lỗi C m theo Cổng thức (1.4), ta cõ mŁi liản hằ giœa (C 1 ) v (I ) ữổc bi”u thà thổng qua bŒ • sau.
Chứng minh Theo BŒ • 1.21, C1 l a diằn lỗi cõ dim C1 = r, giÊ sò (C1)
= j j vợi l mºt ¿nh n o õ cıa C1 Theo [41, Cổng thức (23), trang 104] th… l nghiằm duy nhĐt cıa hằ phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh:
: trong â S 1 [t] v S 2 [r] sao cho jS 1 j + jS 2 j = r Theo lu“t Cramer th… nghiằm l mºt v†ctỡ cõ cĂc th nh phƒn tồa º l cĂc sŁ hœu t¿ Do v“y, tỗn t⁄i mºt sŁ nguyản dữỡng p sao cho p 2 N r M°t khĂc, C p = pC 1 nản p 2 C p \
Vợi mồi j > 1, °t y = jp + ( 2 Pn) Khi õ, y 2 N r v jyj = (C 1 )jp + j j L⁄i cõ jp 2 C jp v 2 P n nản
: i•u n y ch¿ ra y 2 P jp+n \ N r v y(I (jp+n) ) = hF1; : : : ; Fsi = (I (n) ): (3.1)
Do â dim k He i 1( y(I (jp+n) ); k) = dim k He i 1( (I (n) ); k) 6= 0; hay
Do bĐt flng thức n y thọa mÂn vợi mồi sŁ nguyản dữỡng j, nản ta cõ
BŒ • 3.4 Cho [r] vợi 6= [r], S = k[x i j i 2= ] v J = IR \ S Khi õ, reg(J (n) ) 6 reg(I (n) ) vợi mồi n > 1:
Chứng minh Khổng mĐt t‰nh tŒng quĂt, °t S = k[x 1 ; : : : ; x s ] vợi 1 6 s
H n i (S=J (n) ) 6= 0 v reg(S=J (n) ) = j j + i; trong õ = ( 1 ; : : : ; s ) 2 Z s v n = (x 1 ; : : : ; x s ) l i ảan cỹc ⁄i thuƒn nhĐt cıa S.
X†t = ( 1; : : : ; s; 1; : : : ; 1) 2 Z r , suy ra G = G [fs+1; : : : ; rg Theo BŒ • 1.6, ta câ
Theo BŒ• 1.7, dim k H n i (S=J (n) ) = dim k He i G j 1 ( (J (n) ); k); nản He i G j 1 ( (J (n) ); k) 6= 0 K‚t hổp vợi (3.3), ta cõ
Do jG j = jG j + (r s), theo BŒ • 1.7, ta câ H m i+(r s) (R=I (n) ) 6= 0 Do â reg(R=I (n) ) > j j + i + (r s) = j j + i = reg(S=J (n) ): i•u n y suy ra reg(J (n) ) 6 reg(I (n) ).
K‚t hổp bĐt phữỡng tr…nh trản v ành lỵ 2.7, ta cõ
Ti‚p theo, chúng tổi xƠy dỹng ch°n trản cho bĐt bi‚n a i cıa lụy thła h…nh thức cıa i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng. ành lỵ 3.5 Cho I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng Khi õ vợi mồi i > 0, a i (R=I (n) ) 6 (I)(n 1):
Chứng minh Do I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng nản tł BŒ
• 1.4 suy ra a i (R=I) 6 0 vợi mồi i > 0 V“y ành lỵ úng trong trữớng hổp n
GiÊ sò n > 2 N‚u a i (R=I (n) ) = , ành lỵ l hi”n nhiản Do õ ta giÊ sò a i (R=I (n) ) 6=
Theo BŒ • 1:7, ta câ dim k H i G j 1 ( (I (n) ); k) = dim k H m i (R=I (n) ) 6= 0; (3.4) tức l , (
K‚t hổp vợi (4:1), suy ra H ( (J (n) ); k) = 0 Theo BŒ • 1:7, ta câ e i G j 1
H n i G j (S=J (n) ) 0 6= 0; trong õ n = (x 1 ; : : : ; x m ) l i ảan cỹc ⁄i thuƒn nhĐt cıa S.
Gồi l phức ỡn h…nh trản [m] tữỡng ứng vợi i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng J GiÊ sò F( ) = fF 1 ; : : : ; F t g.
Theo BŒ • 1.8, giÊ sò F( 0(J (n) )) = fF 1 ; : : : ; F s g vợi 1 6 s 6 t °t
: i62F j i62F j suy ra C , trong õ C l a diằn trongữổc xĂc ành bði hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh
Theo BŒ • 1.21, C 1 l a diằn lỗi trong R
Do â j j 6 (C 1 ) Suy ra j 0 j = (n 1)j j 6 (C 1 )(n 1) L⁄i câ j< 0 vợi mồi j 2 G = fm + 1; : : : ; rg, nản a i (R=I (n) ) = j j = j 0 j + ( m+1 + + r) 6 j 0 j 6 (C 1 )(n 1): (3.5) M°t kh¡c, theo c¡c BŒ • 3.3 v 3.4, ta câ
K‚t hổp vợi (3:5), suy ra a i (R=I (n) ) 6 (I)(n 1); ta cõ i•u phÊi chứng minh.
Ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng cõ th” ữổc xĂc ành theo sỹ triằt tiảu cıa ỗng i•u rút gồn cıa phức ỡn h…nh. Theo BŒ • 1.4, ta câ
BŒ • 3.6 Cho phức ỡn h…nh Khi õ reg(R=I ) = maxfd j He d 1(lk ( ); k) 6= 0; vợi 2 n o õg:
Trong trữớng hổp lụy thła h…nh thức cıa I ta cõ k‚t quÊ sau. ành lỵ 3.7 Cho l phức ỡn h…nh Khi õ, reg(I (n) ) 6 (I )(n 1) + b vợi mồi n > 1; trong õ b = maxfreg(I ) j l mºt phức con cıa vợi F( F( )g. Chứng minh °t I = I Gồi i 2 f0; : : : ; dim(R=I)g v 2 Z r sao cho
Theo BŒ • 1.7, ta câ dim k He i G j 1 ( (I (n) ); k) = dim k H m i (R=I (n) ) 6= 0: (3.6)
Suy ra, (I (n) ) khổng l phức xo›n.
N‚u G = [r] th… (I (n) ) ho°c l f;g ho°c l phức trŁng Do (I (n) ) khổng l phức xo›n nản (I (n) ) = f;g Theo (3:6), ta cõ i = jG j = r, suy ra dim(R=I) = r i•u n y cõ nghắa l I = 0 v I (n) = 0 Do õ, reg(I (n) ) = , ành lỵ ữổc chứng minh.
GiÊ sò G = fm + 1; : : : ; rg vợi 1 6 m 6 r D°t S = k[x 1 ; : : : ; x m ] v
K‚t hổp vợi (3:6), ta cõ H ( (J (n) k : ra e i G j 1 0 ); ) 6= 0 Theo BŒ • 1 7, suy
6 trong õ n = (x 1 ; : : : ; x m ) l i ảan thuƒn nhĐt cỹc ⁄i cıa S V“y j 0 j 6 a i G j (S=J (n) ):
K‚t hổp vợi BŒ • 3.4 v ành lỵ 3.5, ta cõ j 0 j 6 (J)(n 1) 6 (I)(n 1):
Tł (3.7) v theo BŒ • 1.10, ta câ
F [ i•u n y ch¿ ra tỗn t⁄i mºt phức ỡn h…nh F cho
Do He i G j 1 (lk (G ); k) 6= 0, nản theo BŒ • 3.6 ta cõ i j G j + 1 6 reg(I ) 6 b:
Hằ quÊ 3.8 Cho I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng Khi õ, reg(I (n) ) 6 (I)(n 1) + dim(R=I) + 1; vợi mồi n > 1:
Chứng minh Gồi l phức ỡn h…nh tữỡng ứng vợi i ảan I Vợi mồi phức con cıa , ta câ dim 6 dim Theo BŒ • 3.6, suy ra reg(I ) 6 dim(R=I ) + 1 6 dim(R=I ) + 1:
Theo ành lþ 3.7, ta câ reg(I (n) ) 6 (I)(n 1) + dim(R=I) + 1; vợi mồi n > 1:
Nhữ chúng ta bi‚t cõ mºt sỹ tữỡng ứng giœa i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng trong v nh R = k[x1; : : : ; xr] v siảu ỗ thà ỡn trản t“p ¿nh
V = fx 1 ; : : : ; x r g Do õ, ành lỵ 3.7 cõ th” ữổc di„n ⁄t l⁄i trong trữớng hổp siảu ỗ thà nhữ sau. ành lỵ 3.9 Cho H l siảu ỗ thà Khi õ, vợi mồi n > 1, reg(I(H) (n) ) 6 (I(H))(n 1) + b; trong â b = maxfpd(R=I(H 0 )) j H 0 l mºt siảu ỗ thà con cıa H vợi
” chứng minh ành lỵ trản, trữợc h‚t ta nh›c l⁄i mºt k‚t quÊ nŒi ti‚ng cıa Terai [44] (ho°c xem [35, ành lỵ 5.59]) v• mŁi quan hằ giœa ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng v chi•u x⁄ Ênh cıa Łi ngÔu Alexander cıa i ảan.
BŒ• 3.10 Cho I R l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng Khi õ, reg(I) = pd(R=I ):
Chứng minh ành lỵ 3.9 Gồi l phức ỡn h…nh tữỡng ứng vợi i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng I(H) GiÊ sò F( ) = fF 1 ; : : : ; F p g Do p \
I(H) = (x i j i 2= F j ); j=1 nản E(H ) = fC 1 ; : : : ; C p g, trong õ C j = [r] n F j vợi mồi j = 1; : : : ; p. Gồi l phức con cıa vợi F( F( ) GiÊ sò F( = fF 1 ; : : : ; F k g,
1 6 k 6 p Khi õ I = I(H 0 ), trong õ H 0 l siảu ỗ thà con cıa H vợi E(H 0 ) fC 1 ; : : : ; C k g.
Theo BŒ• 3.10, ta câ reg(I ) = pd(R=I ) = pd(R=I(H 0 )):
K‚t hổp vợi ành lỵ 3.7, ta suy ra i•u phÊi chứng minh.
BŒ • 3.11 ([11], ành lỵ 3.2) Cho H l mºt siảu ỗ thà Khi õ, pd(R=I(H)) 6 jV (H)j (H): ành lỵ sau cho ta mºt ch°n trản cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lụy thła h…nh thức cıa i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng theo cĂc t‰nh chĐt tŒ hổp cıa siảu ỗ thà liản k‚t vợi i ảan. ành lỵ 3.12 Cho H l mºt siảu ỗ thà Khi õ,reg(I(H) (n) ) 6 (I(H))(n 1) + jV (H)j (H ); vợi mồi n > 1:
Chứng minh Theo ành lỵ 3.9, ta ch¿ cƒn chứng minh pd(R=I(G)) 6 jV (H)j (H ) vợi mồi siảuỗ thà G m E(G) E(H ) Tł BŒ • 3.11, ” chứng minh ành lỵ ta cƒn chứng minh jV (G)j (G) 6 jV (H )j (H ):
Th“t v“y, khổng mĐt t‰nh tŒng quĂt, giÊ sò H khổng cõ c⁄nh tƒm thữớng v cĂc ¿nh cổ l“p.
Gồi S l t“p trºi c⁄nh th nh phƒn cıa G sao cho jSj = (G) Vợi mỉi ¿nh v
2 V (H ) n V (G), lĐy mºt c⁄nh cıa H chứa v, kỵ hiằu F (v) Khi õ,
S 0 = S [ fF (v) j v 2 V (H ) n V (G)g l mºt t“p trºi c⁄nh th nh phƒn cıa H Tł â ta câ
(H ) 6 jS 0 j 6 jSj + jV (H ) n V (G)j = jSj + jV (H )j j V (G)j:
Do â jV (G)j (G) 6 jV (H )j (H ); ta cõ i•u phÊi chứng minh.
Nh›c l⁄i, mºt phức ỡn h…nh ữổc gồi l phức ỡn h…nh matroid n‚u vợi mồi t“p con cıa V ( ) th… phức ỡn h…nh [ ] l phức thuƒn (xem [42, Chữỡng 3]) — Ơy, [ ] l h⁄n ch‚ cıa xuŁng v ữổc xĂc ành bði [ ] = f j 2 v g. V‰ dử sau ch¿ ra r‹ng ch°n trản cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy trong ành lỵ 3.7 l mºt ch°n tŁt vợi mồi n, tức l ch°n cõ dĐu b‹ng xÊy ra.
V‰ dử 3.13 Chol phức matroid v khổng l nõn Khi õ, reg(I (n) ) = (I )(n 1) + b; vợi mồi n > 1; trong õ b = maxfreg(I ) j l phức con cıa vợi F( F( )g.
Chứng minh °t I = I v s = dim(R=I ) Theo [37, ành lỵ 4.5], vợi mồi n > 1 ta câ reg(I (n) ) = d(I)(n 1) + s + 1: i•u n y suy ra lim reg(I (n) ) = d(I); n n!1 v do â (I) = d(I) Ta cƒn ch¿ ra b = s + 1.
Theo ành lþ 3:7, ta câ s + 1 6 b M°t kh¡c, l“p lu“n t÷ìng tü nh÷ trong chứng minh cıa Hằ quÊ 3.8, ta cõ b 6 s + 1.
V“y b = s + 1, ta cõ i•u phÊi chứng minh.
I ảan c⁄nh cıa ỗ thà G
Trong phƒn n y chúng tổi Ăp dửng ành lỵ 3.7 ” nghiản cứu v• h m ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lụy thła h…nh thức cıa i ảan c⁄nh cıa mºt ỗ thà ” xƠy dỹng ch°n cho hằ sŁ b trong ành lỵ 3.7, chúng tổi x†t h m sŁ sŁ hồc sau. ành lỵ 3.14 Cho l phức ỡn h…nh trản [r] v °t
GiÊ sò f : Simp( ) ! N l h m sŁ thọa mÂn cĂc t‰nh chĐt sau:
(i) N‚u 2 Simp( ) l mºt ìn h…nh th… f( ) = 0;
(ii) Vợi mồi 2 Simp( ) v mồi v 2 V ( ) sao cho khổng l nõn trản v th… f(lk (v)) + 1 6 f( ).
Khi õ, vợi mồi phức con cıa m F( F( ) th… reg(I ) 6 f( )+1.
Chứng minh Vợi t“p con S bĐt k… cıa [r], °t p S = (x i j i 2 S) R Trữợc h‚t ta chứng minh khflng ành sau: Vợi mồi S [r] th… reg(p S + I ) 6 f( ) + 1; (3.8) trong õ mồi phức ỡn h…nh •u x†t trản [r].
Th“t v“y, n‚u jV ( )j 6 1 th… l mºt ỡn h…nh Trong trữớng hổp n y, khflng ành trản l hi”n nhiản.
GiÊ sò jV ( )j > 2 N‚u l ỡn h…nh th… khflng ành trản l úng v… reg(p S + I ) = 1 = f( ) + 1:
Do õ, ta giÊ sò khổng l ỡn h…nh Ta s‡ chứng minh khflng ành trản b‹ng phữỡng phĂp quy n⁄p lũi theo lỹc lữổng cıa S.
Suy ra, reg(p S + I ) = 1 Khflng ành (3.8) l óng.
GiÊ sò jSj < r N‚u p S + I l nguyản tŁ, tức l p S + I l i ảan ữổc sinh bði cĂc bi‚n Khi õ, reg(p S + I ) = 1 nản (3.8) úng.
GiÊ sò p S + I khổng phÊi nguyản tŁ Khi õ, tỗn t⁄i bi‚n x v vợi v 2 [r] sao cho x v xuĐt hiằn trong mºt ỡn thức sinh n o õ cıa p S + I cõ b“c ‰t nhĐt b‹ng 2 v v 2= S Chú ỵ r‹ng, n‚u u khổng phÊi l ¿nh cıa th… x u l mºt ỡn thức sinh cıa I , v n‚u l nõn trản ¿nh w n o õ th… x w khổng xuĐt hiằn trong bĐt cứ ỡn thức sinh n o cıa I i•u n y suy ra v l mºt ¿nh cıa v khổng l nõn trản v M°t khĂc, F( F( ) nản cụng khổng l nõn trản v.
(pS + I ) + (xv) = pS[fvg + I ; v (pS + I ) : (xv) = pS + I 0 ; trong õ 0 l phức con cıa vợi F ( 0 ) = fF 2 F( j v 2 F g.
Theo [10, BŒ• 2.10], ta câ reg(pS + I ) 6 maxfreg(pS[fvg + I ); reg(pS + I 0 ) + 1g: (3.9) Theo gi£ thi‚t quy n⁄p, ta câ reg(pS[fvg + I ) 6 f( ) + 1: (3.10)
Ta chứng minh khflng ành sau: reg(p S + I 0) 6 f( ): (3.11)
Th“t v“y, n‚u p S + I 0 l i ảan nguyản tŁ th… reg(p S + I 0 ) = 1 Do khổng phÊi l nõn trản v nản theo ành nghắa cıa f ta cõ f( ) > f(lk (v)) + 1 > 1:
GiÊ sò p S + I 0 khổng l i ảan nguyản tŁ Ta cõ
I 00 = (x v ) + I 0 ; trong õ 00 = lk 0 (v) v phức ỡn h…nh n y cụng ữổc x†t trản [r] Do bi‚n x v khổng xuĐt hiằn trong bĐt k… phƒn tò sinh n o cıa I 0 nản reg(I 00 ) reg(I 0).
M°t kh¡c, theo gi£ thi‚t quy n⁄p th… reg(I 00 ) = reg(I lk 0 (v)) 6 f(lk (v)) + 1: i•u n y ch¿ ra r‹ng reg(p S + I 0 ) 6 reg(I 0 ) = reg(I 00 ) 6 f(lk (v)) + 1:
Theo giÊ thi‚t f(lk (v)) + 1 6 f( ), nản reg(p S + I 0 ) 6 f( ) Nhữ v“y khflng ành ữổc chứng minh.
K‚t hổp (3.9)-(3.11), ta cõ reg(p S + I ) 6 f( ) + 1 Do õ (3.8) ữổc chứng minh. p dửng (3.8) trong trữớng hổp S = ;, ta cõ reg(I ) 6 f( ) + 1:
V“y ành lỵ ữổc chứng minh.
Trong trữớng hổp ỗ thà, ành lỵ 3.14ữổc phĂt bi”u nhữ sau.
Hằ quÊ 3.15 Cho ỗ thà G v °t I G = fG n N G [S] j S 2 (G)g GiÊ sò f : I G !
N l h m sŁ thọa mÂn cĂc t‰nh chĐt sau:
(ii) Vợi mồi ỗ thà H v mồi ¿nh v khổng cổ l“p cıa H th… f(H n N H [v]) + 1 6 f(H):
Khi õ, vợi mồi phức con cıa (G) vợi F( F( (G)) th… reg(I ) 6 f(G) + 1:
Chứng minh Vợi mồi ỗ thà H v S 2 (H), ta luổn cõ
Vợi mồi H 2 I G , ta x†t h m sŁ g ữổc xĂc ành nhữ sau: g : Simp( (G)) ! N
Chú ỵ r‹ng vợi mồi ỗ thà H, (H) l ỡn h…nh n‚u v ch¿ n‚u H l ỗ thà tƒm thữớng, v (H) l mºt nõn trản ¿nh v n‚u v ch¿ n‚u v l mºt ¿nh cổ l“p cıa H. Nhữ v“y, g l h m sŁ thọa mÂn cĂc i•u kiằn trong ành lỵ 3.14, nản reg(I ) 6 g( (G)) + 1 = f(G) + 1:
V“y hằ quÊ ữổc chứng minh.
Nh“n x†t 3.16 GiÊ sò H l mºt siảu ỗ thà ỡn v S V (H) Gồi N H [S] l lƠn c“n õng cıa S trong H, (H) l phức ºc l“p cıa H Ta luổn cõ cĂc flng thức I(H) = I (H) v (H n N H [S]) = lk (H) (S) vợi H l mºt siảu ỗ thà bĐt k… H m sŁ f : fH n N H [S] j S 2 (H)g ! N ữổc xĂc ành nh÷ sau:
(H 0 ) 1 trong cĂc trữớng hổp cặn l⁄i:
Tữỡng tỹ nhữ cĂch chứng minh trong ành lỵ 3.12, ta cõ th” ch¿ ra r‹ng h m sŁ f thọa mÂn cĂc i•u kiằn cıa ành lỵ 3.14 Tł õ, chúng ta cõ mºt cĂch chứng minh khĂc cıa BŒ • 3.11.
Trong trữớng hổp i ảan c⁄nh cıa ỗ thà G, ành lỵ 3.7 ữổc phĂt bi”u l⁄i nh÷ sau.
BŒ • 3.17 Cho G l mºt ỗ thà Khi õ, reg(I(G) (n) ) 6 2(n 1) + b; vợi mồi n > 1; trong â b = maxfreg(I ) j l mºt phức con cıa (G) vợi F( F( (G))g:
Chứng minh Ta cõ I(G) = I (G) v (I(G)) = 2 theo V‰ dử 2.12.
Do õ, theo ành lỵ 3.7 ta cõ i•u phÊi chứng minh.
Ti‚p theo, chúng tổi x†t k‚t quÊ ch‰nh cıa phƒn n y. ành lỵ 3.18 Cho ỗ thà G Khi õ, reg(I(G) (n) ) 6 2n + ord-match(G) 1; vợi mồi n > 1:
Chứng minh Theo BŒ • 3.17, ta cƒn ch¿ ra reg(I ) 6 ord-match(G) + 1 vợi mồi phức con cıa (G) vợi F( F( (G)).
X†t h m sŁ f : I G ! N ữổc xĂc ành nhữ sau: f(H) = 80 n‚u H l tƒm th÷íng;
1:
Chứng minh Th“t v“y, vợi mồi sŁ nguyản dữỡng n, theo [19, ành lỵ 4.6], ta cõ ch°n dữợi reg(I(G) (n) ) > 2n + (G) 1: (3.12) M°t khĂc, theo ành lỵ 3.18 v ord-match(G) = (G) nản ta cõ ch°n trản reg(I(G) (n) ) 6 2n + (G) 1: (3.13)K‚t hổp (3.12) v (3.13), ta cõ i•u phÊi chứng minh.
Nh“n x†t 3.21 Theo [16], Fakhari  chứng minh r‹ng flng thức reg(I(G) (n) ) = 2n + (G) 1 xÊy ra vợi mồi n > 1 khi G l ỗ thà Cameron-Walker ( ỗ thà G ữổc gồi l Cameron-Walker n‚u (G) = match(G) (xem [27])).
Nhữ v“y, k‚t quÊ n y cõ th” ữổc xem nhữ mºt hằ quÊ cıa ành lỵ 3.18(ho°c Hằ quÊ 3.20) v… Łi vợi cĂc ỗ thà Cameron-Walker ta luổn cõ ord- match(G) = (G) (do (G) 6 ord-match(G) 6 match(G)).
T‰nh Œn ành cıa h m ch¿ sŁ ch‰nh quy
Trong ch÷ìng hai chóng ta th§y r‹ng h m ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lôy thła h…nh thức cıa i ảan phı cıa mºt ỗ thà trong trữớng hổp tŒng quĂt khổng phÊi l mºt h m tuy‚n t‰nh khi n ı lợn Tuy nhiản, trong trữớng hổp ỗ thà hai phƒn, theo Herzog, Hibi v N V Trung [24] th… J(G) (t) J(G) t , nản h m ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lụy thła cıa i ảan phı cıa ỗ thà l mºt h m tuy‚n t‰nh khi n ı lợn Hỡn nœa, theo [22], tỗn t⁄i 0 6 b 6 dim
R=J(G) d(J(G)) + 1 sao cho reg(J(G) n ) = d(J(G))n + b vợi mồi n > jV (G)j + 2, hay reg-stab(J(G)) 6 jV (G)j + 2 Trong ch÷ìng n y, b‹ng c¡ch sò dửng cĂc kÿ thu“t  ữổc tr…nh b y trong chữỡng 2 v chữỡng 3 khi nghiản cứu v• nghiằm cıa hằ cĂc bĐt phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh cho trữớng hổp I = J(G), chúng tổi ữa ra nhœng ch°n tŁt hỡn cho hằ sŁ b v ch¿ sŁ Œn ành reg-stab(J(G)) cıa ỗ thà hai phƒn K‚t quÊ tr…nh b y cıa chữỡng ữổc dỹa trản b i bĂo [20].
4.1 a diằn nguyản ứng vợi ỗ thà hai phƒn
Trữợc h‚t, chúng tổi xƠy dỹng cĂc a diằn lỗi Pn v Cn theo mửc 1.5.2. trong trữớng hổp ỗ thà.
Cho G = (V (G); E(G)) l ỗ thà hai phƒn vợi t“p ¿nh V (G) = f1; : : : ; rg v t“p c⁄nh E(G) GiÊ sò
Theo BŒ • 1:7, ta câ dim k H i 1( (J(G) n ); k) = dim k H i (R=J(G) n ) = 0; (4.1) tức l , (J(G)e n
GiÊ sò E(G) = fe 1 ; : : : ; e t g Theo Phữỡng tr…nh (1:1), ta cõ
Do (J(G) n ) khổng l phức xo›n, theo BŒ • 1:15, ta giÊ sò r‹ng
Vợi mỉi sŁ nguyản n > 1, P n l t“p nghiằm trong R r cıa hằ sau:
2 P n Hìn nœa, theo BŒ • 1:15, ta câ
(J(G) m ) = hV (G) n e 1 ; : : : ; V (G) n e s i = (J(G) n ) vợi bĐt k… 2 P m \ N r : t“p nghiằm trong R r cıa hằ
” nghiản cứu v• P n , chúng tổi x†t C n l sau:
Do G l ỗ thà hai phƒn nản G l mºt siảu ỗ thà unimodular (theo [4,ành lỵ 5]) Do õ, theo [41, ành lỵ 19:1], Pn v Cn •u l cĂc a diằn nguyản, tức l mồi ¿nh cıa nõ •u cõ cĂc th nh phƒn tồa º nguyản Hỡn nœa,
BŒ • 4.1 C 1 l mºt a diằn lỗi cõ dim C 1 = r Hỡn nœa, n‚u ( 1 ; : : : ; r) 2 R r l mºt ¿nh cıa C 1 , th… 2 f0; 1g r :
Chứng minh Th“t v“y, theo [21, BŒ • 2:1], ta cõ C 1 l mºt a diằn lỗi vợi dim C 1 = r.
GiÊ sò l mºt ¿nh cıa C1, theo [41, Cổng thức (23), trang 104], l nghiằm duy nhĐt cıa hằ cĂc phữỡng tr…nh tuy‚n t‰nh cõ d⁄ng
2 ; S 2 f 1; : : : ; rg v 2 S 1 j +jS 2j = r. j M°t khĂc, ma tr“n liản thuºc A(G) cıa ỗ thà hai phƒn G l unimodular ho n to n Do õ, ma tr“n cıa Hằ (4.4) cụng l unimodular ho n to n. Theo [41, ành lþ 2.17], ta câ l f0; 1g v†ctì.
Nh“n x†t 4.2 Do C n = nC 1 , nản C n l mºt a diằn lỗi L⁄i cõ, P n C n , nản P n cụng l mºt a diằn lỗi.
Do C 1 l a diằn lỗi cõ chi•u r, nản tỗn t⁄i v†ctỡ = ( 1 ; : : : ; r ) 2 C 1 sao cho
(C 1 ) = j j = 1 + + r: °t a := j j = (C 1 ), ta câ a > 1 Chó þ r‹ng n công l mºt v†ctì cıa C n v (C n ) = an Do P n C n , nản (P n ) 6 an v ta cõ th” °t
BŒ • 4.3 N‚u Pn =6 ;, th… Pn+1 =6 ; v bn > bn+1.
Chứng minh GiÊ sò = ( 1 ; : : : ; r) 2 P n sao cho (P n ) = j j Do l nghiằm cıa Hằ (4:2), v l nghiằm cıa Hằ (4:3) vợi n = 1, theo BŒ • 4.1 ta câ 2 f0; 1g r °t + = = ( 1 ; : : : ; r ), ta suy ra
n + 1 vợi f u; vg 2 E 2 :: i•u n y suy ra 2 P n+1 Do â, P n+1 6= ; v (P n+1 ) > j j + j j Do (P n+1 ) a(n + 1) b n+1 v j j + j j = a(n + 1) b n , ta câ b n > b n+1
Gồi l l º d i cıa ữớng i ỡn d i nhĐt trong G Trong bŒ • sau, chúng tổi ch¿ ra r‹ng (P n ) l mºt h m tuy‚n t‰nh theo n vợi mồi n > l + 1 2
BŒ • 4.4 Tỗn t⁄i sŁ nguyản khổng Ơm b sao cho
2 Chứng minh °t a = (C 1 ) Vợi n > 1 m P n 6= ;, °t (P n ) = an b n trong õ b n l mºt sŁ nguyản khổng Ơm Theo BŒ • 4:3, ta cõ b n > b n+1 >
> 0 Do õ, tỗn t⁄i n0 > 1 sao cho bn = bn0 vợi n > n0 °t b := bn0 Khi õ,
(P n ) = an b; vợi mồi n > n 0 : L⁄i theo BŒ • 4:3, khi P n 6= ; ta luổn cõ
Gồi s l sŁ nguyản sao cho s > max 2r 2 + b; n 0 Khi õ, ta cõ
Do P s l mºt a diằn lỗi, nản (P s ) = j j vợi l mºt ¿nh n o õ cıa
P s Chú ỵ r‹ng, a diằn lỗi P s ữổc xĂc ành bði hằ
> thức> (23), trang 104], l nghiằm duy nhĐt cıa hằ cĂc
Theo [41, Cổng : ph÷ìng tr…nh tuy‚n t‰nh câ d⁄ng
: trong â S 1 E 1 ; S 2 E 2 ; S 3 [r] sao cho jS 1 j + jS 2 j + jS 3 j = r.
Gồi H l ỗ thà con cıa G vợi V (H) = V (G) v E(H) = S 1 [ S 2 GiÊ sò H 1 ; : : : ; H p l cĂc th nh phƒn liản thổng cıa H.
Ti‚p theo, chúng ta chứng minh cĂc khflng ành sau.
Khflng ành 1: H i l cƠy v jV (H i ) \ S 3 j = 1 vợi mỉi i = 1; : : : ; p.
Th“t v“y, do Hằ (4.6) cõ nghiằm duy nhĐt nản hằ
:x t = 0; vợi t 2 S 3 \ V (H i ); cụng cõ nghiằm duy nhĐt Do õ, ta cõ sŁ phữỡng tr…nh b‹ng sŁ bi‚n i•u n y cõ nghắa l jV (H i )j = jE(H i )j + jS 3 \ V (H i )j: (4.8)
Theo BŒ • 1.14, ta cõ S 3 \V (H i ) 6= ; K‚t hổp vợi Phữỡng tr…nh (4.8) v BŒ • 1.11, ta suy ra jE(H i )j = jV (H i )j 1; jS 3 \ V (H i )j = 1; v H i l c¥y:
Ta cõ khflng ành ữổc chứng minh.
Tł Khflng ành 1, vợi i = 1; : : : ; p, giÊ sò V (H i ) \ S 3 = u i Do H i l cƠy, nản vợi mồi ¿nh v 2 H i , tỗn t⁄i mºt ữớng i ỡn duy nhĐt trong H i tł v ‚n u i , v ta giÊ sò r‹ng ữớng i n y cõ d⁄ng u i = v 0 ; v 1 ; : : : ; v n = v; trong â n = dist H i (v; u i ) l kho£ng c¡ch giœa v v u i
Khflng ành 2: Vợi mồi ¿nh v cıa H i , ta cõ 0 6 a v 6 ddist(v; u i ). v v= 8 a v n‚u dist(v; u i ) chfin;
Khi õ, a v = b n ” chứng minh khflng ành trản ta cƒn chứng minh
0 6 b 2f 6 f; v 0 6 b 2f+1 6 f + 1; v v 2f = b 2f ; v v 2f+1 = s b 2f+1 ; vợi cĂc ch¿ sŁ khổng vữổt quĂ n.
Ta chứng minh quy n⁄p theo f N‚u f = 0, th… b 0 = 0 v v 0 = u i = 0 do u i 2 S 3 Ta cõ b 1 = 1 2 f0; 1g, nản 0 6 b 1 6 1 M°t khĂc, do v 1
1 nản v 1 = s 1= s b 1 Do õ, khflng ành úng trong trữớng hổp f = 0. GiÊ sò f > 1 Theo giÊ thi‚t quy n⁄p, 0 6 b
2f 1 6 f v v 2f 1 = s b 2f 1 Tł ph÷ìng tr…nh v 2f
Do b 2f 1 6 f theo giÊ thi‚t quy n⁄p nản ta cõ b 2f 6 f M°t khĂc, do
Tł ph÷ìng tr…nh v 2f + v 2f+1 = s 2f+1 , ta câ v 2f+1
L⁄i cõ 0 6 b 2f 6 f, nản 0 6 b 2f+1 6 f + 1, khflng ành ữổc chứng minh.
Vợi mỉi n > (l + 1)=2, x†t i”m nguyản (n) = ( 1 (n); : : : ; r (n)) 2 Z r trong â v(n) = 8a v n‚u v 2 H i v dist(v; u i ) chfin;
0 n‚u v 2 V (Hi) v dist(v; ui) lã vợi i = 1; : : : ; p n o õ.
Trong trữớng hổp n y, v (n) = n a v L⁄i theo Khflng ành 2, ta cõ a v 6 ddist H i (v; u i )e 6 (l + 1)=2 6 n nản v (n) > 0.
Ti‚p theo, chúng ta ch¿ ra r‹ng u (n) + v(n) 6 n 1 vợi fu; vg 2 E1. GiÊ sò u 2 V (H i ) v v 2 V (H j ) CĂc trữớng hổp cõ th” xÊy ra nhữ sau.
Trữớng hổp 1: dist(u; ui) v dist(v; uj) •u chfin N‚u i = j, tỗn t⁄i hai ữớng i cõ º d i chfin tł u v v tợi ui Do fu; vg l mºt c⁄nh cıa G, ta suy ra G chứa mºt chu tr…nh lã, mƠu thuÔn vợi giÊ thi‚t G l ỗ thà hai phƒn V“y, i 6= j Trong trữớng hổp n y, u(n) = a u v v(n) = a v , do õ u (n) + v (n) = a u + a v 6 dist H i
N‚u ta cõ mºt ữớng i ỡn p 1 trong H i tł u i tợi u, v mºt ữớng i ỡn p 2 trong H j tł v tợi u j , th… ta cõ mºt ữớng i ỡn p 1 ; u; v; p 2 tł u i tợi u j trong G i•u n y ch¿ ra dist H i (u; u i ) + dist H j (v; u j ) 6 l 1 K‚t hổp vợi bĐt phữỡng tr…nh trản ta cõ u(n) + v(n) 6 l 1 6 n 1:
Trữớng hổp 2: dist(u; u i ) chfin v dist(v; u j ) lã Theo Khflng ành 2, ta câ u+ v = s + a u a v 6 s 1; doõ a u a v 6 1 Tł õ suy ra u (n) + v (n) = n + a u a v 6 n 1 Trữớng hổp 3: dist(u; u i ) lã v dist(v; u j ) chfin Trữớng hổp n y chứng minh tữỡng tỹ nhữ trữớng hổp 2.
Trữớng hổp 4: dist(u; u i ) v dist(v; u j ) •u lã Theo Khflng ành 2 ta cõ u+ v = 2s au a v 6 s 1:
Do s > 2r, a u 6 r 1 v a v 6 r 1 nản trữớng hổp n y khổng th” xÊy ra.
Do õ, ta luổn cõ u (n) + v(n) 6 n 1 vợi mồi fu; vg 2 E 1
Chứng minh ho n to n tữỡng tỹ, ta cõ u (n) + v (n) > n vợi mồi fu; vg 2
V“y ta luổn cõ (n) 2 P n vợi mồi n > (l + 1)=2, v khflng ành ữổc chứng minh.
Ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lụy thła cıa i ảan phı
Trong phƒn n y, chúng tổi ch¿ ra mºt ch°n cho n 0 sao cho reg J(G) n cıa ỗ thà hai phƒn G l mºt h m tuy‚n t‰nh theo n vợi mồi n > n 0 Trữợc h‚t ta x†t bŒ • sau.
BŒ • 4.5 Cho G l ỗ thà hai phƒn vợi J := J(G) l i ảan phı cıa ỗ thà Gồi l l º d i ữớng i ỡn d i nhĐt trong G Khi õ, vợi mồi s > (l + 1)=2, tỗn t⁄i cĂc sŁ nguyản khổng Ơm a v b sao cho
(ii) b 6 maxfreg J(H) j H l mºt ỗ thà con cıa Gg;
Chứng minh N‚u E(G) ch¿ cõ mºt c⁄nh duy nhĐt th… reg J(G) s = s vợi mồi s > 1 Do õ, bŒ • úng trong trữớng hổp n y.
GiÊ sò E(G) cõ ‰t nhĐt hai c⁄nh Vợi s > (l + 1)=2 bĐt k…, giÊ sò reg(R=J s ) = a i (R=J s ) + i; vợi 0 6 i 6 dim(R=J) n o õ; v a i (R=J s ) = j j; trong â 2 Z r sao cho H m i
Theo BŒ• 1.7, ta câ dim k He i G j 1 ( (J s ); k) = dim k H m i (R=J s ) 6= 0: (4.9) i•u n y suy ra, (J s ) khổng l phức xo›n.
N‚u G = [r], th… (J s ) ho°c l f;g ho°c l mºt phức trŁng Do (J s ) khổng l phức xo›n, nản (J s ) = f;g Theo BŒ • 1:6, ta suy ra J s l mºt i ảan m- nguyản sỡ cıa R i•u n y suy ra G cõ duy nhĐt mºt c⁄nh, mƠu thuÔn.
Do õ, ta giÊ sò G = ft + 1; : : : ; rg vợi 1 6 t 6 r n o õ Vợi = ( 1 ; : : : ; t ;
1; : : : ; 1) 2 Z r bĐt k…, theo BŒ • 1:6, ta luổn cõ (J s ) = (J s ) K‚t hổp vợi BŒ • 1.7 v Cổng thức (4.9), ta cõ
Suy ra, a i (R=J s ) > j j Hi”n nhiản, j 6 j vợi j = t + 1; : : : ; r, nản j = 1 vợi j = t + 1; : : : ; r Do õ, a i (R=J s ) = j 0 j j G j vợi
0= ( 1; : : : ; t) 2 N t , v reg(R=J s ) = j 0 j + i j G j: (4.10) °t S = k[x 1 ; : : : ; x t ] v giÊ sò G 0 l ỗ thà trản t“p ¿nh V (G 0 ) f1; : : : ; tg vợi t“p c⁄nh E(G 0 ) = fe 2 E(G) j e V (G 0 )g Theo BŒ • 1:6, ta câ:
JR G \ S = J(G 0 ) =: J 0 : (4.11) Theo BŒ • 1:6 v (4:11), ta câ
0(J 0k ) = (J k ) vợi bĐt k… k > 1; v do õ 0(J 0k ) khổng l phức xo›n.
(J 0 ) = hV (G 0 ) n e j e 2 E(G 0 )i : Theo BŒ • 1:15, ta câ th” vi‚t E(G 0 ) = E 1 [ E 2 sao cho
Vợi mỉi n > 1, P n l t“p nghiằm trong R t cıa hằ sau:
Ta cõ a diằn liản k‚t C n cıa P n ữổc xĂc ành bði
Th“t v“y, gồi 0 = ( 1 ; : : : ; t ) l mºt ¿nh cıa P n sao cho (P n ) = j 0 j °t
Hi”n : 2 1 nhiản, cõ cĂc th nh phƒn tồa º khổng Ơm, nản C
V“y khflng ành ữổc chứng minh.
K‚t hổp vợi BŒ • 4.4, suy ra tỗn t⁄i sŁ nguyản khổng Ơm f sao cho vợi mồi n > (l + 1)=2 ta cõ
K‚t hổp vợi (4.9) v BŒ • 1.7, ta cõ dim k H m i (R=J n ) = dim k H m i (R=J s ) 6= 0:
Suy ra, a i (R=J n ) > j j = j 0 j j G j i•u n y k†o theo, reg(R=J n ) > (P n ) + i j G j = a(n 1) + i j G j f; (4.13) vợi mồi n > (l + 1)=2.
Do 0 2 P s, tł (4.10), (4.12) v (4.13) ta câ reg(R=J s ) = (P s ) + i j G j = a(s 1) + i j G j f: (4.14)
Chú ỵ r‹ng vợi bĐt k… i ảan thuƒn nhĐt khĂc khổng I cıa R, ta cõ reg(I) = reg(R=I) + 1 Do õ, tł (4.13) v (4.14), ta cặn cƒn chứng minh b 6 e trong â b = i j G j f + 1 v e = maxfreg(J(H)) j
H l mºt ỗ thà con cıa Gg L‰ lu“n tữỡng tỹ nhữ trong ành lỵ 3.7, ta cõ i j G j + 1 6 e i•u n y ch¿ ra b 6 e, v bŒ • ữổc chứng minh.
Ti‚p theo chúng tổi chứng minh ành lỵ ch‰nh cıa phƒn n y. ành lỵ 4.6 Cho G l ỗ thà hai phƒn Tỗn t⁄i sŁ nguyản khổng Ơm b vợi
0 6 b 6 e d(J(G)), sao cho reg J(G) n = d(J(G))n+b vợi mồi n > max 2 ; e b d (J(G)) + 1 ; l + 1 trong õ l l º d i cıa ữớng i ỡn lợn nhĐt trong G v e = maxfreg(J(H)) j H l mºt ỗ thà con cıa Gg:
Chứng minh °t J = J(G) v d = d(J) Ta chứng minh ành lỵ dữợi d⁄ng tữỡng ữỡng sau: tỗn t⁄i sŁ nguyản khổng Ơm b vợi d 6 b 6 e, sao cho reg J(G) n = d(n 1) + b vợi mồi n > max 2 ; e b + 1 : l + 1 Nhữ chúng ta  bi‚t, tỗn t⁄i cĂc sŁ nguyản b > d v s 0 > 1 sao cho reg(J s ) = d(s 1) + b vợi mồi s > s 0 : (4.15)
Do J l i ảan khổng xo›n nản J s = J (s) Theo ành lỵ 3.7, suy ra b 6 e 6 r 1.
Ta chứng minh khflng ành sau: reg(J s ) > d(s 1) + b vợi mồi s > (l + 1)=2: (4.16)
Th“t v“y, x†t n > maxfs 0 ; r + 1g Theo BŒ • 4.5, tỗn t⁄i cĂc sŁ nguyản khổng Ơm d 1 v b 1 vợi b 1 6 e sao cho reg(J n ) = d 1 (n 1) + b 1 ; v reg(J s ) > d 1 (s 1) + b 1 vợi mồi s > (l + 1)=2:
Do õ, ta cƒn ch¿ ra d = d 1 v b = b 1 Tł cĂc flng thức reg(Jn) = d(n 1) + b = d1(n 1) + b 1 ; ta câ (d d1)(n 1) = (b1 b) Do jb1 bj 6 maxfb; b1g 6 e v n suy ra d = d1 v do õ b = b1, ta cõ khflng ành trản.
Vợi bĐt k… n > maxf(l + 1)=2; e b + 1g, ta s‡ chứng minh
Th“t v“y, theo BŒ • 4.5, tỗn t⁄i cĂc sŁ nguyản > 0 v c 6 e sao cho reg(Jn) = (n 1) + c: (4.17) v reg(J s ) > (s 1) + c vợi s > (l + 1)=2: (4.18)
Ta x†t hai trữớng hổp sau:
Trữớng hổp 1: = d Tł (4.15) v (4.18), ta cõ b > c M°t khĂc, tł
(4.16) v (4.17), ta câ b 6 c Do â, b = c Theo (4.17), ta câ reg(J n ) = d(n
Trữớng hổp 2: < d Tł (4.16) v (4.17), ta cõ reg(Jn) = (n 1) + c > d(n 1) + b; v do â (d )(n 1) 6 c b i•u n y suy ra n 1 6 c n 6 c b + 1 M°t kh¡c, n > e b + 1 > c b + 1 Do õ, n = c v d = 1 Trong trữớng hổp n y, ta câ b, hay b + 1 reg Jn = (n 1) + c = d(n 1) + b:
V“y ành lỵ ữổc chứng minh.
Hằ quÊ 4.7 Cho G l mºt ỗ thà hai phƒn vợi r ¿nh Khi õ, tỗn t⁄i sŁ nguyản khổng Ơm b 6 r d(J(G)) 1 sao cho reg J(G) n = d(J(G))n + b; vợi mồi n > 2 r
: Chứng minh Theo ành lỵ 4.6, tỗn t⁄i sŁ nguyản khổng Ơm b vợi 0 6 b 6 e d(J(G)), sao cho reg J(G) n = d(J(G))n+b vợi mồi n > max 2 ; e b d(J(G)) + 1 ; l + 1 trong õ l l º d i cıa ữớng i ỡn lợn nhĐt trong G v e = maxfreg(J(H)) j H l mºt ỗ thà con cıa Gg.
Vợi ỗ thà H bĐt ký cõ V (H) f1; : : : ; rg v E(H) 6= ;, ta cõ reg(J(H)) = reg(R=J(H)) + 1 6 dim(R=J(H)) + 1 = r 1 :
Ti‚p theo ta ch¿ ra ; e b d(J(G)) + 1 6
Th“t v“y, gồi (X; Y ) l hai phƒn cıa ỗ thà G Khi õ, X v Y l cĂc phı¿nh tŁi ti”u cıa G Do d(J(G)) l lỹc lữổng lợn nhĐt cıa cĂc phı ¿nh tŁi ti”u cıa G, ta câ d(J(G)) > maxfjXj; jY jg > r=2:
Do â, max 2 ; e b d (J(G)) + 1 6 2 ; l + 1 r v hằ quÊ ữổc chứng minh Nh“n x†t 4.8 Ch°n cıa b trong ành lỵ 4.6 l mºt ch°n tŁt Łi vợi lợp ỗ thà hai phƒn ƒy ı Th“t v“y, giÊ sò G l mºt ỗ thà hai phƒn ƒy ı vợi r ¿nh v G = A [ B trong õ jAj = r 1 6 jBj = r 2
Khi â, d(J(G)) = r 2 : Theo ành lỵ 4.6, tỗn t⁄i sŁ nguyản khổng Ơm b 6 e d(J(G)) sao cho reg J(G) n = d(J(G))n+b vợi mồi n > max 2 ; e b d(J(G)) + 1 ; l + 1 trong õ l l º d i cıa ữớng i ỡn lợn nhĐt trong G v e = maxfreg(J(H)) j H l mºt ỗ thà con cıa Gg:
Theo [34, ành lþ 4.6], ta câ reg(J(G) n ) = n:d(J(G)) + r 1 1 vợi mồi n > 1: i•u n y suy ra b = r 1 1.
L⁄i cõ, b 6 e d(J(G)) nản r1 1 6 e r2 i•u n y tữỡng ữỡng vợi e > r1 + r2 1 = r 1 (V… r = r1 + r2):
M°t khĂc, ta luổn cõ e 6 r 1 (nhữ chứng minh trong Hằ quÊ 4.7) V“y e = r 1 Do â, b = r 1 1 = e d(J(G)):
Trong lu“n Ăn n y, b‹ng cĂc cổng cử ⁄i sŁ v tŒ hổp, chúng tổi  ⁄t ữổc mºt sŁ k‚t quÊ ch‰nh sau:
Ch¿ ra ữổc sỹ tỗn t⁄i cĂc giợi h⁄n lim n!1 d(I (n) )
; lim n!1 reg(I (n) ) nn (hai giợi h⁄n n y b‹ng nhau) trong trữớng hổp I l mºt i ảan ỡn thức bĐt k…, ỗng thới mổ tÊ mºt cĂch cử th” v• giợi h⁄n n y ( ành lỵ 2.5 v ành lþ 2.7). ữa ra mºt v‰ dử ch¿ ra h m ch¿ sŁ ch‰nh quy reg(I (n) ) khổng l h m tuy‚n t‰nh khi n ı lợn trong trữớng hổp I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng (V‰ dử 2.16).
XƠy dỹng mºt ch°n trản tŁt cho reg(I (n) ) trong trữớng hổp I l i ảan ỡn thức khổng chứa b…nh phữỡng theo cĂc dœ liằu tŒ hổp tł phức ỡn h…nh ( ành lỵ 3.7) v siảu ỗ thà liản k‚t ( ành lỵ 3.12), v theo sŁ gh†p c°p cõ thứ tỹ cıa G trong trữớng hổp i ảan c⁄nh cıa mºt ỗ thà G ( ành lỵ 3.18).
Ch¿ ra mºt ch°n trản cho ch¿ sŁ Œn ành cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lụy thła cıa i ảan phı cıa ỗ thà hai phƒn ( ành lỵ 4.6).
1 L X Dung, T T Hien, N D Hop and T N Trung (2021), Reg- ularity and Koszul property of symbolic powers of monomial ide- als,Mathematische Zeitschrift, 298 , no 3-4, 1487-1522.
2 T T Hien and T N Trung (2023), Regularity of symbolic powers of square-free monomial ideals, Arkiv for Matematik, 61, pp 99 121.
3 N T Hang and T T Hien (2023), Regularity of powers of cover ideals of bipartite graphs, International Journal of Algebra and Com-putation, 33(2), pp 317 335.
- Xảmina ⁄i sŁ v Lỵ thuy‚t sŁ - Viằn ToĂn hồc.
- Hºi nghà nghiản cứu sinh cıa Viằn ToĂn hồc: 11/2019; 11/2020; 11/2021.
- Hºi nghà V§n • v T‰nh to¡n trong ⁄i sŁ giao ho¡n (H Nºi): 10/2020.
- Hºi nghà ⁄i sŁ - H…nh hồc - Tổpổ (ThĂi Nguyản): 10/2021.
- Hºi thÊo Lỵ thuy‚t v nh v TŒ hổp (Thanh Hõa): 7/2022.
[1] Alilooee A., Beyarslan S., Selvaraja S (2019), Regularity of Powers of Unicyclic Graphs , Rocky Mountain J Math., 49(3), pp 699 728.
[2] Bahiano, C E (2004), Symbolic powers of edge ideals , Journal of Algebra 273(2), pp 517 537.
[3] Banerjee, A., Beyarslan, S K., H , H T (2020), Regularity of pow- ers of edge ideals: from local properties to global bounds , Algebraic Combinatorics, 3(4), pp 839 854.
[4] Berge, C (1989), Hypergraphs: combinatorics of finite sets, North- Holland, New York.
[5] Beyarslan, S., H , H T., T N Trung (2015), Regularity of powers of forests and cycles , Journal of Algebraic Combinatorics, 42(4), pp 1077 1095.
[6] Bondy, J A., Murty, U S R (2008), Graph Theory, Graduate Texts in Mathematics, 244, Springer, New York.
[7] Constantinescu, A., Varbaro, M (2011), Koszulness, Krull dimension, and other properties of graph-related algebras , Journal of Algebraic Combinatorics, 34, pp 375 400.
[8] Cooper, S M., Embree, R J., H , H T., Hoefel, A H (2017), Sym- bolic powers of monomial ideals , Proceedings of the Edinburgh Math-ematical Society, 60(1), pp 39 55.
[9] Cutkosky, S D., Herzog, J., N V Trung (1999), Asymptotic be- haviour of the Castelnuovo-Mumford regularity , Compositio Mathe-matica, 118(3), pp 243 261.
[10] Dao, H., Huneke, C., Schweig, J (2013), Bounds on the regularity and projective dimension of ideals associated to graphs , Journal of Algebraic Combinatorics, 38, pp 37 55.
[11]Dao, H., Schweig, J (2015), Bounding the projective dimension of a squarefree monomial ideal via domination in clutters , Proceedings of the American Mathematical Society, 143(2), pp 555 565.
[12] L X Dung, T T Hien, Nguyen, H D., T N Trung (2021), Reg- ularity and Koszul property of symbolic powers of monomial ideals , Mathematische Zeitschrift, 298, pp 1487 1522.
[13] Eisenbud, D., Goto, S (1984), Linear free resolutions and minimal multiplicity , Journal of Algebra, 88(1), pp 89 133.
[14] Eisenbud, D., Ulrich, B (2012), Notes on regularity stabilization , Proceedings of the American Mathematical Society, 140(4), pp.
[15]Fakhari, S A S (2016), Depth, Stanley depth and regularity of ideals associated to graphs , Archiv der Mathematik, 107, pp 461 471.
[16] Fakhari, S A S (2020), Regularity of symbolic powers of edge ideals of Cameron-Walker graphs , Communications in Algebra, 48(12), pp 5215 5223.
[17] Fakhari, S A S (2019), On the regularity of small symbolic powers of edge ideals of graphs , arXiv:1908.10845.
[18] D H Giang, L T Hoa (2010), On local cohomology of a tetrahedral curve , Acta Math Vietnam, 35, pp 229 241.
[19] Gu, Y., H , H T., O’Rourke, J L., Skelton, J W (2020), Symbolic powers of edge ideals of graphs , Communications in Algebra 48(9), pp 3743 3760.
[20] N T Hang, T T Hien (2023), Regularity of powers of cover ideals of bipartite graphs , International Journal of Algebra and Computation, 33(2), pp 317 335.
[21] N T Hang, T N Trung (2017), The behavior of depth functions of powers of cover ideals of unimodular hypergraphs , Arkiv for Matem-atik, 55(1), pp 89 104.
[22] N T Hang, T N Trung (2018), Regularity of powers of cover ideals of unimodular hypergraphs , Journal of Algebra 513(1), pp 159 176.
[23] Herzog, J., Hibi, T., N V Trung (2007), Symbolic powers of mono- mial ideals and vertex cover algebras , Advances in Mathematics, 210(1), pp 304 322.
[24] Herzog, J., Hibi, T., N V Trung (2009), Vertex cover algebras of unimodular hypergraphs , Proceedings of the American Mathematical Society, 137(2), pp 409 414.
[25] Herzog, J., L T Hoa, N V Trung (2002), Asymptotic linear bounds for the Castelnuovo-Mumford regularity , Transactions of the Ameri-can Mathematical Society 354(5), pp 1793 1809.
[26] Herzog, J., Iyengar, S (2005), Koszul modules , Journal of Pure and Applied Algebra 201(1-3), pp 154 188.
[27] Hibi, T., Higashitani, A., Kimura, K., O’Keefe, A B (2015), Alge- braic study on Cameron - Walker graphs , Journal of Algebra, 422, pp 257 269.
[28] T T Hien, T N Trung (2023), Regularity of symbolic powers of square-free monomial ideals , Arkiv for Matematik, 61, pp 99 121.
[29]L T Hoa (2021), Maximal Generating Degrees of Powers of Homo- geneous Ideals , Acta Mathematica Vietnamica , 47, pp 19 37.
[30] L T Hoa, T N Trung (2010), Partial Castelnuovo-Mumford regu- larities of sums and intersections of powers of monomial ideals , Math-ematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 149(2), pp 229 246.
[31] L T Hoa, T N Trung (2016), Castelnuovo - Mumford regularity of symbolic powers of two-dimensional square-free monomial ideals , Journal of Commutative Algebra, 8(1), pp 77 88.
[32] Hoang Tuy (2016), Convex Analysis and Global Optimization, Springer International Publishing.
[33] Kodiyalam, V (2000), Asymptotic behaviour of Castelnuovo- Mumford regularity , Proceedings of the American Mathematical So-ciety, 128(2), pp 407 411.
[34] Kumar, A., Kumar, R., Sarkar, R., Selvaraja, S (2021), Symbolic powers of certain cover ideals of graphs , Acta Mathematica Vietnam-ica, pp 1 13.
[35] Miller, E., Sturmfels, B (2005), Combinatorial commutative algebra, Springer.
[36] N C Minh, N V Trung (2009), Cohen - Macaulayness of powers of two-dimensional squarefree monomial ideals , Journal of Algebra, 322(12), pp 4219 4227.
[37] N C Minh, T N Trung (2019), Regularity of symbolic powers and arboricity of matroids , Forum Mathematicum, 31(2), pp 465 477.
[38] Mumford, D (1966), Lectures on curves on an algebraic surface Princeton University Press, New Jersey.
[39] Nguyen, H D., N V Trung (2019), Depth functions of symbolic powers of homogeneous ideals , Inventiones mathematicae, 218(3), pp 779 827.
[40] Reid, L., Roberts, L G., Vitulli, M A (2003), Some results on normal homogeneous ideals , Communications in Algebra, 31(9), pp 4485 4506.
[41] Schrijver, A (1998), Theory of linear and integer programming, John Wiley & Sons.
[42] Stanley, R P (1996), Combinatorics and Commutative Algebra, sec-ond edition, Birkhauser, Boston, MA.
[43]Takayama, Y (2005), Combinatorial characterizations of generalized Cohen-Macaulay monomial ideals , Bulletin math†matique de la So- ci†t† des Sciences Math†matiques de Roumanie, 48, pp 327 344.
[44] Terai, N (1999), Alexander duality theorem and Stanley-Reisner rings Free resolutions of coordinate rings of projective varieties and related topics (Japanese) (Kyoto, 1998), Surikaisekikenkyusho K okyuroku no 1078, pp 174 184.
[45] T N Trung (2009), Stability of associated primes of integral clo- sures of monomial ideals , Journal of Combinatorial Theory, Series A, 116(1), pp 44 54.
[46] N V Trung, Wang, H J (2005), On the asymptotic behavior ofCastelnuovo-Mumford regularity , Journal of Pure and AppliedAlge-bra, 201(1-3), pp 42 48.
[47] Vasconcelos, W (2005), Integral Closure: Rees Algebras, Multiplicities,Algorithms, Springer Monographs in Mathematics, Springer.
Ti‚ng Viằt Ti‚ng Anh b“c degree c⁄nh treo pendant ch¿ sŁ ch‰nh quy (Castelnuovo-Mumford) (Castelnuovo-Mumford) regularity chi•u x⁄ £nh projective dimension a diằn h…nh thức symbolic polyhedron a diằn Newton Newton polyhedron ¿nh cổ l“p isolated vertex ìn h…nh simplex ỗ thà hai phƒn bipartite graph Łi ng¤u Alexander Alexander dual gh†p c°p matching gh†p c°p c£m sinh induced matching gh†p c°p thứ tỹ ordered matching gi£i tü do ph¥n b“c tŁi ti”u minimal graded free resolution gi£i tü do tuy‚n t‰nh linearity resolution hằ sinh tŁi ti”u minimal generator i ảan c⁄nh edge ideal i ảan phı cover ideal